新課標(biāo)下數(shù)學(xué)建模能力的評(píng)價(jià)研究

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在中國高中數(shù)學(xué)課程改革的十幾年間，數(shù)學(xué)建模逐漸進(jìn)入到中學(xué)數(shù)學(xué)課堂，并越來越受重視．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱2017年新課標(biāo)）中，“數(shù)學(xué)建模”被列為新增的三個(gè)課程內(nèi)容（數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)文化）之一，更加突出了“培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力”的重要性．同時(shí)，2017年新課標(biāo)明確要求高中階段至少為學(xué)生安排一次建模活動(dòng)，并給出了相應(yīng)的學(xué)時(shí)．?dāng)?shù)學(xué)建模作為六大核心素養(yǎng)之一，是溝通現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界的橋梁，反映了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值［1］．

1研究背景

近年來，各國和各地區(qū)的課程改革都將數(shù)學(xué)建模思想納入新的課程標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)中．全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)（NCTM）在2000年出版的《學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》中提出，問題解決必須成為中學(xué)數(shù)學(xué)的中心，要把數(shù)學(xué)建模納入中學(xué)教材［2］．日本近些年來的課程改革也提出，要重視培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、獨(dú)立思考和解決問題的能力，注重創(chuàng)造性的培養(yǎng)．2003年，德國數(shù)學(xué)教育課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出，數(shù)學(xué)建模能力是學(xué)生應(yīng)當(dāng)發(fā)展的數(shù)學(xué)能力，即學(xué)生要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的知識(shí)與方法去理解與現(xiàn)實(shí)相關(guān)的情境，并提出解決方案．我國《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將知識(shí)內(nèi)容分為四部分，其中第四部分為“綜合與實(shí)踐”，要求學(xué)生學(xué)會(huì)用另外三部分的知識(shí)（數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率）去解決生活中的一些實(shí)際問題，著重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)［3］．2017年新課標(biāo)提出：“高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．”教育工作者要重點(diǎn)加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去看待周圍的事物．

2數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)模型是借用數(shù)學(xué)的思想語言講述現(xiàn)實(shí)世界的故事，是我們所面對(duì)的復(fù)雜無序的現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)簡化．?dāng)?shù)學(xué)建模就是基于不同的現(xiàn)實(shí)問題，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并得出相應(yīng)的結(jié)果或結(jié)論；數(shù)學(xué)建模是現(xiàn)實(shí)情境到數(shù)學(xué)領(lǐng)域的映射．徐斌艷教授也提出，數(shù)學(xué)建模是建立真實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界之間可逆的聯(lián)系，關(guān)注抽象出數(shù)學(xué)問題與解決現(xiàn)實(shí)問題的過程．?dāng)?shù)學(xué)建模并非線性過程，需要不斷地從數(shù)學(xué)世界返回真實(shí)世界中檢驗(yàn)結(jié)果、完善模型［4］．波利亞在《怎樣解題》一書中談到解決問題通常要經(jīng)過四個(gè)流程，即弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)施計(jì)劃、回顧與反思．2006年，國際經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織（OCED）在其開展的國際學(xué)生評(píng)估項(xiàng)目（PISA）中，將數(shù)學(xué)建模的過程分為五個(gè)流程：（1）從現(xiàn)實(shí)中發(fā)現(xiàn)問題并提出；（2）對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行簡化；（3）進(jìn)行合理的假設(shè)，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；（4）解決數(shù)學(xué)問題；（5）將數(shù)學(xué)結(jié)果返回到現(xiàn)實(shí)情境中解釋并進(jìn)行檢驗(yàn)［5］．這五個(gè)流程將現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界聯(lián)系在一起，構(gòu)成了數(shù)學(xué)建模的循環(huán)模型（圖1）．2017年新課標(biāo)也給出了數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的內(nèi)涵：“數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)和解決問題的過程．具體表現(xiàn)為：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題．”

