初中數(shù)學(xué)函數(shù)問(wèn)題數(shù)學(xué)思想研究

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函數(shù)應(yīng)用題一直是中考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，部分學(xué)生缺乏對(duì)這部分內(nèi)容系統(tǒng)的解題思路與計(jì)算方法的學(xué)習(xí)，在解決這類問(wèn)題時(shí)存在一定的困難.在初中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的教學(xué)中，對(duì)這一部分有所涉及，也進(jìn)行了一些相關(guān)知識(shí)的講解和訓(xùn)練，但是缺乏對(duì)函數(shù)問(wèn)題的解題思路與解題技巧的深入研究和專項(xiàng)訓(xùn)練.現(xiàn)階段關(guān)于初中數(shù)學(xué)函數(shù)應(yīng)用題的理論與實(shí)踐研究較為有限.本文以人教版初中數(shù)學(xué)為例，結(jié)合理論與教學(xué)實(shí)際，梳理解答函數(shù)應(yīng)用題的常用技巧，總結(jié)了常見(jiàn)的問(wèn)題形式與解題思路，以期引起更多師生的思考.

一、核心思維能力

學(xué)生在解決函數(shù)應(yīng)用題時(shí)最關(guān)鍵的就是把握一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式組、二元一次方程組及一元二次方程等最基礎(chǔ)的概念的內(nèi)涵，與此同時(shí)，學(xué)生需要把握一元一次方程與不等式及二元一次方程組的概念和關(guān)系，熟悉哪種具體問(wèn)題情境對(duì)應(yīng)的是哪種函數(shù)模型并寫(xiě)出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.同時(shí)要求學(xué)生學(xué)會(huì)結(jié)合函數(shù)的圖像討論函數(shù)的性質(zhì)，將實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，感受函數(shù)在解決運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題中的重要作用.學(xué)生首先要具有將實(shí)際生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型的能力，在此基礎(chǔ)上列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.在學(xué)生求解函數(shù)應(yīng)用題的過(guò)程中，解方程的過(guò)程并不是這種類型題練習(xí)的重點(diǎn)，學(xué)生更需要加強(qiáng)的是在分析、思考與解題的過(guò)程中提高自己應(yīng)用一些數(shù)學(xué)思想的能力，如轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等，通過(guò)系統(tǒng)、科學(xué)的習(xí)題訓(xùn)練增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的實(shí)踐能力并提高學(xué)生的解題速度.

二、函數(shù)應(yīng)用題知識(shí)儲(chǔ)備要求

1.基礎(chǔ)———解方程和不等式的能力和熟練的計(jì)算能力及技巧.學(xué)生在解決函數(shù)應(yīng)用題的過(guò)程中，列出方程式或不等式是最關(guān)鍵的一步，能否正確算出答案也是非常重要的.這就要求學(xué)生熟知解方程和不等式的正確步驟，同時(shí)要想快速解出結(jié)果，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力也有一定的要求.教師在教學(xué)過(guò)程中要注意訓(xùn)練學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用能力和解題技巧熟練程度，這樣可以幫助學(xué)生更高效地解題.2.關(guān)鍵———基本函數(shù)和不等式的概念及其關(guān)系.解決函數(shù)應(yīng)用題最重要的是把題目中的實(shí)際問(wèn)題抽絲剝繭并將其轉(zhuǎn)化為列出函數(shù)關(guān)系式的一個(gè)個(gè)條件，從而準(zhǔn)確把握解題的關(guān)鍵步驟.學(xué)生要熟知每一種函數(shù)模型及不等式的基本形式，這樣才能快速地根據(jù)條件列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式或不等式組.思考的角度不同可能會(huì)產(chǎn)生不同的解法，但是最簡(jiǎn)便和快速的方法只有一種，這就是提高學(xué)生解題能力和速度的關(guān)鍵.因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師不僅要要求學(xué)生解出問(wèn)題，算出答案，更要注重學(xué)生分析題目條件能力的提升，使學(xué)生解決函數(shù)應(yīng)用題的能力得到系統(tǒng)提升.3.根本———方程、不等式與函數(shù)之間的密切聯(lián)系.一元一次方程和不等式是函數(shù)部分的基本概念，有一元一次方程和不等式及一元二次方程和不等式兩種.對(duì)于一元一次方程和不等式，在初中函數(shù)應(yīng)用題中一般涉及的是一元一次不等式與一次函數(shù)的應(yīng)用及對(duì)題中所給圖表信息的提取，需要根據(jù)題目信息設(shè)出方程或列出不等式并求解，這體現(xiàn)了方程、不等式與函數(shù)之間的密切聯(lián)系.另一方面，有少部分應(yīng)用題也會(huì)涉及一元一次不等式組及一元二次方程或二元一次方程，這對(duì)學(xué)生根據(jù)題意設(shè)出方程的要求就更高了，要能夠辨別題中涉及的函數(shù)模型是哪一種.此外，要對(duì)不等式組的應(yīng)用與方案設(shè)計(jì)有一定的了解.

