數學建模覆蓋問題范文

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關鍵詞：數學建模；圖論；實踐

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）45-0233-03

一、引言

圖論是組合數學的一個重要分支。它以圖為研究對象，這種圖由若干給定的點及連接兩點的邊所構成，通常用來描述某些事物之間的某種特定關系，以點代表事物，以連接兩點的邊表示兩個事物間具有這種關系。圖論的應用非常廣泛，在實際的生活生產中，有很多問題可以用圖論的知識和方法來解決，其應用性已涉及物理學、化學、信息論、控制論、網絡理論、博弈、運輸網絡、社會科學以及管理科學等諸多領域。目前高校很多課程都涉及到圖論知識，例如離散數學、數據結構、算法分析與設計、運籌學、組合數學、拓撲學、網絡優化等。甚至有些專業將圖論作為一門必修或選修課程來開設。

由于圖論課程具有概念多、公式復雜和定理難證明、難理解等特點，在一定程度上造成教學難，證明抽象度高，學生難以理解，學生不能真正理解圖論思想，更談不上靈活運用圖論知識來解決各種實際問題。從而會使學生感到圖論的學習非常枯燥。大學數學課程教學改革的趨勢，越來越注重數學的應用性，而數學建模過程就是利用已經掌握的數學知識來解決實際問題的過程。在當前實現數學作為一種應用能力的過程中，使用數學解決實際問題的能力培養是非常重要和必需的。因此，在大學數學類課程的教學中融入數學建模思想是目前數學課程教學改革的一個大的趨勢。由于圖論的概念和定理大多是從實際問題中抽象出來的，因此圖論中的諸多模型和算法是數學建模強有力的理論依據。所以在圖論課程教學中注重介紹這些概念和理論的實際背景，引導學生利用數學建模思想方法學習圖論的相關概念和定理，探究圖論的發展規律，從而將更好地幫助學生理解和掌握這些概念和理論。

二、數學建模思想方法

數學模型就是用數學語言，通過抽象、簡化，建立起來的描述客觀事物的特征及其內在聯系的數學結構。這個結構可以是公式、方程、表格、圖形等。把現實模型抽象、簡化為某種數學結構（即數學模型）之后，我們就可以用相關的數學知識來求出這個模型的解，驗證模型的合理性，并用該數學模型所提供的解答來解釋現實問題，這個過程便稱為數學建模。其目的是將復雜的客觀事物或聯系簡單化并用數學手段對其進行分析和處理。建立數學模型解決現實問題要經過模型準備、模型假設、模型構成、模型求解和模型分析這五個步驟。模型準備就是了解問題的實際背景，明確建模目的，搜集必要的各種信息，盡量弄清對象的特征，形成一個比較明晰的“問題”。模型假設是根據對象的特征和建模目的，抓住問題的本質，做出必要的、合理的簡化假設。模型構成是根據所作的假設，用數學的語言、符號描述對象的內在規律，建立包含常量、變量等的數學模型。模型求解是采用解方程、畫圖形、優化方法、數值計算、統計分析等各種數學方法，特別是數學軟件和計算機技術求解。模型分析就是對求解結果進行數學上的分析，并解釋為對現實問題的解答。由此可見，思想數學建模就是將數學的理論知識應用于解決實際問題，培養數學建模思想就是鍛煉應用數學的能力。

在圖論的教學中引入數學建模思想，將生活中的實際問題引入課堂，利用圖論知識分析實際問題，讓學生感受到圖論貼近生活。教學中可以引導學生自己尋找與圖論相關的實際問題，利用圖論知識建立實際問題的數學模型，并進行報告和討論，讓學生發表自己的見解和看法，在此過程中有助于學生對所學知識的融會貫通和掌握，大大提高學生學習圖論的興趣。

三、數學建模思想方法融入圖論教學的實踐

目前，各門數學課程教學改革所面臨的一個課題是如何增強應用數學知識解決實際問題的意識。在這樣的背景下，加之圖論知識的應用廣泛性，從而，將數學建模的思想方法融入到圖論課程教學中的研究和實踐已顯得刻不容緩。因此，結合圖論教學內容有機地增加數學建模教學內容，使廣大的學生能學習和體會到數學建模的基本思想方法，在日常的學習中培養學生應用圖論知識的意識，激發了學生學習圖論的積極性。

（一）在圖論定理公式中滲入建模的案例

在圖論某些定理證明的教學過程中可以適當地融入數學建模的思想與方法，把定理的結論看作一個特定的模型，需要去建立它。于是，當把定理的條件看作是模型的假設時，可根據預先設置的問題，情景引導學生發現定理的結論，從而定理證明的方法也隨之顯現。

案例1：設為任意無向圖，V={v1，v2，…，vn}，|E|=m，證明所有頂點的度數和=2m，并且奇點個數為偶數。

解析：證明該結論之前，首先任意選取若干個學生讓其隨機互相握手，并記下每個人的握手次數和每兩人之間握手的次數，由此可得每個人握手次數總和是每兩人之間握手次數的2倍以及握過奇數次手的人數一定是偶數。互動之后介紹該定理稱之為握手定理，從互動過程中可以建立定理結論的模型，并且證明的思路也是顯而易見的。

（二）在應用性例題中滲入數學建模的方法

案例2：一家公司生產有c1，c2，c3，c4，c5，c6，c7七種化學制劑，其中制劑（c1，c2），（c1，c4），（c2，c3），（c2，c5），（c2，c7），（c3，c4），（c3，c5），（c3，c6），（c4，c5），（c4，c7），（c5，c6），（c6，c7）之間是互不相容的，如果放在一起能發生化學反應，引起危險。因此，作為一種預防措施，該公司必須把倉庫分成互相隔離的若干區，以便把不相容的制品儲藏在不同的區，問至少要劃分多少小區，怎樣存放才能保證安全。

解析：首先建立模型，用圖來表示實例中這些制劑和他們之間關系，用頂點v1，v2，v3，v4，v5，v6，v7，表示c1，c2，c3，c4，c5，c6，c7表示七種化學制品，把不能放在一起的兩種制品對應的頂點用一條邊連接起來，如圖1。

模型求解：由圖可得極小覆蓋的邏輯表達式為：

（v1+v2v4）（v2+v1v3v5v7）（v3+v2v4v5v6）（v4+v1v3v5v7）（v5+v23v4v6）（v6+v3v5v7）（v7+v2v4v6）

利用邏輯代數法則簡化上述邏輯表達式為：

v1v3v5v7+v2v3v4v5v6+v2v4v5v6+v2v3v4v6

從而可得全部極小覆蓋為：

（v1，v3，v5，v7），（v2，v3，v4，v5，v7），（v2，v4，v5，v6），（v2，v3，v4，v6）

由于極大獨立集與極小覆蓋集之間互補的關系，所以上圖的所有極大獨立集為（v2，v4，v6），（v1，v6），（v1，v3，v7），（v1，v5，v7）.取圖G的一個極大獨立集V1=（v2，v4，v6），將其著第一種顏色。在VG-V1中，所有極大獨立集為，（v1，v3，v7），（v1，v5，v7），取V2=（v1，v3，v7）將其著第二種顏色。在VG-V1-V2中僅有點v5，將其著第三種顏色，故χ（G）=3.

于是得到該化學制品的存放方案：至少需要把倉庫劃分為3個區，可以將c2，c4，c6三種制品，c1，c3，c7三種制品和制品c5分別存放在一個區。

（三）設計相關數學建模問題，提高學生應用圖論知識解決實際問題的能力

由于教學課時的限制，將數學建模的思想方法融入圖論課程教學時，不能專門地讓學生學習建模，只能通過一些簡單的模型給學生介紹數學建模的思想及方法。圖論是現代數學的一個重要分支，在自然科學、社會科學、機械工程中有重要的意義，其求解思想滲透到自然學科的各個領域。因此，可以通過設計一些與圖論課程相關的課外建模活動，選擇符合學生實際并貼近生活的一些圖論問題，啟迪學生的論文查閱意識和能力，指導學生閱讀相關論文，最后以解題報告或小論文的形式提交他們的結果。促進學生應用圖論知識解決實際問題的能力。

四、結語

將數學建模思想方法融入圖論課程的教學中，使圖論課程教學與數學建模有機結合起來，激發學生學習圖論的興趣，培養學生勇于探索的精神，提高學生的動手能力，實踐表明這些方法能較好地提高圖論課程的教學效果。

參考文獻：

[1]Bondy J A，Murty U S R.Graph theory with applications[M].North-Holland：Elsevier，1976.

