邏輯與思維的推理方法范文

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（桂林電子科技大學計算機科學與工程學院，廣西桂林541004）

摘要：針對離散數學課程中的數理邏輯教學，分析計算思維與數理邏輯之間的內在關系，從計算思維的角度對數理邏輯教學內容進行梳理，論述如何將“對問題進行抽象建模一形式化一自動化一分析評估”這一思維模式貫穿于教學過程中，以及如何在教學中強調計算思維的基本概念和基本方法。

關鍵詞 ：計算思維；數理邏輯；抽象；形式化；自動化

文章編號：1672-5913(2015)15-0031-05

中圖分類號：G642

第一作者簡介：常亮，男，教授，研究方向為知識表示與推理、形式化方法，changl@guet．edu．cn。

0 引 言

對計算思維能力的培養已經成為新一輪大學計算機課程改革的核心導向。如何從計算思維的角度重新梳理和組織計算機相關課程的教學內容，如何在教學實施中培養學生的計算思維能力，是近年來計算機教育者熱烈探討的問題。

數理邏輯是計算機專業核心基礎課程離散數學中的主要教學內容，不僅為數據庫原理、人工智能等專業課程提供必需的基礎知識，更對培養學生的抽象思維能力和邏輯思維能力起著重要作用。

1 計算思維

計算思維運用計算機科學的基本概念來求解問題、設計系統和理解人類行為，包括一系列廣泛的計算機科學的思維方法。根據卡內基·梅隆大學周以真( Jeannette M．Wing)教授的設想，一個人具備計算思維能力體現在以下幾個方面：給定一個問題，能夠理解其哪些方面是可以計算的；能夠對計算工具或技術與需要解決的問題之間的匹配程度進行評估；能夠理解計算工具和技術所具有的能力和局限性；能夠將計算工具和技術用于解決新的問題；能夠識別出使用新的計算方式的機會；能夠在任何領域應用諸如分而治之等計算策略等。在計算思維所包含的諸多內容中，最根本的內容是抽象和自動化。

在計算機專業相關課程的教學中，為了培養學生的計算思維能力，我們認為一種有效的途徑是從問題出發，抓住抽象和自動化這兩個核心內容，培養學生分析問題、解決問題和對解決方案進行評估的能力。同時，我們提煉出計算機學科以及各門具體課程中涉及的基本概念和思維方法，在教學過程中有意識地強化學生對這些基本概念和思維方法的理解和掌握。

2 基于計算思維的數理邏輯數學內容組織

數理邏輯應用數學中的符號化、公理化、形式化等方法來研究人類思維規律。從廣義上看，數理邏輯是數學的一個分支，包括證明論、集合論、遞歸論、模型論以及各種邏輯系統等5部分。我們在這里談的是狹義的數理邏輯，即大學計算機相關專業學習的數理邏輯基礎。

數理邏輯與計算機科學有著非常密切的關聯。無論是在ACM和IEEE-CS聯合攻關組制訂的《計算教程CC2001》中，還是在中國計算機學會教育委員會和全國高等學校計算機教育研究會聯合制定的《中國計算機科學與技術學科教程2002》中，數理邏輯都是計算機相關專業的核心知識單元。對于計算機相關專業來說，數理邏輯的教學內容主要是命題邏輯和一階謂詞邏輯這兩個基礎的邏輯系統。針對這兩個邏輯系統，傳統的教學大綱主要從語法、語義、等值演算、形式證明系統等4個方面安排教學。在開展教學的過程中，教師強調的主要是培養學生的抽象思維能力和邏輯思維能力。然而，從學生的角度看，這兩種能力本身都是抽象的口號，處于大一或者大二階段的學生難以將這些知識點與計算機科學聯系起來，感覺不到數理邏輯在計算機科學或者將來工作中的具體應用，從而缺乏相應的學習興趣。

數理邏輯中的許多思想都與計算思維有著異曲同工之妙；最為明顯的是數理邏輯和計算思維都強調抽象及形式化。在關于離散數學課程的教學實踐中，我們已經把計算思維的諸要素或多或少地滲透到包括數理邏輯在內的培養方案和教學大綱中，但尚未上升到以培養計算思維能力為導向的高度。

在明確將培養計算思維能力作為一個新的教學目標之后，我們從計算思維的角度對數理邏輯教學內容重新進行梳理。具體來說，在計算思維的指導下，我們以問題求解作為出發點，抓住抽象和自動化這兩個核心內容，按照“對問題進行抽象建模一形式化一自動化一分析評估”的主線來組織數理邏輯教學，培養學生應用計算思維分析問題和解決問題的能力。與此同時，在教學實施的過程中，盡可能地提煉出各個知識點中關于計算思維的基本概念和基本方法，把計算思維貫徹到每堂課中。

2.1 從問題出發引入數理邏輯

在傳統的數理邏輯教學中，開篇的內容就是對命題進行符號化，但許多學生并不清楚為什么要進行符號化。在計算思維的引導下，我們可以通過如下兩個問題來引人數理邏輯。

第一個問題是萊布尼茨創立數理邏輯時的理想：把推理過程像數學一樣利用符號來描述，建立直觀而又精確的思維演算，最終得出正確的結論。形象地說，當兩個人遇有爭論時，雙方可以拿起筆說“讓我們來算一下”，就可以很好地解決問題。為了實現萊布尼茨的理想，基本思路是首先引入一套符號體系，將爭論的內容嚴格地刻畫出來；其次規定一套符號變換規則，借助這些符號變換規則，將邏輯推理過程在形式上變得像代數演算一樣。

第二個問題是人工智能中的知識表示和知識推理。人工智能中的符號主義學派認為，人的認知基元是符號，認知過程就是符號操作過程；知識可以用符號表示，也可以用符號進行推理，從而建立起基于知識的人類智能和機器智能的統一理論體系。基于這種思路，為了在計算機上實現智能，我們首先需要將知識用某套符號體系表示出來，然后在此基礎上通過算法進行知識推理，最終實現智能決策等一系列體現智能的功能。

從上述兩個問題出發，我們可以將命題邏輯和一階謂詞邏輯當作兩個工具來引入。與此同時，對于這兩個工具來說，應用它們來解決問題的過程又可以被分解為符號化表示和符號化推理兩個階段。因此，我們最終可以從兩個維度上引入數理邏輯：一個維度是命題邏輯和謂詞邏輯兩個工具，另一個維度是符號化表示和符號化推理兩個過程。與傳統的直接介紹數理邏輯形式系統的方式相比，這種從問題出發的引入方式與計算機專業學生的思維方式即計算思維一致。

2.2 從形式化的角度組織教學內容

作為徹底的形式系統，數理邏輯為培養計算思維中的抽象思維能力提供了非常好的素材。從形式系統自身的角度來看，我們還可以將語法和語義兩個內容獨立出來。在此基礎上，我們用表1對計算機相關專業數理邏輯部分的學習內容進行概括。

表1列出的知識點與《計算教程CC2001》《中國計算機科學與技術學科教程2002》中關于數理邏輯的知識點一致。借助這張表，可以讓學生對數理邏輯部分的學習內容形成一個清晰、全面的認識。在教學過程中，每開始一個新的章節，我們都可以呈現這張表，幫助學生知道接下來的學習內容處于哪個位置，并且加深他們對計算思維中抽象和建模的印象。