三、常用方法例析

1.一元一次方程應(yīng)用題.案例1：李蘭、王敏兩人分別從北京、上海兩地同時(shí)出發(fā)，勻速相向而行.李蘭的速度快于王敏的速度，李蘭到達(dá)上海后，王敏繼續(xù)前行.設(shè)出發(fā)xh后，兩人相距ykm，如下的折線圖表示這兩個(gè)人從出發(fā)到王敏到達(dá)北京的過(guò)程中y與x之間的函數(shù)關(guān)系.要求依據(jù)圖中所給出的信息，求：（1）點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并說(shuō)明它的實(shí)際意義；（2）李蘭、王敏兩人的速度.解析：（1）設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b.把（0，10）、14，152兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得152=14k+b，b=10，解得k=-10，b=10.所以y=-10x+10.當(dāng)y=0時(shí)，x=1，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，0）.點(diǎn)Q的意義：李蘭、王敏兩人分別從北京、上海兩個(gè)不同的地方同時(shí)出發(fā)，1個(gè)小時(shí)后兩人相遇.（2）由圖像可知，在第53小時(shí)，李蘭到達(dá)上海.李蘭的速度為10÷53=6（km/h）.設(shè)王敏的速度為mkm/h.由兩人經(jīng)過(guò)1h相遇，得1×（m+6）=10，解得m=4.所以王敏的速度為4km/h.答：李蘭、王敏的速度分別為6km/h、4km/h.2.一元一次不等式組及其應(yīng)用.案例2：大慶紅地?zé)掍搹S某車間生產(chǎn)特等鋼一、特等鋼二兩種鋼的相關(guān)信息如表1所示，請(qǐng)你回答下列問(wèn)題：（1）設(shè)這個(gè)車間每個(gè)月生產(chǎn)特等鋼一、特等鋼二兩種鋼各x噸，可以賺取的費(fèi)用分別為y1元和y2元，分別求出y1和y2與x的函數(shù)關(guān)系式（注：利潤(rùn)=全部收入-全部支出）.（2）已知這個(gè)車間每月生產(chǎn)特等鋼一、特等鋼二兩種鋼都不超過(guò)400噸，若任意一個(gè)月要生產(chǎn)特等鋼一、特等鋼二共700噸，求這個(gè)月生產(chǎn)特等鋼一、特等鋼二各多少噸，按照這種生產(chǎn)方式可以獲得的利潤(rùn)最大？這個(gè)最大利潤(rùn)是多少？解析：（1）依題意得：y1=（2100-800-200）x=1100x，y2=（2400-1100-100）x-20000=1200x-20000.（2）設(shè)該月生產(chǎn)特等鋼一x噸，則生產(chǎn)特等鋼二（700-x）噸，總利潤(rùn)為W元.依題意得：W=1100x+1200（700-x）-20000=-100x+820000因?yàn)閤≤400，700-x≤400，所以300≤x≤400.因?yàn)?100＜0，所以W隨x的增大而減小，所以當(dāng)x=300時(shí)，W最大=790000元，此時(shí)，700-x=400.因此，分別生產(chǎn)特等鋼一、特等鋼二300噸和400噸時(shí)，廠家可以獲得的利潤(rùn)最大，這個(gè)最大利潤(rùn)為790000元.3.二元一次方程組應(yīng)用題.