概率論與數理統計課程教學改革方法

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［摘要］概率論與數理統計課程是本科經濟管理專業學生的專業基礎課，是后續專業課程的理論基礎，本文以桂林理工大學南寧分校經濟管理專業的學生為對象，首先分析了我校面向經濟管理專業本科學生開設的概率論與數理統計課程存在的問題，隨后針對這些問題進行了相應的教學課程改革。

［關鍵詞］概率論與數理統計；經濟管理類專業；教學改革

概率論與數理統計課程是理工類本科院校學生的公共必修課程，尤其是經濟管理類本科生必修的一門專業基礎課。課程一般開設在大二的第一學期，是數學類課程中的最后一門課程，是在掌握微積分內容與線性代數內容的基礎上研究生活中隨機現象統計規律的一門學科。該課程可以幫助學生運用概率論的相關知識在生活中甚至在所學的專業課程中建立數學模型，進而解決問題。因此，教師在教學中應該以學生為中心，在學生掌握概率統計的基本方法和理論以后，培養學生運用數學建模方法解決生活中實際問題的能力。

一、教學中存在的問題

（一）學生數學基礎差異

在我國，經濟管理專業是文理兼收的專業，這就導致一個教學班中有部分學生是文科生源，數學基礎差，部份學生在高中階段并沒有接觸到概率論與數理統計的相關知識，導致在學習的過程中對數學類的課程有畏難情緒。概率論與數理統計課程又涉及到微積分和線性代數的基礎知識，學生會感覺到課程內容復雜，理解困難。以第一章為例，在講授古典概型的過程中，理科的學生在高中階段學習過排列和組合的知識，并學習過古典概型的相關問題，在學習過程中并不覺得困難，甚至有的學生態度非常積極；但文科學生在高中階段對于這部分知識掌握不好的情況下，在學習條件概率、全概率公式和貝葉斯公式的過程中就會感覺難度很大。在教學過程中，如何解決一個教學班中出現文科理科學生的基礎差異就成了任課教師授課前優先考慮的問題。

（二）課時壓縮嚴重

根據新的人才培養方案，以本校為例，概率論與數理統計課程經管類本科專業一個學期開設的課時僅有48課時。概率部分的教學內容從事件關系一直到大數定律和中心極限定理，涉及到了一維與二維的離散型隨機變量、連續型隨機變量，以及數學期望、方差與協方差等相關內容，知識點繁多并且涉及到了微積分與線性代數部分的相關知識點。教師為盡可能涉及到每部分的內容，只能加快教學速度，就會導致在授課過程中有部分知識點講解不詳細，加上經管類學生的基礎參差不齊，學生就會從想學演化成厭學。同時，因為課時限制，在課堂教學中僅僅能對概率論與數理統計課程中定義、定理、性質以及相關的例題進行講解，無法培養學生數學建模的思想和運用概率論知識解決實際問題的能力。

（三）教學內容與專業脫節

目前，概率論與數理統計課程選用的教材是與一本和二本理工科院校的相同。這類的教材理論性強，內容針對范圍廣泛，絕大多數的本科專業開設的概率論概率論與數理統計課程都可以使用這類教材進行教學。教師在使用這類教材進行教學的過程中，注重基礎概念基本理論。但對于經管類的學生而言，這類的教材內容缺乏經濟類的相關知識，在計量經濟學、證券投資等經濟管理類學生的后續專業課程仍需要運用概率論的知識，但在這類教材中體現很少。學生在學完課程以后，無法將所學的概率知識運用到相應的專業學科中。

（四）教學方法和教學手段單一

現在學校的課堂教學仍然采用傳統講授法教學方式，教師講解書上定義定理性質和的例題，學生在學習過程中對定義定理產生的客觀背景不甚了解，更難以發現定理的思維過程。整個教學過程中缺乏問題背景教學。在傳統教學過程中，教師仍采用黑板粉筆加多媒體課件，沒有在課堂中運用合理的教學軟件來進行輔助教學，整個教學過程枯燥，難以吸引學生的學習興趣。

