概率論范文10篇

摘要:長期以來,概率論一直被認為是從賭博游戲中產生的。論文但事實上,賭博游戲由來已久,而概率論卻直到17世紀末才誕生。這說明賭博并不是概率論產生的決定性因素。概率論的形成是多種因素結合的結果。文章的目的即在于對這些產生條件進行分析,從而使人們能夠清楚地了解影響概率論產生的各種關鍵性因素。

關鍵詞:獨立隨機過程;計數系統;歸納法;保險業

概率論是一門應用非常廣泛的學科。在數學史上,它的產生是以帕斯卡和費馬在1654年的七封通信為標志的。由于這些信件中所解決的問題多是與賭博有關的點數問題,因此人們總是把概率論的產生歸功于賭博這項機遇游戲。但考古學發現告訴我們,賭博游戲早在文明初期就已經存在了,迄今已有幾千年的歷史,而概率論從誕生至今不過三百余年,這說明賭博并不是概率論產生的決定性條件。在從賭博出現到概率論產生之間的這段“空白”期,必定還有一些十分關鍵的因素正在孕育之中。那么這些因素是什么?換句話說,需要具備哪些先決條件,概率論才能得以形成?

一獨立隨機過程的出現

對概率論而言,兩個最主要的概念就是獨立性和隨機性[1]。概率論是從研究古典概型開始的,它所涉及的研究對象是大量的獨立隨機過程。通過對這些過程中出現的問題的解決,概率理論體系才逐漸地建立起來。因此要考察概率論的產生條件,我們首先應當對獨立隨機過程的產生有充分的了解。

事實上,這種過程的雛形早在原始社會就已經存在了,那時的占卜師們使用動物的趾骨作為占卜工具,將一個或多個趾骨投擲出去,趾骨落地后的不同形狀指示神對人事的不同意見。由于投擲趾骨這個過程所產生的結果具有不可預測性,而每次投擲的結果也互不影響,這與我們今天投擲骰子的基本原理相當,因此趾骨可以被看作是骰子的雛形。但是由于趾骨形狀的規則性較差,各種結果出現的機率不完全相同(即不具備等可能性),所以趾骨產生的隨機過程還不是我們今天意義上的獨立隨機過程。加之趾骨作為一種占卜工具,其本身具有神圣的地位,普通人不可能輕易使用,這也在某種程度上阻礙了人們對隨機過程的認識。

1實驗教學特征及意義

按照應用性為主的教學目的要求，在概率論與數理統計教學過程中，應該以培養學生應用概率論與數理統計方法解決實際問題的能力為出發點，使學生掌握概率論的基本知識和理解統計方法的基本思想，并將理論的學習轉化成一定的統計應用能力。隨著目前統計工作所面臨的數據日益龐大，傳統教學中的計算公式已經很難使用手工計算的方式進行求解，因此借助于計算機及統計軟件完成統計計算，分析統計結果、做出統計推斷便成為統計教學中不可忽視的一個手段。使用軟件輔助概率論與數理統計的教學能使課程中的數據處理和數值計算更簡易、更精確。伴隨著計算機技術及數學軟件的發展，使得諸多的統計分析借助數學軟件得以實現，如參數估計、假設檢驗、方差分析和回歸分析等計算問題，也無需擔心大量的統計數據帶來的計算量等問題。同時，在高等教育統計教學中應用統計軟件，有利于培養學生學習統計、計算機及軟件等專業課的興趣，提高學生的計算能力和利用專業知識解決實際問題的能力，科學整合統計教學內容，促進統計教學面向社會需要，提升學生的實踐能力。在教學中進行軟件的訓練也能為學生將來的工作打下初步的基礎，為了更好進行概率論與數理統計的教學和實踐，近年來新編教材也增加了數學軟件的內容，在概率論與數理統計課程教學中使用數學軟件已成為改革發展的趨勢。在課堂教學中，為了讓學生加深對理論的理解，實踐環節的設置變得非常關鍵，概率論與數理統計課程中加入數學實驗能很好的填補學生在理論和實踐之間的空白。數學實驗的開展可以在數學教育中體現學生的主體意識，讓學生做到邊學邊用，提高學生學習的趣味性、體現數學教育的時代性。因此，將數學實驗融入概率論與數理統計教學，是概率論與數理統計教學改革中非常值得探討和研究的課題。根據概率論與數理統計課程的特點，數學實驗的內容設計可以和案例教學方法進行有機結合。案例式教學能解決概率知識綜合運用的問題，能豐富課程內容、加深學生對知識的理解。教學案例能將所學知識有機聯系起來，使課程的各部分不再是孤立的，通過對案例設置問題的求解，便能使學生完成由學概率論與數理統計理論到用概率論與數理統計解決問題的轉變。在解決實際問題的過程中輔以軟件進行數值計算試驗，能最大限度發揮軟件的優勢，使學生學以致用，將理論學習與實際應用有機結合起來。在傳統概率論與數理統計教學過程中，概率論與數理統計課程計算量大一直是困擾課堂教學的難點問題，如二項分布，若試驗次數較多，其中的具體概率計算將變得十分復雜。復雜的計算往往使得教師的教學重點發生偏移，側重課后習題計算的處理，使得課程的設計重點偏向排列組合公式的計算。另外在教學過程中，前后知識的聯系對初學者也是一個障礙，比如條件概率等基本公式在討論多元隨機變量時還會用到，但在教學實踐中我們會發現，由于缺少互相聯系的教學實例，學生一般都是將這兩部分分開來學習，不習慣將前面的知識和隨機變量進行有機結合。因此設計恰當的案例，將知識前后貫通是教師面臨的重要任務。