案例3：李安在某店購(gòu)買(mǎi)兩種不同的文具共三次，僅有其中一次購(gòu)買(mǎi)時(shí)，兩種文具同時(shí)打折，剩下的兩次均按原價(jià)購(gòu)得，三次購(gòu)買(mǎi)文具小刀、鉛筆的個(gè)數(shù)和價(jià)格如表2：（1）李安打折購(gòu)買(mǎi)文具小刀和鉛筆是第幾次購(gòu)物？（2）求出文具小刀、鉛筆的原價(jià).（3）若商品小刀、鉛筆的折扣相同，商店是打幾折售賣這兩種文具的？解析：（1）因?yàn)榈谌钨?gòu)物的價(jià)格和費(fèi)用顯示李安買(mǎi)的文具較多但是費(fèi)用比較便宜，所以李安打折購(gòu)買(mǎi)文具小刀和鉛筆是第三次購(gòu)物.（2）設(shè)文具小刀的原價(jià)為x元，文具鉛筆的原價(jià)為y元.根據(jù)題中表格信息，可得6x+5y=1140，3x+7y=1110，解得x=90，y=120.答：文具小刀的原價(jià)為90元，鉛筆的原價(jià)為120元.（3）設(shè)這個(gè)商店打m折出售這兩種文具.由題中信息，得（9×90+8×120）×m10=1062，解得m=6.答：商店是打6折出售這兩種商品的.4.一元二次方程應(yīng)用題.案例4：菠蘿零售戶以2元/千克的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批優(yōu)質(zhì)菠蘿，以3元/千克的價(jià)格售賣，日均可賣出200千克.為了促銷，該經(jīng)營(yíng)戶決定降價(jià)銷售.經(jīng)走訪周圍居民發(fā)現(xiàn)，該優(yōu)質(zhì)菠蘿每降價(jià)0.1元/千克，每天可多賣出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.若該零售商戶想每天獲利200元，應(yīng)將每千克優(yōu)質(zhì)菠蘿的售價(jià)減少多少元？解析：設(shè)將每千克優(yōu)質(zhì)菠蘿的售價(jià)降低x元.根據(jù)題意，得（3-2-x）200+40x0.1-24=200.解得x1=0.2，x2=0.3.答：應(yīng)將每千克優(yōu)質(zhì)菠蘿的售價(jià)降低0.2元或0.3元.

四、總結(jié)

對(duì)于學(xué)生而言，運(yùn)用函數(shù)和不等式知識(shí)解決實(shí)際生活問(wèn)題的應(yīng)用題還是難度比較高的，對(duì)初中生的數(shù)學(xué)思維能力與分析題目并一一列出方程所需條件的能力要求較高，因此這類題目對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)還是有一定的難度的.同時(shí)，部分學(xué)生缺乏對(duì)這部分內(nèi)容內(nèi)部聯(lián)系的深入思考，往往會(huì)對(duì)自己的分析過(guò)程缺乏信心.這些現(xiàn)狀就要求教師在日常的教學(xué)活動(dòng)及習(xí)題訓(xùn)練過(guò)程中牢牢把握函數(shù)及不等式應(yīng)用題的不同類型與考查形式，全面梳理常用的思維方式與解題技巧并強(qiáng)化訓(xùn)練，以此提升學(xué)生解決函數(shù)及不等式應(yīng)用題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，此種教學(xué)方式對(duì)于增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好函數(shù)類型應(yīng)用題的信心也有很大程度上的幫助.

作者:談為偉 單位:江蘇省西安交通大學(xué)蘇州附屬初級(jí)中學(xué)