數(shù)學(xué)教科開放題分析論文

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在較長一段時期中，“問題解決”成為我國數(shù)學(xué)教育界的重要議題，現(xiàn)在把議題轉(zhuǎn)移到開放題上來，可以認(rèn)為是“問題解決”研究的進(jìn)一步深入，本文擬對開放題的含義以及怎樣在中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中引入開放題的問題作初步探討。

一、什么是開放題

在對開放題的討論中，對于什么是開放題，大家的意見尚不一致，因而有必要對開放題的含義作一個規(guī)定。此外，有的同仁把某些探索性問題也歸入開放題，雖然對探索題的研究具有公認(rèn)的意義，但在討論與研究開放題的時候，有必要把這兩者加以區(qū)別。

以下是一些學(xué)者關(guān)于什么是開放題的論述：

(1)答案不固定或者條件不完備的習(xí)題，我們稱為開放題；

(2)開放性題是條件多余需選擇、條件不足需補(bǔ)充或答案不固定的題；

(3)有多種正確答案的問題是開放題。這類問題給予學(xué)生以自己喜歡的方式解答問題的機(jī)會，在解題過程中，學(xué)生可以把自己的知識、技能以各種方式結(jié)合，去發(fā)現(xiàn)新的思想方法；

(4)答案不唯一的問題是開放性的問題；

(5)具有多種不同的解法，或有多種可能的解答的問題，稱之為開放性問題；

(6)問題不必有解，答案不必唯一，條件可以多余。

考察以上論述，關(guān)于開放題的條件的描述有：不完備；可以多余；多余需選擇，不足需補(bǔ)充；等等。關(guān)于開放題的答案（結(jié)論、解法）的描述有：不固定；有多種；不唯一；不必唯一；不確定；不必有解；等等。

從上可知，雖然對問題條件的描述多種多樣，但對答案的看法比較一致：答案不唯一。筆者認(rèn)為：(1)問題的“結(jié)論”是在問題系統(tǒng)內(nèi)部相對于問題的“條件”而言的，不能與問題的“答案”概念混淆，問題的“答案（解法）”是相對于整個問題而言的；(2)對于問題的條件不作太多的限定，對問題的答案給以寬松的環(huán)境，但要求是多樣化的，豐富多彩的，這正是開放的含義所在。所以，筆者認(rèn)為對開放題可以作出以下簡明的描述：答案不唯一的問題稱為開放題。開放題的一個顯著特征是：答案的多樣性（多層次性）。

一個問題是開放還是封閉常常取決于提出問題時學(xué)生的知識水平如何。例如，對n個人兩兩握手共握多少次的問題，在學(xué)生學(xué)習(xí)組合知識以前解法很多，是一個開放題，在學(xué)習(xí)組合知識之后則是一個封閉題。此外，對一個開放題來說，解決問題的方法的種數(shù)和解決問題的思維水平層次是兩個基本的指標(biāo)。因而，可以引入問題的開放度(OpeningDegree)概念：OD（相對于知識的時機(jī)，方法≥x，水平≥y）。上面，“相對于知識的時機(jī)”是我們對這個問題的一個注解，說明我們何時用這個問題，可指明是在學(xué)生學(xué)習(xí)了某一知識內(nèi)容之前，還是學(xué)生學(xué)習(xí)了某一知識內(nèi)容之后，或者是在某一個學(xué)習(xí)階段，例如在初中一年級、整個高中階段等；“方法≥x”是對解決問題的方法種數(shù)的描述；“水平≥y”是對解決問題的思維水平層次的描述。

在一些討論中常常把開放題與探索題混同起來，可能會對開放題的研究帶來影響，有必要把兩者予以區(qū)別。一般地，探索題是指條件完備，結(jié)論未給出而需要學(xué)生進(jìn)行探索，猜想并加以證明的問題。當(dāng)然，開放題集合與探索題集合的交集應(yīng)該是非空的。

二、教科書中的開放題

教科書是教師組織教學(xué)，學(xué)生學(xué)習(xí)的主要依據(jù)。教科書中引入開放題，將對教學(xué)產(chǎn)生較大影響，并有力地加快在教學(xué)中引入開放題的進(jìn)程。在由我室編寫的《九年義務(wù)教育三年制初級中學(xué)教科書》、《義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)實驗課本》、《高級中學(xué)試驗課本》、《全日制普通高級中學(xué)教科書（試驗本）》等教科書中，都已編入了一些開放題，但形式比較單一，數(shù)量也偏少。我們要在認(rèn)真研究的基礎(chǔ)上積極而慎重地引入開放題，以促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)開放題教學(xué)。怎樣在教科書中引入開放題是一個重要問題，希望大家一起來討論研究。