2軟件介紹

在強調學生為主體的實踐式教學設計中，教師設計案例的求解一般要選擇合適的軟件進行輔助，當前數學軟件眾多、功能強大，如綜合性軟件Mat－lab，統計專業軟件SPSS、SAS等。對于專業數學軟件一般要先進行軟件的學習才能用來解決實際問題，對于概率論與數理統計這樣一門獨立的課程，顯然不宜專門來進行軟件的培訓，為了應對實踐教學課堂應用，簡單易學且容易配置的軟件能最大限度實現教學任務。在此以Excel為例介紹案例式教學和利用Excel進行軟件試驗的一點嘗試。Excel使用簡便，基本不涉及程序的編制，在圖形化界面下進行操作，且具備有強大的圖形功能，便于概率結果的呈現和分析。Excel有豐富的概率函數，能幫助用戶進行各種類型的概率計算，或進行隨機模擬來學習概率論與數理統計。Excel可以計算大部分常用理論分布的概率密度函數PDF、累積分布函數CDF以及模擬產生服從常用概率分布的隨機數據。如果能夠正確使用，Excel可以成為非常強大的學習工具。選用Excel作為概率論與數理統計教學輔助軟件的另一個原因是作為微軟Office工具之一，大部分學生均了解Excel的使用，因此不用進行軟件的教學即可用來解決實際問題，在學習過程中也能進一步促進學生對軟件的使用增強他們解決實際問題的能力。下面介紹一個利用Excel輔助的案例式實驗教學設計實例。為了使數學實驗背景貼近學生的學習生活，以考試中選擇題成績分析為例。背景分析：考試是每個學生都經歷的學習過程，其中選擇題是經常遇到的類型，選擇題的設計與概率知識之間有密切的關系。通過與學生密切相關的問題引入概率教學，能極大激發學生的學習興趣。問題設計：選擇題在解答時不同于填空題或者解答題，因為在完全不會的情況下仍有可能靠猜測得到正確的答案，那如何來評估選擇題在考試中的效度，可以使用什么樣的概率論與數理統計的基本知識予以研究？

3實驗教學案例設計

首先提出基本假設，考試時一個選擇題有4個選項，僅有一個選項是正確的，如果不會做就隨機作答，因此在不會做題的情況下隨機選擇答案有25％的可能性得到正確答案，即從卷面上看該題做對了，對于老師來說，按照成績評價學生實際知識水平非常重要，因此需要評估在答案正確的前提下求學生實際會做該題的概率。圖像顯示出選擇題答案正確而顯示被試者會做該題的概率一直大于被試者實際會做該題的概率，說明選擇題容易高估被試者的水平，為了有效區分被試者的不同程度，需要適當調節題目的難度來區分被試者是不是真的會做。作為一個例子，若學生會做與不會做的概率相同，取x＝0．5，則容易計算出P（A｜B）＝0．8，即實際會做概率為0．5時，選擇題表現出來的得分可能為0．8分。對于數學實驗來說，讓學生自己對該案例進一步討論，親自實踐在軟件輔助下的概率解題，對促進學生將理論用于實際非常重要。在課堂講授的基礎上，可以將學生自學內容引申到用隨機變量的分布律和分布函數來研究在實際考試中選擇題得分情況演示，結合二項分布理論研究選擇題對學習評價的情況。評價借助于Excel軟件設計如下實驗。假設某項考試由100道選擇題組成，每道題1分，學生會做該題的概率為x（實際問題中相當于難度系數為1－x），當x＝0的時候，被試者對考試內容完全不會，每題都隨機選擇，可以看成服從參數為（100，0．25）的二項分布，使用Excel中的BINOM－DIST（）函數進行二項分布概率密度值和分布函數值的計算來演示考試結果。函數用法為：BINOM－DIST（k，n，p，FALSE／TRUE），其中k表示回答正確的題目數量，可以使用單元格自動生成，n，p為二項分布的參數。n表示總試驗次數，p表示每次試驗中事件出現的次數即答對題的概率。后面的參數FALSE／TRUE用來說明是計算概率密度函數和是計算分布函數。如BINOMDIST（A2，100，0．25，FALSE）表示對A2單元格中的自變量計算參數為（100，0．25）的二項分布概率密度函數值。使用Ex－cel的自動填充功能，便可方便生成該二項分布的概率密度表。為方便調節二項分布參數，可以將參數（n，p）用單元格的絕對引用代替，改變參數單元格的數值就能得到不同二項分布的概率密度表格。Excel還可以對概率密度表和分布函數表生成條形圖和線圖，若試題難度系數0．5，學生事實會做的題目應該有50道，因此會做的題目有50道，另外不會做的隨機選擇，正確率0．25，因此回答正確的題數為12．5，兩者相加可知最終得62．5分的概率最大。

摘要：將數學史引入課堂、在教學中廣泛應用案例、積極開展隨機試驗以及引導學生主動探索等，有助于改進概率論教學方法，解決教學實踐問題，提高教學質量．教學手段的多樣化以及豐富的教學內容可以加深學生對客觀隨機現象的理解與認識，并激發學生自主學習和主動探索的精神．

關鍵詞：概率論；教學；思維方法

在數學的歷史發展過程中出現了3次重大的飛躍．第一次飛躍是從算數過渡到代數，第二次飛躍是常量數學到變量數學，第三次飛躍就是從確定數學到隨機數學．現實世界的隨機本質使得各個領域從確定性理論轉向隨機理論成為自然；而且隨機數學的工具、結論與方法為解決確定性數學中的問題開辟了新的途徑．因此可以說，隨機數學必將成為未來主流數學中的亮點之一．概率論作為隨機數學中最基礎的部分，已經成為高校中很多專業的學生所必修的一門基礎課．但是教學過程中存在的一個主要問題是：學生們往往已經習慣了確定數學的學習思維方式，認為概率中的基本概念抽象難以理解，思維受限難以展開．這些都使得學生對這門課望而卻步，因此如何在概率論的教學過程中培養學生學習隨機數學的思維方法就顯得十分重要．本文擬介紹我們在該課程教學中的改革嘗試，當作引玉之磚．

1將數學史融入教學課堂在概率論教學過程當中，介紹相關的數學史可以幫助學生更好地認識到概率論不僅是“陽春白雪”，而且還是一門應用背景很強的學科．比如說概率論中最重要的分布——正態分布，就是在18世紀，為解決天文觀測誤差而提出的．在17、18世紀，由于不完善的儀器以及觀測人員缺乏經驗等原因，天文觀測誤差是一個重要的問題，有許多科學家都進行過研究．1809年，正態分布概念是由德國的數學家和天文學家德莫弗（DeMoivre）于1733年首次提出的，德國數學家高斯（Gauss）率先將正態分布應用于天文學研究，指出正態分布可以很好地“擬合”誤差分布，故正態分布又叫高斯分布．如今，正態分布是最重要的一種概率分布，也是應用最廣泛的一種連續型分布．在1844年法國征兵時，有許多符合應征年齡的人稱自己的身高低于征兵的最低身高要求，因而可以免服兵役，這里面一定有人為了躲避兵役而說謊．果然，比利時數學家凱特勒（A.Quetlet，1796—1874）就是利用身高服從正態分布的法則，把應征人的身高的分布與一般男子的身高分布相比較，找出了法國2000個為躲避征兵而假稱低于最低身高要求的人[1]．在大學階段，我們不僅希望通過數學史在教學課堂中的呈現來引起學生學習概率論這門課程的興趣，更應側重讓學生通過興趣去深入挖掘數學史，感受隨機數學的思想方法[2]．我們知道概率論中的古典概型要求樣本空間有限，而幾何概型恰好可以消除這一條件，這兩種概型學生理解起來都很容易．但是繼而出現的概率公理化定義，學生們總認為抽象、不易接受．尤其是概率公理化定義里出現的σ代數[3]

