大學物理靜電場高斯定理知識點分析

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【摘要】電磁學大學物理課程的重要模塊，是理工科學生的普遍修讀的內容。靜電場高斯定理是電磁學的基礎，是學生必須掌握的知識點。通過分析靜電場高斯定理知識點的內容，以基本概念為基礎，采用層次化、遞進的方式講解這一知識點，對于幫助學生更好地學習和理解，有一定的幫助。

【關鍵詞】靜電場；高斯定理；知識點；分析

電磁學是理工科學生必修課程“大學物理”中的重要內容，靜電場高斯定理是電磁學中一個非常重要的內容，是學生學習對矢量場特性分析的第一個知識點。只有掌握了靜電場高斯定理，學生才能比較有效地開展電磁學后續內容的學習。但是，由于電場和磁場是抽象的物理概念，它們本身是看不見的客觀存，很多學生對于理解電場、磁場的規律和特性，存在一定的困難。同時，由于高校普遍對“大學物理”理論課的課時進行壓縮，使一些重要的概念和定理的推導過程被“侵蝕”。因此，如何能利用有限的時間高效地把理論知識闡述在課堂上，是教師要考慮的一個重要問題。通過對知識點的分析梳理，結合多年以來的教學經驗，對于靜電場高斯定理的講解，可以幾個基本概念為要點，以層次化的遞進方式進行講解，最后推導得到靜電場高斯定理的內容（圖1）。

一、對電場線與電通量的講解

由于電場是看不到的，人們使用電場線比較直觀地描述電場在空間的分布，在空間某點上，電場線的方向，即是該點的電場方向；電場線的密度，即是該點的電場強度大小。如果在空間中定義一個面（平面或曲面），電場線就有可能穿過這個面，穿過該面的電場線的數量，就是這個面的電場強度通量，簡稱——電通量，用Φ_e表示。如圖2所示，在均勻電場中的某個平面，其電通量的計算可以使用面積與電場強度的點積進行計算；其中為平面的法向單位矢量。在這一部分的講解，要抓住電場強度、電場線、電通量這幾個物理概念之間的聯系，在鞏固舊知的基礎上，通過舊知之間的聯系擴展得到對新知識的認知和理解。

二、對面積元、面積元上的電通量的講解

可以通過把均勻場、平面的電通量計算擴展為非均勻場或曲面的情況，通過提出問題的方式，導引出面積元的概念和面積元電通量的計算方法。如圖3所示，一個指定的面，可以劃分為無限個組成部分，每個組成部分，即是一個面積無限小的面——面積元。面積元是一個矢量，它的方向取法向方向。面積元用表示。由于面積元的面積無限小，在面積元上的電場強度，可以看作是均勻電場。因此，面積元上的電通量可以使用均勻場和平面的方式進行計算。即：對于面積元的方向，還要進行補充的說明：由于面積元是矢量，擁有方向，可以把所分隔的空間分為“里面”和“外面”，如圖4所示。通過矢量的運算規劃，說明電通量的取值可以是正的，也可以是負的：當面積元上的電場與面積元方向成銳角的時候，電場線是由里向外從面積元“穿出”，產生正的通量；當面積元上的電場與面積元方向成鈍角的時候，電場線是由外向里從面積元“穿入”，產生負的通量。對于正、負通量所代表的物理含義，是理解靜電場高斯定理的一個重要基礎。

三、對面積元電通量之和——整個面的電通量計算方法的講解

由于整個面是由面積元組成，把每個面積元上的電通量求和，即可以得到整個面的電通量，即：并且n→∞，上式其實就是面積元的電通量對整個面的定積分，即由此，推導出一般情況下，整個面的電通量的計算方法。