需要指出的是，在廣義的數理邏輯中，介紹形式演算系統時通常是指公理推理系統。公理推理系統從若干條給定的公理出發，應用系統中的推理規則推演出系統中的一系列重言式。公理推理系統可以深刻揭示邏輯系統的相關性質以及人類的思維規律，但從計算思維解決問題的角度來看，我們并不關注公理推理系統。在知識推理中，我們關注的是從任意給定的前提出發，判斷能否應用推理規則推演出某個結論；我們并不要求這些前提和結論是重言式。因此，對于計算機專業的數理邏輯來說，我們關注的是自然推理系統，即構造證明法。計算思維為我們選擇自然推理系統而不是公理推理系統提供了一個很好的視角。

2.3 在數理邏輯中強調自動化

表1的知識點充分體現了計算思維中抽象和對問題建模求解的思維方式，但計算思維中的自動化尚未體現出來。在學習了構造證明方法之后，學生一般會形成一個印象，認為構造證明法使用起來簡單方便，與人們的直觀邏輯思維一致，但使用過程中需要一定的觀察能力和技巧。與之相反的是，計算思維希望能夠通過算法實現問題的自動求解。

實際上，在廣義的數理邏輯中已經存在許多自動化證明方法，其中最為典型的是歸結推理方法和基于Tableau的證明方法。為了判斷能否從給定的前提推導出某個結論，我們同樣可以采用歸結推理方法或者基于Tableau的證明方法。具體來說，我們首先對擬證明的結論進行否定，將該否定式與所有前提一起合取起來，然后判斷所得到的合取式是否為可滿足公式；如果不可滿足，則表明可以從給定的前提推導出結論，否則表明所考察的結論是不能得出的。換句話說，前提與結論之間是否可推導的問題被轉換為公式可滿足性問題來解決。

歸結推理方法最早于1965年由Robinson提出，是定理證明中主流的推理方法。《計算教程CC2001》和《中國計算機科學與技術學科教程2002》都將其列為人工智能課程的一個重要知識點。由于許多學校都是將人工智能作為選修課來開設，因此許多學生都沒有機會接觸和學習。實際上，在數理邏輯的教學實踐中，只需要很少的課時就可以把歸結推理方法講授清楚。具體來說，在講授完構造證明法中的歸謬法之后，只需要補充介紹歸結原理這一條推理規則就可以了，最多只花費半個課時。當我們用簡潔的算法把歸結推理方法描述清楚，讓學生直觀感受到機械化的證明過程之后，學生對計算思維就有了更進一步的認識和掌握。在有條件的情況下，還可以讓學生上機實現命題邏輯的歸結推理算法。

基于Tableau的證明方法出現的時間早于歸結推理方法，最初在1955年就被Beth和Hintikka分別獨立提出，之后Smullyan在其1968年出版的著作中進行了規范描述。Tableau方法的基本思想是通過構造公式的模型來判斷公式的可滿足性。雖然Tableau方法使用的推理規則不只一條，但每條推理規則都直觀地體現了邏輯聯結詞的語義定義。Tableau方法在早期沒有受到太多關注，但最近十多年來，隨著描述邏輯成為了知識表示和知識推理領域的研究熱點，在描述邏輯推理中發揮出優異性能的Tableau方法得到了越來越多的關注。鑒于此，在講授完構造證明法和歸結推理方法之后，我們也向學生簡單描述了Tableau方法，引導學有余力并且對學術前沿感興趣的學生在課后自學。

2.4 在分析評估中強化計算思維

在講授數理邏輯的過程中，我們還可以從許多知識點提煉出計算思維的內容，把計算思維貫徹到每個具體的教學內容中。我們列舉體現計算思維的4個典型內容進行探討。

首先，命題公式和謂詞公式的語法定義為計算思維中的遞歸方法提供了經典案例。實際上，除了公式的語法定義外，數理邏輯中在對語義的定義、對語法與語義之間關系的研究、對算法正確性的證明、對算法復雜度的分析等各項內容中都用到了遞歸。由于課時的限制，我們不能在數理邏輯教學中對其展開，但可以點出這個情況，讓將來可能繼續攻讀碩士或博士學位的學生留下一個印象。

其次，當我們講授了用歸結推理方法或者Tableau方法進行自動推理和問題求解之后，從計算思維的角度看，一個很自然的想法是想知道這種解決方法的求解效率。因此，我們可以對命題邏輯中推理算法的復雜度進行分析。由于我們已經把歸結推理方法通過非常簡潔的算法呈現在學生面前，因此只需要進行簡單的口頭分析就可以得出最壞情況下的算法復雜度，讓學生知道命題邏輯的公式可滿足性問題是NP問題。到此為止，在對命題邏輯進行講授的過程中，我們引導學生完成了“對問題進行抽象建模一形式化一自動化一分析評估”的完整流程。如果在后繼課程中再反復重現這個流程，將可以把這種思維模式固化到學生大腦中，使得計算思維成為他們日后解決新問題的有效工具。

第三，在講授完命題邏輯之后，我們可以用著名的蘇格拉底三段論作為例子來引入謂詞邏輯。首先我們用命題邏輯對“所有的人都是會死的”“蘇格拉底是人”“蘇格拉底會死的”進行符號化，然后展示在命題邏輯下無法從兩個前提推導出后面的結論，從而說明命題邏輯在表達能力上的局限，進而闡述引入一階謂詞邏輯的原因和思路。從計算思維的角度看，這個過程體現了如何選擇合適的表示方式來陳述一個問題，以及如何確定對問題進行抽象和建模的粒度，此外，這個例子還讓學生直觀感受到了計算工具所具有的能力和局限性。

最后，在講授完一階謂詞邏輯的推理之后，我們可以介紹一階謂詞邏輯的局限，即一階謂詞邏輯是半可判定的，一階謂詞邏輯的歸結推理算法不一定終止。從計算思維的角度看，這個結論給了我們一個很好的例子，可以引導學生分析哪些問題是可計算的，哪些問題是不可計算的。在此基礎上，我們進一步闡述邏輯系統的表達能力與推理能力之間存在的矛盾關系：一階謂詞邏輯在表達能力上遠遠超過命題邏輯，但其推理能力僅僅為半可判定；命題邏輯可判定，但描述能力不強。從計算思維的角度看，此時我們可以引入“折中”這個概念，訓練學生在解決問題的過程中抓住主要矛盾，忽略次要矛盾。更進一步地，我們向學生簡單介紹目前作為知識表示和知識推理領域的研究熱點的描述邏輯：早期的描述邏輯通常被看做一階謂詞邏輯的子語言，在表達能力上遠遠超過命題邏輯，但在推理能力上保持了可判定性。這些補充內容既能讓學生接觸到學科前沿，又能幫助學生深刻理解如何根據問題的主要矛盾來選擇合適的工具。

3 結語

總的來說，數理邏輯很好地詮釋了計算思維并為其提供了生動的案例。將數理邏輯的教學與計算思維培養結合起來，一方面可以從計算思維的角度重新審視和組織數理邏輯的課堂教學，取得更好的教學效果；另一方面能加強對計算思維能力的培養，使學生能夠更好地應用計算思維來解決問題。

