大學數學研究型教學理念及應用

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［摘要］結合大學數學類課程在教學課程的基礎屬性，以及邏輯推理性強、理論抽象難懂、公式難懂不易理解的特點，以提高學生的學習效率、學習積極性、邏輯思維為目的，提出問題引入式、關聯知識推導式、應用背景拓展式三種研究型教學模式的理念和應用方法，并以《概率論與數理統計》課程為例，說明三種教學模式在教學中的應用方法和取得的效果。

［關鍵詞］研究型教學；問題引入式；關聯知識推導式；應用背景拓展式

傳統教學注重教師的傳授，輕視學生參與研究；注重學習結果，輕視學習過程；注重書本知識，輕視學習實踐；注重成績，輕視素質。這種教學模式已無法適應如今大學生能力素質的培養要求。教育部《關于進一步加強高等學校本科教育工作的若干意見》大力倡導在本科教學中開展研究型教學。研究型教學是指在教學活動中，以教學課程和學生為中心，充分發揮學生的主觀能動性，積極引導學生創新性地運用知識能力，發現問題，研究問題，解決問題，在探究和討論中提煉知識，提高能力和素質的新式教學模式，是相對于傳統教學傳授知識模式而提出的一種教學方式。結合邏輯推理性強、理論抽象難懂、公式難懂的特點，從提高學生的學習效率、學習積極性、邏輯思維出發，探討可用于大學數學類課程的研究型教學模式，同時以大學數學類課程中的《概率論與數理統計》為例，詳細研討三種研究型教學模式（馮靜等，2015）[1]的教學實踐和效果。《概率論與數理統計》是研究和揭示隨機現象中數量規律的一門數學學科，其邏輯性和抽象性都很強，已被廣泛應用到各個科學分支和國民經濟生產中。課程內容包括第一章隨機事件及其概率，第二章隨機變量及其概率分布，第三章隨機變量的數字特征，第四章多維隨機變量，第五章大數定律與中心極限定理，第六章樣本與抽樣分布，第七章參數估計，第八章假設檢驗，第九章一元線性回歸，是機械工程、管理科學、財會金融、計算機科學與技術等專業的重要基礎課。該課程具有基礎性、必備性、專業性，為理、工、金融、經濟管理類本科生從事相關學科的研究奠定了扎實的理論和實踐基礎。這樣一門應用廣泛的課程如何在短短16周的教學實踐中提高課程教學的效率和學生的學習效率？針對這一課程的特點，筆者在以往的教學實踐中總結了問題引入式、關聯知識推導式、應用背景拓展式三種研究型教學模式。

一、問題引入式教學模式

從課程知識結構來看，《概率論與數理統計》理論性強，內容涉及大量公式以及推導過程，這讓不少學生產生畏難情緒和抵觸心理。怎樣引導學生正確面對這門課，怎樣學好這門課，改變他們的畏難情緒和對這門課的枯燥、抵觸感，是這門課推行研究型教學首先考慮的問題。因此，筆者提出并在教學實踐中推行了問題引入式的教學模式（曲繼方，2011）[2]，即在每一章節的開始認真選擇合適的引例，該引例盡可能是一個現實中存在的真實問題或亟待解決的問題，引導學生對問題產生關注，并對解決問題產生興趣，感受到概率與統計的實際應用能力。例如，在講解條件概率時，必須要學習全概率公式和貝葉斯公式，我們引入了條件概率和無條件概率兩個不同的引例，通過這兩個問題明顯看到無條件概率和條件概率的不同以及各自應用條件。帶著這些對條件概率的認識再結合乘法公式，我們分別講授兩道不同的真實引例問題，引導學生逐步深入分析探討，在逐步求解問題的過程中分別推導出全概率公式和貝葉斯公式，這樣學生既參與了整個分析、解決問題的過程，也理解了全概率公式和貝葉斯公式的數學表達意義以及在實際中的應用。問題引入式教學模式在教學過程中既增加了問題的導向性，又增加了課程的趣味性。