[2]翟明清.淺析圖論教學[J].大學數學，2011，27（5）：23-26.

[3]定向峰.將數學建模的思想和方法融入圖論課程教學中的一點嘗試[J].重慶教育學院學報，2006，19（6）：28-31.

[4]張清華，陳六新，李永紅.圖論教育教學改革與實踐[J].電腦知識與技術，2012，8（34）：8235-8237.

[5]姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型[M].第4版.北京：高等教育出版社，2011.

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關鍵詞：數學；建模教育；改革

1.數學建模教育對高校數學教學的重要作用

（1）加強學生理論基礎知識的掌握。數學建模教育是將實際問題轉換為數學問題，并通過數學方式來進行解答問題的教育。進行數學建模的前提是學生具備一定的數學理論基礎知識。另外，數學建模使得學生將實際問題與數學理論知識相結合，這樣一來，學生能夠更好地將數學理論知識應用于實際，而且數學建模能夠降低學生對抽象、枯燥的數學理論知識的抵觸心理。

（2）開發學生的創新能力。我國高校數學提倡在教學中培養學生靈活使用理論知識，用所學知識來解決實際問題的能力。但是在實際教學中，學生難以靈活運用數學知識，而且學生在枯燥的理論知識學習中很難形成良好的學習習慣，會對學生未來的成長造成不利影響。[1]在教學中引入數學建模教育，能夠改變傳統的教學方式，在教學過程中加強教師與學生的互動，讓學生參與到討論研究當中，并學會靈活地使用理論知識解決實際問題，增強學生的綜合能力。通過數學建模教育，能夠將理論與實際結合，讓學生在解決實際問題的過程中，培養多角度思考的能力，提升創新能力。

（3）推動其他學科學習效果。數學建模教學能夠提升學生在數學方面的能力，豐富學生的數學知識，由于數學建模教學需要解決實際問題，而這些實際問題通常還包含著經濟、工程等其他學科的問題，因此在教學中，教師對這些實際問題進行分析研究，從而使數學與其他學科良好地融合在一起，學生在這樣的教學方式下所獲得的知識面更廣，門類更多，能夠更好地完善自己。

2.當前數學建模教育存在的問題

（1）落實情況較差。我國很多高校在數學建模教育方面仍然處于探索階段，數學建模教育仍然停留在表面。很多教師在教學中仍然堅持原有的教學方法，教師不改變教學方法，學校不深入教學模式的改革，數學建模教學方式在推廣上缺乏全面的改革方案，沒有針對性的落實措施。

（2）教師不適應建模教育。改革開放后，我國的高等教育事業得到快速發展，高層次與高水平的人才不斷涌現。高校教師的能力也普遍得到了提升。但是由于我國多年實行的是應試教育制度，高校教師習慣原有的教學模式，不能迅速地適應當前推行的教學方法，難以滿足教學需求。而學生學習時間有限， 教師不得不繼續使用傳統的教學方法來進行教授，面對這種情況，盡快對高校教師進行專業培訓有很大的必要性。[2]

（3）學科間難以相互滲透。我國高校數學教育以本學科知識為主，與其他各學科間相互難以建立交叉應用。這種情況的出現使得建模教學只能針對本學科的實際問題進行研究分析，難以使學生建立全面的知識體系，限制了建模教育的覆蓋范圍，數學理論知識難以在交叉學科中得到應用，不利于數學理論知識的實際應用，束縛了學生實際問題分析能力的提高。

3.發展數學建模教育的策略

（1）樹立教學理念。高校數學教師應該樹立正確的教學理念，在當前的社會環境下，加強學生解決實際問題的能力是發展趨勢，高校數學教育引入建模教學是數學教育的必然走向。因此，廣大高校數學教師應該形成正確的認識，具備與時俱進的思想，學習建模教育教學方法，將建模教學應用在實際授課當中，借以提高學生的學習效果。

（2）建立建模教育教學體系。高校數學教師在進行教學前，要制定有效的建模教育體系。教學中，教師要引導學生注意驗證、演示性試驗，學生在推導的過程中，教師應給予學生鼓勵，使其自主思考，引導其靈活使用數學理論知識，提升學生運用理論知識的能力。[3]

在參與中教師要激發學生的學習積極性提高其參與度。教師在教學中應多引入交叉學科的實際問題，對學生進行指導，引導學生對問題進行分析并建立模型，求解模型，最終獲得結果。

實行高校數學建模教學，需要教育工作者、各高校共同參與。在新課改下，教師是教學的引導者，高校數學教師要提升自身能力，適應建模教學模式，引導學生能力得到提升。高校學生應該突破傳統教學的束縛，積極參與到課堂分析研究中，提高自身能力和素質。

參考文獻：

[1]溫紹泉.略論數學建模教育與高校數學教學方式改革[J].佳木斯教育學院學報，2012（08）：130.

[2]陳和平.略論數學建模教學與大學數學教學方式改革[J].數學學習與研究，2013（05）：52.

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關鍵詞：三維建模，分形理論，山體，仿真

 

0.引言

隨著信息技術的逐步發展和社會要求的逐步提高，虛擬現實的研究領域開始轉向山體、水域等不規則形態的實體。而由于計算機處理能力有限，地形數據獲取困難，可視化處理復雜，三維顯示效果缺乏真實感等問題逐漸顯現。本文以山體為例就不規則形體的可視化過程進行研究，探討一種不需要實體數據，計算機可視化技術與數學分形理論相結合的三維地形可視化的處理方法。

虛擬地形的可視化具有隨機性和復雜性，在對山體的三維建模過程中，首先對山體的實際形態進行研究，針對虛擬地形數據的特點進行參數設置和紋理映射，利用計算機可視化技術，創造性的融入分形技術，實現對山體的建模。同時利用分形理論實現山體表面樹木的覆蓋，達到仿真的效果。

本文探討的山體的三維建模方式，是基于筆者題為《連云港地區虛擬現實研究》的基礎上的，在對其虛擬現實的研究過程中對山體的建模采用的是3Ds MAX與VRML相結合的方式進行的。

1.分形理論概述

隨著社會科技的進步，分形理論從最初的研究自然界和非線性系統中的不光滑和不規則的幾何形體逐漸發展為研究人類社會經濟活動中存在大量的現象。分形理論著重研究自然界和社會活動中普遍存在的無規則而具有自相似性或統計自相似性的系統或現象，如彎彎曲曲的海岸線，起伏不平的山脈，粗糙不堪的斷面等。這類客體不具備特征尺度，用不同倍數的放大鏡去觀察它們，其相貌是相似的，并且這個性質不隨觀察位置的變化而變化。自相似性普遍存在物質系統的多個層次上，物體或幾何圖形的維數的變化可以是連續的，即其維數可以不是整數[2]。

而以山體、河流等不規則幾何形體為主要內容的地球系統，其時空展布具有分形的特點。普通的數理理論中的均勻、連續及光滑邊界條件下的問題求解方法遠不能滿足地學問題的研究需要，分形理論的出現為研究類似地球系統這樣的復雜系統提供了一種新的研究方法。

2.虛擬現實三維山體建模方法初探

在對山體進行三維建模時可以使用強大的三維建模工具3Ds MAX或是虛擬現實建模語言（VRML）進行。對于地形數據，還可以借助VRMAP進行拉伸從而實現三維實體的可視化仿真。

筆者在進行《連云港地區虛擬現實研究》時考慮采用強大的三維建模工具和虛擬現實建模語言相結合的方式進行，所收結果不盡如人意（如圖1所示）。為此，探索更加符合地形數據特征的三維建模方式有助于更加清晰地對地理實體進行分析研究，從而真正實現地形數據的三維可視化。在可視化的基礎上借助虛擬現實建模語言VRML強大的擴展性能，結合JavaScript腳本實現三維實體的放大、縮小、漫游、查詢等人機交互功能。

