數學對物理化學的應用

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高中數學核心素養中的數學運算、數學建模、邏輯推理等方法在解答物理、化學題中具有非常重要的作用，數學抽象、直觀想象、數據分析核心素養在物理、化學教學中也多用到。對中學生來說，若能很好地利用數學這個工具去處理物理、化學問題，那么一些物理、化學難題便會迎刃而解，進而提高學習效率，培養創新意識?，F舉例分析如下：

一、數學在物理學習中的具體應用

（一）將均值不等式用于求解物理中的最值問題

均值定理：a+b≥2ab（a≥0，b≥0），若ab=p（定值），當a=b時，（a+b）有最小值2P；若a+b＝M（定值），當a=b時，ab有最大值22M。使用均值不等式求最值時，要遵循“一正、二定、三相等”三步驟，三者缺一不可，若不滿足，應化歸轉化條件，運用轉化思想、邏輯推理、數學運算和數學建模等進行解答?！纠?】己知電動勢為ε，內阻為r的電源，當外電路電阻R為多大時，電源輸出功率最大？【解析】要求電源輸出動率的最大值，須列出輸出功率關于外電阻R的函數表達式，然后求這個函數的最大值。根據公式很容易求出P出=I2R=ε+2RRr，其中ε，r為已知，R為自變量。這樣只須求出這個函數的最大值即可。解答過程如下：P=ε+2RRr=ε++222rRrR≤!!"!#!槡$%&'()*&'(!"+,&)"+,&!%)*))"")%%-'(=ε24r，當且僅當R=2rR，即R＝r時，等號成立。這道題直接運用均值不等式a+b≥2ab（a＞0，b＞0）求解，簡潔、明了。

（二）函數圖象在解物理題中的應用

在解答物理問題的過程中，學生經常遇到一些物理計算式與方程、不等式、分段函數、幾何圖形密切相關。當學生遇到這種物理問題的時候，我們要引導學生根據題意建立函數模型，利用數形結合思想解決問題。比如下面兩個例子。【例2】由功率定義式可知P出=U路·I。而U路=ε-Ir，是一個關于I的一次函數，其圖象是一條直線。不妨以I為橫縱，U路為縱軸建立坐標系，如圖1所示。這條直線與坐標軸圍成一個直角三角形εOI短。從直線上的一點A作三角形的內接矩形，則矩形面積的數值就等于電源的輸出功率的數值，即P=UI′。圖1由數學知識可知，當A為直線中點時內接矩形面積最大，即輸出的功率最大。而R＝U／I′＝tan，由圖可以得到△OAI′≌△I′AI短，即＝，故R＝tan＝tan＝ε／I短＝r?！纠?】勻強電場的場強E=2.0×103v·m-1，方向水平。電場中有兩個帶電質點，它們的質量均m=1.0×10-5kg。質點A帶負電，質點B帶正電，電量皆為q=1.0×10-9C。開始時，兩質點位于同一等勢面上，A的初速度VA0=2.0m/s，B的初速度VB0=1.2m/s，這兩個速度的方向均沿場強方向。在以后的運動過程中，若用ΔS表示任一時刻兩質點間的水平距離。問當ΔS的數值在什么范圍內，可判斷哪個質點在前面（規定圖2－1中右方為前）。當ΔS的數值在什么范圍內，不可判斷誰前誰后？時刻變化，怎么可能僅憑ΔS便可判斷出前后順序呢？這時可別只想著單一地利用物理知識來求解，要把數學知識與物理知識結合起來進行綜合分析。那么怎樣才能將之與數學思想方法聯系起來呢？由物理知識我們知道，兩物體的位移均是時間t的二次函數，距離ΔS也應是關于t的二次函數，只須討論ΔS的值域，即二次函數的值域就可以解決問題。由物理情景知：t＜2s時，A在前，A的速度大于B的速度，A和B距離在增大；當t＝2s時，A和B的速度相等，A和B相距最遠，ΔS最遠為0.8m；當2s＜t＜4s時，B的速度大于A的速度，B追A，距離在拉近；當t＝4s時，B追上A，ΔS＝0。即當0＜t＜4時，A在前，ΔS由0增加到0.8米又由0.8米減小至0。當t＞4s時，B在前且加速，A在后減速，A不可能再追上B，ΔS由0開始一直增大。所以當0≤ΔS≤0.8時，有可能A在前也有可能B在前，但是ΔS＞0.8后，一定是B在前。圖象判斷：由t可判斷誰在前，那么只須找ΔS與t的關系即可用ΔS來判斷誰在前。對某個△S，若對應的t值在兩個區間（0，4）及（4，＋∞）時，不能判斷；對某個ΔS對應的t值唯一，那么便可判斷誰在前。由圖2-2知，當0≤ΔS≤0.8時，對應的t值在（0，4）及（4，＋∞）兩個區間；當ΔS＞0.8時，對應一個區間（4，＋∞）。故當0≤ΔS≤0.8時，不能判斷；ΔS＞0.8時，可判斷B在A前方。