二、概率論與數理統計課程教學改革的幾點嘗試

針對以上的一些問題，筆者在所在院校經管專業對其課堂教學進行了改革，效果良好。

（一）重構教學內容

在經管類專業的教學中，為了兼顧文理生同在的情況，在完成課程教學大綱的前提下，重構課堂教學內容，擺脫重理論輕應用的教學觀念，多引入與概率論相關的簡單案例，使文科生可以跟上教學進度并能通過案例分析掌握課程的基本知識和基本理論。同樣理科生也不會覺得課程太過簡單無聊，對課程始終保有新鮮感。因此，在課堂教學開始前，應提前了解授課班級情況，如文理生的比例，高考數學成績等，制定教學計劃和教學內容。例如在講解事件關系的運算時，可以引入商品暢銷與滯銷的案例“A表示事件‘甲種商品暢銷，乙種商品滯銷’，則其對立事件為（）”，讓文科出身的同學來尋找答案，讓理科出身的同學來解釋原因。并注重應用案例的簡易性，使文科生可以通過案例解答，理解掌握事件關系運算的知識點，不要從文字字面理解來解釋問題，而是要運用概率論的基本理論自主解決相應的案例。文科生可以通過解決問題而對概率論與數理統計課程產生學習興趣，增強學習動機；理科生則通過解決問題來思考解決問題運用的原理，對概率論與數理統計課程保持求知興趣。同時，將概率的理論與方法和計算機軟件運用相結合來解決生活中的實際問題。概率統計本身就是在生活中應用廣泛的學科，因此在課堂教學中，教師在講解基本概念和基本理論的同時，應重視概率統計理論中的實際背景，在講授理論的同時增加理論的背景運用。如在講授等可能概型時引入福利彩票中獎問題，以福彩雙色球和福彩3D對比，運用軟件分析兩類彩票中一等獎的概率。不僅讓文科學生復習了排列與組合的概念，又讓理科學生熟悉了計算方法，并且運用軟件計算簡化了學生的計算步驟，使學生對概率論與數理統計課程始終保持新鮮感。把數學建模思想融入大學數學課程，是現如今大學數學課程教學改革的一個重要方向。概率論與數理統計課程就是以解決生活中的實際問題出發，通過數學建模的方法，運用數學原理來分析和解決問題，學會合理的建立數學模型在教學中就變得尤其重要。在全國大學生數學建模競賽中經常有涉及經管類專業的題目，比如2020年的C題“中小微企業的信貸決策”，2017年的B題“牌照賺錢的任務定價”，以及2002年的B題“彩票中的數學”等。這需要參賽學生有一定的概率統計知識并對相應的經濟管理專業知識有一定的了解，將概率統計知識與專業知識融合，運用數學建模的思想，對題目中的數據進行分析并給出相應合理的方案。所以在日常教學過程中，應該注重學生數學建模思想的培養，將數學建模問題引入到課程中讓學生參與及討論，鍛煉學生運用概率論知識解決實際問題的能力。