計算思維的培養不是通過一兩門課程的教學就能解決的問題，而是應該貫穿于所有的專業課程教學中。要實現這個目標，要求授課教師不僅僅照本宣科以教會學生課本上的知識為目的，而要能夠從計算思維的高度來看待所講授的課程，對所講授的課程中含有的計算思維基本概念、方法和思想不斷進行提煉，從計算思維的角度對課程進行重新梳理和建設。進行教學改革的目標是要更好地培養學生的計算思維能力，在實施教學改革的過程中，授課教師的計算思維能力也得到不斷的提升和加強。

參考文獻：

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關鍵詞：數學學習；合情推理；演繹推理

《義務教育數學課程標準》的“課程設計思路”部分指出：“推理能力的發展應貫穿在整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成，合情推理用于探索思路，發現結論；演繹推理用于證明結論。”可見，在小學階段，發展學生的推理能力是新課程的一個重要主

張；如何發展小學生的推理能力，成為每一個小學數學教師必須關注的問題。

一、合情推理

合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通

過歸納和類比等推斷某些結果。即包括歸納推理和類比

推理。

歸納推理是由特殊到一般的推理，它是在研究某種事物或現象的某些特殊情況或一切情況所得到的共同屬性的基礎上，對這一事物或現象作出一般結論的推理方法。如：乘法分配律的講解過程和圓周率的導出過程就是采用這種歸納推理的方法。

教給學生從特殊到一般的推理方法，這種方法是從現實開始，比較直觀，容易被學生接受。為了讓學生掌握這種推理方法，教學中教師應該把推理的全過程呈現在學生面前。以圓周率的導出為例，如果教師只準備一個硬紙圓，上課時量出圓的直徑，再將圓在直尺上滾動一周，量出周長是直徑的三倍多一些，然后告訴學生這個固定數，稱它為圓周率，這是不行的。應當用幾個不同直徑的圓，并要求學生也準備，教學時教師將幾個不同直徑的圓的直徑和周長及它們的倍數關系在黑板上一一列出，在這樣的前提下引導學生進行歸納：任何直徑的圓其周長總是直徑的三倍多一些。這個倍數稱作圓周率。正確的推理過程才能讓學生從中受到科學思維方式的訓練。

類比推理是從特殊到特殊的推理方法，它是根據兩個或兩類對象具有某些相同屬性而作出它們的另一屬性也一定相同的結論的一種推理形式。類比推理，比較簡單具體，在小學數學教學中經常采用，不少定理、法則就是通過類比引入的。例如，商不變的性質類比推出分數的基本性質，又由分數的基本性質類比推出比的基本性質。又如，在教學質數與合數的概念時，在學生已掌握了質數的概念之后，講什么是合數時，就可以引導學生和質數進行比較，從而發現合數除了1和它本身外，還有其他的約數。

二、演繹推理

演繹推理是從已有的事實（定義、公理、定理等）和確定的規則（運算的定義、法則、順序等）出發，按照邏輯推理的法則證明和計算。

演繹推理是由一般到特殊的推理，它是在被確認的一般事實的基礎上進行推理，從而導出某個正確的特殊結論。如：凡是求一個數的幾倍是多少用乘法，求5的3倍是多少就是求一個數的幾倍是多少，所以求5的3倍是多少用乘法，這就是演繹推理。

教給學生從一般到特殊的推理方法，有助于學生更得心應手地根據已得的定義、性質、公式和法則去解題計算。如：12元可以買3輛玩具小汽車，要想買5輛，應付多少錢？分析：總價=單價×數量。要想知道買5輛車要多少錢，首先要知道1輛車多少錢；1輛車多少錢題目中沒有直接說出來，而是根據已知“12元可以買3輛小汽車”來求。所以，第一步，先求一輛車的價錢：12÷3=4（元）。第二步，求5輛車的價錢：4×5=20（元）。如果學生能按照這樣的思路來分析，解題的思路就是清晰和有條理的。

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簡答題是近年化學高考中常出現的題型。它主要考查學生對所學知識理解的準確性，思維的完整性，推理的嚴密性和表述的條理性。近幾年化學高考題中簡答題的分值占到10％左右，在總分值中已占有一定的份量。簡答題看起來似乎不難，但要準確回答確不易，學生多感到有力無處使，造成失分較多。學生在簡答題中常見錯誤是：①基礎知識不牢固，對有關概念、基本理論理解不透徹，不能回答出知識要點；②思維混亂，缺乏嚴密的邏輯思維能力；③表達不規范，不能用準確的化學用語回答問題。如何才能準確、完整、簡練、嚴謹地解答此類題呢？我認為，除應加強基礎知識教學外，還應培養學生認真審題、抓住答題的關鍵和要點、使用準確化學用語表述問題的能力。此外，還要加強此類題解法的指導。下面就以近年高題為例，分析這類題的解答方法。

例1．80℃時，純水的pH值小于7，為什么？

答案：水的電離H2O?H＋＋OH－是一個吸熱反應。室溫時，純水中［H＋］＝［OH－］＝10－7摩／升，因而pH＝－1g［H＋］＝7。但溫度升高到80℃時，水的電離度增大，［H＋］和［H－］均大于10－7摩／升，故pH＝－lg［H＋］＜7。

分析：本題主要是考查學生易混淆的兩個不同的概念。學生往往錯誤認為在任何溫度下純水的pH值都是7。80℃時，純水的pH值雖小于7，但仍是中性的，［H＋］＝［OH－］，這是不以溫度升降而改變的。因為水的電離是吸熱反應，隨著溫度升高，水的電離度增大，80℃時，水中［H＋］和［OH－］均大于10－7摩／升，故純水的pH值小于7。答題不僅要求學生回答：是什么”，著重要求回答：為什么”。不少學生僅回答“因為［H＋］＞10－7”，這只是pH＜7的同義反復，由于沒有回答出“為什么”而被扣分。不是他們不知道：電離是吸熱反應”，而是答題時沒有抓住要點。至于答題中出現的［H＋］＞［OH－］、［H＋］［OH－］＜10－14等錯誤，則屬于基礎知識的缺陷。

例2．當化學反應PCl5（氣）?PCl3（氣）＋Cl2（氣）處于平衡狀態時，向其中加入一種37Cl含量較多的氯氣，平衡發生移動，在建立新平衡以前，PCl3中所含37Cl的百分含量比原平衡狀態時是否會增加？請說明理由。

答案：加入37Cl含量較多的氯氣后，平衡向左移動，使PCl5的分解反應也在進行，所以，PCl3中含37Cl的百分含量也會增大。

分析：本題是用同位素示蹤法考查學生關于可逆反應中的化學平衡是動態平衡這一基本概念。“動態平衡是化學平衡的三個基本特征之一，是中學教學反復強調的重點。題目沒有直接問PCl5，而是問PCl3的變化情況；不是問建立平衡后而是問建立平衡前；不僅要回答是否會增加，而且要求說明理由。這樣，把基礎知識作了兩次轉換，答題難度加大。因此，在教學中應加強學生思維靈活性、變通性的訓練。

例3．甲、乙兩瓶氨水的濃度分別為1摩／升和0．1摩／升，則甲、乙兩瓶氧水中［OH－］之比（填大于、等于或小于）10，說明理由。

答案：在同一溫度下，對于同種弱電解質，濃度越小，電離度越大。甲瓶氨水的濃度是乙瓶氨水濃度的10倍，故甲瓶氨水的電離度比乙瓶氨水的電離度小，所以，甲、乙兩瓶氨水中［OH－］之比應小于10。