（三）幾何知識與三角函數知識在解物理題中的應用

物理問題中常存在幾何關系，因此可將物理中有關問題轉化為數學中的幾何圖形關系問題，再利用幾何知識和方法解決。有些力學問題、光學問題和電學問題除了用幾何知識，還可用三角函數知識來解答，如解三角形模型的物理，可利用三角函數的有界性，求某一變量的最大值或最小值等?！纠?】如圖3，在斜槽ABCD中，各面動摩擦因子相同，一小球從A處由靜止開始滾下，經AB、BC、CD，至D點停下，AD與BC夾角為，試求球與斜槽的動摩擦因子。此題難度較大，難點在于怎樣作輔助線，找出幾何關系。數學基礎好的學生能敏銳地找出隱藏在題目中的幾何關系，巧妙地利用數形結合思想和三角函數知識解答。【例5】如圖4－1所示，A為帶正電荷Q的金屬板，沿金屬板的垂直平分線在距離板r處放一質量為m、電荷量為q的小球，小球受水平向右的電場力作用而偏轉角后靜止。設小球是用絕緣絲線懸掛于O點，求小球住處的電場強度。此題利用數形結合思想，用解三角形知識解答，發展了學生的邏輯推理、直觀想象等核心素養?？梢?，恰當地把數學抽象、直觀想象、數學建模等數學核心素養、簡明的數形結合思想應用于解答物理問題中，能使物理問題更清晰明了，有利于我們分析物理過程和題目的求解。函數、等差數列、等比數列、參數方程、極坐標方程、求極限和導數等知識和方法都可廣泛地應用于物理學習中，幫助我們求解物理問題。

二、數學在化學學習中的具體應用

（一）分類討論思想在求解化學計算題中的應用

分類討論思想是一種重要的數學思想，它蘊含嚴密的邏輯推理這一數學核心素養。這種思想方法能幫助我們準確地把握分類標準，使我們的思維更俱全面性。因其要求的能力較高，難度較大，所以許多化學計算題的壓軸題都涉及分類討論思想。請看下例：【例6】寫出H2S燃燒的化學方程式。1.0LH2S氣體在aL空氣混合點燃后，若反應后氣體的溫度和壓強都不變，均為20℃，1.01×105Pa。試討論a的取值范圍不同時，燃燒后氣體的總體V（用含a的表達式表示，假定空氣中O2占空氣的15）H2S與O2反應產物可能有多種，而題目所給空氣體積a是個不確定值，產物到底是什么呢？在數學中常要對一些不確定量進行分類討論，因此，我們可以利用數學中的分類討論思想方法對不確定的a進行討論，可很快地解答問題。（解略）在解題中，利用數學分類思想方法進行討論時，會遇到兩個難點：①如何選取分類標準，即如何尋找不定量的不同區間，并以此進行討論；②如何做到討論全面、準確。在化學的分類討論中難點①已不存在，因分類區間已經給出限定，按化學方程式系數比即可寫出，因此我們只需討論難點②。因此化學的分類討論題難度明顯比數學討論題容易得多。但若要運用數學分類討論思想來解決的化學問題則會比解其他化學題難得多，它對數學抽象、數學運算等數學核心素養要求較高。