這一概念：設Ω為樣本空間，若Ω的一些子集所組成的集合?滿足下列條件：（1）Ω∈?；（2）若A∈?，則A∈?；（3）若∈nA?，n=1,2,??，則∈∞=nnA∪1?，則我們稱?為Ω的一個σ代數．為了使學生更好的理解這一概念，我們可以引入幾何概型的一點歷史來介紹為什么要建立概率的公理化定義，為什么需要σ代數．幾何概型是19世紀末新發展起來的一種概率的計算方法，是在古典概型基礎上進一步的發展，是等可能事件的概念從有限向無限的延伸．1899年，法國學者貝特朗提出了所謂“貝特朗悖論”[3]，矛頭直指幾何概率概念本身．這個悖論是：給定一個半徑為1的圓，隨機取它的一條弦，問：

弦長不小于3的概率為多大？對于這個問題，如果我們假定端點在圓周上均勻分布，所求概率等于1/3；若假定弦的中點在直徑上均勻分布，所求概率為1/2；又若假定弦的中點在圓內均勻分布，則所求概率又等于1/4．同一個問題竟然會有3種不同的答案，原因在于取弦時采用了不同的等可能性假定！這3種答案針對的是3種不同的隨機試驗，對于各自的隨機試驗而言，它們都是正確的．因此在使用“隨機”、“等可能”、“均勻分布”等術語時，應明確指明其含義，而這又因試驗而異．也就是說我們在假定端點在圓周上均勻分布時，就不能考慮弦的中點在直徑上均勻分布或弦的中點在圓內均勻分布所對應的事件．換句話講，我們在假定端點在圓周上均勻分布時，只把端點在圓周上均勻分布所對應的元素看成為事件．現在再來理解σ-代數的概念：對同一個樣本空間Ω，?1={?,Ω}為它的一個σ代數；設A為Ω的一子集，則?2={?,A,A,Ω}也為Ω的一個σ代數；設B為Ω中不同于A的另一子集，則?3={?,A,B,A,B,AB,AB,BA,AB,Ω}也為Ω的一個σ代數；Ω的所有子集所組成的集合同樣能構成Ω的一個σ代數．當我們考慮?2時，就只把元素?2的元素?，A，A，Ω當作事件，而B或AB就不在考慮范圍之內．由此σ代數的定義就較易理解了．2廣泛運用案例教學法案例與一般例題不同，它有產生問題的實際背景，并能夠為學生所理解．案例教學法是將案例作為一種教學工具，把學生引導到實際問題中去，通過分析和討論，提出解決問題的基本方法和途徑的一種教學方法．我們可以從直觀性、趣味性和易于理解的角度把概率論基礎知識加以介紹．我們在講條件概率一節時可以先介紹一個有趣的案例——“瑪麗蓮問題”：十多年前，美國的“瑪利亞幸運搶答”

摘要：將數學史引入課堂、在教學中廣泛應用案例、積極開展隨機試驗以及引導學生主動探索等，有助于改進概率論教學方法，解決教學實踐問題，提高教學質量．教學手段的多樣化以及豐富的教學內容可以加深學生對客觀隨機現象的理解與認識，并激發學生自主學習和主動探索的精神．

關鍵詞：概率論；教學；思維方法

在數學的歷史發展過程中出現了3次重大的飛躍．第一次飛躍是從算數過渡到代數，第二次飛躍是常量數學到變量數學，第三次飛躍就是從確定數學到隨機數學．現實世界的隨機本質使得各個領域從確定性理論轉向隨機理論成為自然；而且隨機數學的工具、結論與方法為解決確定性數學中的問題開辟了新的途徑．因此可以說，隨機數學必將成為未來主流數學中的亮點之一．概率論作為隨機數學中最基礎的部分，已經成為高校中很多專業的學生所必修的一門基礎課．但是教學過程中存在的一個主要問題是：學生們往往已經習慣了確定數學的學習思維方式，認為概率中的基本概念抽象難以理解，思維受限難以展開．這些都使得學生對這門課望而卻步，因此如何在概率論的教學過程中培養學生學習隨機數學的思維方法就顯得十分重要．本文擬介紹我們在該課程教學中的改革嘗試，當作引玉之磚．1將數學史融入教學課堂在概率論教學過程當中，介紹相關的數學史可以幫助學生更好地認識到概率論不僅是“陽春白雪”，而且還是一門應用背景很強的學科．比如說概率論中最重要的分布——正態分布，就是在18世紀，為解決天文觀測誤差而提出的．在17、18世紀，由于不完善的儀器以及觀測人員缺乏經驗等原因，天文觀測誤差是一個重要的問題，有許多科學家都進行過研究．1809年，正態分布概念是由德國的數學家和天文學家德莫弗（DeMoivre）于1733年首次提出的，德國數學家高斯（Gauss）率先將正態分布應用于天文學研究，指出正態分布可以很好地“擬合”誤差分布，故正態分布又叫高斯分布．如今，正態分布是最重要的一種概率分布，也是應用最廣泛的一種連續型分布．在1844年法國征兵時，有許多符合應征年齡的人稱自己的身高低于征兵的最低身高要求，因而可以免服兵役，這里面一定有人為了躲避兵役而說謊．果然，比利時數學家凱特勒（A.Quetlet，1796—1874）就是利用身高服從正態分布的法則，把應征人的身高的分布與一般男子的身高分布相比較，找出了法國2000個為躲避征兵而假稱低于最低身高要求的人[1]．在大學階段，我們不僅希望通過數學史在教學課堂中的呈現來引起學生學習概率論這門課程的興趣，更應側重讓學生通過興趣去深入挖掘數學史，感受隨機數學的思想方法[2]．我們知道概率論中的古典概型要求樣本空間有限，而幾何概型恰好可以消除這一條件，這兩種概型學生理解起來都很容易．但是繼而出現的概率公理化定義，學生們總認為抽象、不易接受．尤其是概率公理化定義里出現的σ代數[3]

