數學新課程教學應用論文

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“問題教學法”是以問題為中心，在老師的引導下，通過學生獨立思考、討論、交流等形式，對數學問題進行思考、探索、求解、延伸和發展的教學方法。它通過發現問題、提出問題和解決問題來揭開數學神秘的面紗。普通高中《數學課程標準》（實驗）指出：在高中數學教學中，教師應鼓勵學生積極參與教學活動，包括思維的參與和行為的參與。課堂上，既要有教師的講授和指導，也要有學生的自主探索與合作交流。教師要創設適當的問題情境，鼓勵學生發現數學的規律和問題解決的途徑，使他們經歷知識形成的過程。

“問題教學法”正是以問題為主線，引導學生主動探究，體驗數學發現和構建的過程，完全符合新課程標準的理念。因此，“問題教學法”在高中數學新課程的教學中尤顯重要。下面以北師大出版的高中數學1（必修）第二章第五節《簡單的冪函數》為例，談談如何利用問題教學法，引導學生從事數學探究活動。

一、借助學生已有的知識，創設恰當的數學問題情境

創設問題情境，就是根據教學內容，結合學生的認知發展水平和已有的知識經驗，將學習內容設計成若干與學生生活接近、有一定趣味性和挑戰性的問題。目的是激發學生學習的積極性，給學生提供參與數學活動的機會，使學生在動手實踐、自主探索和與他人合作交流的過程中獲取數學知識、技能、思想和方法。

在導入新課時，我采取閱讀式教學法，先讓學生看書，然后回答下列問題。

T（教師，下同）：我們學過函數

，它們在形式上有何相同點和不同點?

這些函數都是學生初中學過的比較重要的函數，是學生最熟悉的。從這些函數入手，學生容易接受。

S（學生，下同）：它們的底數都是x，指數不同。

T：這樣的函數我們叫冪函數，冪函數的定義為：

如果一個函數，底數是自變量x，指數是常量a，即

，這樣的函數叫冪函數。

,還有

都是冪函數。

至此，學生知道了冪函數的概念，但還不能算理解。針對上面例子中，指數都是整數的情況，我設置下面的問題：

T：常量a的取值都是整數嗎？可不可以是分數？

學生經過思考，有的說只能是整數，有的說可以分數，但說不出為什么。于是我讓學生回歸概念，看概念中對a有何限制：定義中只要求a是常量；再結合用電腦做動畫演示，讓學生看到

的圖象隨a的變化而變化，其中a可以取所有的實數。

這時，學生們明白了：a可以取任何常數，當然可以是分數。

冪函數也是函數，它也應該有定義域。但函數的定義域在新課標中降低了要求。為了讓學生對冪函數定義域的了解達到新課標的最低要求，我設置了如下問題：

T：舉例說明冪函數

的定義域變化情況,它們都是R嗎？

S：冪函數的定義域不都是R。比如冪函數

的定義域是R，而

的定義域是不等于零的實數。

我再次用幾何畫板演示了

在a取不同的數值時的圖象，讓學生認識到冪函數的定義域隨常量a的變化而變化，不同冪函數的定義域是不同的。至此學生對冪函數基本掌握，達到了新課標的要求。

這里設置的問題情景，都是在學生已有的數學知識和基礎上提出來的，而且對同一個內容從不同的角度去思考，讓學生感到熟悉而親切，容易理解和接受。

二、借助信息技術提出問題，讓學生感悟數學概念的內涵

學生已經學過函數的概念和二次函數的圖象和性質，以及圖形的中心對稱和軸對稱，具備了研究圖形性質的基本技能和基礎知識。于是，根據新課標“變被動接受為主動發現”的理念，在信息技術的輔助下，對冪函數設置下面的探究過程。

課本在冪函數概念后，給出例題：畫出函數

的圖象,判斷其單調性。對此我不滿足于學生掌握它的解題思路和方法,而是繼續以它的圖象為載體，探究冪函數圖象的對稱性。在用電腦展示

的圖象后提出以下問題：

T:我們初中學過圖形的中心對稱和軸對稱。冪函數

的圖象有對稱性嗎?

S：有。圖象關于原點對稱。

T：我們再看

的圖象，它們有何特征？

用電腦演示它們的圖象，學生觀察后回答:

S：

的圖象關于原點對稱,

的圖象關于y軸對稱。

這時，給出奇函數和偶函數的定義，就水到渠成了。

T：象這樣，圖象關于原點對稱的函數叫作奇函數。圖象關于y軸對稱的函數叫作偶函數。

并借助幾何畫板和Flash，演示函數圖象的對稱性。在讓學生感知奇函數和偶函數概念的同時，也讓他們感受到數學圖形的對稱美。

但并非所有冪函數的圖象都存在中心對稱或軸對稱,為了不讓學生陷入這個誤區，我設置了下面的問題。

T:是不是所有冪函數的圖象都具有中心對稱或軸對稱呢?

有的同學說是，有的說不是，有的同學不知道是還是不是。

T:函數

是冪函數,它的圖象也存在中心對稱或軸對稱嗎?