考慮到地形數據的復雜性及其獲取的難度，在進行山體的三維建模時還可以采用三維建模軟件SketchUp對場景進行三維建模，使用遙感圖作為底圖，在底圖的基礎上對相應的山體進行拔高，利用等高線形成基于現實的虛擬場景圖（如圖2所示），在SketchUp軟件中可同樣對所選場景進行放大縮小漫游等操作，但是實現場景僅能對山體底部的輪廓相對應，與山體實際自相似的“層次”結構不相吻合。科技論文。

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關鍵詞：數學應用意識數學建模能力學以致用

我們的中職數學教學是一種“目標教學”。我們一直想教給學生有用的數學，一方面為其所學專業打下必要的數學知識，另一方面，也為學生今后進一步深造儲備必要的數學知識，但是大部分同學學了十幾年的數學卻沒有起碼的數學思維，學生往往碰到聯系實際的問題卻又不會用數學的方法去解決它。由此看來，中職數學教學與學以致用的矛盾顯得特別尖銳。加強中職數學建模教學正是在這種教學現狀下提出來的。

一、數學建模是什么？

數學建模是聯系數學與實際問題的橋梁，是一種具有創新性的科學方法，它將現實問題簡化、抽象為一個數學問題或數學模型，然后采用恰當的數學方法求解，進而對現實問題進行定量分析和研究，最終達到解決實際問題的目的。簡而言之，數學建模就是用數學的方法解決實際問題。當我們遇到一個實際問題時，首先對其進行分析，把其中的各種關系用數學的語言描述出來。這種用數學的語言表達出來的問題形式就是數學模型。一旦得到了數學模型，我們就將解決實際問題轉化成了解決數學問題。然后，就是選擇合適的數學方法解決各個問題，最后將數學問題的結果作為實際問題的答案。當然，這一結果與實際情況可能會有一些差距，所以我們就要根據實際情況對模型進行修改完善，重新求解，直至得到滿意的結果。為解決一個實際問題，建立數學模型是一種有效的重要方法。

二、數學建模的作用

數學模型的根本作用在于它將客觀原型化繁為簡、化難為易，便于人們采用定量的方法去分析和解決實際問題。當我們建立一個數學模型時，我們從現實世界進入充滿數學概念的抽象世界。在數學世界內，我們用數學方法對數學模型進行推理演繹、求解，并借助于計算機處理這個模型，得到數學上的解答。最后我們再回到現實世界，將模型的數學解“翻譯”成現實問題的實際“解答”，如給出現實對象的分析、預報、決策、控制的結果。這些結果還必須經實際的檢驗，即用現實對象的信息檢驗得到的解答，確認結果的正確性。我們始于現實世界而終結于現實世界，數學模型是一道理想的橋梁。如，當生物醫學專家有了藥物濃度在人體內隨時間和空間變化的數學模型后，他可以用來分析藥物的療效，從而有效地指導臨床用藥。廠長經理們籌劃出一個合理安排生產和銷售的數學模型，是為了獲取盡可能高的經濟效益。正因為如此，數學模型在科學發展、科學預測、科學管理、科學決策、駕控市場經濟乃至個人高效工作和生活等眾多方面發揮著特殊的重要作用。

從教學的角度來看，數學建模是數學學習的一種新的方式，它為學生提供了自主學習的空間，有助于學生體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，體驗數學與日常生活和其他學科的聯系，體驗綜合運用知識和方法解決實際問題的過程，增強應用意識；有助于激發學生學習數學的興趣，發展學生的創新意識和實踐能力；有助于學生對數學方法的掌握、數學思維的建立，使學生將學習過的數學方法和知識同周圍的現實世界聯系起來，甚至和真正的實際應用問題聯系起來。不僅能讓學生知道數學有用、怎樣用，更能使學生體會到在真正的應用中還需要繼續學習。

三、課堂教學中如何貼近生活、貼近專業，適當引入數學建模

要突出數學應用，就應站在構建數學模型的高度來認識并實施教學，結合教學任務，根據所教班級的專業和學生的生活實際，教師在教學中要善于捕捉“生活素材”，采擷生活生產中的數學實例，為課堂教學服務。如集合論與決策中的模型；不等式中的有關最佳決策、合理調配、統籌安排最優化模型；數列中的有關產量增長、資金增長、存貸利率、工程用料等模型，；二次函數的商場或者工廠的最大利潤、最小成本、最少材料等模型；利用三角函數的性質構造三角模型；概率與統計的中獎概率模型；指數對數的增量問題、國民經濟翻番、增長率、人口控制、環境與資源、森林覆蓋、鐵路提速等等，都能讓學生真切感受到生活和工作中到處有數學，數學與“生活”同在。

另一方面，結合中職學校開設專業，體現數學知識在職業崗位中的實際應用，可以選擇以下幾種模型的訓練：

1、經貿、商貿、日商、財會類專業的學生接觸到社會經濟模型較多，可以多選擇有關有獎銷售、折扣、利潤、成本、稅收累進、銀行利息調整、分期付款、公積金貸款、產值及財務管理、財產核算、再投資與儲蓄、股票走勢圖表等模型。

2、.化工、環保、生化、電子電器、計算機等專業的學生可以多訓練擬合模型，數據的分析、利用、預測、線形回歸、曲線擬合等問題。

3、房地產、辦公、建筑設計、農業等專業的學生可以建立優化模型、科學規劃、勞動力利用、工期效益、合理施肥、最短路、最小流等問題。

4、.電子商務、金融證券專業類學生較多地應用概率統計模型，彩票與中獎、市場統計、評估預測、風險決策等問題。

5、邊緣學科模型，來自理、化、生、地、醫等方面的問題。

四、如何開展數學建模教學

在課堂上如何開展數學建模教學，是一個有待我們廣大數學教師探討和學習的問題。其實我們可根據教學內容選編一些應用問題對學生進行建模訓練，也可結合專業課程、學生熟悉的生活、生產、科技和當前商品經濟中的一些實際問題（如利息、股票、利潤、人口等問題），稍加引用、補充和改編，就能成為一個個鮮活的數學建模問題。下面我結合自己在課堂教學中嘗試過的數學建模例子，來探討數學建模教學的有效途徑。

（一）聯系實際，發現生活中的數學問題，強化應用意識

每年新生入學，聯通、移動等單位都會到我校擺攤設點，向新生推薦各種優惠套餐。許多學生根本就不懂得如何選擇。結合這個生活例子，在數學課堂教學中我特意編制如下例題：

例1、學生甲購買了一部手機想入網，聯通營業員介紹他加通130網，收費標準是：月租費30元，每月來電顯示費6元，本地電話費每分鐘0.4元，移動營業員向他推薦移動的“神州行”儲值卡，收費標準是：本地電話每分鐘0.6元，月租費和來電顯示費全免了，學生甲的親戚朋友都在本地，他也想擁有來電顯示服務，請問該選擇哪一家更為省錢?

簡析：設學生甲每月通話時間x分鐘，每月話費為y元。

則y1=0.4x+30+6=0.4x+36，y2=0.6x，

y1-y2=-0.2x+36，當x=180分鐘時，y1=y2；當x>180分鐘時，y1<y2；當x<180分鐘時，y1>y2。

即若學生甲每月通話時間為180分鐘時，可選擇任何一家，若學生甲每月通話時間超過180分鐘，應該選擇聯通130網，若學生甲的每月通話時間不到180分鐘，應選擇移動的“神州行”儲值卡。

生活中處處存在著數學，處處存在著要用數學解決的問題，如生活中的用水和用電問題、利息問題、彩游戲的中獎率問題、獲取利潤的最大值問題等都是學生熟悉的現實問題，如果教師能利用學生生活中的事情作背景，編制應用建模專題，使學生掌握相關類型的建模方法，不僅可以使學生樹立正確的商品經濟觀念，而且有助于他們日后主動以數學的意識、方法、手段處理問題；既活躍了課堂教學活動，又激發了學生的學習興趣。

（二）結合常規的數學內容和學生的專業，培養學生初步的建模能力

在中職教育中，明確要求，文化課要為專業課服務，文化課應當與專業課連接。教師應根據所教班級的專業，大致了解專業課的內容，以便適當地安排教學內容和進度為專業課服務。所以數學教學要特別注重與所學專業知識的相互滲透，結合常規的數學內容盡量選擇與所學專業相關的問題建立模型。這樣，既學會了必要的數學知識，又讓學生了解所學知識在專業課中的應用。