這一概念：設Ω為樣本空間，若Ω的一些子集所組成的集合?滿足下列條件：（1）Ω∈?；（2）若A∈?，則A∈?；（3）若∈nA?，n=1,2,??，則∈∞=nnA∪1?，則我們稱?為Ω的一個σ代數．為了使學生更好的理解這一概念，我們可以引入幾何概型的一點歷史來介紹為什么要建立概率的公理化定義，為什么需要σ代數．幾何概型是19世紀末新發展起來的一種概率的計算方法，是在古典概型基礎上進一步的發展，是等可能事件的概念從有限向無限的延伸．1899年，法國學者貝特朗提出了所謂“貝特朗悖論”[3]，矛頭直指幾何概率概念本身．這個悖論是：給定一個半徑為1的圓，隨機取它的一條弦，問：

弦長不小于3的概率為多大？對于這個問題，如果我們假定端點在圓周上均勻分布，所求概率等于1/3；若假定弦的中點在直徑上均勻分布，所求概率為1/2；又若假定弦的中點在圓內均勻分布，則所求概率又等于1/4．同一個問題竟然會有3種不同的答案，原因在于取弦時采用了不同的等可能性假定！這3種答案針對的是3種不同的隨機試驗，對于各自的隨機試驗而言，它們都是正確的．因此在使用“隨機”、“等可能”、“均勻分布”等術語時，應明確指明其含義，而這又因試驗而異．也就是說我們在假定端點在圓周上均勻分布時，就不能考慮弦的中點在直徑上均勻分布或弦的中點在圓內均勻分布所對應的事件．換句話講，我們在假定端點在圓周上均勻分布時，只把端點在圓周上均勻分布所對應的元素看成為事件．現在再來理解σ-代數的概念：對同一個樣本空間Ω，?1={?,Ω}為它的一個σ代數；設A為Ω的一子集，則?2={?,A,A,Ω}也為Ω的一個σ代數；設B為Ω中不同于A的另一子集，則?3={?,A,B,A,B,AB,AB,BA,AB,Ω}也為Ω的一個σ代數；Ω的所有子集所組成的集合同樣能構成Ω的一個σ代數．當我們考慮?2時，就只把元素?2的元素?，A，A，Ω當作事件，而B或AB就不在考慮范圍之內．由此σ代數的定義就較易理解了．2廣泛運用案例教學法案例與一般例題不同，它有產生問題的實際背景，并能夠為學生所理解．案例教學法是將案例作為一種教學工具，把學生引導到實際問題中去，通過分析和討論，提出解決問題的基本方法和途徑的一種教學方法．我們可以從直觀性、趣味性和易于理解的角度把概率論基礎知識加以介紹．我們在講條件概率一節時可以先介紹一個有趣的案例——“瑪麗蓮問題”：十多年前，美國的“瑪利亞幸運搶答”

電臺公布了這樣一道題：在三扇門的背后（比如說1號、2號及3號）藏了兩只羊與一輛小汽車，如果你猜對了藏汽車的門，則汽車就是你的．現在先讓你選擇，比方說你選擇了1號門，然后主持人打開了剩余兩扇門中的一個，讓你看清楚這扇門背后是只羊，接著問你是否應該重新選擇，以增大猜對汽車的概率？

摘要:概率論與數理統計是多數大學生本科階段必修的公共數學課之一。傳統的課堂只注重教師的教學，而忽視了學生的課堂參與度和有效反饋的問題。為了解決此問題并有效提高課堂教學效率，將BOPPPS模式引入《概率論與數理統計》課程的教學過程，激發學生學習興趣，吸引學生自主地參與課堂活動，并運用所學到的知識解決實際問題。以“概率的古典定義”為例，闡述BOPPPS模式的具體實施過程，表明該教學方法可以有效解決傳統教學模式中存在的問題，具有良好的現實意義。

關鍵詞:概率論與數理統計;BOPPPS模式;教學;參與式

2019年10月，教育部頒布《關于深化本科教育教學改革全面提高人才培養質量的意見》中提到“積極發展‘互聯網+教育’、探索智能教育新形態，推進課堂教學革命”。［1］為了落實教育信息化，加快課堂教學改革，目前眾多高等院校紛紛進行教學改革探索。因此，針對我校基礎數學課程之一的《概率論與數理統計》，依據該課程的教學現實情況，借鑒國內外的先進教學理念，將BOPPPS教學模式融入《概率論與數理統計》的教學改革中，從而激起學生學習該課程的興趣和熱情，培育學生的綜合概括能力、創新能力和應用概率與數學統計方法處理實際問題的能力［2］。

一、BOPPPS有效教學模式

BOPPPS教學模式是加拿大諸多高校中率先普遍使用的新型教學模式。與以往教學模式相比，該模式強調教學效果、課堂效率和教學收益［3］，同時在課堂教學過程中強調師生參與式互動和反饋的有效教學模式。BOPPPS教學模式將教學過程分成課前導入、學習目標、前測、參與式學習、后測、總結六個模塊。其六個模塊相互獨立，前后銜接，有的放矢，共同為實現教學目標而服務。整個教學過程中充分體現了“教學相長”，突出強調了以學生為主體，師生互動參與式學習，具備很強的實踐性和適應性。

二、概率論與數理統計教學現狀和改革的必要性

摘要：計算機類專業中，《概率論與數理統計》課程是重要的專業基礎課程。通過分析目前課程的教學現狀，從課程內容選擇、案例教學的引入、實驗教學的設計以及考核方式的改變等四個方面開展課程改革，是提高教學效果的良好途徑。

關鍵詞：概率論與數理統計；實驗教學；案例教學

《概率論與數理統計》課程是包括計算機類專業在內的工科專業的必修課程。它的前導課程為《高等數學》及《線性代數》，后續為專業課程提供數學基礎。通過該課程的學習，要求學生既能掌握相關的理論基礎，也能將其應用到比較復雜的實際問題中，提高學生的實踐應用能力。在實際教學過程中，課程內容模塊多，數學公式抽象、復雜難以記憶，而相對應的高等學校在設置課程時，課時比較少，且理論知識對學生來說難度比較大，使得課程學習后，學生普遍反映學習比較吃力，獲取的知識結構不系統，對相關的實際問題的應用也不熟練。因此，在教學過程中如何兼顧理論知識的學習和實際問題應用能力的培養，是在課程教學改革過程中需要考慮的重要點。