分析：本題主要考查電解質濃度對電離度的影響。考生常常把濃度對電離度的影響和對電離平衡常數的影響相混淆，造成錯解。有些考生雖對“同一弱電解質，濃度越小，電離度越大”這個大前提清楚，但要應用這一大前提分析具體問題時，卻顯得思維混亂、表達的邏輯關系不清。其實“答案”中用到的推理方法是我們思維中常見到的形式邏輯推理方法——“三段論”。除此而外，還有因果、先總后分或先分后總等思維方法在近年的高考簡答題中均有體現。 因此，教師在教學中應加強學生邏輯思維、推理能力的訓練。

例4．在25℃時，若10個體積的某強酸溶液與1體積的某強堿溶液混和后溶液呈中性，則混和之前該強酸與強堿的pH值之間應滿足的關系是。

答案：pH酸＋pH堿＝15

分析：本題主要考查學生對溶液酸堿性和pH值之間關系等知識的認識。25℃時，10體積的某強酸溶液與1體積的某強堿溶液混和后溶液呈中性，說明反應中強酸的H＋離子和強堿中OH－離子物質的量相等。令強酸中H＋離子物質的量為0．1摩，1體積為1升，則強酸中［H＋］＝0．1摩／升，pH酸＝1，強堿中［OH－］＝1摩／升，強堿中［H＋］＝10－14摩／升，pH堿＝14，因此，pH酸＋pH堿＝15。

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邏輯是應用題結構的脈絡，把結構的脈絡搞清楚了，各教量間的聯系，繁雜的內在聯系，解題的線索，就了然若揭，隱蔽的、錯綜復雜的探求脈絡的過程，也能顯露出來，故而解應用題時既要分析它的數量關系，又要分析它的邏輯結構。

一、明確應用題中概念的內涵與外延，及其與解題的關系

如：“甲數是12、乙數是13、丙數正好等于甲乙兩數的和，求甲、乙、丙三數的和。”這道題涉及的概念“和”是什么意思？“和”在題里出現了幾次？（兩次。）第一次出現的“和”指的是什么？（丙數的多少。）丙數是怎樣得到的？（甲數與乙數合并而成。）要合并，用什么方法算？（加法。）這說明甲、乙、丙三個數的關系非常密切，到底它們之間的內在聯系是什么？（丙數＝甲數+乙數，甲數＝丙數-乙數，乙數＝丙數-甲數。）這道題的第二個“和”指的是什么？（甲、乙、丙三數合在一起的數。）這個“和”與第一個“和”表示的會意有沒有區別？（第一個指兩個數合并，第二個指三個數合并。）有沒有相同的地方？（都表示合并、用加法計算。）“和”還有其它意思嗎？（還可以當連詞講。）通過以上的分折，才可以做到題意清楚。

二、探索判斷的形成，認識已知條件的嚴密性與準確性

判斷，就是對涉及對象作出的肯定或否定的論斷。在數學里，判斷包括判定運算對象之間關系的判斷。應用題里的條件基本上都屬于關系判斷，如：2小時走6千米路，第一天完成了全部工程的1/3，側面積比底面積大2.5平方厘米等。

教學時，要使學生弄清題中各判斷究竟反映的是哪些事物，這些事物的關系怎樣。如：小明讀一本書，第一天讀了全書的20％，第二天比第一天多讀了它的25％，第三天又讀了12頁，正好讀完了全書的一半還多2頁，這本書共多少頁？

這道題，有四個判斷，即二、三、四、五分句。其中第四分句是直言判斷，其余三個分句都屬關系判斷。

第一天讀完了全書的20％，這個關系判斷涉及的事物即運算對象是什么？（第一天、全書。）它給我們肯定了第一天讀書頁數與全書頁數有一個什么樣的關系？（第一天讀書頁數占全書頁數的比率。）如果說第一天讀書頁數為20頁，全書的頁數為100頁，讓學生試試把兩個運算對象的位置交換一下，看判斷結果有沒有變化？（有。）從這個變化，你得到什么啟示？（已知條件涉及對象的關系判斷是非常嚴格的，運算時，不能隨意調換對象的位置。）

第二天比第一天多讀它的25％，這個判斷肯定了第一天讀書的多少與第二天讀書量有什么關系？（肯定了第二天讀書量比第一天多，多的量是第一天的25％。即第二天讀書量是第一天的“l+25％”。）

“正好讀了全書的一半還多2頁”這個判斷（已知條件）涉及的運算對象是什么？（三天共讀書頁數與全書頁數）。這個判斷又肯定了哪些對象的什么關系？（第一天讀書頁數＋第二天讀書頁數＋第三天讀書頁數＝全書頁數的一半＋2頁）。從上述三個判斷提示的各量間的關系看，三個判斷之間的內在聯系如何？（第一判斷給第二判斷創造了前提，一、二判斷又為第三判斷創造了前提）。這樣層層創造前提，就為求解打通了思路。

三、使學生掌握解應用題的推理方法，培養推理能力

推理，就是由一個或幾個已知判斷（條件）推出一個新判斷的思維形式。

如何進行推理，教應用題時要精心培養。如：“甲乙兩人騎自行車，同時從東城到西城，甲每小時行12千米，乙每小時行9千米，甲在途中辦事停留了4小時，所以比乙遲到1小時，問兩城相距多少千米？

這道題，教師要在學生弄清題意的基礎上，將推理步驟、推理方法當做應用題教學的重點精心傳授，其推理過程如下：

1. 演繹推理

（l）按應用題的要求問題，確定推理規則：

甲速度，甲行車時間，兩城距離，

或乙速度，乙行車時間，兩城距離。

（2）按已知條件，確定推理方向：

速度已知（甲每小時行12千米，乙每小時行9千米），

關鍵是要推出甲（或乙）的行車時間。

（3）根據推理方向，找推理條件。

甲中途有事停車4小時，比乙遲l小時。

2. 歸的推理

（1）根據推理條件，可求出兩人到站相差時間為3（小時）。

（2）根據相差時間和題中告知的乙的速度，可求出者甲中途不停車，則甲到達西城時，已經比乙行了9×3＝27（千米）。

（3）根據題中告知的甲乙兩人的行車速度，可求出速度之差為每小時12-9=3（千米）。

（4）根據上述（2）、（3），可求出甲到西城實際行車時間為27÷3=9（小時）

篇5

一、主要內容

本章內容包括電流、產生持續電流的條件、電阻、電壓、電動勢、內電阻、路端電壓、電功、電功率等基本概念，以及電阻串并聯的特點、歐姆定律、電阻定律、閉合電路的歐姆定律、焦耳定律、串聯電路的分壓作用、并聯電路的分流作用等規律。

二、基本方法

本章涉及到的基本方法有運用電路分析法畫出等效電路圖，掌握電路在不同連接方式下結構特點，進而分析能量分配關系是最重要的方法;注意理想化模型與非理想化模型的區別與聯系;熟練運用邏輯推理方法，分析局部電路與整體電路的關系

篇6

關鍵詞：合情推理；數學思維；重要方式；能力培養

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2014）18-0106-02

一、引言

合情推理是美籍匈牙利數學家波利亞的“啟發法”中的一種推理模式。所謂合情推理，就是合理的猜測方法，是人們根據已有的知識經驗，在某種情境和過程中，運用觀察、實驗、歸納、類比、聯想、直覺等非演繹的思維形式，推出關于客體的合乎情理的認識過程。波利亞通過研究發現，可以機械地用來解決一切問題的“萬能方法”是不存在的，在解決問題時，人們總要面對具體情況，不斷地對自己提出具有啟發性的問句、提示等，以啟動與推進思維的發展。

