高中數(shù)學(xué)閱讀與思考欄目教學(xué)探討

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摘要：高中數(shù)學(xué)教材中設(shè)有“閱讀與思考”欄目，它是教材主體內(nèi)容的延續(xù)和拓廣，根植于學(xué)生知識的最近發(fā)展區(qū)，對開闊學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力、創(chuàng)新能力都有很大的幫助。本文就“閱讀與思考”欄目的教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)方式、教學(xué)手段進行探索。

關(guān)鍵詞：閱讀與思考；統(tǒng)計應(yīng)用；教學(xué)設(shè)計

1引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。提倡獨立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進學(xué)生實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展。……不斷引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值。”［1］為了應(yīng)對考試，一線數(shù)學(xué)常態(tài)課教學(xué)往往偏重于講和練，這就導(dǎo)致大部分學(xué)生的主動閱讀、自主學(xué)習(xí)和獨立思考能力逐年下降。人民教育出版社依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)編寫的A版教材中增加了“閱讀思考”“探究發(fā)現(xiàn)”“數(shù)學(xué)寫作”“信息技術(shù)”等欄目，旨在改善這一教學(xué)現(xiàn)象。2006年版數(shù)學(xué)教材和2019年版數(shù)學(xué)教材（《數(shù)學(xué)》（必修第二冊）、《數(shù)學(xué)》（選擇性必修第三冊））均設(shè)置了24個“閱讀與思考”欄目，但后者在內(nèi)容上做了較大調(diào)整，這24個學(xué)習(xí)材料大致可分為四類：豐富知識，開闊視野型，如《向量及向量符號的由來》；激發(fā)興趣，提升思維型，如《對數(shù)的發(fā)明h愛國主義教育型，如《海倫與秦九韶》；拓寬知識，提升能力型，如《如何得到敏感性問題的誠實反應(yīng)》。“閱讀與思考”欄目作為教材正文內(nèi)容的補充，為學(xué)生提供了選學(xué)素材。它篇幅短、內(nèi)容新、閱讀性強，集知識性、科學(xué)性、趣味性、教育性于一體，且根植于學(xué)生知識與能力的最近發(fā)展區(qū)，能很好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強其應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，進而提高學(xué)生的修養(yǎng)。