（二）改變教學方法

根據我校實際情況，概率論與數理統計課程實際課時較少，經管類專業的學生數學基礎參差不齊，可以在簡化基礎理論的同時，運用信息化技術開展多元化的課堂教學。通過數學軟件來簡化概率論中繁瑣的計算，運用數學軟件的數學運算、分析和圖像展現的特點，讓概率論中抽象的案例以具象化的形式得以展示。并且因為數學軟件的運用，讓文科生擺脫煩瑣的數學計算，增加學生的學習興趣。如運用SPSS軟件求解隨機變量的分布函數，不僅簡化了計算過程，也讓學生了解到SPSS軟件的實用性。將傳統教學和實驗教學相結合，提高學生學習的主動性。在課堂中引入實驗。設計合適的案例，通過對案例進行實驗，讓學生切身體驗，對概率的基本概念和基本理論有形象的理解。例如在講解概率的基本定義時，如果按照教材直接講解定義，只是一段文字性的描述：“在大量重復試驗中，若事件A發生的頻率穩定地在某一個常數p附近擺動，則稱該常數p為事件A的概率。”定義中出現了頻率這個名詞，僅僅通過文字的描述學生無法理解如何用頻率來定義概率。教材中運用蒲豐和皮爾遜等人投擲硬幣的實驗結果來解釋頻率與概率之間的關系，但以表格形式的展示學生沒有切身體驗，理解不夠深刻。因此，引入拋硬幣模擬軟件，在課堂上模擬演示拋硬幣過程，由學生設計實驗次數，節省了在課堂上親自動手實驗所需要的時間，又增加了學生的互動，通過實驗讓學生切身體會到頻率與概率之間的聯系。在課堂中通過學生身邊真實的案例引入新理論。例如以2020年肺炎為例。肺炎是冠狀病毒感染引發的肺部疾病，患者以發熱、乏力、干咳為主要表現癥狀，那是否發熱就意味著已經感染病毒呢？通過問題導入，讓同學們用概率的知識來解答這個問題，進而引入全概率公式和貝葉斯公式。這樣不僅可以讓學生對兩個公式的印象深刻，同時也可以運用計算結果向同學們說明：即使發燒也有很大的概率沒有感染到。在以后遇到類似的問題的時候，可以不必過分緊張，認真進行復查，積極面對疾病。