一、《概率論與數理統計》課程教學現狀

在計算機類專業人才培養體系中，《概率論與數理統計》作為專業基礎課程非常重要。作為一門重要的銜接課程，要求學生具備高等數學中的數學分析及線性代數中的高等代數的知識為基礎來進行學習，具有較強的理論性；同時，該課程中的知識內容具有很強的應用性，在數學建模、工程應用、軍事技術等領域有著廣泛的應用，也為后續的計算機類專業課程，如《程序設計》、《軟件工程》以及《項目管理》等提供數學基礎。經過幾年的教學過程總結，發現在課程教學中，主要存在以下幾個方面的問題：（一）學生高等數學、線性代數的基礎不牢固。《高等數學》及《線性代數》是本課程的前導課程，學生應該具備數學分析和高等代數的知識，作為本課程的學習基礎。但這兩門課程理論知識多，計算和證明過程多，學生普遍存在掌握知識不牢固、應付考試的情況，導致在本課程中的數學基礎不扎實，教師需要耗費教學時間去鞏固學生基礎。（二）采用大班上課的方式，課程內容緊湊，學生容易失去興趣。在人才培養方案實施過程中，《概率論與數理統計》作為專業基礎課程，采用了大班教學方式，一個教學班的規模會達到100到120人；而課程課時設定為64學時，課程內容比較多，講授過程中內容安排很緊湊，從而導致無法兼顧到所有學生并及時跟蹤學生的學習情況，使得一部分學生在學習中逐漸失去興趣，導致學習效率降低，整體教學效果不理想。（三）教學中缺少實踐及應用環節，學生創新能力低。在教學過程中，主要是在規定學時內將課程內容完成，使學生掌握相關的知識和方法。且由于教學實訓場地的限制，缺少課程的實踐環節，學生無法直觀地體會到將所學概率論和數理統計知識應用到實際問題中，導致學生雖然掌握了課程內容，卻沒有掌握應用的方法和手段，教學效果受到影響。

二、教學改革方法及具體措施

摘要：該文闡述了在概率論與數理統計課程教學中引入“雨課堂”的必要性，并給出了雨課堂在該課程中的應用，指出了“雨課堂”在實際應用中存在的問題，并針對問題提出了相應的改進措施，以期能為類似課程教學模式提供必要的參考。

關鍵詞：雨課堂；微信；課程教學；教學模式

隨著互聯網的發展和移動通信終端的全面普及，新的教學方法和教學模式不斷涌現，傳統教學模式將面臨嚴峻的挑戰。以智能手機為代表的移動通信終端已然成為每一個人的標配，這使得消費者的生活及學習方式發生了巨大的變化。根據中國互聯網絡信息中心（CNNIC）報告所顯示，截至2018年6月，我國手機網民規模達8.02億，移動互聯網的快速發展促使多種信息手段被運用到課程教學中[1-6]，不斷挑戰傳統教學方式。另一方面，大學課堂“低頭族”現象日益嚴重，學校通過設置手機收納袋等措施將學生的注意力轉移到課堂，但收效甚微。為此，如何保障課堂教學效率和提高課堂教學質量已成為日益關注的熱點。

1雨課堂主要功能及引入雨課堂的必要性

雨課堂是由學堂在線與清華大學在線教育辦公室共同研發的智慧教學工具[4-5]。雨課堂主要包括教師端和學生端，教師端會根據課程大綱對課程進行設置并制定相應的課程計劃，利用平臺收集與整理課程資源。同時，教師可通過手機對教學進行控制。學生端支持學生在終端登錄建立的互動課堂并實現實時接收老師推送的學習資源[6]。概率論與數理統計課程是長江師范學院財經學院開設的一門專業基礎課，共64學時，主要針對經濟統計、財務管理以及金融工程等專業開設。采用理論授課為主，同時輔以課堂小實驗。由于授課章節內容較多，教學課時稍顯不足，部分學生基礎較差，對數學相關課程學習興趣不濃厚。為了提高學生學習的積極性，增加師生互動、提高教學質量，學校引入了雨課堂這一智慧教學工具。雨課堂能夠將復雜的信息技術手段融入微信和PPT中，讓課堂互動通過移動終端等完成且保持在線狀態。雨課堂與微信相結合主要基于以下兩方面原因：首先，微信擁有龐大的用戶群體，受眾面廣。隨著信息技術的發展，網絡流量不再是用戶擔心的問題，微信獲取即時通信服務的成本較低，能夠快速地發送免費語音、視頻圖片等信息，因而吸引了大量的消費群體。其次，雨課堂可通過微信公眾號與手機綁定，這樣教師便可利用手機分享教材內容、PPT等資料，從而實現在線互動，將學生的注意力通過手機轉向課堂，發揮了手機在教學中的優勢[6]。

2應用：基于雨課堂的教學模式設計借鑒已有研究

在數學的歷史發展過程中出現了3次重大的飛躍．第一次飛躍是從算數過渡到代數，第二次飛躍是常量數學到變量數學，第三次飛躍就是從確定數學到隨機數學．現實世界的隨機本質使得各個領域從確定性理論轉向隨機理論成為自然；而且隨機數學的工具、結論與方法為解決確定性數學中的問題開辟了新的途徑．因此可以說，隨機數學必將成為未來主流數學中的亮點之一．概率論作為隨機數學中最基礎的部分，已經成為高校中很多專業的學生所必修的一門基礎課．但是教學過程中存在的一個主要問題是：學生們往往已經習慣了確定數學的學習思維方式，認為概率中的基本概念抽象難以理解，思維受限難以展開．這些都使得學生對這門課望而卻步，因此如何在概率論的教學過程中培養學生學習隨機數學的思維方法就顯得十分重要．本文擬介紹我們在該課程教學中的改革嘗試，當作引玉之磚。