例如我在電子類專業的數學教學，在學習了二次函數后，結合學生專業我選用了下面的建模例。

例1、如圖所示，已知電源電壓為E，內阻為r，問負載電阻R多大時，輸出功率最大？

這是一個電工學問題，但只要具備了基本的電路知識，就可以借助數學模型解決問題。

數學模型：由歐姆定律知，電流

因此，輸出功率，即

這是一個關于的一元二次方程，其中應為實數……（數學模型已建立，以下解題過程略）

數學結果：得，即當負載電阻與電源內阻相等時，輸出功率最大。

這個例子體現了中職數學教學為專業課服務的宗旨和要求。

（三）選好素材，激發學生建模興趣

從廣義講，一切數學概念、公式、方程式和算法系統等都是數學專家從現實生活實踐中總結出來的數學模型,可以說，數學建模的思想滲透在數學教材中。特別是現在使用的中等職業學校《數學》教材中，每章后面都已經有一段“閱讀材料”（介紹數學家的生平事跡、數學方法、重要數學知識的產生過程等數學史知識）。盡管不入正文，但我們不妨好好地利用起來，并適當補充一點。因此，只要我們深入鉆研教材，挖掘教材所蘊涵的數學模型，并從中總結提煉，就能找到數學建模教學的素材。

例如結合數列知識，在學習了等差數列、等比數列的基礎上，選擇一些簡單的、離學生生活較近的或從專業課程上改編的數學建模題目，結合建模的一般含義、方法和步驟進行講解，以便使學生有初步的建模能力。

例1、某種電子產品自投放市場以來，經過三次降價，單價由原來的174元降到58元，這種產品平均每次降價的百分率大約是多少？

簡析：這是針對現實生活中銷售的一道建模題。設平均每次降價的百分率是，則每次降價后的單價是降價前的（1-）倍，這樣將原單價與三次降價后的單價依次排列，就組成一個首項為174，第4項為58，公比為1-的等比數列模型，利用等比數列的通項公式就可求出每次降價的百分率。

又如學完函數知識以后，我用課后習題，改編如下建模題：

例2、建筑一個容積為8000米3，深為6米的長方體蓄水池，池壁每平方米的造價是a元，池底每平方米的造價為2a元，把總造價y元表示為底的一邊長為x米的函數，并指出函數的定義域。

此題背景是與我們生活密切相關的工程造價問題，學生對此不會陌生，應該對每一個同學都有一定的吸引力，問題是學生如何把這一應用題抽象化為數學模型。題目降低難度，預先設出變量x和y，并指出把總價y表示為底的一邊長為x的函數，對學生的思路有提示作用，同時題目要求指出函數的定義域，這一點很多學生容易忽視，而對函數問題來說又是必不可少的條件。

這一題目用來訓練學生利用函數的知識點建模是具有代表性的。該題雖然不算復雜，但是卻有相當的綜合性，內涵豐富。利用它可以改編出很多有較高思維價值的題目。

實踐證明，數學教師在課堂教學中如果能結合常規教學內容，以教材為載體，把建模訓練融入到數學知識的學習之中，從自然、社會和學生身邊的“生活素材”中選擇建模材料，讓學生在學中用，在用中學，使數學成為看得見、摸得著、用得上的生活科學，從而激發學生的建模興趣。

五、數學建模教學存在的問題

數學建模教學的核心工作在于根據學生的生活實際情況以及專業學習的需要自編一套適合中等職業學校學生學習的校本教材。但是，知識體系的合理性與專業課程需要的矛盾，學生的數學基礎以及教學時間的限制，教學內容的編排體系中存在的主要問題（如立體幾何向量化問題、函數與三角函數編排順序問題等）。目前的辦法是以現有大綱為線索，以學用結合為指導，在課時允許的情況下，教師適當引入建模課題。我相信，在開展“目標教學”的同時，大力滲透“建模意識”必將為中職數學課堂教學改革提供新的思路。希望在不久的將來，廣大數學同行能組織、構建出為中職生普遍接受的數學教學內容，最終形成一套學以致用，滲透建模意識，適合中職生水平的數學教材。

【參考文獻】

1、《數學模型與數學建模》劉來福曾文藝編著北京師范大學出版社（1997）

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關鍵詞：初中數學 應用意識 生活 課程學習 實踐活動

《義務教育數學課程標準》（2011版）明確指出：“應用意識有兩個方面的含義，一方面有意識利用數學的概念、原理和方法解釋現實世界中的現象，解決現實世界中的問題；另一方面，認識到現實生活中蘊涵著大量與數量和圖形有關的問題，這些問題可以抽象成數學問題，用數學的方法予以解決。在整個數學教育的過程中都應該培養學生的應用意識，綜合實踐活動是培養應用意識很好的載體。 ”筆者結合教學實踐從創設數學情境，感受數學應用魅力；課堂建模訓練，強化數學應用能力；課后實踐活動，拓展數學應用空間三方面進行闡述。

一、創設生活情境，感受數學應用魅力

數學知識源于生活而最終服務于生活。數學教學情境的創設應該結合數學背景知識和生活經驗，從生活實際出發，讓學生感受到數學的應用魅力。

1.創設知識背景情境，激發學習興趣

初中數學中涉及古代數學成就的內容，教師在課堂教學中應適當地介紹數學知識產生的背景和發展的動因，激發學生的學習興趣。如，初中數學中幾何概念的初次提及，學生會有很多的困惑和疑問，筆者給學生講訴：人類的幾何觀念是人們在生產和生活的需要中逐步形成的。相傳古埃及的尼羅河每年泛濫成災，田地界線淹沒，事后必須設法測量，重新勘定。由于這一實際的需要，促使人們學會了計算簡單圖形的面積等方法，逐步形成了圖形的有關知識。

2.創設生活問題情境，點燃新知欲望

數學與生活緊密聯系。如，筆者在執教北師大版七年級下冊《兩條直線的位置關系》時，教師創設生活情境，提出問題：同學們，臺球是大家喜歡的一項體育運動，“臺球王子”丁俊暉有很多打球入袋技巧，成為了世界級臺球大師。要想玩出水平，就需要打球入袋的技巧。大家知道有哪些呢？通過生活中的打臺球的問題情境創設，學生會說出直線打球入袋，還有碰撞桌沿，反彈入袋。筆者抓住學生的思維，引出本課的教學內容關于直線位置以及余角和補角的學習。

二、課堂建模訓練，強化數學應用能力

運用數學知識解決實際問題，首先要把非數學語言表述的問題轉化為數學問題，即數學建模。數學建模的實質是訓練學生分析問題、解決問題的能力，從而強化學生的數學應用能力。

1.揭示數學規律，解決生活問題

數學是一門規律性很強的學科，教材本身就有許多有趣的規律。教師應該充分挖掘教材，活用教材，讓學生掌握各種數學規律，服務生活實踐。如，在北師大版九年級數學下冊二次函數的學習中，讓學生明白二次函數是刻畫客觀世界許多現象的一種重要模型。通過二次函數的建模學習，學生掌握了各種變量之間的關系，從而通過列出關系式，可以解決以下生活問題：（1）套餐問題：聯通、移動、電信手機的不同套餐消費；（2）金融問題：儲蓄、保險中的利率問題；（3）消費購物問題：商場打折、返券促銷等。

2.探究數學奧秘，服務生活實踐

生活中隱藏著神奇的數學奧秘，教師要引導學生發現問題，勤于探索，分析和解決問題，從而更好的服務生活實踐。如，筆者在執教北師大版八年級下冊《平面圖形的鑲嵌》教學中，給學生出示蜜蜂的蜂巢，進行提問：為什么蜜蜂會選擇正六邊形，不選擇其它正多邊形來儲藏蜂蜜？其中的奧秘在哪里呢？ 學生通過學習探究得出，正六邊形圖形對稱，排列規則，相互毗鄰，沒有空隙，能保證蜂蜜干凈，防止異物落入而弄臟蜂蜜。并且蜜蜂用正六邊形作為截面形狀，使用相同的材料，得到最大的面積，儲存的蜂蜜最多。通過探究數學奧秘，服務于我們的生活實踐，現實生活中的信號發射塔也模仿蜜蜂的蜂巢，盡量建成正六邊形的形狀，可以覆蓋最大的面積。