3數(shù)學(xué)建模能力評(píng)價(jià)現(xiàn)狀

長期以來，關(guān)于數(shù)學(xué)建模的研究多為設(shè)計(jì)使用數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)建模教學(xué)，更偏重于利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題．但是由于數(shù)學(xué)建模能力評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的缺失，很多中學(xué)無法對(duì)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)效果進(jìn)行科學(xué)地評(píng)價(jià)．注意到這一問題，新課標(biāo)就數(shù)學(xué)建模能力的評(píng)價(jià)給出了明確的水平劃分，指出：“對(duì)于數(shù)學(xué)建模的評(píng)價(jià)，應(yīng)該重視數(shù)學(xué)模型的形成過程和學(xué)生在此過程中的參與度，關(guān)注學(xué)生對(duì)問題中的數(shù)量關(guān)系以及數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的意義、模型解的意義的理解．”為了更好地對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力進(jìn)行評(píng)價(jià)以及揚(yáng)長避短，因材施教地培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力，我們需要一個(gè)科學(xué)的評(píng)價(jià)體系來對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力進(jìn)行客觀準(zhǔn)確的評(píng)價(jià)．

4國際比較測試項(xiàng)目對(duì)比分析

2017年新課標(biāo)中指出：“幾次重大的國際數(shù)學(xué)教育比較研究，如國際內(nèi)部審計(jì)教育伙伴（IAEP）、國際數(shù)學(xué)和科學(xué)測評(píng)趨勢（TIMSS）和國際學(xué)生評(píng)價(jià)項(xiàng)目（PISA）等都表明，一個(gè)國家的課程和教材對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)和成就有重大的影響．”PISA和TIMSS是國際上兩個(gè)比較大型的測評(píng)研究項(xiàng)目，是現(xiàn)代教育測量的權(quán)威代表［6］．筆者特別對(duì)比研究了PISA和TIMSS項(xiàng)目，分別從項(xiàng)目概況，數(shù)學(xué)素養(yǎng)測評(píng)框架兩個(gè)方面進(jìn)行分析．（1）項(xiàng)目概況國際學(xué)生評(píng)估項(xiàng)目（PISA）是由經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織（OECD）實(shí)施，以15歲中學(xué)生為研究對(duì)象，測評(píng)他們?cè)跀?shù)學(xué)、科學(xué)和閱讀方面的素養(yǎng)所開展的具有周期性的國際比較研究項(xiàng)目．PISA項(xiàng)目每3年一次，輪流選取數(shù)學(xué)、科學(xué)和閱讀中的一個(gè)領(lǐng)域作為主要測評(píng)領(lǐng)域；每9年更新一次設(shè)計(jì)思路，調(diào)整測評(píng)框架，其中PISA2003，PISA2012，PISA2021測評(píng)的主要領(lǐng)域是數(shù)學(xué)．2019年5月，OECD公布了最新的PISA2021數(shù)學(xué)測評(píng)框架．國際數(shù)學(xué)和科學(xué)測評(píng)趨勢（TIMSS）是由國際教育成就評(píng)價(jià)協(xié)會(huì)（IEA）自1995年起組織的大規(guī)模的數(shù)學(xué)和科學(xué)教育國際測評(píng)項(xiàng)目，每4年進(jìn)行一次，包含TIMSS（4年級(jí)和8年級(jí)）和TIMSS－A（12年級(jí)）兩大系列．我國迄今還未正式參加過TIMSS－A測評(píng)項(xiàng)目，因此該項(xiàng)目的研究對(duì)于我國高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)具有一定的借鑒意義．（2）數(shù)學(xué)素養(yǎng)（特別是數(shù)學(xué)建模）測評(píng)框架PISA2021對(duì)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵表述為“數(shù)學(xué)素養(yǎng)是指個(gè)體在真實(shí)世界的不同情境下進(jìn)行數(shù)學(xué)推理，并表達(dá)、應(yīng)用和闡釋數(shù)學(xué)以解決問題的能力．它包括使用數(shù)學(xué)概念、過程、事實(shí)和工具來描述、解釋和預(yù)測現(xiàn)象的能力．它有助于個(gè)體作為一個(gè)關(guān)心社會(huì)、善于思考的21世紀(jì)建設(shè)性公民，了解數(shù)學(xué)在世界中所起的作用以及做出有根據(jù)的數(shù)學(xué)判斷和決定．”PISA2021數(shù)學(xué)素養(yǎng)測評(píng)框架［7］如圖2所示，突出了“數(shù)學(xué)過程”中數(shù)學(xué)推理的核心地位，而數(shù)學(xué)推理貫穿數(shù)學(xué)建模的整個(gè)過程．與PISA2012數(shù)學(xué)素養(yǎng)測評(píng)框架中數(shù)學(xué)建模過程進(jìn)行對(duì)比（圖3），PISA2021將原來的方形模型改進(jìn)為圓形模型，數(shù)學(xué)建模過程與數(shù)學(xué)內(nèi)容環(huán)環(huán)相扣，更加突出數(shù)學(xué)建模是在使用數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)能力來更好地理解現(xiàn)實(shí)情境［8］．TIMSS－A數(shù)學(xué)測評(píng)始于1995年，經(jīng)歷了由最初的1995年不成型、2008年基本成型，發(fā)展到2015年基本定型的過程，主要包括內(nèi)容領(lǐng)域與認(rèn)知領(lǐng)域兩個(gè)維度，各維度都有相應(yīng)的百分比．廖運(yùn)章教授深入研究了TIMSS－A數(shù)學(xué)測評(píng)框架的變化趨勢［9］，筆者總結(jié)為如表1所示的TIMSS－A2015數(shù)學(xué)測評(píng)框架．TIMSS－A2015在應(yīng)用領(lǐng)域中突出了對(duì)數(shù)學(xué)建模的要求，表現(xiàn)為表征／建模（用方程或圖象對(duì)問題情境建模，對(duì)給定的數(shù)學(xué)對(duì)象或信息建立等價(jià)表征）．雖然PISA2021與TIMSS－A2015數(shù)學(xué)測評(píng)框架各有特點(diǎn)，但它們包含的內(nèi)容和能力類別相似．PISA2021更加明確指出了具體的數(shù)學(xué)素養(yǎng)主題，包括三部分：數(shù)學(xué)素養(yǎng)的界定、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的測試范圍及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的評(píng)估，這些主題貫穿整個(gè)測評(píng)框架．TIMSS－A2015更側(cè)重于以課程作為研究的出發(fā)點(diǎn)，把學(xué)校的教學(xué)目標(biāo)作為標(biāo)準(zhǔn)，包括內(nèi)容和認(rèn)知領(lǐng)域兩個(gè)維度，但是對(duì)核心素養(yǎng)沒有專門的體現(xiàn)．