四、對高斯面的定義及其選擇問題的講解

高斯面是一種閉合面。在空間中選擇一個特定的高斯面，就會把空間分為高斯面“內”和高斯面“外”的2個部分。高斯面上的各個面積元的方向，是從“內”指向“外”的法向方向。在此，建立起高斯面的“內”“外”與面積元的“內”“外”之間的聯系。在一些特定的情況下，根據電荷分布的對稱性，可知電場分布也具有對稱性，再根據電場空間分布的特性選擇適當的高斯面，可以使高斯面的電通量計算得到極大的簡化。三種典型的電荷分布對稱的情況分別是：球對稱性、軸對稱性和面對稱性，根據不同對稱性的特點，可以按圖5選擇不同的高斯面由電場的分布情況和高斯面的選取情況來看，高斯面上的面積元方向與電場強度的方向有2種情況，分別是垂直和同向（或反向）。當面積元方向與電場強度方向垂直時，面各元上的電通量為零；當面積元方向與電場強度方向同向（或反向）時，電通量的絕對值為兩矢量的模相乘。并且，由于對稱，高斯面上能產生電通量的面積元上的電場強度大小是相等的，極大簡化了計算的過程。

五、對靜電場高斯定理的推導

可以通過對點電荷電場在閉合面上造成的電通量的計算問題，推導得到靜電場高斯定理。如圖6所示，空間中有一點電荷Q，求包裹在Q外的不規則閉合面的電通量。可以以Q為球心，建立半徑為R的球面高斯面，球面高斯面把不規則閉合面包裹在其中，電荷Q所激發電場的電場線如果從球面高斯面穿出，則必然也會從不規則閉合面穿出。因此，把求解不規則閉合面的電通量的問題，轉換為求球面高斯面電通量的問題。𝐸𝐸�⃑由于電荷Q處于球面高斯面的中心，Q所激發的電場在球面高斯面上大小處處相等，并與球面高斯面上各點面積元的方向同向。因此，求解電通量的計算就極為簡化了。此結論不僅適合于閉合面包裹住單個點電荷的情況，也適合于閉合面包裹住多個點電荷或連續帶電體等的一般情況。這就導出了靜電場高斯定理的內容，即：在此處，要對靜電場高斯定理中的各個物理量的涵義進行現次的梳理和強調，幫助學生加深認識。

六、對于靜電場高斯定理的討論及應用

在推導得到靜電場高斯定理后，要及時進行分析討論，得到和印證靜電場的一些特性。通過這樣的討論，也可達到鞏固學生學習效果的作用。在討論的過程中，還要注意講解電場強度與閉合面電通量的決定因素是不同的：閉合面上的電通量，只與被閉合面包裹在里邊的電荷量有關，與閉合面外的電荷無關；閉合面上每一點的電場強度，卻是由空間中所有電荷所共同決定的。在這個部分，可以使用舉例的方法，如圖7所示，點電荷位于閉合面外，點電荷電場在閉合面上有多少根電場線穿入，就必有多少根穿出，因此，處于閉合面外部的點電荷所激發的電場，在閉合面上造成的電通量為零。𝑄𝑄通過對靜電場高斯定理的討論，進一步介紹靜電場是有源場，也印證了電場線從正電荷出發、負電荷終止的這一特點。最后，介紹靜電場高斯定理的重要應用方向：在電荷分布具有對稱性的一些情況下，使用其求解電場強度分布，可以大大地減少計算量。并配以經典例題進行講解。高斯定理是對矢量場進行分析的一個重要工具。靜電場高斯定理在“大學物理”課程體系里，是首個使用高斯定理分析矢量場的案例，是一個重要的方法。同時，靜電場高斯定理揭示了靜電場是有源場的特性，是電磁學中的重要基礎理論。作為重要的方法與重要的定理，學生必須掌握靜電場高斯定理。實踐證明，從電場線、電通量、面積元等幾個基本物理概念出發，使用分層次、遞進式的講解方法，邏輯比較清楚，推導過程較有說服力，對于學生更好地理解靜電場高斯定理有一定的幫助。

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作者：楊云海 章芬芬 單位：韶關學院信息工程學院