三、課后實踐活動，拓展數學應用空間

課后實踐活動是課堂教學內容的延伸和拓展。學生可以根據學習內容，通過小組合作探究和自主實踐活動，拓展學生的數學應用空間。

1.小組合作探究，拓展創新思維

筆者在九年級下冊綜合與實踐活動中，讓學生分小組合作探究《哪種方式更合算》在的轉盤游戲。通過學生分組實驗，組間交流，匯總數據等活動，充分發揮學生的團隊協作精神。學生在“猜測―操作―驗證”學習過程中，拓展學生的創新思維，如，增加轉盤的格子數、還有奇數和偶數的分配等活動，培養學生合作探究、體驗參與的能力，利用統計與概率的知識揭示其中的規律。

2.自主實踐活動，發展空間觀念

在生活中我們常常需要把一個物體截開。在七年級上冊《截一個幾何體》課后作業設計是讓學生用橡皮泥和硬塑料片，進行正方體的自主實踐切割活動，看看截面的形狀可能有幾邊形？學生通過各種切法，切出了三角形，正三角形，正方形、長方形、梯形、五邊形和六邊形。學生通過經歷切截幾何體的過程，體會幾何體在切截過程中的變化，得出了正方體有六個面，用一個平面去截，最多會得到六條交線，因此最多是六邊形的結論。通過自主動手實踐和探索發現，發展學生的空間觀念，為以后學生在關于裝飾建筑的生活應用打下了基礎。

因此，在課堂教學中，教師注重學生應用意識的培養，走進生活，運用數學解決生活問題，發展學生的應用意識和能力。

參考文獻

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[2]25.鄒明.培養學生應用數學意識的實驗.數學通訊，2002，9

[3]沈文選.關于中學數學應用研究的幾點思考.數學教育學報，2000，2

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關鍵詞：高職數學，應用意識，應用能力

 

高職教育主要是培養高等技術應用性人才，高等數學作為基礎課，適用于各個不同學科和專業的不同領域，因此，高職高等數學教學要以應用為目的，把培養學生應用高等數學解決實際問題的能力放在首位，切實培養學生“用數學”的能力。然而，現實情況表明，學生數學應用意識普遍淡薄，應用能力十分欠缺。

一．應用意識薄弱的主要原因

1．教師的知識結構不合理

一般來說，各高職院校擔任基礎課數學教學的教師比較重視知識的傳授和解題，強調數學知識本身邏輯性的完整和解題方法的多樣，而不太重視實踐性活動的開展。此外，教師本身對所教高職各專業的專業知識的陌生，也導致了目前教師掌握的數學應用知識寥寥無幾，他們大多數只能在口頭上向學生保證“數學是有用的”，努力規勸學生勤奮學習，卻不能指明數學之用在何處，因而往往是缺乏證據的空洞說教。他們認為數學家做的就是把簡單的問題復雜化，而數學老師做的就是對這種復雜化的過程加以解釋。因而學生缺乏數學知識與實際模型相聯系的能力也就不足為奇，更何談用數學解決實際問題。久而久之，學生會認為數學學習與實際生活、生產實踐是脫節的，感到學習數學枯燥無味，喪失學習數學的興趣。正如中國科學院院士姜伯駒指出：我們現在的數學教育不是吸引學生越學越有興趣，而是越學越害怕，感到數學很難。這實際上已經背離了高職院校數學教學的目的。

2． 高職數學教材內容編排陳舊

目前高職的數學教材，大多數仍然沿用傳統的模式，強調知識的系統性，基礎分量過重，應用技能比例偏輕，沒有從根本上反映出高職的特色和要求。論文參考網。而且由于對生產實際缺乏深入的了解，教材往往存在著脫離實際、針對性不足的問題，因此缺乏必要的應用問題的內容也就成為必然。此外，數學教材的使用仍以學校的選擇為依據、以方便教師授課為標準、以理論知識為主要目標，沒有從根本上體現以應用性職業崗位需求為中心，，以學生能力培養為本位的教育觀念。

二．培養數學應用能力的主要途徑

1． 注重數學教師自身素質的提高

由于高職數學教學目標和內容的特殊性，給高職數學教師提出了一些特殊的要求。首先，高職數學教師除具有系統的數學學科基礎理論和教學理論外，還應對所教專業的專業基礎課程有所了解，以便掌握數學課程與專業之間的聯系，把握專業應用數學知識的重點。如工程數學將純粹的數學知識與工程應用有機地結合起來，是學習工科的基礎，它覆蓋了大部分的數學知識，如微分方程，復變函數論基礎，微積分運算，線性代數基礎，線性規劃基礎，初等概率論以及計算方法等等，這些內容都與實際需要緊密聯系。“工程力學”由理論力學和材料力學組成，前者與解析幾何，方程等聯系密切，并且經常用到坐標、向量的知識，后者需要積分法，疊加法及平面圖形的性質。在“工程制圖”中，關于幾何的知識是必不可少的。在“機械制圖”中，空間幾何中的平面、立體、三視圖以及投影和交線的知識需要經常用到。“電工科學”是一門研究電磁現象及其應用的科學，由它的理論和方法為基礎而形成的工程技術稱為“電工技術”，它又分為電子技術和電力技術，這門科學常需用到關于微積分，統計及組合、數理邏輯的知識。“電路理論”作為通信、無線電技術、自動控制以及電子計算機等專業共同的基礎課，其重要性不言而喻，沒有一定的數學基礎很難深入地研究問題，它廣泛地用到了關于微積分，統計以及數學作圖的知識。“電機學”是一門研究直流機、變壓器、異步機、同步機和其它特殊電機及變壓器的科學，它需要許多關于作圖和計算方法的知識。在“電子技術基礎”中，數學作圖和計算方法同樣有著極為重要的作用。在“無線電技術基礎”中，由于需要研究關于回路、雙口網絡、濾波器、傳輸線、無線電信號的基本組成和原理等問題，所以廣泛地用到了數學作圖、數列、數理邏輯、微積分，分析和計算方法，以及參數方程和微分方程等數學知識。教師只有切實了解專業課需要什么數學，才能在教學中做到有的放矢。其次，由于高職數學課具有理論緊密聯系實際的特點，課程教學目標具有職業性和實踐性的特色。這就要求數學教師能自覺參與一些專業實踐，和專業課教師隨時溝通，了解他們的研究課題中需要用數學知識解決的內容，在為他們提供數學工具幫助的同時，提高自己運用數學方法解決專業實際問題的能力。只有建設一支適應高職數學課教學特點的教師隊伍，才能使數學課程體現高職教育的特色，使學生學會用數學解決生活實際及專業技術中的問題，從而最終達到培養合格高職人才的目的。

2． 重視教學內容與專業背景的聯系

教師應當重視數學教材內容與專業背景的聯系，使學生體會到所要學習的數學知識來源于專業課相關內容，學到的數學知識可以用來解決實際問題。這就要求教師具有駕馭教材的能力，具有收集信息、整理信息的能力，能夠從學生的專業課教材中，及時收集和整理與學生所學專業密切相關的數學材料，以加強數學概念、性質、定理的內涵或外延的教學，加強數學與專業之間的聯系。例如，在講導數概念時，除了舉出書本上變化率問題中介紹的變速直線運動的速度外，還可介紹一些與變化率有關的問題。在管理專業介紹產品總產量對時間的導數就是總產量的變化率；產品總成本對產量的導數就是產品總成本的變化率（邊際成本）。在機電類專業介紹質量非均勻分布細桿的線密度、變速圓周運動的角速度、非恒定電流的電流強度等變化率問題。在潔凈煤專業介紹物體的冷卻速度、化學反應速度等實例。用學生將要大量接觸的、與專業有聯系的實例講概念，能夠使學生建立正確的數學概念，能夠提高整體教學效果，也能拓寬學生的思路，有利于學生提高把實際問題轉化為數學問題的能力，初步了解了用數學方法去解決實際問題的過程，體會所學數學知識的應用價值，增強用數學的意識，提高自己主動運用所學數學知識去概括、抽象、解決問題的能力，從而最終體現高職教育“聯系實際，深化概念，注重應用，重視創新，提高素質”的特色。

