數學能力培養論文

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一、循序漸進原則

教師對所教學生的最近發展區估計得過高，學生不易掌握老師所教的內容，即所教內容相對于學生而言過難，在課堂教學之中表現出氣氛沉悶，從而打擊了學生的信心，影響學生學習數學的積極性，反而欲速則不達；而對學生的最近發展區估計得過低，則不宜學生能力的形成，使得學生老是在同一水平徘徊不前，從而使得教學效率低下，這種情況在課堂教學之中雖然氣氛活躍，但學生實際上沒有什么提高，教學效率也不會高。

當然，不同內容，不同階段，不同的教學對象，最近發展區也不同，這要具體來分析，下面以數學概念的教學為例來作說明。

對于數學科來說，概念是數學知識的結構基礎，中學數學概念是經過教學法加工以后，帶有另外一些特征，即具有準確性，層次性和發展性，在教學之中，對新概念的引入，要以原有的知識為基礎，并且能通過大量的事例揭露出概念的關鍵特征，概念少不了下定義，在區分定義的特征時，首先要借助于直觀形式，通過具體的事例來說明定義，例如：在引入《數列極限》的定義之前，要引導學生仔細觀察有極限和無極限的具體數列，獲得有關數列的直接表象，再把數列極限通過坐標軸表現出來，這樣就可以把它看成數列的項能無限接近的一個數，最后才用數學形式（當時，）表示出來，這樣才能發現數列極限的本質特征，還要判斷具體的數列是否滿足這一特征，完成這些工作之后再對數列極限下定義，這樣學生就能很好地掌握所學的內容，又如本人在上高三《統計》這一章里的隨機變量這一概念時，學生開始理解時也較為困難，加上符號等以前見得少，大多數學生都不知隨機變量表示什么意思，課本上在引入隨機變量這一概念時也過于簡單，所以在教學之中要先舉例，通過具體事例介紹不同的實驗結果，那么隨機變量就代表實驗的所有不同結果，

例如：袋中有3個白球，2個黑球，現每次從袋中任取2個球，那么能作為隨機變量的是，

取出的球中至少有一個白球，取出的球中至多有一個白球，

取出的球中所含白球的個數，至少有一個黑球，

引導學生分析，能代表實驗的所有結果的，只有這一項，所有應為，其它選項則沒有把所有的實驗結果包含進去，當然就不可能作為隨機變量了，通過這一例子，學生才終于對隨機變量這一概念有了鮮明的認識。

二、充分應用變式，發揮數學“變”的魅力

（一）在對公式、定理、公理的教學之中，在學生對公式的來源、背景加以理解之后，如何才能加強學生對公式、定理的理解從而形成數學能力呢？如何才能避免低層次的反復重復呢？這里，“變式”起著重大的作用，通過變式能把公式、定理、公理的本質揭露出來，比如初中的完全平方公式：，可以通過設計如下的題組來進行。

（1）關于公式的簡單的理解

（2）擴大的變化范圍

（3）公式的逆用練習

（4）項的系數限定在正整數范圍內的練習

在關于公式具體化的過程中，隨著意義的逐步加深，其內容和難度也在逐步增大，使學生對公式的結構、內在聯系體會得更加具體、深刻，這一比較，可以使學生開闊視野，更好地掌握公式，防止的錯誤，當然，還可以用如圖長方形的面積來表示，

在上述練習都達到一定的程度后，還可以把公式形式化為

其中和是待填的空位置，不但可以填數字，字母，代數式子，還可以填寫其它復雜的式子，到了這一步，這種表達形式給學生一種非常深刻非常形象的感受，從而為學生的形式運算能力打下了基礎。

在高中數學的教學當中，這方面的應用就更加廣泛了，比如：

1，對于《高一代數》抽象函數的定義域的教學，歷來是個難點，可以設計如下的一組題組練習，

（1）已知的定義域為，求下列函數定義域，

（2）已知函數的定義域為，求下列函數的定義域，

還可以形象地比喻為：為一個人，（）為他所背的口袋，不管口袋里面裝的是什么東西，這人能背動的重量是固定的，超過了這人的承受能力，那么這人就背不動了，相當于此時函數沒有意義了，這樣學生對“對應法則”的理解就更加深入了。

