數學知識有效運用性論文

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編者按：本文主要從對數學思想的概說；小學數學的基礎地位；小學生探究性地學習數學的價值與意義進行論述。其中，主要包括：數學也成為一門有組織的、獨立的和理性的學科、數學思想盡管在人類開始有初級的數學知識的時候是受經驗世界的啟發、數學思想是抽象的，數學思維與經驗世界是無關的、所謂純粹理念就是思維的最抽象的要素所形成的理念、數學知識是從概念的構造得出來的知識、數學思想的抽象性并非獨立于經驗事實而存在、數學因為它在考察自然中所起的作用而被評價為頭等重要的、數學知識是對概念的理智構造、小學生學習數學的探究性不僅從邏輯推理上是嚴密和精確的等，具體請詳見。

數學在其人類的歷史發展中，從其根本沒有數學知識到人們只能分辨一、二和許多的數字概念，到今天，數學也成為一門有組織的、獨立的和理性的學科。數學的歷史是一部演繹的歷史，人類從借助于經驗開始，通過把經驗事實符號化。進行簡單的運算和推理，把數學發展成為一門抽象的學科，這不是在說數學是一門不具有實在意義和價值的玄學，相反，是如同古希臘亞里士多德時代的理想，即科學應是數學，亞里士多德的目的就是要達到數學的確實性。因此，文章旨在從數學思想的本質性及其方法的探究性來論述對開拓小學生探究性地學習數學的思考。

一、對數學思想的概說

數學思想盡管在人類開始有初級的數學知識的時候是受經驗世界的啟發，但它的思想實質卻是抽象的。這即是在說，數學知識不是來源于經驗，而是理智的構造。“對于brouwer(布勞威爾)，數學的對象是從理智的構造得來的，其中基本的數目是1，2，3，……提供了這種構造的原型。”brouwer認為。數學思維與我們的經驗世界無關。這不是在說數學思想是沒有任何實在意義的想象，相反，數學是建立在嚴密的思維基礎之上的，是一門理性的學科。正是因為如此，數學知識才具有確實性。因此，有人認為，數學是真正的科學。數學是理智的構造，也就是數學的知識具有先驗性，也即客觀性。因為，任何具有絕對必然性的知識都不是以后天的、經驗的事實為原因或依據，而必須是本身就具有必然性。這種本身所固有的必然性就如OliverHeaviside(亥維賽)所說，邏輯可以等待，因為它是永恒的。數學知識的先驗性并非是從脫離于經驗事實的角度來說具有客觀性。而是說數學知識的客觀性或必然性是先行于經驗事實的。

數學思想是抽象的，數學思維與經驗世界是無關的，不是在說數學是一種純粹想象的構建并且僅僅是如此而已。數學不僅只能建立在實用的基礎上，而且按照康德的說法，“純粹數學，特別是純粹幾何學，只有在涉及感官對象的條件下才有其客觀實在性。”任何由純粹幻想而得來的產物都無法澄清其真理性，除了幻想的事實以外。同時，數學的先驗客觀性也不是在唯心主義地指出，數學的知識統治著宇宙，是宇宙的第一因，而是在說數學知識和通過數學的嚴密的思維方式揭示出了宇宙的規律和和諧。數學知識和通過數學的思維方式所揭示的知識體現的是思維和存在的同一性。因此，數學思想的抽象性不但沒有脫離我們的經驗事實，而是它本身就與我們的經驗事實具有內在一致性。但是數學思想的這種抽象性是可以被我們的思維和想象獨立出來的，也就是數學的思維是猶如形式邏輯的推理，這也是數學思維所必須采取的。因為，任何經驗的推理都不具有必然性和可靠性。按照康德的說法，數學知識是從概念的構造得出來的理性知識。因此，數學的思維方式本質上就是一種演繹邏輯。

“邏輯學是研究純粹理念的科學，所謂純粹理念就是思維的最抽象的要素所形成的理念。”演繹邏輯也就是關于論證的邏輯學，也就是以有效的前提推出正確的結論。這是一種先天綜合的方法，也就是不以任何經驗為依據。演繹邏輯的前提也就是笛卡兒所指的清晰自明的概念或命題，笛卡兒認為，凡是清晰明確被人認知的，都是真的。因此。演繹邏輯就是一種對清晰自明的概念進行構造的科學。比如這樣一個論證：前提1、蘇格拉底是人，前提2、所有人都是會死的，結論、所以，蘇格拉底是會死的。數學也就是一種數理邏輯，通過把經驗事實符號化或數字化，抽象成一般的概念，再進行理智的構造。在上面的論證中，我們可以把它轉化為符號的論證。我們可以把結論分為兩個部分：主詞(A)和謂詞(M)，“蘇格拉底”是主詞，“會死的”是謂詞，其中“人”是一項中詞。我們用(S)來代替，上面的論證形式就變成了：1、A是S，2、所有S都是M，3、所以，A是M。在數學中，無論是數字概念，還是符號概念，都是抽象的，這種抽象在人類開始擁有最初級的數學知識前，是從經驗事實中抽譯出來，比如：一、二……這些基本的數字概念。而后，抽象的概念是理智從概念構造出來的，如我們今天所熟知的上億的數字概念。而這些概念是基本的和自明的，因為說數字“1”及其所指的數量時，這是最清晰的。