3． 抓好數學教材建設

高等數學是高職各專業的重要基礎課和工具課，因此，數學學習必須緊密結合專業培養目標按“必需夠用”原則安排數學內容。這就要求高職數學教材在結構上要打破傳統的條塊，根據不同專業的需要，在不違反認知規律的前提下組合新的教學模塊：基礎模塊和擴展模塊，基礎模塊為微積分部分，重點講解一元微積分內容。在講授過程中，將其基本內容分成兩大部分，即數學概念與應用，微積分理論與計算。數學概念與應用側重介紹數學的基本概念及其相關的實際背景，突出數學概念的圖形與素質特征，同時培養學生的定量化思維方式，增強對數學的應用意識與簡單的數學建模能力。微積分理論與計算部分主要介紹基本公式和基本方法，不加證明的引入數學理論的重要結論，突出對結論的應用，以培養學生的應用能力。在內容的編排上，將不定積分與定積分融為一章，先講不定積分和原函數的概念，后講定積分的概念和性質，然后通過微積分基本定理建立起定積分與不定積分和原函數的關系，再講積分法，這樣既突出重點又便于理解。擴展模塊是為了滿足不同專業要求和繼續學習的需要而設置的，包括線性代數、概率統計、常微分方程、級數、積分變換等，可分專業按需選擇其中的部分內容作為選修課，直接選取專業課的相關內容作為例題、習題講解和練習，強調數學知識在相關專業的應用。此外，高職數學教材若能包括一些具有實際應用價值，饒有趣味的案例，把抽象的數學與應用實例相結合，不失為提高數學應用能力的良策。

4． 適當開展數學建模活動

教師在教學的過程中經常地、有意識地把有關的數學知識與現實生活聯系起來，引導學生運用數學的立場、觀點、思想和方法，去觀察和分析各種社會現象，從中抽象、概括、歸納、整理出這些社會現象所蘊涵的本質屬性和數量關系與特征，從而建立數學模型，并運用數學知識對數學模型進行正確的運算和推理，科學地解釋這些社會現象，這就是近幾年在一些高校盛行的數學建模活動。論文參考網。數學建模過程是學生創造性地運用數學知識的過程，由于實際問題千差萬別，哪怕用的方法是現成的，但用哪一種方法，怎么用，卻不是現成的，而且，幾乎沒有哪一種方法原樣照搬照套就能解決問題，都需要針對具體問題具體分析，選擇恰當的方法并加以改造才能解決問題。同時由于實際問題往往沒有標準答案或唯一答案，不現成，不唯一，是解決實際問題的重要特點，正是培養學生應用能力的重要途徑。考慮到高職學生的實際情況，現行教材內容、教學時間、以及教師的知識、經驗和思維習慣，還有一個轉換、適應過程，可以將數學建模工作的一部分安排在課外去做，即課內課外相結合。論文參考網。如開設講座、采集數學建模問題、研究建模方案、撰寫建模小論文等，有些建模問題比較復雜，可以將其分解、分步解決，或由教師帶領下解決某些環節，其具體求解過程可留給學生課后解決，最后再組織學生宣講、交流或寫成小論文，這種“零存整取”的做法，可以激發學生學習數學的興趣，有效提高學生解決實際應用問題的能力。

培養數學應用能力絕非一朝一夕之功，教師只有切實樹立數學應用意識，將數學與專業知識、日常生活有機結合，做教和學的有心人，真正把學生和社會的需求放在心上，才能培養出高素質的應用型人才，為高職教育做出自己的貢獻。

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關鍵詞：機電一體化；數學建模；項目教學

Exploring of teaching reform for the course of design of mechatronics system

Ding Wenzheng1, Wang Juan2, Wang Mulan1

1. Nanjing institute of technology, Nanjing, 211167, China

2. Jiangsu institute of economic & trade technology, Nanjing, 211168, China

Abstract: A new teaching mode was suggested according to the characteristic of the course of design of mechatronics system. Mathematical modeling method and project-teaching method were implemented in this mode. The teaching reform scheme was presented which included the project task, refinable teaching and teaching by oneselves, and a new assessing approach was established which was focus on the ability of the students. By this teaching mode, we hope that the students could improve the ability of solving the practical engineering problems through abstracting the model.

Key words: mechatronics; mathematical modeling; project-teaching

在高等教育進入普及化的今天，應用型人才越來越受到社會的重視。所謂應用型人才，是指面對實際問題，具有解決實際問題能力的人。工程問題錯綜復雜，如何在教學中培養這種能力呢？關鍵就在于讓學生搞清“模型”的意義。因為“模型”反映的是事物的本質，是對客觀事物的近似描述。我們要引導學生提出“模型”，通過抓“模型”，教給學生提出問題、分析問題、解決問題的方法。

機電一體化系統設計作為機械制造及自動化本科專業的專業課程，是對基礎課、專業基礎課等知識內容的綜合應用，是理論與工程結合的前沿課程。目前按照知識體系劃分的教學模式，往往造成學生雖然學習了各個模塊的知識，但因缺乏對工程對象的總體認識和把握，使得在系統層面上的設計和應用能力較弱。為此，筆者圍繞應用型人才的培養目標，結合南京工程學院在應用型人才培養方面的教學改革實踐，探討在機電一體化系統設計課程教學中，融入數學建模和項目教學兩種方法，在項目任務中加強數學建模和數字仿真分析的內容，培養學生提煉模型，通過模型分析、解決實際工程問題的能力。

1 機電一體化系統設計課程分析

機電一體化是機械工業的發展方向，但機電一體化系統設計是機械技術和電子技術的有機融合，以此實現系統構成的最佳化。如果按照知識體系劃分進行教學，每個知識模塊的內容都不能深入探討，教與學都是蜻蜓點水，而且知識模塊之間的銜接脫節現象比較嚴重，在最后的應用案例講解時，學生基本只能被動接受，至于為什么這樣設計或這樣的方案是否最佳普遍比較模糊。如何引導學生從總體上進行系統分析和設計是這門課教學探索的第一個基本點。

另外課程的教學內容在很大程度上受到了教材的限制，而且技術性的課程如果沒有實際的操作，教學很容易陷入教師主導的“空對空”局面，教師對著多媒體講，學生對著多媒體聽，一起紙上談兵。所以如何改革教學內容、教學方式，發揮學生學習的主動性是教學探索的第二個基本點。

針對以上分析，筆者提出綜合數學建模和項目教學兩者特點的教學改革措施，增加項目教學內容，重點引入“系統”的概念，引導學生運用系統的觀點對項目任務進行數學建模，進而分析解決問題。

2 教學方案設置

我們根據機電一體化系統設計課程特點，設置了以項目任務為主，以知識精講和自學自研為輔的教學方案。

(1)知識精講。以知識體系為主線，精講內容少而精，引導學生多角度、深層次地理解課程內容。精講以教師為主，重點是課程內容中知識模塊之間的銜接融合部分。這部分交叉內容往往是學生學習的難點，通過點的精講，以點帶面，達到知識的融會貫通。例如在講授執行裝置和機械系統兩部分內容時，略去執行裝置和機械系統本身的結構和特性分析，突出講解執行元件與機械系統結合中的問題，像機電系統的慣量匹配就是一個難點。為了講清這個問題，可以從學生已知的牛頓定律入手，進行對比分析，了解慣量匹配的目的是為了更好地實現系統的穩定性和快速性。此外考慮到理論理解的難度，可以利用多媒體播放慣量匹配對加工精度影響的實驗，將抽象問題形象化、具體化。

(2)項目任務。項目任務以學生完成為主，但任務的設計要求教師精心準備。項目都來自工程實際，需經過提煉整理才能達到教學目的，要求設計出項目任務知識覆蓋面廣，能貫穿課程的大部分內容，更重要的是要體現“系統”的概念，引導學生用系統的觀點分析問題，建立數學模型。模型不能太簡單，要體現數學建模的反復過程：即“項目分析―模型提煉―系統建模―軟件求解―結果分析―模型修正―應用”。基于上述目標，我們設置了“數控機床半閉環伺服進給系統設計”的項目任務，要求各個小組首先設計搭建一個單滑臺的半閉環伺服進給系統，然后按照物理系統建立運動控制性能的數學模型，以模型計算結果和實際系統測量結果的偏差為考核依據。項目開始就提醒學生要注意從系統的層面上分析影響運動控制性能的因素，既包括控制系統，也包括伺服系統，還包括機械系統。尤其是機械系統不能簡單地只考慮無阻尼自然頻率和阻尼比對滑臺動態特性的影響，還要考慮到滾珠絲杠的間隙、滑臺的摩擦等非線性因素的影響。指導學生在系統模型建立之后通過與實測結果的對比，反復修正數學模型，調整物理系統，搞清模型的意義，更深刻地認識物理系統的本質。