學生對這個函數不太熟悉,我用電腦顯示了它的圖象。學生馬上回答：它沒有中心對稱,也沒有軸對稱。至此，學生們認識到：并非所有冪函數的圖象都存在中心對稱或軸對稱。

借助信息技術對函數圖象作直觀演示下的問題教學法,使學生對老師設置的數學問題，不再感覺陌生，對數學概念的理解也不再是空洞的想象。信息技術下的問題教學法既體現了化抽象為直觀,從直觀到抽象的思維方法，也充分調動了學生學習數學的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程。

三、借助概念設置問題，讓學生在疑問中發現數學規律

高中數學新課標倡導自主探索、動手實踐、合作交流的學習方式，讓學生在數學的學習和運用中，不斷地經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比、抽象概括、反思和建構等思維過程，并在不斷的探索中發現問題，提高學生的數學思維能力。

給出函數奇偶性的概念后，就面臨著怎樣用概念判斷函數奇偶性的問題。對于簡單的冪函數，如y=2x和

，學生都能夠通過圖象的對稱性作出判斷，而對于稍微復雜一點的函數，如

，學生就很難靠畫圖來判斷了。對于判斷函數奇偶性更一般的方法，不能是老師直接告訴學生，只能讓學生通過自主探索、自主實踐、合作交流的方式來自己發現、自己解決，于是我設置下面的問題。

T：怎樣判斷一個函數是奇函數，還是偶函數？

S：根據奇偶性的定義，看它的圖象是否關于原點或y軸對稱。

T：判斷函數

的奇偶性。

對這些函數，學生都會通過其圖象，判斷出它們的奇偶性。

T：函數

的奇偶性如何？

這些函數，學生不知道它們的圖象是什么樣的，也畫不出它們的圖象，對其奇偶性，學生們是百思不得其解。

于是，學生產生一個疑問：用函數奇偶性的概念能判斷所有函數的奇偶性嗎？在不知道函數圖象的情況下，怎樣判斷函數的奇偶性呢？

如何破解學生心中的疑問？只有從學生已有的認知結構、思維方法和思維習慣入手，引導學生借助已有的數學知識和經驗，讓他們自己在探究中解決。于是，我再次引導學生對

進行研究。

T：在

中，

S：

T：在

中，對于任意的x∈R，

S：

T：在函數

中，

S：

T：我們能否猜想：如果f(x)是奇函數，那么

；如果f(x)是偶函數，那么

？

S：能。比如在奇函數

中，就有

；在偶函數

中，就有

。

我對學生的猜想給予肯定，然后告訴學生這是函數奇偶性的一個重要性質，并要求他們用這種方法再來判斷

的奇偶性。這時，學生都很快說出它們都是奇函數。

為了幫助學生更好的認識上述判斷函數奇偶性的方法，我用幾何畫板演示了

的圖象，學生看到它們的圖象確實都關于原點對稱。這樣，既驗證了學生自己的判斷是正確的，也提高了他們不斷探索的信心和毅力。

通過這樣循序漸進地設置問題的探索過程，不但讓學生從具體實例抽象出數學概念，而且在運用中逐步理解了概念的本質；不但讓學生揭開了心中的疑問，而且通過探索讓學生自己發現了一個數學規律；不但讓學生在探索中學到了知識，而且也發展了他們的數學思維能力，體會到了數學的美學價值。

四、借助學生的發現再探索，引導學生完善自己的探索成果

經過了上述的探索，似乎找到了判斷函數奇偶性的方法。但同時也給學生設置了一個誤區：只要函數f(x)的解析式滿足

或

，就說函數是奇函數或偶函數。為此，我繼續設置下面的問題。

T：

的奇偶性。

學生都會用上述方法作出判斷。這時我作了如下的變式和引申：

判斷函數

的奇偶性。

學生判斷出它們分別是奇函數和偶函數。對此我并不直接指出他們的錯誤，而是讓他們畫出這兩個函數的圖象，從圖象上看其對稱性如何？這是一個挑戰性的問題，是對學生的思維嚴謹性的考驗。當學生在給定區間上畫出它們的圖象，并通過思考、討論和交流后,恍然明白：它們的圖象沒有對稱性。于是，我再向學生提出了下面的問題。

T：為什么它們滿足

或

，卻沒有奇偶性呢？

S：因為它們的區間不關于原點對稱，即定義域不關于原點對稱。

T：當函數f(x)的滿足什么條件時,它才有奇偶性呢?

S：要滿足兩點：一是函數的定義域要關于坐標原點對稱；二是在定義域內要滿足

或

。

T：到此，我們就有兩種方法判斷函數的奇偶性了。在具體解題時究竟該選擇哪種方法呢？

S：容易畫出圖象的，就用圖象法；很難畫出圖象的就用解析式法。

可見，在用問題教學法對數學規律的探索過程中，既是應用知識和技能檢驗規律的過程，又是發現問題、解決問題和完善規律的過程。在上面的問題探索中，學生不但是自己發現了數學的規律，而且又是自己完善了這一規律。

綜上所述，問題教學法是非常重視“過程”的教學方法，它展現了學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的整個探索過程。尤其是在信息技術的輔助下，問題教學法更有利于培養學生學習的自主性、獨立性、獨特性以及克服困難的意志和決心等多項優良品質，讓學生從我要學出發，建立我能學的自信，使學生的學習賦予了新的生命價值。

【參考文獻】

[1]普通高中《數學課程標準》（實驗）2003年7月人民教育出版社

[2]普通高中數學課程標準（實驗）解讀2004年3月江蘇教育出版社