2，對于“三角函數”這一部分，公式很多，這里面更應把一些變式讓學生把握，如：

（1）對公式的逆用

（2）公式變形

這里面還有很多，這里不一一舉例了，

3，對于“立體幾何”中三垂線定理的教學，學生往往把參照面看成水平面，

課本上對三垂線定理的介紹為，如圖：已知直線點，⊥，且垂足為點，若平面內一條直線⊥，那么⊥

由于課本上的平面是水平放置的，所以學生在頭腦之中總是以為參照面總是水平放置的，所以在遇到如下的題目時，學生往往不知如何來做：

例：已知，且兩兩互相垂直，求：點到直線的距離

這道題目用坐標系來做當然可以，但如果用三垂線定理來做則更容易，但學生往往不知如何用三垂線定理，所以，在三垂線定理的教學之中，應設計如下的題組，

（1）下列正方體的圖形之中，判斷與是否垂直

（2）下面有一個四棱錐與三棱錐，四棱錐的底面是正方形，三棱錐的底面為直角三角形，且都與底面垂直，判斷兩個棱錐的側面各有多少個直角三角形？

一、循序漸進原則

教師對所教學生的最近發展區估計得過高，學生不易掌握老師所教的內容，即所教內容相對于學生而言過難，在課堂教學之中表現出氣氛沉悶，從而打擊了學生的信心，影響學生學習數學的積極性，反而欲速則不達；而對學生的最近發展區估計得過低，則不宜學生能力的形成，使得學生老是在同一水平徘徊不前，從而使得教學效率低下，這種情況在課堂教學之中雖然氣氛活躍，但學生實際上沒有什么提高，教學效率也不會高。

當然，不同內容，不同階段，不同的教學對象，最近發展區也不同，這要具體來分析，下面以數學概念的教學為例來作說明。

對于數學科來說，概念是數學知識的結構基礎，中學數學概念是經過教學法加工以后，帶有另外一些特征，即具有準確性，層次性和發展性，在教學之中，對新概念的引入，要以原有的知識為基礎，并且能通過大量的事例揭露出概念的關鍵特征，概念少不了下定義，在區分定義的特征時，首先要借助于直觀形式，通過具體的事例來說明定義，例如：在引入《數列極限》的定義之前，要引導學生仔細觀察有極限和無極限的具體數列，獲得有關數列的直接表象，再把數列極限通過坐標軸表現出來，這樣就可以把它看成數列的項能無限接近的一個數，最后才用數學形式（當時，）表示出來，這樣才能發現數列極限的本質特征，還要判斷具體的數列是否滿足這一特征，完成這些工作之后再對數列極限下定義，這樣學生就能很好地掌握所學的內容，又如本人在上高三《統計》這一章里的隨機變量這一概念時，學生開始理解時也較為困難，加上符號等以前見得少，大多數學生都不知隨機變量表示什么意思，課本上在引入隨機變量這一概念時也過于簡單，所以在教學之中要先舉例，通過具體事例介紹不同的實驗結果，那么隨機變量就代表實驗的所有不同結果，

例如：袋中有3個白球，2個黑球，現每次從袋中任取2個球，那么能作為隨機變量的是，

取出的球中至少有一個白球，取出的球中至多有一個白球，

取出的球中所含白球的個數，至少有一個黑球，

引導學生分析，能代表實驗的所有結果的，只有這一項，所有應為，其它選項則沒有把所有的實驗結果包含進去，當然就不可能作為隨機變量了，通過這一例子，學生才終于對隨機變量這一概念有了鮮明的認識。

二、充分應用變式，發揮數學“變”的魅力

（一）在對公式、定理、公理的教學之中，在學生對公式的來源、背景加以理解之后，如何才能加強學生對公式、定理的理解從而形成數學能力呢？如何才能避免低層次的反復重復呢？這里，“變式”起著重大的作用，通過變式能把公式、定理、公理的本質揭露出來，比如初中的完全平方公式：，可以通過設計如下的題組來進行。