我國《義務教育數學課程標準（2011版）》提出：“推理一般包括合情推理和演繹推理，并要求在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數學活動中，發展合情推理和演繹推理能力。”《普通高中數學課程標準（實驗）》也明確指出：“了解合情推理的含義、體會合情推理在數學發現中的作用、了解合情推理與演繹推理的差異。”從課標中我們可以看出，合情推理的重要性在數學思維能力的培養中占有不可替代的作用，更是創造性思維能力培養的源泉。

二、合情推理概述

根據波利亞在《數學與猜想》一書中給出的合情推理的特征、作用、范例和模式以及人們合情推理經驗的積累，數學中常用的合情推理方法有：歸納推理、類比推理、統計推理、一般化與特殊化等。我國中小學數學課程標準中所提出的合情推理主要涉及兩種推理方法：歸納推理與類比推理。

1.歸納推理。歸納是指思維由特殊的具體認識推進到一般的抽象認識現實的方法。歸納是一種表述思想、組織思想或論證思想的思維形式，即歸納推理。歸納作為一種推理具有以下特征：

（1）它是人們在邏輯思維過程中，用以表述論證思想的工具，是人類把各種思想必然地聯系起來的重要手段。

（2）歸納推理是建立在反映事物本質的思維材料或語言材料的基礎上。

2.類比推理。波利亞指出，“類比是某種類型的相似性……是一種更確定的和更概念性的相似。”類比推理也是從個別的、特殊的到一般的推理，是根據兩對象都具有一些相同或類似的屬性，并且其中一個對象還具有另外某一屬性，從而推出另一個對象也具有與該屬性相同或相類似的性質。其邏輯形式如下：A對象具有屬性a、b、c、d；B對象具有屬性a、b、c；B對象也可能具有屬性d。

類比推理有其自身的特征：類比是人們從已經掌握了的已知事物的屬性，推測出另一正在被研究的事物的屬性；類比是從一種已知事物的特殊屬性推測另一事物的特殊屬性；類比的結論是具有猜測性的，不一定可靠，需要證明，但是具有發現功能。類比推理的結論是或然的，因而不能作為一種嚴格的推理方法，但是類比法常為數學研究提出假說和猜想。波利亞還指出：“類比是一個偉大的引路人。”在數學史上，很多成果都是通過類比推理得到的，類比推理的關鍵在于找出兩類對象之間的相似性，找出的相似性越多，得出的結論就越可靠。

三、合情推理對培養數學思維能力的作用

合情推理是根據一定的經驗材料或數學事實對研究對象的性質、關系、結果所做的猜測或估算，是將特殊事物的結論外推或延伸，使之與有關事物對照，發現與熟悉的知識相聯系，并將特殊的結論加以推廣，通過概括獲得全貌。作為一種思維方式和方法論，在數學思維能力的培養過程中起到了重要多用，主要體現在以下四個方面：

1.合情推理有助于數學思維潛能的激發。數學思維是人腦和數學對象交互作用并按照一般思維規律認識數學本質和規律的理性活動。具體地說，數學思維就是以數和形及其結構關系為思維對象，以數學語言和符號為思維的載體，并以認識、發現數學規律為目標的一種思維。

數學思維即從屬于一般的人類思維，具有一般思維的特征，同時由于數學及其研究方法的特點，表現在思維活動是按客觀存在的數學規律進行的，具有數學特點與操作方式。由于個體的差異性和數學思維的特點使得每個人的數學思維發展也產生了差異，每個人都存在著有待發展的思維潛力。因此，重視合情推理在數學思維中的作用是發展數學潛力的有力因素。合情推理的思維模式也是數學思維發展的模式，有利于加強思維訓練，以合情推理中的歸納和類比模式可以加強思考、猜想等思維的訓練。開發整體的數學思維模式，激發數學思維潛力，發展數學素質和數學能力。

2.合情推理給數學思維方式提供了發展空間。數學思維的發展是一個循序漸進的過程，從具體的思維過程到抽象的思維過程，再到形式化的思維過程。每個人數學思維的發展是不一樣的，有的人數學思維發展得好，有的人的數學思維只是一般，但是，每個人數學思維發展的過程是大致相同的，都需要一個發展空間。數學思維能力的提升就有賴于發展空間，在數學思維能力的發展中，合情推理就為其提供了很好的發展空間。

合情推理是數學思維能力發展的一個重要的基石，在思維的發展中，我們不僅要有演繹方面的思維模式，更要有合情推理方面的推理模式。合情推理的模式是創新思維發展的前提，是數學結論發展的重要保障。數學史上一些重要的結論都是通過這樣的思維模式得到的。合情推理為數學思維的創造性發展提供了整個條件，使得數學思維能力的發展由一般的思考推理上升為創造性的思維，使數學思維的發展空間得到了質的突破。

3.合情推理有助于優化數學思維品質。思維品質是指個體在思維活動中智力特征的表現，是區分一個人智力高低的主要指標。一個人思維能力的發展從本質上講就是不斷改進一個人的思維品質的過程。

“數學是一門理性思維的科學”，數學的核心是思維。在數學學習過程中，人的數學思維在不斷地發生與發展。由于人的個體差異，表現出思維水平的差異性，這種思維水品的差異性以數學思維品質為標志。如果人們有意識地強化學習者的數學思維，必將促進思維水品的提高。相應的，作為數學思維水平標志的數學思維品質也隨之發生變化、發展，從實質上說，這就是數學思維品質的培養。

合情推理作為發展數學思維能力的重要因素，是優化思維能力的過程。通過歸納和類比等推理方法使得學習者不斷猜想、質疑，從而解決問題，消除了思維的僵硬性，提高了數學思維的靈活性；在獨立思考的基礎上，積極思考、多思善問，能夠提出高質量的創新問題，從而達到培養思維創造性的目的。通過合情推理中由特殊的具體認識推進到一般的抽象認識現實的方法，逐步深入事物的本質，從而預見事物的結果。這樣就使得思維的深刻性不斷增強、批判性不斷提高。因此，數學思維的品質得到了進一步的優化，數學思維能力不斷提高，最終發展了個人的數學思維能力。

4.合情推理有助于形成良好的數學思維習慣。習慣是經過反復練習而形成的較為穩定的行為特征。良好的思維習慣是一種良好的非智力因素，是學生必備的素質，是學生學好數學的最基本的保證。良好的思維習慣有助于學生從不同的角度思考問題，有助于學生思維能力的培養、知識的獲取以及運用所學知識靈活地解決問題。這充分說明良好的學習習慣可以使人受益終生。

良好的思維習慣必須在實際的思維活動中才能養成，所以合情推理為思維習慣的養成提供了機會。合情推理的每一個模式都是以一個個實際的問題為對象，從特殊的問題推廣到一般，形成了一套嚴謹的方法，激發了學習者的求知欲。實踐證明，在思維的轉折處設疑不僅有利于促進知識的遷移，而且更有利于加深和建構所學知識，促使其積極主動地參與學習。這樣就提高了學習效果，也形成了善于思考、樂于推理的良好數學思維習慣。