1將數學史融入教學課堂在概率論教學過程當中，介紹相關的數學史可以幫助學生更好地認識到概率論不僅是“陽春白雪”，而且還是一門應用背景很強的學科．比如說概率論中最重要的分布——正態分布，就是在18世紀，為解決天文觀測誤差而提出的．在17、18世紀，由于不完善的儀器以及觀測人員缺乏經驗等原因，天文觀測誤差是一個重要的問題，有許多科學家都進行過研究．1809年，正態分布概念是由德國的數學家和天文學家德莫弗（DeMoivre）于1733年首次提出的，德國數學家高斯（Gauss）率先將正態分布應用于天文學研究，指出正態分布可以很好地“擬合”誤差分布，故正態分布又叫高斯分布．如今，正態分布是最重要的一種概率分布，也是應用最廣泛的一種連續型分布．在1844年法國征兵時，有許多符合應征年齡的人稱自己的身高低于征兵的最低身高要求，因而可以免服兵役，這里面一定有人為了躲避兵役而說謊．果然，比利時數學家凱特勒（A.Quetlet，1796—1874）就是利用身高服從正態分布的法則，把應征人的身高的分布與一般男子的身高分布相比較，找出了法國2000個為躲避征兵而假稱低于最低身高要求的人[1]．在大學階段，我們不僅希望通過數學史在教學課堂中的呈現來引起學生學習概率論這門課程的興趣，更應側重讓學生通過興趣去深入挖掘數學史，感受隨機數學的思想方法[2]．我們知道概率論中的古典概型要求樣本空間有限，而幾何概型恰好可以消除這一條件，這兩種概型學生理解起來都很容易．但是繼而出現的概率公理化定義，學生們總認為抽象、不易接受．尤其是概率公理化定義里出現的σ代數。

這一概念：設Ω為樣本空間，若Ω的一些子集所組成的集合?滿足下列條件：（1）Ω∈?；（2）若A∈?，則A∈?；（3）若∈nA?，n=1,2,??，則∈∞=nnA∪1?，則我們稱?為Ω的一個σ代數．為了使學生更好的理解這一概念，我們可以引入幾何概型的一點歷史來介紹為什么要建立概率的公理化定義，為什么需要σ代數．幾何概型是19世紀末新發展起來的一種概率的計算方法，是在古典概型基礎上進一步的發展，是等可能事件的概念從有限向無限的延伸．1899年，法國學者貝特朗提出了所謂“貝特朗悖論”[3]，矛頭直指幾何概率概念本身．這個悖論是：給定一個半徑為1的圓，隨機取它的一條弦，問：

弦長不小于3的概率為多大？對于這個問題，如果我們假定端點在圓周上均勻分布，所求概率等于1/3；若假定弦的中點在直徑上均勻分布，所求概率為1/2；又若假定弦的中點在圓內均勻分布，則所求概率又等于1/4．同一個問題竟然會有3種不同的答案，原因在于取弦時采用了不同的等可能性假定！這3種答案針對的是3種不同的隨機試驗，對于各自的隨機試驗而言，它們都是正確的．因此在使用“隨機”、“等可能”、“均勻分布”等術語時，應明確指明其含義，而這又因試驗而異．也就是說我們在假定端點在圓周上均勻分布時，就不能考慮弦的中點在直徑上均勻分布或弦的中點在圓內均勻分布所對應的事件．換句話講，我們在假定端點在圓周上均勻分布時，只把端點在圓周上均勻分布所對應的元素看成為事件．現在再來理解σ-代數的概念：對同一個樣本空間Ω，?1={?,Ω}為它的一個σ代數；設A為Ω的一子集，則?2={?,A,A,Ω}也為Ω的一個σ代數；設B為Ω中不同于A的另一子集，則?3={?,A,B,A,B,AB,AB,BA,AB,Ω}也為Ω的一個σ代數；Ω的所有子集所組成的集合同樣能構成Ω的一個σ代數．當我們考慮?2時，就只把元素?2的元素?，A，A，Ω當作事件，而B或AB就不在考慮范圍之內．由此σ代數的定義就較易理解了．2廣泛運用案例教學法案例與一般例題不同，它有產生問題的實際背景，并能夠為學生所理解．案例教學法是將案例作為一種教學工具，把學生引導到實際問題中去，通過分析和討論，提出解決問題的基本方法和途徑的一種教學方法．我們可以從直觀性、趣味性和易于理解的角度把概率論基礎知識加以介紹．我們在講條件概率一節時可以先介紹一個有趣的案例——“瑪麗蓮問題”：十多年前，美國的“瑪利亞幸運搶答”

電臺公布了這樣一道題：在三扇門的背后（比如說1號、2號及3號）藏了兩只羊與一輛小汽車，如果你猜對了藏汽車的門，則汽車就是你的．現在先讓你選擇，比方說你選擇了1號門，然后主持人打開了剩余兩扇門中的一個，讓你看清楚這扇門背后是只羊，接著問你是否應該重新選擇，以增大猜對汽車的概率？

由于這個問題與當前電視上一些娛樂競猜節目很相似，學生們就很積極地參與到這個問題的討論中來．討論的結果是這個問題的答案與主持人是否知道所有門背后的東西有關，這樣就可以很自然的引出條件概率來．在這樣熱烈的氣氛里學習新的概念，一方面使得學生的積極性高漲，另一方面讓學生意識到所學的概率論知識與我們的日常生活是息息相關的，可以幫助我們解決很多實際的問題．因此在介紹概率論基礎知識時，引進有關經典的案例會取得很好的效果．例如分賭本問題、庫存與收益問題、隱私問題的調查、概率與密碼問題、17世紀中美洲巫術問題、調查敏感問題、血液檢驗問題、1992年美國佛蒙特州州務卿競選的概率決策問題，以及當前流行的福利彩票中獎問題，等等。

1引言

概率論與數理統計作為一門實用性很強的課程，被國內高等院校的數學、統計、經濟與管理等院系設置為基礎課，并且隨著時代的發展越來越受到重視.概率統計涉及的我們生活的許多方面，早在十七世紀概率統計就已經在金融保險業等方面有所應用.隨著社會的發展，又在醫學、交通、人口統計、金融、微商等方面被頻繁應用，并且這些方面有些急需解決的問題也進一步促進了概率統計的發展，使得更多的學者投入到新工具新理論的研究中，讓統計學體系更加完善.這門課程雖然比較抽象，但作為老師要做到讓這門課具體化、生活化并且與實際相結合.目前，大多院校都比較重視理論的講授而輕視實際的應用，老師應當做到在讓學生對學習概率統計產生濃厚興趣，掌握其基本概念、理論和方法的同時，又能從實際問題出發借助概率統計方法進行分析和解決.隨著科學技術的進步和大數據的出現，數據的結構越來越復雜，數據量越來越龐大，大數據所涉及的各行各業時刻影響著我們的生活、工作與學習.在大數據時代，數據就是價值，因此大數據的研究受到了政府、各大高校科研機構以及企業的高度重視.當前，大數據所涉及的內容和方面過于廣泛，具有規模性、多類型性、處理快速性、預測性和潛在性等幾個特征，所以必然要求學生需要掌握一定的數據處理能力，其中統計軟件的操作是必備的處理數據的技能.因此種種這些現實必將促使概率統計課程需要在教學方式上做一些改變.在大數據時代，靈活學會概率統計課程可以讓我們迅速地發現數據內部的規律，可以在大而雜的數據中尋找到需要研究的方向，從而加快對數據的分析處理，進而更快地進入主題[1].在分析大數據時我們總想著找到數據之間的聯系，那么如果我們用概率統計中對隨機現象統計規律的演繹和歸納思想來處理數據，推演數據的演變趨勢會帶來很多的好處.在大數據中運用概率統計模型會讓理論更結合實際，便于學生更加容易掌握這門課程.在本文中作者根據自己多年的教學經驗和對大數據的認識，基于時展和學生自身發展的需要，也促使這門課需要提出一些新的教學方法，提出新的建議.