（三）課堂教學案例的呈現

第一個系統描述概率的人是16世紀的Cardano，他發表的《論賭博游戲》被認為是第一部概率論著作。里面的文章有很多都是給賭徒的建議，如《誰，在什么時候應該賭博》《為什么亞里士多德譴責賭博》等。然而，首次系統研究概率問題的是從帕斯卡和費馬通信開始的。最初，由法國作家AntoineGombaud提出了一個問題：假設有2個玩家同意參加一定數量的游戲，例如11局6勝制，并且在游戲完成之前被打斷。若一個人贏了5場比賽，另一個人贏了4場比賽，這時要如何分配賭注？他委托了Mersenne沙龍來解決它，帕斯卡和費馬接受了挑戰。在帕斯卡與費馬的通信中，解決了這個問題，于是人們公認他們解決的“點數問題”標志著概率論這門學課的誕生，并把他們通訊的那一天——1654年7月29日定為概率論的誕生日。在帕斯卡和費馬的通信中，兩個人分別采用了不同的方法來解決這個問題。在1657年，荷蘭數學家惠更斯在帕斯卡與費馬工作的基礎上，引入了數學期望的概念，更合理的解釋了這個問題。我們來分析帕斯卡的做法。他優先考慮了簡單的題目，一個5局3勝制的游戲。假設甲乙兩個賭徒各有32枚金幣拿來做賭注，這時游戲已經進行3局，甲賭徒已經勝了2局，乙賭徒勝了1局。那么，如果繼續比下去，而甲賭徒又勝了1局，那么甲賭徒就可以獲得全部的64枚金幣；但若是乙賭徒獲勝，則雙方各自贏得2局，打成平手，那么游戲在這時結束，雙方只能各自拿回自己的32枚金幣。如果雙方不打算進行第4局，僅依據3局的結果來分配賭金的話，甲賭徒認為如果進行第4局的話，即使輸掉也只是雙方平分賭金，至少也能獲得32枚金幣，那么剩下的32枚金幣雙方應該都有機會得到。因此帕斯卡認為應該是在甲賭徒自己獲得32枚金幣的基礎上再和乙賭徒平分剩下的32枚金幣，即甲賭徒獲得48枚金幣，乙賭徒獲得16枚金幣。如果這時游戲僅進行了2局，甲賭徒贏了2局而乙賭徒沒贏過，如果繼續進行第3局，而甲賭徒贏了將獲得全部的64枚金幣；如果乙賭徒贏了，又是之前剛剛討論過的甲贏2局乙贏1局的結果。如果雙方不打算繼續進行第3局的比賽的話，那么這時帕斯卡認為甲賭徒應該先獲得48枚金幣以后，再和乙賭徒平分剩下的16枚金幣，這時甲賭徒獲得56枚金幣，乙賭徒獲得8枚金幣。繼續推理的話，如果甲賭徒贏了1局而乙賭徒1局沒贏，繼續第2局的話，如果甲賭徒贏了，情況與上述問題相同；如果甲賭徒輸了，則二人平分賭金。帕斯卡認為，如果從第2局就終止比賽的話，這時應該從56枚金幣中減去甲賭徒已經贏得的32枚金幣，將剩余的24枚金幣二人再次平分，這時甲賭徒應該獲得44枚金幣，乙賭徒獲得20枚金幣。所以，根據這種推斷，可以得出，如果甲賭徒贏了第1局，將從乙賭徒的賭金中贏得12枚金幣；如果再贏1局，將再次從乙賭徒處贏得12枚金幣；如果贏得3局，將贏得乙賭徒手中最后的8枚硬幣。帕斯卡運用這個方法，來解決最開始的問題：如果甲賭徒贏了5次，乙賭徒贏了4次的話，這時終止比賽，甲賭徒獲得的金幣數應該就是32+16=48枚金幣。這個方法雖然繁瑣，但是條理清晰，在學習概率的初期，通過歷史故事提出問題，并讓學生自行思考解決問題，可以更好的提高學生的學習興趣。在后續的課程中，可以繼續用這個案例加以解釋二項分布公式，向學生呈現概率的發展歷史。因為甲乙兩名賭徒獲勝的機會是相等的，可以用拋硬幣來替代比賽。拋擲一枚硬幣，連續拋6次，屬于貝努利試驗。因為甲賭徒已經贏了5次，乙賭徒贏了4次，只需要再擲兩次硬幣，只要至少有一次出現正面則甲賭徒可以獲勝。設隨機變量X表示2次中正面出現的次數，那么X服從二項分布B（2;12），即P(X)=k=Ck2()12k(12)2-k，（k=0，1，2）根據甲賭徒已經贏了5次，我們可以判定：甲賭徒在接下來的2次拋硬幣的過程中，只要出現1次正面或者是2次都是正面的情況，則甲賭徒贏得整個比賽。由此我們可以計算得P(X)=k=∑k=12Ck2()12k(12)2-k=34，即這時如果終止比賽的話，甲乙兩名賭徒應該按照3：1的比例來分配整個賭金，即甲賭徒分得48枚金幣，乙賭徒分得16枚金幣。這種方法計算的結果與上一種算術的辦法得到的結果相同，但是這種方法是運用數學公式演繹推導得出的，更能體現數學的邏輯嚴謹性。運用這種方法解釋同樣的問題，不僅能讓學生領會公式的用途，更能讓學生體會到概率論的發展歷程。在講解數學期望的時候，仍可以繼續采用這個案例來進行講解。我們已知在接下來的賭局中甲乙兩名賭徒獲勝的概率是相等的，在甲賭徒贏了5局，乙賭徒贏了4局的前提下，如果下一局是甲賭徒贏，則他可以獲得全部的64枚金幣，而甲賭徒輸掉的話則只能獲得自己的32枚金幣。因為甲賭徒贏和輸的概率各為12，則甲賭徒希望獲得的賭金為：64×12+32×12=48枚金幣。顯然，通過數學期望的定義，我們可以更快的計算出結果。運用三種不同的方法，我們可以得到相同的結論，而且讓學生們跟隨數學家的思維去思考問題，讓學生了解到概率論的歷史，并從歷史的角度將案例和知識潛移默化的傳授給學生。

三、結束語

我校的概率論數理統計課程的教學改革，本著以社會需求為導向，以學生全面發展為根本任務，以培養學生能力為本位，以經管專業學生的學生特色為切入點，改革教學方法，培養高素質技術應用人才。希望通過此次教學改革，讓經濟管理專業的學生對概率論與數理統計課程產生興趣，通過學習本門課程掌握基本的概率知識和建模方法，將其運用到后續所學的專業課程中，為國家和社會培養專業的經濟管理類人才。

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作者：吳新軍 郭朕潘冬 單位：廣州工商學院 桂林理工大學南寧分校