（1）關于公式的簡單的理解

（2）擴大的變化范圍

（3）公式的逆用練習

（4）項的系數限定在正整數范圍內的練習

在關于公式具體化的過程中，隨著意義的逐步加深，其內容和難度也在逐步增大，使學生對公式的結構、內在聯系體會得更加具體、深刻，這一比較，可以使學生開闊視野，更好地掌握公式，防止的錯誤，當然，還可以用如圖長方形的面積來表示，

在上述練習都達到一定的程度后，還可以把公式形式化為

其中和是待填的空位置，不但可以填數字，字母，代數式子，還可以填寫其它復雜的式子，到了這一步，這種表達形式給學生一種非常深刻非常形象的感受，從而為學生的形式運算能力打下了基礎。

在高中數學的教學當中，這方面的應用就更加廣泛了，比如：

1，對于《高一代數》抽象函數的定義域的教學，歷來是個難點，可以設計如下的一組題組練習，

（1）已知的定義域為，求下列函數定義域，

（2）已知函數的定義域為，求下列函數的定義域，

還可以形象地比喻為：為一個人，（）為他所背的口袋，不管口袋里面裝的是什么東西，這人能背動的重量是固定的，超過了這人的承受能力，那么這人就背不動了，相當于此時函數沒有意義了，這樣學生對“對應法則”的理解就更加深入了。

2，對于“三角函數”這一部分，公式很多，這里面更應把一些變式讓學生把握，如：

（1）對公式的逆用

（2）公式變形

這里面還有很多，這里不一一舉例了，

3，對于“立體幾何”中三垂線定理的教學，學生往往把參照面看成水平面，

課本上對三垂線定理的介紹為，如圖：已知直線點，⊥，且垂足為點，若平面內一條直線⊥，那么⊥

由于課本上的平面是水平放置的，所以學生在頭腦之中總是以為參照面總是水平放置的，所以在遇到如下的題目時，學生往往不知如何來做：

例：已知，且兩兩互相垂直，求：點到直線的距離

這道題目用坐標系來做當然可以，但如果用三垂線定理來做則更容易，但學生往往不知如何用三垂線定理，所以，在三垂線定理的教學之中，應設計如下的題組，

（1）下列正方體的圖形之中，判斷與是否垂直

（2）下面有一個四棱錐與三棱錐，四棱錐的底面是正方形，三棱錐的底面為直角三角形，且都與底面垂直，判斷兩個棱錐的側面各有多少個直角三角形？

（3）已知，且兩兩互相垂直，求：點到直線的距離？

通過上述例子，學生對三垂線定理的理解更加深入了，特別是對參照面的理解更加靈活了。

（二）一題多變和一題多解，變式在教學之中，往往能起到一座橋的作用，在最近發展區之中能把學生從已知的彼岸渡到未知的彼岸，其中特別是一題多變和一題多解，在這方面應引導學生進行探討，往往能起到事半功倍的效果，下面舉例加以說明；

一題多變，就是引導學生在解答某些數學題之后，進行觀察、聯想、判斷、猜想，對數學題的內容、形式、條件和結論作進一步的探索，從不同的側面深入思考數學題的各種變化，并對這些“變形題”進行論證，從而培養學生靈活、深刻、廣闊、發散的數學思維能力，以教材上的一道題目為例說明“變”的魅力，

設都是實數，且，求證之后，保留條件，作出如下的變化：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

一道多變，即教師對題目本身進行思考，一般在做完一道題之后，向學生提出幾個問題，

（1）能否推廣（2）逆命題是否成立，否命題是否成立（3）從此題之中你能總結出怎樣的規律，這些規律你能解哪些題，

一題多解，一道數學題，因思考的角度不同可得到多種不同的思路，廣闊尋求多種解法，有助于拓寬解題思路，發展學生的思維能力，提高學生分析問題的能力，如以求復數的模的最大值為例，