（二）不完全歸納法在化學中的靈活應用

不完全歸納法的本質就是由特殊到一般的思維方法，通過少數幾個具體情況歸納出一般規律，它與數學歸納法不同的是它不需要嚴格證明。請看下面例題?！纠?】己知有一系列的有機物如圖5所示，求它的分子式通式?！窘馕觥拷浻^察得知，每增加一個環，即增加4個C，4個H。由數學中的等差數列知識可知，其所求分子式通式為C4n+2H4n+2。由此可見，利用不完全歸納法解答一些選擇題或填空題，往往能出奇制勝。

（三）方程思想在化學計算中的應用

化學計算題中有很大一部分要列出方程求解。具體來說，就是設出題目中要求的幾個未知量，根據反應的關系列出幾個方程，組成一個方程組，然后進行求解。這種題與數學中的應用題十分相似，只不過數學應用題是依據題目文字敘述及一些遞推關系列方程，且條件隱蔽性更強，列方程的難度更大。請看下面例題。【例8】有一些含雜質CaCO3的Na2CO3共11.6克，加入過量的鹽酸產生氣體2.46升，求CaCO3和Na2CO3的質量?！窘馕觥款}目有兩個待求量，可設CaCO3和Na2CO3分別為X克，Y克，則X＋Y＝11.6　　　　　　　　　　①再分析題給信息，產生的氣體CO2有2.46升，即0.11（md），而CaCO3、Na2CO3與鹽酸反應都產生CO2，且每md的CaCO3或Na2CO3都產生1md的CO2。那么產生CO2物質的量就等于CaCO3產生的CO2與Na2CO3產生的CO2的物質的量之和。由①②聯立方程組可解得X＝1克，Y＝10.6克。在解題中，如果能把解數學應用題及其他數學題的數學建模、數學運算等方法應用于化學計算題中，那么問題便容易得以解決。

（四）立體幾何知識在化學中的應用

要想理解和掌握好原子、分子、化學鍵、晶體等微觀結構，我們需要有一定的三維想象能力。因為這些微觀結構雖然具有高度對稱性，但都比較復雜，在日常的生活中很難看得到，所以學生難以理解。因此，教師要把所學的立體幾何知識及豐富的空間想象力應用其中，由圖中的一個結構想象出整個晶體排布，或畫出其立體圖或某個截面圖，才能對晶體結構有一個清晰的認識。比如下面的例題?！纠?】（高考題改編）己知C60結構是形如球狀的多面體，其分子中每個碳原子又跟三個質子形成化學鍵，并且C60分子中R含五邊形和六邊形，求C60中五邊形數和六邊形數?！窘馕觥吭O有X個五邊形，有Y個六邊形，則在此多面體中有60個頂點，而每個頂點對應三條棱，每條棱連接兩個頂點。故有多面體中棱數為60×3÷2＝90（條）；由歐拉定理知，頂點數＋面數－棱的條數＝2，即面數＝2＋棱的條數－頂點數＝2＋90－60＝32；所以，X＋Y＝32。又由對應思想知，每個五邊形有5條邊，每個六邊形有6條邊，而每條棱對應兩個面。所以，（5X＋6Y）÷2＝棱的條數＝90，即5X＋6Y＝180；又X＋Y＝32，解出X＝12，Y＝20；所以C60中五邊形數為12，六邊形數為20。此題看似化學問題，但根本用不上任何化學知識來求解。如果學生沒能將之轉化為數學問題，那么就不可能做出來。對這種只以化學為基本素材的“數學題”，就要想一想，它與哪些數學知識有關。如果能想到對應原理和歐拉定理，那么就能迎刃而解。由此可見，如果能把數學思想方法應用于求解化學難題中，那么往往就能化難為易，化復雜為簡單，從而輕松解題。在教學中，我們如果能將數學知識及其思想方法應用于物理、化學的學習中，那么就能較好地培養學生綜合能力，提高學生的智力，促進學生發展。

作者：歐陽群壯 歐陽雙 單位：桂林十八中 桂林旅游學院