5對(duì)高中生數(shù)學(xué)建模能力評(píng)價(jià)的啟示

2017年新課標(biāo)中對(duì)于高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容突出函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)四條主線，特別地，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的水平描述劃分為三個(gè)水平．喻平教授把三種水平更形象地劃分為知識(shí)理解（水平一）、知識(shí)遷移（水平二）、知識(shí)創(chuàng)新（水平三），如表2所示．和TIMSS數(shù)學(xué)測評(píng)框架對(duì)比分析，筆者根據(jù)數(shù)學(xué)建模的特征從三個(gè)維度（內(nèi)容維度、結(jié)構(gòu)維度、水平維度）構(gòu)建了高中生數(shù)學(xué)建模能力水平評(píng)價(jià)模型，如圖4．這個(gè)三維評(píng)價(jià)框架直觀形象地反映了數(shù)學(xué)建模能力的各個(gè)維度，也體現(xiàn)了學(xué)生在數(shù)學(xué)建模過程中的認(rèn)知發(fā)展是由淺入深、具有層次性的．我們?cè)谠O(shè)計(jì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力測試試題時(shí)，可以將本評(píng)價(jià)框架模型作為參考標(biāo)準(zhǔn)，這樣測試試題與三個(gè)評(píng)價(jià)維度形成了對(duì)應(yīng)關(guān)系．國內(nèi)對(duì)數(shù)學(xué)建模能力的評(píng)價(jià)體系的建立、測試試題與測試工具效度的分析、積累評(píng)價(jià)的實(shí)踐檢驗(yàn)都值得我們不斷的完善和研究．希望數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的一座橋梁，能夠激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用能力，使學(xué)生在數(shù)學(xué)建模活動(dòng)中真正體會(huì)和感受到數(shù)學(xué)的內(nèi)在價(jià)值．

作者:沐方華 董潔 單位:安徽省合肥市第一中學(xué)