合情推理是一種很好的培養數學思維能力和實踐能力的重要手段，它不僅是一種數學思想，更是一種發現數學的重要方法。合情推理的實質就是“發現―猜想”，對思維的發展和創新思維的培養起著重要的作用。因此，在數學教學中，既要強調思維的嚴密性、結果的正確性，也要重視思維的直覺探索性和發現性。重視合情推理是數學教學中的一個重要內容，教師在數學教學中應逐步滲透合情推理的思維過程，揭示知識的發生過程，激發學生的思維活動，讓學生從學習數學知識的過程變成數學學家當時探索數學的過程，進行合情推理，自己探索數學規律，發現數學結論，使學生真正成為學習主體。沒有合情推理的數學教學是不可能培養出高質量、具有創新思維的學習者的，因此，每一位數學教師都必須認真鉆研教材，多看、多練，善于總結各種解決問題的方法，不斷加強自己的思維訓練，不斷探索適合中學生的合情推理的方法，總結經驗，使自己具有較強的基本功。同時，每一位教師都應當充分利用合情推理在數學思維能力中的作用，漸進而有序地培養數學合情推理能力，提高學生的綜合素質，促進學生健康、全面地發展。

參考文獻：

[1]波利亞.數學與猜想（1，2卷）[M].北京：科學出版社，1984.

[2]數學課程標準研制組.全日制義務教育教學課程標準解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2001.

[3]數學課程標準研制組.普通高中數學課程標準（實驗）解讀[M].南京：江蘇教育出版社，2004.

[4]王忠春，李元中等.數學思維與數學方法論[M].北京：高等教育出版社，1989.

篇7

關鍵詞： 地理教學 邏輯思維 歸納推理 演繹推理 應用

一、歸納和演繹推理的內涵

歸納推理和演繹推理是科學研究中的兩種推理方法。

所謂歸納推理，就是從若干零散的現象中推出一個一般規律，也就是從若干特殊現象中總結出一般規律，是從特殊到一般。用歸納推理施教就是讓學生在教師引導下自己完成相應的歸納推理過程得出結論，主動獲得知識的教學方法。常與啟發式、探究式教學相聯系。

所謂演繹推理，就是把歸納推理得到的一般規律，再應用到現實中去，推測其他未被考察過的同類對象的性質特點，它是從一般到特殊。用演繹推理施教就是教師從已知的抽象的原理和規律出發開始進行一步步的深入推演。常與演講式、遷移式教學相聯系。

由上面對歸納和演繹推理的解釋可以看出，歸納和演繹不是獨立的，而是先后次序確定的、不可分割的兩個階段，如果沒有歸納推理，那么就不可能有演繹推理。教學是創造性勞動，它因人因材因時因地而變。從具體的教學環節來講，筆者主張在教學實踐中運用歸納推理和演繹推理施教應該相互滲透，靈活掌握。就一門課而言，有的章節可用歸納推理，有的章節也可用演繹推理。就一堂課來講，歸納與演繹推理可交叉運用。

二、歸納和演繹推理在“地球上的大氣”教學中的應用

（一）歸納總結“熱力環流”原理

首先通過教材“活動”中關于“觀察煙霧在一端放著熱水另一端放著冰塊的玻璃缸內是如何飄動的”實驗，使學生對“熱力環流”原理形成感性認識。接著結合實驗及學生的生活體驗（如為什么夏天打開冰箱的門，看到“冷氣”下沉，冬天燒開的熱水熱氣上升？為什么制冷的空調一般放置在墻上，而取暖的暖氣片一般放置在窗下？），啟發學生歸納得出空氣受熱膨脹后密度減小就會上升，空氣遇冷收縮后密度增大就會下沉。然后教師指導學生畫出“煙霧”垂直方向運動的模式圖并講解這一過程的形成原理，進而引導學生思考當空氣發生垂直運動后，在同一水平面上氣壓變化，受熱上升地區上空因空氣聚積，密度增大，形成相對高氣壓，冷卻收縮下沉地區上空因空氣密度減小，形成相對低氣壓，同理近地面也會形成氣壓差，空氣由高氣壓流向低氣壓，這樣就會形成水平方向上的空氣流動。大氣的垂直運動和水平運動共同形成大氣的“熱力環流”。

（二）“熱力環流”原理的演繹推理

根據前面對“熱力環流”原理的歸納總結，學生已掌握“熱力環流”原理這一基本規律，在此基礎上，教師可引導學生對這一原理進行演繹推理，具體推理如下。

1.常見的熱力環流

由冷熱不均所引起的熱力環流是一種最簡單的大氣運動形式。在自然界中由局部受熱不均所引起的熱力環流還有很多，其中最典型的有如下幾種：其一，由于海陸熱力性質差異所引起的“海陸風”；其二，由于山谷山頂冷熱不均所引起的“山谷風”；其三，由于人類活動導致城郊之間出現溫差進而引起的“城市風”等。以上三種風均和“熱力環流”原理屬同類對象，均可作為其演繹推理。

2.熱力環流與大氣環流

雖然熱力環流是局部小尺度的大氣運動，而大氣環流是全球性大尺度的大氣運動，但大氣環流同樣也可作為熱力環流原理的演繹推理，該過程主要是通過教師和學生共同探究完成的。

首先，以北半球為例，假設地球不自轉且表面均勻，由于赤道接受太陽輻射能量多而北極少，就會形成赤道和北極之間的“單圈環流”，同時形成赤道低氣壓帶和極地高氣壓帶。然后，進一步探究，假設地球自轉且地表均勻，則“單圈環流”被打破，赤道高空地區的大氣在水平氣壓梯度力和地轉偏向力的作用下，最終在30°N附近與等壓線平行，不再向北流動，而是在30°N附近“堆積”下沉，致使近地面氣壓升高，形成副熱帶高氣壓帶，在氣壓梯度力作用下，近地面空氣由副熱帶高氣壓帶流向赤道低氣壓帶，在地轉偏向力的作用下，形成東北信風帶，東北信風在赤道地區輻合上升，這樣便形成了赤道與30°N之間的低緯環流。在近地面，由副熱帶高氣壓帶向北流出的暖而輕的氣流與極地高氣壓帶向南流出的冷而重的氣流在60°N附近相遇，暖而輕的氣流被抬升，形成上升氣流，致使60°N附近的近地面形成副極地低氣壓帶，上升氣流到高空，又分別流向副熱帶和極地上空，這樣就形成了中緯環流和高緯環流。（南半球同理）

伴隨三圈環流的形成，相應的在近地面形成七個氣壓帶和六個風帶，而且它們有不同的性質，有的濕熱，有的冷干，根據它們的不同性質，我們可探究氣壓帶和風帶對氣候的影響，結合降水形成條件分析在某種氣壓帶、風帶或氣壓帶風帶交替控制下的氣候特征。

上面所講的氣壓帶風帶的位置，是以太陽直射赤道為前提的，實際上，由于地球公轉，太陽直射點每年都在有規律地南北移動，因此產生了氣壓帶和風帶的季節移動。另外，地球表面是不均勻的，有海洋和陸地的分布，海陸之間存在熱力性質差異，從而使呈帶狀分布的氣壓帶被分割成高低氣壓中心，進而形成典型的東亞季風和南亞季風，這兩種季風同樣可用“熱力環流”原理進行演繹。

3.熱力環流與氣旋、反氣旋

氣旋或低壓，反氣旋或高壓，是對同一天氣系統的不同描述，氣旋與反氣旋是就氣流狀況而言的，低壓與高壓是就氣壓分布狀況而言的。在講解“熱力環流”原理時，因冷熱不均形成了高低氣壓，可通過分析高低氣壓的氣流狀況演繹反氣旋和氣旋。

三、歸納和演繹推理在地理教學中的優缺點分析

歸納和演繹推理的優勢主要表現在以下幾個方面：有利于培養學生地理邏輯思維和獨立思考問題的能力；有利于學生在討論歸納中激發靈感，培養興趣；有助于學生系統把握知識，打下基礎知識扎實的功底；有助于學生聽課做好筆記，鍛煉文字、思維的條理性、層次性和邏輯性。

歸納和演繹推理的不足主要表現在以下幾個方面：課堂教學秩序和氣氛調節有難度，常常要走彎路，對于教師的課堂駕馭能力要求高；一些基礎知識不扎實、不愛動腦筋的學生接受起來有難度；如演繹前提不正確易產生“失之毫厘，差之千里”的錯誤；純理性抽象的成分多，易理論脫離實際。

參考文獻：

[1]葉回玉，鄭云清.高中地理新課程教學設計與評析[M].北京：高等教育出版社，2008.