二、小學數學的基礎地位

數學知識是從概念的構造得出來的知識。構造概念也就是從清晰自明的概念以及通過清晰自明的概念的構造所得來的正確的概念進行構造。由此，小學數學在數學思想的邏輯構造中的基礎地位也就是必然的。根據演繹邏輯，數學知識要具有確實性，其前提必須是真的，也就是進行數學推理的前提本身是可說明清楚的，不能把假定為真的前提當作無需證明的前提。因此，數學知識從誕生起的那個前提必然要是不證自明的，否則，整個數學系統都是容易被摧毀的。小學數學也就在承擔著這種熟知數學的基本概念并能進行簡單的數學推理，包括數學運算和簡單幾何的解析。從人類發展史來看，小學數學也就在對從人類開始擁有基本的數學知識以來的數學推理的基本前提及其基本的推理方法進行系統的掌握。因此，小學一年級數學首先從數字“1”開始，隨后，學習基本的運算：“1+1：2”。及類似的基本運算。到小學二年級，了解基本的平面概念并進行簡單的解析，如了解長方形，并計算長方形的周長等。整個人類的數學知識在最開始的時候，人們只能分辨像一、二和許多這些最基本的數字概念，后來可以對其進行演算，并能對簡單的物質世界進行數學似的解析。猶如在古巴比倫文化中發展程度最高的算術——阿卡得人的算術。因此，小學數學的基礎地位從整個數學思想上來說，就如羅素的邏輯原子主義所指：“原子命題是其他一切命題的基礎和根據。”

在對數學思想的概說中。已經說明過，數學思想的抽象性并非獨立于經驗事實而存在，而是數學知識的誕生是開始于經驗的，數學知識的真理性也必須達到思維與存在的同一性。從人類數學知識的發展史來看，數學的誕生事實也是如此。因此，小學數學的基礎地位還在于從感性認知的角度來談。任何企圖從純粹的玄思妙想中得出結論都不應具有肯定的價值，因為，知識的客觀有效性就像幾何學對空間必然有效外，而并不能一定就涉及到實在的對象，而幾何學必須建立在感性形式之上。數學思想的邏輯性就在于理智對概念的構造，而最初的概念必須建立在感性直觀的形式上。這不是一種對經驗的直觀，而是一種純粹的直觀。數字“1”的概念是一種純粹的直觀，數字“11”的概念則是由11個“1”相加，是對數字“1”這個最基本的概念的簡單的推理或構造。同時，數學知識之所以具有客觀有效性，在于它只是涉及感官對象，因為企圖透過顯現給我們的物體去研究物自體都是徒勞無益的。因此，小學數學的基礎性不僅在于學習其概念構造的基礎性，而且在于從感性的形式上進入數學的最初的概念，并開始把這種數學的最初概念應用于經驗事實中。如小學數學中學習簡單的計量面積后，也就可以把這種簡單計量方式應用在簡單的生活對象中。

三、小學生探究性地學習數學的價值與意義

“從古希臘時代起，數學因為它在考察自然中所起的作用而被評價為頭等重要的。天文學和音樂經常與數學相連接，而力學和光學則毫無疑問是數學的。”這即是在表明，數學所揭示的客觀規律性不僅是應用在經驗世界中，而且只有在經驗世界中，數學知識才是客觀有效的。僅僅是純粹的數學演繹并不構成實在的價值和意義，所以，數學只能建立在實用的基礎上。但是，這種實用性是指數學知識的有效性和運用性，而非經驗世界中的實用性。經驗世界中的實用性，是直接性的，這種直接性不具備有效性和運用性。數學知識的有效性和運用性就在于它的實踐性，也即探究性。這種探究性包括兩方面。

(一)數學知識是對概念的理智構造，這種理智構造本身就是探究性的。探究性的思維基礎是辯證思維，也就是從概念到概念，概括和細論，結合和區劃，綜合和分析等。在小學數學中，不僅是使小學生開始掌握清晰自明的數學概念，如數字概念，而且在于使小學生開始掌握和運用基本的運算能力和分析能力。如小學數學中的四則運算、簡便方法運算以及通過應用題的形式來分析并解決日常生活中的數學問題等。這即是開拓人的探究性思維的開始。同時，這種探究性也在于從開始掌握和運用時并進入到對真理性的把握，因為，從一開始掌握的數字“1”所代表的數量概念是不可否認的，到數字“2”為“1+1”所構造出來的概念仍然是十分嚴密和精確的，以至類推，小學生并一開始就從嚴密和精確的態度進入對真理的探究中。這種理智的探究性或實踐性盡管是人類探索真理的源泉，但是，如果超出了實用意義的范圍，進入了純粹理性推理的范圍。那數學知識的確實性也就完全超出了人類的判斷能力，這也就使數學知識的確實性本身對于人類來說始終處于懸而未決的狀態而失去意義。

(二)因此，小學生學習數學的探究性不僅從邏輯推理上是嚴密和精確的，還在于數學思維在日常生活中的運用。這種運用既是防止因數學思維的抽象性而使小學生在以后對生活與社會的思考中由于沒正確對待數學知識的確實性和數學推理的意義所在，而陷入純粹的理性主義。甚至主觀唯心主義。因為，數學思維的探究性要具有實在的意義，必然是只能在解決我們的感官對象上才有實在的意義。因此，這種探究性也必須應用在對經驗事實的實踐意義上。同時，也是防止小學生因著眼于純粹的經驗事實，在以后對生活和社會的思考中陷入和心理主義者一樣的境地。這種心理主義在小學生最開始進入學習數學時就有所表現，因為他完全可以把“2+3=?”的結果算成不是“5”的任何結果。當然，這種表現并不是心理主義，而是腦子好象是空白的，但這種空白若不經嚴密和精確的邏輯推理進行洗禮，這種空白就將被他成長中的沒經過嚴密思考的經驗事實所左右，雖不具備心理主義的理論素養，但其觀念必然是和那些心理主義者的觀念一樣是遭到否定的。