這樣綜合性的項目任務，學生初次碰到肯定覺得有難度，會占用大量的教學時間，因此項目教學要充分利用課余時間進行集中輔導。另外在課堂教學中適當增加部分簡單案例介紹供學生自學研究和模仿參照，提高學生的主動性和項目教學的效果。

(3)自學自研。機電一體化作為一門交叉學科，課堂講授內容總是有限，安排自學自研，可以開拓學生的專業視野，提高自學能力。首先在教材上打破“學一門課只讀一本書”的現象，引導學生圍繞項目任務研讀幾本推薦教材，然后根據實際需要自主選取所需的教材內容，進行知識構建，教師可以綜合不同學生的知識需要，作為精講內容的補充。另外，根據項目任務的需要，要求學生學會數學建模和相關建模軟件的編程方法，提高工具知識的應用能力。

3 考核方案設置

教學方案的改革要求考核方式也要多樣化。針對基本概念、理論和計算仍采取閉卷考核。但項目任務的完成是團隊協作和綜合能力的體現，這主要通過探索性表現、創新性表現、任務結果以及小組報告等綜合評定。自學自研則以專題報告的方式檢查，安排學生之間的互評。這樣的組合考核方法，既能讓學生以主動探索、積極動手的輕松心態完成知識的學習，又能培養和鍛煉學生的綜合能力。

在機電一體化系統設計教學中，通過項目任務加強學生系統分析和數學建模的訓練，有助于提升學生分析解決實際工程問題的能力。同時教學方式的變革也提高了對教師的要求，因為項目任務源自工程實踐，要求教師不斷地參與科研項目，追蹤學科前沿，隨時更新教學素材。培養應用型人才，教學改革勢在必行，希望通過筆者的探索，推進機電一體化系統設計課程的教學改革，培養出具有解決實際工程問題能力的人才。

參考文獻

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[2] 方榮.如何培養有創新精神的人―錢偉長教授談教育創新[J].群言,2001,1:4-7.

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“探索規律”重在規律的探索過程，而不是規律的應用。在“探索規律”的教學中，應著力于讓學生體驗探索規律的過程，使學生在具體情境中，通過觀察、計算、操作等方式發現規律，學會思考。不可否認的是，在實際教學中，雖然絕大多數教師會將“探索規律”的核心目標如上述定位，但由于急于求成的心理，往往會更加關注于學生找到了什么樣的規律，而且還在利用規律解決實際問題上大做文章，致使教學目標無形中偏向于借助規律的應用來認識理解規律，背離了“探索規律”教學的實質。筆者結合蘇教版《數學》五年級下冊第55頁“找規律”的教學，就如何幫助學生親歷探索規律的過程，學會有條理的思考，談談自己的做法和體會。

一、認真研讀教材，把握編排意圖

蘇教版《數學》五年級下冊“找規律”的教學內容，是讓學生探索圖形覆蓋現象中的規律，由“在數表里框出幾個數，可以得到多少個不同的和”發端，引導學生在探索中分析、比較、抽象概括出圖形覆蓋次數的規律。

例題從游戲活動開始，把1～10這10個數按從左到右的順序排列成一個數表。讓學生用紅框在數表中框數。第一次框兩個數，第二次框3個數，第三次框更多的數（4個數、5個數）。在每次框數的游戲活動中，都提出問題“一共可以得到多少種不同的和？”讓學生解決。而且解決問題的方法要逐層提高，同時在平移上做足文章，引導學生把注意力轉移到平移的次數上來。最后通過列表比較平移的次數與每次框出的數的個數之間的關系，以及得到不同的和的個數與平移的次數之間的關系，探索圖形覆蓋的規律。

教材中的題例，為教學內容的進一步豐富和充實提供了依據，也為教學方法的選擇指明了方向。

二、提供合理性的素材，組織探究性的學習活動

由于探索規律主要采用不完全歸納法，在例證上就要更具說服力。因此給學生提供的素材也必須更具合理性。讓學生在探究規律的同時，感受不完全歸納法的合理性。而且，在推理的同時，也要讓學生進行適當的論證，全面體驗探究方法的過程，再者，對規律的探索也不是讓學生毫無章法地 “摸索”，而應具有較強的指向性，幫助學生實現思維方式的轉換。鑒于此，我在教學時把教材中的例題改編為：下表的紅框中兩個數的和是3，在表中移動這個框，可以使每次框出的兩個數的和各不相同，能平移多少次？一共可以得到多少個不同的和？

在改編中，我將表中的數1～10改成了1～5，并增加了“能平移多少次？”這一問題，有意識地引導學生把操作和思考的著力點放在平移的次數上，蘊涵著“平移的次數”與“不同的和的個數”之間的關系。

在學生獨立完成并解決問題后，我再次出示問題：“如果表中是1～7這7個數，一共可以得到多少個不同的和？你能通過平移找到答案嗎？如果表中的數換成1～10呢？”讓學生分組研究，然后全班共同將數據匯成下表：

通過觀察、比較上表中的數據，讓學生說出自己的發現與猜想。引導學生歸納在每次框的數的個數相同的情況下，表中數的總個數與平移的次數之間的關系，以及平移的次數與得到的不同的和的個數之間的關系，初步實現規律的探索與發現。

為了讓學生體會到探究的規律更合理，我又組織了以下教學活動：“這樣的‘規律’是不是帶有普遍性呢？你覺得還需要怎樣研究下去？”

有學生提出：如果每次框出的數不是兩個，結果會是怎樣的呢？（這是我預料之中的）

“你提的問題很有研究價值，我們不妨假設每次框出3個、4個、5個來研究。同學們還可以思考一下，是不是一定要通過操作或者畫圖來研究呢？”我適時進行引導，使學生的思考向更深層次發展。

在學生分組研究后，我摘錄學生交流的一些數據匯表，并讓學生說出答案是怎樣獲得的。引導學生在頭腦中想象平移的情境，或者先借助于剛才發現的“規律”獲得答案，再通過平移進行驗證等，而不必一定要實實在在地進行平移操作，從而提升思維的價值和效率。

學生經歷了多次不同形式的探索體驗，逐步積累了素材，運用不完全歸納法分層抽象出圖形覆蓋規律。由于素材的不斷刺激，激發了學生探究的欲望，學生不間斷地展開數學思考，使探索成為一種自身的內在需要，為規律的獲得提供源源不斷的動力。

為了激發學生的探索精神，在完成了上面的探索活動后，我又拋出了一個更富有探究性的問題：為什么平移的次數等于表中的數的個數減去每次框的個數呢？不同的和的個數為什么會比平移的次數多1呢？你是怎樣理解的？一句話又把學生帶入了數學思考的情境之中。

學生在探索規律時，也經歷了數學建模的過程，通過具體的操作、觀察、分析、猜想、驗證等活動，得到不同的和的個數與平移的次數之間的數量關系，抽象出圖形覆蓋的變化規律，體驗到了“提出問題—明確方法—發現規律—驗證規律—探究原因”的建模過程，從而使思維和推理的水平逐步提高。這樣的學習過程，有助于學生初步形成模型思想，提高數學學習的興趣，增強自主探索的能力。

參考文獻：

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關鍵詞：航空公司運營；不正常航班；飛機恢復；機會約束規劃；遺傳算法

DOI：10.16640/ki.37-1222/t.2017.12.238

0 引言

由于航空業的特點和競爭的需要，航空公司的航班運行控制對運籌學的許多分支理論和方法，特別是最優化技術有著非常迫切的需求。

在國外，文獻[1]中，Yu提出了針對航空公司不正常航班調度問題的擾動管理策略，就航空公司常規和非常規航班調度問題進行了建模優化。文獻[2]找到快速有效的算法和軟件處理航班調度問題。Teodorobic ，Stojkovicd等人[3]為了使取消航班數量和旅客總延誤時間最小，提出了一種基于Lexicographic動態規劃模型。在我國，趙秀麗[4]把航班延誤時間看作為常量，分別對不正常航班的取消航班問題、飛機路線恢復問題、機組恢復問題、一體化航班計劃恢復問題進行了研究。文獻[5]中就機組延誤問題，建立了基于概率的魯棒性機組配對問題和飛機排班問題的隨機模型。本文針對不正常航班下的飛機恢復問題研究建立相應的優化模型及算法。后續內容安排如下：第2章是預備知識；第3章是問題描述和基本建模方法；模型及算法在第4章；全文的總結和展望放在了第5章。