2教學(xué)設(shè)計

下面筆者以2019版《數(shù)學(xué)》（必修第二冊）第208頁“閱讀與思考”欄目中《統(tǒng)計學(xué)在軍事中的應(yīng)用——二戰(zhàn)時德國坦克總量的估計問題》為例，設(shè)計“閱讀與思考”欄目的教學(xué)。材料1：俗話說，知己知彼方能百戰(zhàn)百勝。在第二次世界大戰(zhàn)期間，德國制造坦克的技術(shù)非常先進，坦克的大量使用使納粹德國占據(jù)了戰(zhàn)場主動權(quán)。因此，了解德軍坦克的生產(chǎn)能力對盟軍具有重要的戰(zhàn)略意義。為此，除了通過常規(guī)情報收集信息外，盟軍請來了統(tǒng)計學(xué)家參與情報的收集和分析工作。根據(jù)德國戰(zhàn)后公布的生產(chǎn)記錄顯示，運用統(tǒng)計方法估計的結(jié)果與真實值非常接近，而通過常規(guī)情報進行的估計則與真實值相去甚遠。表1是二戰(zhàn)期間的三個月中，德國記錄的生產(chǎn)坦克的數(shù)目和情報估計統(tǒng)計估計的坦克數(shù)量。統(tǒng)計估計有如此高的精確度，統(tǒng)計學(xué)家是怎樣做到的？原來，盟軍在繳獲的德軍坦克上發(fā)現(xiàn)了一個重要的線索——每輛坦克上都有一個獨一無二的發(fā)動機序列號。據(jù)分析，序列號前面6位表示生產(chǎn)的年月，最后4位是按生產(chǎn)順序從1開始的連續(xù)編號。統(tǒng)計學(xué)家主要是將繳獲的德軍坦克序列號作為樣本，用樣本估計總體的方法進行推斷的。假設(shè)德軍某月生產(chǎn)的坦克總數(shù)為JV，繳獲的該月生產(chǎn)的n輛坦克的編號從小到大為X，，x2，…，，即最大編號為且繳獲的坦克是從所生產(chǎn)的坦克中隨機獲取的。因為生產(chǎn)的坦克是連續(xù)編號的，所以繳獲坦克的編號為工I，＾2，…，A相當(dāng)于從［1，N］中隨機抽取了》個整數(shù)。這n個數(shù)將區(qū)間［0，N］分成《＋1個小區(qū)間（如圖1）。由于JV是未知的，除了最右邊的區(qū)間外，其他《個區(qū)間都是已知的。由于這〃個數(shù)是隨機抽取的，所以可以用前H個區(qū)間的平均長度＆估計所有n＋1個區(qū)間的平均長度71｜，進而得到N的估計值。例如，繳獲坦克的編號71十1A，解得N＝15。當(dāng)年，統(tǒng)計學(xué)家就是利用上述奇妙的方法估計出德軍每月生產(chǎn)的坦克數(shù)。教師可設(shè)計如下問題引導(dǎo)學(xué)生思考。問題1：這種估計方法的統(tǒng)計學(xué)原理是什么？用樣本估計總體。在攪拌均勻的總體中，每個個體被抽到的概率相等，隨機抽取的樣本近似地滿足均勻分布。由于戰(zhàn)爭的需要，德國兵工廠每月生產(chǎn)的所有坦克都會按編號分成不同的批次，然后再輸送到各地的戰(zhàn)場投入戰(zhàn)斗，相當(dāng)于把樣本總體進行分層。而各戰(zhàn)場繳獲的坦克編號類似于分層抽樣的樣本，因此，可以用樣本的平均間隔來估計總體各層的平均間隔，從而估計出總體的個數(shù)。問題2：如果用樣本編號的平均數(shù)作為每月生產(chǎn)坦克編號的平均數(shù)，與前面的方法相比，哪種方法更合理？用樣本編號的平均數(shù)f＝5．75作為每月生產(chǎn)坦克編號的平均數(shù)，顯然是不合理的。因為，雖然平均數(shù)涵蓋了所有數(shù)據(jù)的信息，是這組數(shù)據(jù)的“中心”，但極端值對平均數(shù)的影響很大，即樣本中的最大數(shù)A和總體中的最大數(shù)對各自的平均數(shù)影響較大。問題3：這種估計方法有什么現(xiàn)實應(yīng)用？常用于搜集商業(yè)或軍事中的數(shù)據(jù)情報。如：參考活動方案：先從魚塘中捕撈50條這種魚作記號，然后放回池塘。經(jīng)過一段時間，等帶記號的魚完全混于魚群中之后，再第二次捕撈這種魚200條（捕撈魚的數(shù)量盡量多些，越多預(yù)測結(jié)果越準(zhǔn)確），找出其中作記號的魚的條數(shù)《，則魚塘中這種魚的數(shù)目約為50＋。如果教學(xué)活動就此戛然而止，則師生都會感到意猶未盡，而且學(xué)生的興趣和能力很難得到充分的發(fā)展，因此，教學(xué)時可以做如下拓展。材料2：2019版《數(shù)學(xué)》（必修第二冊）第258頁習(xí)題10．3第3題。在英語中不同字母出現(xiàn)的頻率彼此不同且相差很大，但同一個字母的使用頻率相當(dāng)穩(wěn)定。有人統(tǒng)計了40多萬個單詞中5個元音字母的使用頻率，結(jié)果如表2所示：問題4：在每天都在增加的浩瀚文字中，某個元音字母出現(xiàn)的頻率真是確定的嗎？請你參與下面的實踐活動：自主活動2：請三位學(xué)生統(tǒng)計髙中英語課文《霧都孤兒》（原著節(jié)選）中元音字母“e”出現(xiàn)的頻率。某學(xué)習(xí)小組的統(tǒng)計結(jié)果：總字母數(shù)2685個，其中有309個e，出現(xiàn)頻率為11．51％，接近于正常頻率，但偏少，這也恰好反映了狄更斯獨特的寫作習(xí)慣。結(jié)論：當(dāng)統(tǒng)計的字數(shù)不斷增加，統(tǒng)計的次數(shù)越來越多時，就會發(fā)現(xiàn)這些字母的出現(xiàn)頻率相當(dāng)穩(wěn)定。因為每一個樣本（一篇文章）都由具有相似的元音字母構(gòu)成，匯成龐大的文字總體后，元音字母就具有動態(tài)和穩(wěn)定二象性，所以可以用樣本去估計總體。問題S：你想了解自己的書面寫作習(xí)慣嗎？可以嘗試下面的實踐活動。自主活動3：請兩位學(xué)生將自己考試作文中的“的”“了”出現(xiàn)的頻率統(tǒng)計出來。學(xué)生1：總字數(shù)為794＋834＝1628，有16＋13＝29個“的”，0＋1＝1個“了”。“的”字出現(xiàn)的頻率為1．8％，“了”字出現(xiàn)的頻率為0．06％。學(xué)生2：總字數(shù)573＋826＝1399，有31＋30＝61個“的”，2＋7＝9個“了”。“的”字出現(xiàn)的頻率為4．36％，“了”字出現(xiàn)的頻率為0．64％。結(jié)論：上述結(jié)果說明對某個特定的人而言，他在寫作時使用助詞有固定的習(xí)慣。材料3：在實際生活中隨機找一個數(shù)，這個數(shù)是1開頭（說明：0．1也算是1開頭）的概率是多少？某銀行1〇〇〇名儲戶的存款金額的首位數(shù)字是1的概率是多少？一般，人們的回答是但實際上概率是lg2，約30．1％，如圖2。這很令人費解，數(shù)學(xué)是不是在故弄玄虛？但它確實是這樣，這就是首位數(shù)定理，也叫作本福特定律。它的數(shù)學(xué)表述為：在6進位制的數(shù)中，以數(shù)n（l＜W＜6l）起頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為l〇g6（／z＋l）l〇g6？。它的適用范圍非常廣泛，幾乎所有日常生活中非人為規(guī)則的統(tǒng)計數(shù)據(jù)都滿足這個定律。比如，世界各國人口數(shù)量、各國國土面積、賬本上的數(shù)據(jù)、物理、化學(xué)中的常數(shù)等都符合本福特定律。審計學(xué)家依據(jù)這一定律發(fā)現(xiàn)了2004年美國總統(tǒng)選舉中佛羅里達州的投票欺詐行為、2001年著名的“美國最大的能源交易商安然公司做假賬案”等。審計人員發(fā)現(xiàn)，安然公司在2000年到2001年所公布的每股盈利數(shù)字不符合本福特定律，這證明了安然公司的高層領(lǐng)導(dǎo)可能改動過這些數(shù)據(jù)。自主活動4：請同學(xué)們閱讀嘉言先生的網(wǎng)絡(luò)文章《怎樣通過概率，快速看出財務(wù)造假》和美國作家威廉？龐德斯通的《如何成為超級預(yù)測者》，并回答下面的問題：問題6：（1）小組合作，列舉身邊的一些數(shù)據(jù)，驗證本福特定律；（2）你能否將本福特定律的內(nèi)容及成因簡明扼要地分享給你的同學(xué)、朋友和父母？（3）舉例說明本福特定律在什么情況下不成立；你們班級某次考試的數(shù)學(xué)成績符合本福特定律嗎？為什么？問題7：通過本次“閱讀與思考”的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？