2對傳統的教學模式和考核機制進行調整

2.1把趣味和生活引進課堂教學.概率統計是對隨機現象中隱藏的客觀規律進行分析研究的學科，相比較其他的數學學科，會更加抽象、更加難以理解.久而久之學生對其學習會失去興趣，這將不利于后面專業課的學習，因此需要通過有趣的教學方法激發學生的學習動力和興趣.每一個新知識點講解的第一節課往往都是學生印象最深的，會對學生以后的學習以及是否能熟練掌握產生極大的影響.教師可以在課程開始前將本節內容的發展史引進課堂，使課堂教學歷史化.所謂“磨刀不誤砍柴工”，在講授新內容之前讓學生全面了解概率統計的發展史，簡要介紹概率統計大家的生平，通過一些趣味故事介紹他們對本節內容的研究過程，讓學生在短時間里通曉古今，對概率統計發展史有一定了解，激發學生對知識的探索的認識，開闊學生眼界，對以后的學習有著引導意義[2].比如在講解概率的定義時，可以告訴學生在概率論的發展歷史上，曾有過概率的古典定義、幾何定義、頻率定義以及主觀定義等.借助具體實例展示這些定義各適用于對應的隨機現象中的概率，進而引出如何給出適用于一切隨機現象的概率的一般性定義的探索性問題.1900年數學家希爾伯特提出要建立概率的公理化定義解決這個問題，1933年蘇聯科學家柯爾莫哥洛夫首次提出了概率的公理化定義，這個定義概括了上述幾種具體概率定義的共同特性，提煉出概率的基本性質，是概率論發展史上的里程碑[3].學生了解這個發展歷史就會對概率的公理化定義容易理解，不會覺得怪異抽象.在大數據時代下學習概率統計應該讓課堂更接近實際生活，選取生活中的真實案例和實際生活情景，讓學生真實感受到概率統計與我們的生活形影不離，無處不在.解決這些實際問題，可以培養他們的理論應用意識，增強分析處理問題的能力，同時也加強了他們的主動性和自覺性.酒吧街頭打賭，運動員射擊比賽，彩票銷售中心等都可以拿來作為課堂案例.比如隨機相遇的兩個人的生日在同一天的可能性有多大？我們知道兩個人生日的所有的可能性搭配有365×365種，其中生日相同有365種可能性，那么這兩個人的生日相同的可能性約為0.0027，這幾乎是不可能發生的.但是假如在人數超過50的一次聚會或者一個班級里，存在兩個人生日相同的概率又是多少呢？這里可以跟學生講一個美國數學家伯格米尼在觀看世界杯足球賽時在臺上隨意挑選了22位觀眾，結果有兩位觀眾的生日相同，通過計算當人數達到64人時，至少有兩人生日相同的概率已經達到99.7%，這幾乎已經是必然事件了，教師可以在班里現場做一個驗證，進一步向學生解釋小概率累積效應，帶動課堂氣氛.2.2改變教學方法和內容.2.2.1教學手段和學習方式比較單一.傳統的教學方式比較單一固化，學生的學習處于被動的地位，一支粉筆一塊黑板的教學模式已經不能完全滿足這門課的需要和社會的發展，課堂需要生動活潑的教學情形.教學過程的枯燥乏味很容易使學生失去學習熱情，所以教學方式的改變已迫在眉睫.首先不再讓多媒體和計算機只是用來播放視頻和課件，要真正的發揮其作用.大數據時代下講授概率統計內容更多的是理論在實際中如何運用，所以當講授完理論的證明后要跳脫出來，向學生解釋定理揭示了哪些問題，定理在實際中有什么用.數理統計那一部分因為涉及大量數據的計算問題，計算量過于龐大所以無法進行具體計算，所以這一部分的難度在于學生如何通過統計軟件得到結果，因此老師應該更多一些的投入時間向學生介紹統計軟件的使用.在概率論部分要求學生可以通過統計軟件進行一些概率實驗，例如用計算機重復實驗蒲豐投針問題，去驗證π的值，這是個很有趣的實驗，相信學生都會在自己動手實驗后對事件的概率這一知識點的理解會更加深刻.所以計算機，多媒體帶來的圖像、模型展示，對實際問題處理的過程會更加易于學生理解、掌握基本知識，同時也提高了學生處理實際問題的能力.2.2.2教學內容過于注重理論.教學內容比較單一，高校里概率論與數理統計這門課主要由概率論基礎知識和統計知識兩部分組成.在實際教學中，教師往往是只對理論及其證明進行介紹，并未更多的解釋理論的實用性，其間雖有部分習題，但也都是把實例簡化后很容易就能得到結果的問題.整個課時的安排也是概率論所花時間多，而數理統計只用很少的時間來介紹部分統計內容.這樣的教學內容很容易讓學生對概率統計這門課產生誤解，認為這門課就是在學習公式、定理和證明，從而忽略了概率統計本身的實用性和具體解決實際問題的思想，這是很不合理的，在大數據一年強過一年的趨勢下應該提高學生解決實際問題、分析數據的能力.為此應優化教學內容，教師帶著學生先瀏覽涉及概率統計的實際問題的風景，而后再進入概率統計的天堂，就使得各種概念和理論有了有源之水、有本之木.強化概率統計思想與方法的認識，增加統計軟件的操作學習，具體體現在以下幾方面.①在不影響課程完整性的條件下，可以適當的降低理論的難度，增加趣味性和實用性，便于學生更容易理解基本概念.②為加強學生運用統計知識處理數據的能力，增加描述性統計部分內容，能夠進行數據的頻數分析、集中趨勢分析、離散程度分析、分布以及一些基本的統計圖形[4].③融入統計建模思想和數學建模思想，提高學生的團隊協作的精神和根據實際問題建模的動手能力，建立概率統計案例庫，以案例引入知識點，將統計和數學建模的思想融入概率統計的教學當中，使學生對概率統計知識的運用受到實訓和培養.近幾年來，全國數學建模比賽試題中頻繁出現涉及概率統計知識的題目，統計建模大賽選題形式實行開放性的數據分析模式.例如：2015年的B題“互聯網+”時代的出租車資源配置，2013年D題公共自行車服務系統，2011年A題的城市表層土壤重金屬污染分析.2018“東證期貨杯”全國大學生統計建模大賽初賽通過直接在線發放選題數據撰寫初賽論文.這些試題都需要參賽者對數據進行分析，要求參賽者懂得概率統計的知識，所以將統計和數學建模的思想融入概率統計的教學過程當中，有助于提高學生的數據分析和建模能力[5].④開設實驗課，將SPSS、SAS、R等統計軟件引入到教學中.2.3改變考核內容.除了教學方法、手段、教學內容需要改變外，學生的考核標準是否合理也是需要深思的.傳統的方式是通過課后作業情況和最終的考試成績來判斷教學成果和學生的學習情況，由于現在學生作業的抄襲情況嚴重，老師如果僅通過學生上交的作業完成情況來判斷學生的學習情況是不準確的，因此改變考核機制是有必要的.教師應采取更靈活的考核方式，由考試成績、論文成績、實踐成績、平時成績這四部分來確定學生的最終成績.增加課程論文這一項的好處有很多，它不僅可以促使學生在完成的過程中復習所學知識，而且能夠培養學生自己查閱資料和歸納總結的能力、應用分析問題能力、組織和表達能力等.實踐成績包括實驗課的表現，參加建模比賽等活動的成績.平時成績包括聽課效果、作業的完成、課堂的隨機性提問、隨機小測驗等.通過這寫靈活多樣的考核方式得到最終的成績就比較全面，可以更好地了解學生的學習情況和教師教學成果，也符合大數據時代背景下應用型人才的培養需求，也最終達到了統計學人才培養的目標.