例：已知復數滿足條件，求的最大值？

這里可以用代數法，三角法，圖象法，用公式和等等，

總之，數學的魅力就在于“變”，有“變”才有“活”，在這當中，設計適當的變式，可以給學生提供一座橋，讓學生在已知的水平和未知的水平之間自然過渡，這里的最近發展區要把握得好，“變式”能避免讓學生反復的練習同一題型，避免學生在低水平層次之間反復的重復，從而使學生的思維能力得到更寬，更廣，更深的培養。

三，螺旋循環原則

由于中學數學存在兩種不同的數學知識，一種是中學課本中明確給出的概念、法則等，而另一種則是蘊藏于其中的知識，如數學思想、數學方法等等，我們稱前者為表層知識，后者為深層知識，在中學數學里，數學內容由表層知識和深層知識兩部分組合而成，二者相輔相成，缺一不可，由于深層知識與表層知識相比、具有抽象度高、隱蔽性強和難以表達等特點，所以在教學之中，對深層知識的處理應尊循下列原則。

（1）滲透性原則，在表層知識教學之中，一般不直接點明所用的深層知識，而是通過精心設計的教學過程，有意識潛移默化引導學生領會蘊含于其中的深層知識。

（2）反復性原則，學生通過表層知識的學習，對蘊含于其中的某些深層知識（如數學思想方法等）開始有了感性的認識，經過多次的反復，在比較豐富的感性認識的基礎上，逐漸概括為理性認識，然后在應用中對形成的深層知識進行驗證與發展，加深理性認識，從較長的學習過程來看，學生是經過多次反復，逐漸提高認識的層次，從低級到高級，螺旋式上升的，另外，深層知識的學習與表層知識的學習相比較，學生之間的領會與掌握情況有更大的差異性，所以具有更大的不同性，但僅是長期反復與不明確的滲透，將會影響學生認識從感性到理性的飛躍，妨礙學生有意識地去掌握知領會，滲透性與明確性是深層知識教學的兩個方面，因此，在反復滲透的過程中，利用適當的機會，對某種深層知識進行概括、系統化和提高，對其內容、規律、和使用方法適度明確化，這是數學深層知識教學的一個原則。

下面舉例加以說明，如“數形結合”思想的形成，

（1）孕育階段，學生在初中，學習了坐標，使得點與數對形成了一一對應，在學習了一次函數、二次函數之后，能對圖形與式子之間的關系有一個印象，

（2）形成階段，在高中，通過函數圖象的學習，解析幾何的學習，學生頭腦之中逐步形成了一個數形結合的思想，如：已知滿足，求的范圍？

（3）應用階段，通過專題的形式，特別是在高三的復習之中，對數形結合的思想作專門的總結，從而把學生頭腦之中零散的知識加以概括提高，從而形成應用能力，下面舉例說明：

1，如03年高考試題全國試題的14題，“使成立的的取值范圍是.”此題若經過專題的復習之后，學生自然會想到數形結合的方法，很快就會得到答案：

2，02年上海春季高考試題第7題，如圖，A、B、C、D是海上的四個小島，要建三座橋，將這四個島連接起來，不同的建橋方案共有種.

此題若把四個小島與四面體的四個頂點相聯系起來，則相當于四面體的6條棱中選3條出來，有多少種情況能把4個頂點全部連起來問題，那么此題的答案為

當然，在具體教學之中還體現為對難點知識分散教學，不要把所有的難點集中，這樣便于學生對知識的掌握與能力的形成。對于學生最近發展區的界定，這里要根據具體的學生來分析，我這里只是對如何把學生從已有水平自然引渡到將有水平的一些方法加以探討，不足之處，以期同行加以指正。

參考文獻：

（1）任勇：《中學數學教學藝術與研究》，山東教育出版社2001年出版

（2）朱成杰：《數學思想方法教學研究導論》，文匯出版社2001年出版

（3）朱水根，王延文：《中學數學教學導論》，教育科學出版社2001年出版

（4）陳時見：《教育論文寫作》，廣西人民出版社2001年出版