3教學(xué)反思

如何開展“閱讀與思考”欄目的教學(xué)工作，是新教材實施過程中的一個新課題，值得教師做深入的探索和嘗試。通過上面的教學(xué)案例可以總結(jié)出“閱讀與思考”欄目的基本教學(xué)策略。（1）因生施教。“閱讀與思考”欄目是教材的內(nèi)容，理應(yīng)開展相應(yīng)的教學(xué)活動。但怎樣教，教學(xué)的深度如何把控呢？首先，“閱讀與思考”的“教”，非以往的“教”，其核心是通過學(xué)生自主閱讀喚醒學(xué)生臨淵羨魚之意，激發(fā)學(xué)生退而結(jié)網(wǎng)之志；其次，可以根據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)和興趣做出不同層次的目標(biāo)要求，重在探究過程，不過度關(guān)注最終思考成果的層次。（2）因材施教。根據(jù)“閱讀與思考”欄目內(nèi)容的不同采用靈活的教學(xué)方式。如，自學(xué)交流式——學(xué)生先自學(xué)后集中討論交流；學(xué)生講座式——由某個學(xué)習(xí)小組準(zhǔn)備材料，再從中選出一人主講；自主探究式——以個人或小組的形式對材料內(nèi)容進行證明和拓展；實驗式——通過實際操作增強感性認識；等等。（3）擇時而學(xué)。這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)主要放在數(shù)學(xué)課堂之外，鼓勵有興趣的學(xué)生利用研究性學(xué)習(xí)課、自習(xí)課、課外活動自主探究，但也要有具體的學(xué)習(xí)計劃安排，并在每個時間節(jié)點進行檢查落實；同時，作為一個專題活動，時間也不要限制在一兩次活動課內(nèi)完成，可以給學(xué)生設(shè)定一個時間相對寬裕的環(huán)境，在切磋、探索、交流中完成。（4）貴在得法。“閱讀與思考”欄目的學(xué)習(xí)可分為兩個階段：先是讀，目的是培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力，個別不懂之處可以請教教師；后是思考，“學(xué)而不思則罔”，讀懂了不是目的，應(yīng)用、思考、探索，開闊視野，拓寬思維，用材料作為“酵母”讓學(xué)習(xí)“發(fā)酵”，才是欄目設(shè)置的初衷和教學(xué)的出發(fā)點。教學(xué)形式也要打破教師講學(xué)生聽的模式，教師可以提供素材和思路，讓學(xué)生去查數(shù)據(jù)、做實驗，自主學(xué)習(xí)、分組討論，以活動為學(xué)習(xí)的主線，重在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和熱情，讓學(xué)生體會發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的快樂，在潛移默化中提升素養(yǎng)。“閱讀與思考”欄目對教師的知識結(jié)構(gòu)提出了新要求，如果教師只是簡單地布置學(xué)生去閱讀，那么學(xué)生很難有深層次的思考。因此，教師要認真研究“閱讀與思考”欄目的內(nèi)容，準(zhǔn)確定位“閱讀與思考”的目標(biāo)主體和方式，廣泛搜集與內(nèi)容匹配的各種素材，挖掘它們之間的內(nèi)在聯(lián)系和思維共性，做出髙屋建瓴的指導(dǎo)，促進學(xué)生創(chuàng)新意識和思維的養(yǎng)成。教師還要不斷地更新知識儲備，以應(yīng)對學(xué)生提出的各種問題。這種備課模式是新課標(biāo)對教師提出的新要求、新挑戰(zhàn)。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］．北京：人民教育出版社，2020．

作者：李兵 單位：山東淄博實驗中學(xué)