3結束語

隨著科學技術的進步，大數據有著一年強過一年的趨勢，深入到各個領域，其分析應用服務于社會越來越多的領域.在此背景下，培養應用型人才是高校非常重要的教學目標.概率論與數理統計的靈活運用將會給大數據的研究帶來新的發展和有效的利用.上述是作者結合自身的教學體會與實踐所提出的一些建議.總之，教學既包括教也包括學，在教與學的過程中需要根據不同的學生和不同的課程不斷地改變教學方式和教學內容，因材施教，激發學生的學習熱情.時代的快速發展變化，也必將促使我們在教學過程中要不斷地完善教學手段和方法，改進考核方式，致力于提高學生的綜合素質.

當今世界幾乎找不到不應用概率論(包括數理統計)的實際生活部門和應用領域。正如法國大科學家拉普拉斯(P-SLaplace,1749~1827)早在100多年前所斷言的:“生活中絕大多數最重要的問題實質上是概率問題”。而最近十幾年來,經濟學數學化的最大成就就是金融經濟學大量應用概率統計,出現了一個全新的學科———數理金融學,對它的研究方興未艾,21世紀肯定是它進一步蓬勃發展的時代。

一、數理金融學的發展與現狀

所謂“金融經濟學”在國際上通常指研究證券交易的經濟學,是一個極為引人矚目的學科。證券交易是市場經濟中最重要的交易。現在,人們都知道,經濟的晴雨表不再是那些年度的產值、產量之類的統計公報,而是那些每天都出現在報紙、電視廣播中的股市行情、期貨牌價、證券指數等等。金融經濟學所研究的中心問題正是各種有價證券(股票、債券、公債、票據等)及其衍生物(期權、期貨等)的定價問題。長期以來,有關有價證券及其衍生物(如期權)的合理定價問題一直懸而未決。對證券內是否有一種內在的定價機制一直是金融經濟學界爭論的問題。早年在金融經濟學中數學的作用也只局限于一些簡單的統計分析。60年代數理經濟學家的介入,才徹底改變了這種面貌。

現代數理經濟學的創始人通常認為是1874年提出一般均衡理論的瓦爾拉斯(Walras.L)。他把亞當•斯密的經濟思想具體化為“供需均衡”和“價格體系”。瓦爾拉斯一開始就對他的理論采用了數學形式。但由于當時缺乏合適的數學工具,他未能確立一般經濟均衡的存在性。從1874年起,許多數學家和經濟學家都對一般均衡存在的嚴格論證作了不懈的努力。一直到1954年阿羅(Ar-row.K.)和德布魯(Debreu.C.)采用了徹底的數學公理化方法和凸集理論、不動點定理等數學工具,提出一般均衡的數學模型及其存在證明,這個問題才被認為得到徹底解決。他們兩人因此先后獲得諾貝爾經濟學獎。

70年代,德布魯又從微分拓撲中的龐加萊—霍普夫(Poincare-Hopf)定理出發,提出了“正則(非病態)經濟”的概念,并指出“絕大多數”的經濟是正則經濟,而正則經濟的均衡總存在,且只有有限個。至此,傳統的一般均衡理論發展到頂峰。一般均衡的理論框架雖然是強有力的,但它的弱點也是非常明顯的。

它把整個經濟問題歸結為一個均衡價格體系的問題實在是遠離了現實。對于金融經濟學,首先要解決的是給出證券定價的數學機理理論。60年代末,金融經濟學的數學模型在莫迪利亞尼(Modigliani)、米勒(Miller)、馬科維茨(Markowitz)、夏普(Shar-pe)等人的研究下形成了良好的基礎。這些數理經濟學家后來都因此獲得了諾貝爾經濟學獎。1973年,金融經濟學出現了重大突破,那就是布萊克(Black)和斯科爾斯(Scholes)為期權定價(Optionpricing)提出了今天極為著名的布萊克—斯科爾斯公式。期權就是某個時刻以某種確定的價格購買某種證券的權利。如果把期權買賣可能的得益與無風險的短期銀行利息作比較,就能將期權定價問題歸結為一個隨機微分方程的解,從而可導出一個與實際相吻合的計算公式。這項重大的突破激發起無數有關證券定價的新研究,尤其是在數學理論上大大推動了人們對隨機控制與最優停止問題的研究興趣。相當多的研究立即被投入應用,它使人們能通過數學分析來抓住投資時機與不確定性之間錯綜復雜的關系。這就給金融市場帶來了直接而深刻的變化,從而宣告了數理金融學(亦稱金融數學)的誕生。