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關鍵詞：假說法 ；培養 ； 創造性思維 生物學是一門實驗性科學，很多科學規律和科學成果都是科學家通過大量的反復實驗得出的。其中假說法運用的較多，假說法一般包括歸納推理法，類比推理法和假說演繹法。這些方法在生物的三個必修模塊中都有應用，科學家通過歸納推理法，總結出“生命起源于無機的非生物環境”；薩頓運用類比推理法得出“基因在染色體上”孟德爾運用了“假說演繹法”得出了遺傳兩大規律；摩爾根也運用“假說演繹法” 得出連鎖定律。

如何培養學生像科學家一樣在實驗設計和實驗操作中掌握這些方法，我做了以下嘗試：

一、 歸納推理法有利于學生分析綜合思維能力的培養

歸納推理法是根據現有的事實材料找出其相似或者不同的地方進行比較，通過分析綜合來找出具有普遍意義的科學理論，是由特殊到一般的思維方式。歸納推理法主要是鍛煉學生的求同思維和求異思維，提高分析與綜合的思維能力。

歸納推理法在高中生物課本運用的比較多，比如元素與化合物一章由于各種生物的元素雖然含量差別很大，但是種類相同，提出生物是同一起源與無機環境；在講細胞結構中發現具有磷脂膜的有細胞膜，內質網，高爾基體，線粒體，核膜等提出生物膜系統概念內容都是運用的歸納推理方法。

在實踐教學中我運用歸納推理法教會學生對復雜的知識進行梳理，是學習思路更加清晰。

二、類比推理法有利于學生想象力和跳躍性思維的培養

類比推理法，是根據兩個（或兩類）對象在一系列屬性上是相同（或相似）的，并且已知其中的一個（或一類）對象還有其他特定的屬性，由此推出，另一個（或一類）對象也具有同樣的其他特定屬性的推理方法。類比推理法與歸納推理法不同之處在與歸納推理法的物質的屬性是一樣的，是同一類事物，而類比推理法的物質屬性差別較大，一般不是同一類事物，思維一般呈跳躍狀發展。類比推理法能促使研究者做到舉一反三、觸類旁通，不少重要的科學假說就是靠類比推理才得以建立起來。類比推理法有利于培養學生的想象力和跳躍性思維的培養。高一第2模塊中類比推理法的應用是薩頓通過觀察孟德爾的基因在分離和自由組合定律的行為和減數分離過程中染色體的行為類似，提出基因在染色體上。、類比推理能啟迪人的思維，促進人的聯想，從而擴大人們的視野，開拓人們的認識。類比推理是一種創造性思維方法，它在科學事實的發現以及科學假說的提出方面有著重要的作用。類比推理是現代自然科學與工程技術模擬法與仿生學的邏輯理論基礎。

模擬法就是用模型去代替原型，通過模型間接研究原型的規律。從自然原型到技術模型，是依據自然原型和技術模型都具有相似屬性，而自然原型還具有另一屬性，從而推出技術模型也有此種屬性的方法。上個世紀60年代興起的一門富有生命力的新科學——仿生學就是運用這種模擬方法的結果。比如，根據蛙眼的結構和功能，模擬出的“電子蛙眼”；根據人腦的結構和功能，模擬出的“電腦”和“機器人”；等等。在教課實踐過程中例如模擬半透膜的試驗用半透膜模擬細胞膜是學生體會到細胞膜的選擇透過性；模擬分離定律和自由組合定律的試驗以及模擬減數分裂的試驗等，都可以幫助學生建立類比推理法的思維方式學會想象，學會思維的跳躍，培養開發學生的創造性思維能力。

三、假說演繹法有利于逆推思維的培養

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高中數學是一門條理清晰、思維嚴謹的科學,而高中生在思維形態及思考模式還在逐步發展形成的過程中,在高中數學教學時,教師應該根據此階段學生的情況開展和以往不一樣教學方式,例如可以使用類比推理的方法,類比推理在數學教學過程中的使用,可以促進學生的發散思維,在溫故舊知識的同時學習并創建新知識體系,通過對新、舊知識的類比推理,不僅可以吸引學生在學習上的注意力,還可以提升學生的積極主動性,提高他們對于數學知識的邏輯性和理解記憶能力。所以,高中生在學習新的數學知識時,需要注重與舊知識體系的聯系,將新舊知識采用行之有效的類比,才可以打開學生的思維疆界。尤其在學習數學概念時要以具體的對象做為支撐點,在理解新概念的時候,需要聯系前面學過的概念,所以在高中數學的教學過程中,數學教師需要經常使用舉例子、打比方、使用類比推理等方式將抽象的概念或問題進一步具體化協助學生的理解。例如,“橢圓知識”的教學中,教師可以讓學生回顧之前所學的關于圓的知識,對照即將學習的橢圓的相關知識,分析兩者之間存在哪些相似點,可以提升學生理解橢圓知識的能力,以便更好地掌握。又如,在教學“正弦和余弦”時,可以幫助學生回憶兩個角的和與差的公式,在來講它們與正弦和余弦的公式之間的相似性,將新舊知識進行類比和分析之后再進行記憶,效果要比學生一味地背記單個公式要好得多,并且通過類比推理,兩者之間在規律和使用條件等方面的也容易更加明白,使用的時候才不會出現差錯。

2類比推理在高中數學教學中的實際應用

2.1運用類比推理聯系新舊知識

眾所周知,數學是一門邏輯性很強的學科,學生在面對新知識的時候,需要將其與舊知識聯系起來學習,對新、舊知識采用行之有效的類比推理,才能打開學生的思維面。尤其是高中數學里的概念,因為概念在教材中是相對分散的出現,由于知識的整體性,學生不能忽略其相關內容之間的聯系,而教師需要通過教學設計,向學生展示知識與知識之間的聯系,從而使得學生對每一條概念的理解更加深刻。例如,在學習等差數列和等比數列時,由于它們無論在定義還是公式等各方面都比較雷同,這時,可以利用類比推理,由等差數列的性質實行類比分析和推理,從而可以得到等比數列的性質。定義:an+1-an=D(D為常數);通項公式:an=a1+(n-1)D;性質:①an=am+(n-m)D,②假如p,q,m,n∈N,且p+q=m+n,則ap+aq=am+an。通過以往學過的等差數列知識的帶入,對于即將學習的等比數列,兩者通過使用類比推理方法來學習,可以讓學生產生一定的熟悉度,拉近和新知識之間的距離,在輕松掌握新知識的同時還溫習了舊知識,做到了新舊知識的學習兩不誤,更重要的是,不僅加深了學生對知識的記憶力和掌握力,還加強對知識脈絡的統一性和連貫性。