二、關聯知識推導式教學模式

《概率論與數理統計》課程的定義多，知識點多，每個教師的教學時間和學生的課余學習時間都是有限的，怎樣在有限的時間里讓學生盡快理解所講授的學習內容是研究型教學（李得偉等，2009）[3]需要考慮的問題。課程的每個章節或整個課程的知識內容都是相關聯的。因此，在每一章節的教學中，在抓住重點的同時可適當引入或回顧前幾章節的知識內容，以達到觸類旁通和關聯啟發的效果。因為我們總是習慣于使用已熟悉和理解的知識來解決未知的問題和難點，而利用已學習掌握的關聯知識啟發引導的教學過程可讓學生進入真正的思考，進而“開竅”式地推導出相關問題的結論。這遠比直接講授的效果好，經過如此訓練，學生也愿意參與教師的教學過程，課堂教學就“活”了起來。例如，在講授二維隨機變量函數的數學期望時，如果教師直接講授課本內容，學生會感覺很突兀，為什么如此定義？為什么二維隨機變量函數的數學期望是這樣的？又如何應用？若按這樣的方式講授完畢，結果就是80%的學生聽不懂或不得要領，學生在課后的習題解答時就難以入手。為此，我們可以設計一個關聯式知識推導教學過程。例如，先回顧一維離散型隨機變量的數學期望和一維連續性型隨機變量的數學期望的定義，再寫出兩種不同類型一維隨機變量函數的數學期望表達式。由此對比參照，我們適時給出二維隨機變量函數的數學期望的定義，并用關聯知識清楚地給出二維隨機變量函數的數學期望表達式，整個過程前后知識關聯，對比推導，思路清晰結果明了。不僅幫助學生理解知識點之間的關系，還讓學生快速掌握知識點的應用條件和使用方法，同時也強化了學生關聯推導的邏輯思維能力。

三、應用背景拓展式教學模式

數理統計雖只占《概率論與數理統計》的四個章節，但各章節的聯系不多，內容相對獨立，我們不能再沿用關聯知識推導式的教學模式，而且對大多數學生而言，教材中的數理統計知識內容講述過于理論化，給出的例題也較為抽象化，對學生的理解和掌握帶來不便。數理統計的內容是《概率論與數理統計》課程不可或缺的部分，是否能夠讓學生深入理解和系統掌握這部分知識是研究型教學需要解決的重要問題。因而，在實踐教學中我們提出了應用背景拓展式的教學模式（吳孟達等，2002；仉志余，2014）[4,5]。統計本身來源于生活，又應用于現實需求，數理統計在生活生產中無處不在，我們可充分利用這一事實基礎，講授統計知識點的實際應用背景以及如何實際應用，既講授了知識又啟發了學生。例如，在第六章樣本與抽樣分布中，我們可把樣本選取這個生產生活現實問題作為講授起點，由此延伸到統計量的選取及其概率分布，也就是抽樣分布。每個知識點都有現實的應用背景，學生聽起來不乏味也樂于參與教學過程。再例如，第七章參數估計中的區間估計是有別于點估計的，點估計通過一個樣本值所得的估計值只能是未知參數的近似值，而不是真值，樣本值不同所得的估計值也不同，那么估計值與真值究竟相差多大？真值究竟在估計值的什么范圍內？能否通過樣本找出一個區間，使得這個區間以一定的概率包含未知參數？這就是區間估計問題，理論是這樣的，我們可舉例實際的應用。比如，抽檢某廠生產的滾珠，我們可求解滾珠直徑的均值在不同置信度下的置信區間，從而直觀地讓學生快速掌握參數估計的要點和解決問題的思路。

問題引入式、關聯知識推導式和應用背景拓展式三種研究型教學模式相輔相成又獨立地為解決大學數學類課程教學中的理論抽象難懂、公式繁雜不易理解以及邏輯推理強、學生學習效率低的問題提供了新的思路。我們一直致力于讓學生更好地學習、理解、掌握所學的知識，那就可發力于教學方式的研究和發展，使他們掌握學習方法，從而會學習、學得更好，不斷進步；那就要從傳統教學中注重傳授、輕視學習模式中走出來，以學生的進步和發展為重點和核心，在實踐教學中勇于探索更多更好的研究型教學模式。

［參考文獻］

［1］馮靜，潘正強，孫權，黃浩量.工科數學類課程三種研究型數學模式探索［J］.教育教學論壇，2015（4）:272-283.

［2］曲繼方.研究性教學背景下教學方案創新設計［J］.教學研究，2011，34（2）:20-27.

［3］李得偉，張超，李海鷹.大學工科專業課程實施研究型教學的探討［J］.高等教學研究，2009，26（2）:74-75.

［4］吳孟達，李志祥，宋松和.“基礎打通、專業分流”教學模式下“數學分析”課程改革的幾點嘗試［J］.高等教學研究學報，2002，25（4）:61-62.

［5］仉志余.大學數學應用教程［M］.北京：北京大學出版社，2014.

作者:陳麗珍 李建利 單位:1.山西財經大學應用數學學院 2.太原學院