1 隨機機會約束規劃

定義2.1[6]假設x是一個決策向量，ξ是一個隨機向量，是目標函數，（j=1，2，…，p）是沒有給出確定的可行集的隨機約束函數。機會約束可以表示為如下的形式：

2 問題描述與基本方法

當惡劣天氣或機械故障引起航班延誤時，由于惡劣天氣持續時間和故障機械修復時間都是不確定的，從而航班延誤時間是不確定的。本文將總延誤時間作為優化目標，而公司成本預算作為約束條件，建立問題的模型及算法。Argüello [7]提出了時間帶近似模型相關理論，本文采用時空網絡結構來調整航班安排。

3 飛機恢復問題的機會約束規劃模型與算法

約束二：飛行的覆蓋范圍。每個航班都只有飛行或取消兩種狀態，因此，每個航班k對應的飛行和取消狀態和為1。例如，航班34有兩種可選飛行航線，一個取消狀態，每個航班僅執行一次，可得以下公式：

同理，所有航班k均可表達為上述形式。

約束三：轉送結點飛機流。結點中的飛機數量=在該結點起飛飛機數量-在該結點降落飛機數量+由該結點轉移到同一城市沉落結點的飛機數量。

約束四：沉落結點飛機流。沉落結點需要的飛機數量=在該沉落結點降落的結束航班的飛機數量+從同一城市其他結點轉移來過夜的飛機數量。

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高中數學習題課主要目的是在科學合理地安排好教學內容的同時，選擇適當的習題教學方式，上好習題課，將諸多的數學思想與實際聯系起來，有利于增強學生學習的自信心和克服困難的意志力，有利于加深對數學基本概念的理解，逐步完善合理的數學知識結構，掌握解決問題的方法和策略，對于培養學生的創新思維和創新能力具有決定性意義。習題教學應當培養學生開放的性格、與人合作的能力等，要把學生的學習與其今后謀生和發展緊密聯系起來。

二、高中數學習題課堂問題分析

當前高中數學習題教學效率低、教學效果差等現象，主要體現在例題的選擇具有隨意性，缺乏典型性，題量過大，質量不高，課堂內容對提高學生的解題能力幫助不大；課堂結構松散，課堂教學目標不明確，習題課教學中選題的隨意性使得他們的習題課的設計與安排呈無序性，不能把握與掌控整個課堂教學的密度與容量，教學的重點與難點不夠突出；盲目拔高，例題趨向與難、偏、怪，部分學生對數學產生畏難情緒，從而逐步對數學學習失去興趣。

三、對策

1．根據教學內容以及學生實際，合理選擇例題

（1）習題選擇要有針對性，教師選擇習題，要針對教學目標、考查知識點以及學生的學情，面向全體學生，忌隨意性和盲目性。

（2）習題選擇要注意可行性，教師應在知曉學生“最近發展區”前提下進行習題的選擇，忌過易與過難的習題。

（3）習題選擇要有典型性，既要注意到對知識點的覆蓋面，又要能通過訓練讓學生掌握解題規律，切忌多而全，否則會使題量加大，加重學生負擔。

（4）習題選擇要有研究性，以訓練學生的自主性和探索性，讓學生體驗數學在實際中的應用，注重研究過程，以培養學生應用數學知識提高解決實際問題能力。

（5）利用課本習題，課本習題均是經過專家多次篩選后的題目的精品，教師在題目選編中，要優先考慮課本中例題與習題，適當拓深、演變，使其源于教材，又不拘泥于教材。注重一題多解、一題多變、一題多用、多題一法的習題，提高學生靈活運用知識的能力。

2．更新教育觀念，改革課堂教學結構

（1）每講一題之前，教師應幫學生回憶該題涉及的知識點，鼓勵學生之間互相討論，想方設法調動學生的學習積極性，激發熱情，引導學生尋找解題方法。

（2）對于題型相似或方法相同的題，應歸為一類，作為類型題來講，講完后把每一類型題的解題方法做好小節，最好是讓學生自己歸納總結，這樣可以增強學生對這種題型及其方法的掌握。

（3）對重要的類型題，講解完并歸納出方法后，最好附加一兩道練習題，讓他們親自動手解決，體會所學方法的靈活運用，這樣既能使學生對知識掌握的更牢固，同時增強他們解題的信心。

（4）在講解習題時不應該也不必要平均使用力量，對那些涉及重難點知識且能力要求比較高的題要特別照顧；對于學生容易出錯的地方，則要對癥下藥，做到“照顧一般，突出重點”。

（5）習題講解不能貪多，把一類問題解決清楚，從尋找解題方法到歸納總結再到針對性練習，使多數學生能掌握運用，而不能為多講幾題草草進入下一題。

3．創設問題情境，巧用課堂提問，激活學生思維

教師應合理利用課堂時間，創設問題情境，巧用課堂提問，激活學生思維。教師可精心設計二、三個問題并設置一定的情境，加以提問，讓學生有興趣地參與思考、討論。教師要善于將題目分解為一系列環環相扣的問題，按思維的進程面向全體學生依次提出，分別由不同的學生作答，由問題尋找突破口，依次展開過程分析、規律選用、方程列出、結果討論等。要鼓勵學生發表自已的見解，既講正確，也講誤區，既講常規方法，也講技巧捷徑。

4．引導學生提高自主矯正與糾錯的思路與能力

在課堂教學中，通過學生回答或板演，教師要準確發現學生在知識理解、方法運用等方面的成績和不足，要給予必要的肯定和及時矯正，引導學生總結尋找突破口的方法，總結易混易錯處，歸納同類習題的共性與異性習題的聯系與區別，以達到舉一反三與觸類旁通的效果，及時彌補教學不足。教師要主動肯定學生的創新精神，因勢利導，幫助學生認真分析自身解題的不足并提高自主矯正與糾錯的思路與能力。

5．引導學生把握科學的解題程序，培養其解題思路與解題技巧

（1）審題，引導學生對條件和問題進行全面的認識，切實幫助學生掌握學生題目的數形特征，學會對條件與結論的轉換，引導學生去發現不明顯條件，認真審題，探索解題方向。

（2）探索，審題之后，教師應引導學生分析解題思路及解題規律，根據題目的特殊性，尋求解題途徑，仔細分析題目要求，聯系熟悉題型與解法嘗試簡化題目的條件，或將條件分解重新組合，再檢查解題意圖是否合理。還可引導學生借助輔助問題，依據對輔助問題的解答得到所求解答。

（3）表述，即答題。表述解題過程一定要合乎邏輯順序、層次分明、嚴謹規范、簡捷明了。教師對每個階段的解題要求應通過板書示范，先讓學生模仿、然后養成習慣逐步做到數學語言、符號準確、說理清楚明白、書寫有序整潔。

（4）回顧，即檢查。在解題以后，應對解題活動加以反思、探討、分析和研究，以確保對該題有更全面、更深刻的理解，檢驗解題結果是否正確、全面、推理是否無誤簡捷，以便揭示解題的規律性，發揮例題、習題的遷移作用。

6．加強建模訓練，培養建立數學模型的能力

建立適當數學模型，是利用數學解決實際問題的前提。建立數學模型的能力是運用數學能力的關鍵一步。解應用題，特別是解綜合性較強的應用題的過程，實際上就是建造一個數學模型的過程。在教學中，我們可根據教學內容選編一些應用問題對學生進行建模訓練，也可結合學生熟悉的生活、生產、科技和當前商品經濟中的一些實際問題（如利息、股票、利潤、人口等問題），引導學生觀察、分析、抽象、概括為數學模型，培養學生的建模能力。

四、結束語

教師在習題課教學中，應結合教學內容，根據學生的實際采用靈活多變的教學方法，嚴格控制習題的數量與質量，切實減輕學生的學習負擔，調動學生學習數學的積極性，以促進高中數學教學質量的全面提高。

【參考文獻】

[1]單．《解題研究》[M]．南京師范大學出版社.2002．