2.2運用類比推理整合知識脈絡

學習數學是一個由淺入深的過程,學生通過對數學方面知識的積累,會逐漸形成一個知識脈絡,當這個知識脈絡逐漸發展成一個完整的知識網絡時,便實現了學習上的從量變到質變的飛躍,也為學生發散思維的培養奠定了夯實的基礎,而類比推理方法的運用,是促成完整知識脈絡的有效手段,其可以很好的揭示數學知識的內在聯系,繼而找到其中的規律,有利于幫助學生的理解力和記憶力。學生無論是在面對計算公式和方法還是數學概念和規律等知識點方面都可以利用類比推理的方法來進行學習和記憶。比如,在“向量知識”的教學中,學生常常在對共線、平面、空間等向量的理解上存在著困難,尤其是在思維上,學生對這三種向量定理之間的關系容易產生混亂。為了理清它們之間的關系,可以在講授新課“共面向量定理”時,采用類比推理的方法實行教學,讓學生歷經向量及其運算的推廣過程,完備了學生的認知構成,獲得了不錯的教學效果。

2.3運用類比推理深化解題思路

教育學者認為,提出問題的能力尤其是精準地提出一個好問題的能力可以作為判斷學生思考能力的重要標志,而類比推理的一項重要功能就在于此。在已有的教學實踐顯示,學生如果可以經常自主借助智慧,打開思維,開展聯想,運用類比、總結歸納的方法,合理地推理新的結果,就會很大程度地提高學生學習數學知識的興趣,學生的綜合能力也將自然而然地提高。而類比推理是一種重要數學方法,能夠實現與新理念背景下高中數學教學方式的改革,較為適應高中數學的教學目標和內容的改變,運用類比推理教學可以提升學生的學習興趣,促使課堂氣氛的活躍,在進行知識類比推理時,可以使學生了解到數學規律是如何讓形成的,達到知其然知其所以然的目的。這樣可以加深學生對數學這門學科的認識,更加能得心應手的運用,即使在面對學習新數學知識時,能夠迅速地實現知識的延伸。尤其是類比推理可以讓學生很好地掌握數學,提高對數學的運用能力,遇到數學難題時,在進行問題的類比推理時,只要利用發散思維,加入一些想象力把知識點聯系起來,就能使解題思路更加清晰,從而很好地答題。類比推理在數學知識的應用范圍廣闊,除了經常應用在函數的解題思路中,還運用在等差與等比數列,平面幾何與立體幾何,平面向量與空間向量等方面。

3結論

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關鍵詞：數理邏輯；命題邏輯；一階邏輯；推理理論

離散數學是現代數學的重要分支，是研究離散量的結構及相互關系的學科，它在計算機理論研究及軟、硬件開發的各個領域都有著廣泛的應用。其內容大致包含數理邏輯、集合論、代數結構、組合數學、圖論和初等數論6部分，這6部分從不同的角度出發，研究各種離散量之間數與形的關系。本文主要研究數理邏輯部分在計算機科學領域中的應用。

1.為計算機的可計算性研究提供依據

數理邏輯分為命題邏輯和一階邏輯兩部分，命題邏輯是一階邏輯的特例。在研究某些推理問題時，一階邏輯比命題邏輯更準確。數理邏輯中的可計算謂詞和計算模型中的可計算函數是等價的,互相可以轉化，計算可以用函數演算來表達，也可以用邏輯系統來表達。

某些自然語言的論證看上去很簡單，直接就可以得出結論，但是通過數理邏輯中的兩種符號化表達的結果卻截然不同，讓人們很難理解，這就為計算機的可計算性研究埋下伏筆。下面舉一個簡單例子加以說明。

例1  凡是偶數都能被2整除。6是偶數，所以6能被2整除。

可見，一個復雜的命題或者公式可以利用符號的形式來說明含義，來判斷正確性，這使得計算機科學中的通過復雜文字驗證的推理過程變得簡單、明了了。

2.為計算機硬件系統的設計提供依據

     數理邏輯部分在計算機硬件設計中的應用尤為突出，數字邏輯作為計算機科學的一個重要理論，在很大程度上起源于數理邏輯中的布爾運算。計算機的各種運算是通過數字邏輯技術實現的，而代數和布爾代數是數字邏輯的理論基礎，布爾代數在形式演算方面雖然使用了代數的方法，但其內容的實質仍然是邏輯。范式正是基于布爾運算和真值表給出的一個典型公式。

下面以計算機科學中比較典型的開關電路的設計為實例說明數理邏輯中布爾代數和范式的應用。整個開關電路從功能上可以看做是一個開關，把電路接通的狀態記為1（即結果為真），把電路斷開的狀態記為0（即結果為假），開關電路中的開關也要么處于接通狀態，要么處于斷開狀態，這兩種狀態也可以用二值布爾代數來描述，對應的函數為布爾函數，也叫線路的布爾表達式。接通條件相同的線路稱為等效線路，找等效線路的目的是化簡線路，使線路中包含的節點盡可能地少。利用布爾代數可設計一些具有指定的節點線路，數學上既是按給定的真值表構造相應的布爾表達式，理論上涉及到的是范式理論，但形式上并不難構造。

例2  關于選派參賽選手，趙，錢，孫三人的意見分別是：趙：如果不選派甲，那么不選派乙。錢：如果不選派乙，那么選派甲； 孫：要么選甲，要么選乙。以下諸項中，同時滿足趙，錢，孫三人意見的方案是什么？

解答：把趙，錢，孫三個人的意見看做三條不同的線路，對三條線路化簡得到接通狀態（既使公式結果為1）。

可見，這類選擇問題應用數理邏輯來解決，不但思路清晰、運算結果準確，而且省時、省力。

3.為計算機程序設計語言提供主要思想

專家系統和知識工程的出現使人們認識到僅僅研究那些從真前提得出真結果的那種古典邏輯推理方法是不夠的，因為人類生活在一個充滿不確定信息的環境里，進行著有效的推理。因此，為了建立真正的智能系統，研究那些更接近人類思維方式的非單調推理、模糊推理等就變得越來越必要了，非經典邏輯應運而生。非經典邏輯一般指直覺邏輯、模糊邏輯、多值邏輯等。這些也可以用計算機程序設計語言來實現。計算機程序設計語言的理論基礎是形式語言、自動機與形式語義學，數理邏輯的推理理論為二者提供了主要思想和方法，程序設計語言中的許多機制和方法，如子程序調用中的參數代換、賦值等都出自數理邏輯的方法。推理是人工智能研究的主要工作。邏輯的思想就是通過一些已知的前提推理出未知的結論。

例3 著名的n皇后問題是：是否可以將n(n為正整數)個皇后放在的棋盤上，使得每行每列都有且僅有一個皇后，并且每條對角線上如果有皇后且僅有一個。

通過上述幾個實例的驗證，會發現數理邏輯在計算機科學中的應用非常廣泛，可以把計算機科學中表面上看似不相干的內容通過找出其內在的聯系作為前提，利用數理邏輯中的推理理論得到結論。

參考文獻：