探究數學概率論實踐教學論文

導語：探究數學概率論實踐教學論文一文來源于網友上傳，不代表本站觀點，若需要原創文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

摘要：將數學史引入課堂、在教學中廣泛應用案例、積極開展隨機試驗以及引導學生主動探索等，有助于改進概率論教學方法，解決教學實踐問題，提高教學質量．教學手段的多樣化以及豐富的教學內容可以加深學生對客觀隨機現象的理解與認識，并激發學生自主學習和主動探索的精神．

關鍵詞：概率論；教學；思維方法

在數學的歷史發展過程中出現了3次重大的飛躍．第一次飛躍是從算數過渡到代數，第二次飛躍是常量數學到變量數學，第三次飛躍就是從確定數學到隨機數學．現實世界的隨機本質使得各個領域從確定性理論轉向隨機理論成為自然；而且隨機數學的工具、結論與方法為解決確定性數學中的問題開辟了新的途徑．因此可以說，隨機數學必將成為未來主流數學中的亮點之一．概率論作為隨機數學中最基礎的部分，已經成為高校中很多專業的學生所必修的一門基礎課．但是教學過程中存在的一個主要問題是：學生們往往已經習慣了確定數學的學習思維方式，認為概率中的基本概念抽象難以理解，思維受限難以展開．這些都使得學生對這門課望而卻步，因此如何在概率論的教學過程中培養學生學習隨機數學的思維方法就顯得十分重要．本文擬介紹我們在該課程教學中的改革嘗試，當作引玉之磚．1將數學史融入教學課堂在概率論教學過程當中，介紹相關的數學史可以幫助學生更好地認識到概率論不僅是“陽春白雪”，而且還是一門應用背景很強的學科．比如說概率論中最重要的分布——正態分布，就是在18世紀，為解決天文觀測誤差而提出的．在17、18世紀，由于不完善的儀器以及觀測人員缺乏經驗等原因，天文觀測誤差是一個重要的問題，有許多科學家都進行過研究．1809年，正態分布概念是由德國的數學家和天文學家德莫弗（DeMoivre）于1733年首次提出的，德國數學家高斯（Gauss）率先將正態分布應用于天文學研究，指出正態分布可以很好地“擬合”誤差分布，故正態分布又叫高斯分布．如今，正態分布是最重要的一種概率分布，也是應用最廣泛的一種連續型分布．在1844年法國征兵時，有許多符合應征年齡的人稱自己的身高低于征兵的最低身高要求，因而可以免服兵役，這里面一定有人為了躲避兵役而說謊．果然，比利時數學家凱特勒（A.Quetlet，1796—1874）就是利用身高服從正態分布的法則，把應征人的身高的分布與一般男子的身高分布相比較，找出了法國2000個為躲避征兵而假稱低于最低身高要求的人[1]．在大學階段，我們不僅希望通過數學史在教學課堂中的呈現來引起學生學習概率論這門課程的興趣，更應側重讓學生通過興趣去深入挖掘數學史，感受隨機數學的思想方法[2]．我們知道概率論中的古典概型要求樣本空間有限，而幾何概型恰好可以消除這一條件，這兩種概型學生理解起來都很容易．但是繼而出現的概率公理化定義，學生們總認為抽象、不易接受．尤其是概率公理化定義里出現的σ代數[3]

這一概念：設Ω為樣本空間，若Ω的一些子集所組成的集合?滿足下列條件：（1）Ω∈?；（2）若A∈?，則A∈?；（3）若∈nA?，n=1,2,??，則∈∞=nnA∪1?，則我們稱?為Ω的一個σ代數．為了使學生更好的理解這一概念，我們可以引入幾何概型的一點歷史來介紹為什么要建立概率的公理化定義，為什么需要σ代數．幾何概型是19世紀末新發展起來的一種概率的計算方法，是在古典概型基礎上進一步的發展，是等可能事件的概念從有限向無限的延伸．1899年，法國學者貝特朗提出了所謂“貝特朗悖論”[3]，矛頭直指幾何概率概念本身．這個悖論是：給定一個半徑為1的圓，隨機取它的一條弦，問：

弦長不小于3的概率為多大？對于這個問題，如果我們假定端點在圓周上均勻分布，所求概率等于1/3；若假定弦的中點在直徑上均勻分布，所求概率為1/2；又若假定弦的中點在圓內均勻分布，則所求概率又等于1/4．同一個問題竟然會有3種不同的答案，原因在于取弦時采用了不同的等可能性假定！這3種答案針對的是3種不同的隨機試驗，對于各自的隨機試驗而言，它們都是正確的．因此在使用“隨機”、“等可能”、“均勻分布”等術語時，應明確指明其含義，而這又因試驗而異．也就是說我們在假定端點在圓周上均勻分布時，就不能考慮弦的中點在直徑上均勻分布或弦的中點在圓內均勻分布所對應的事件．換句話講，我們在假定端點在圓周上均勻分布時，只把端點在圓周上均勻分布所對應的元素看成為事件．現在再來理解σ-代數的概念：對同一個樣本空間Ω，?1={?,Ω}為它的一個σ代數；設A為Ω的一子集，則?2={?,A,A,Ω}也為Ω的一個σ代數；設B為Ω中不同于A的另一子集，則?3={?,A,B,A,B,AB,AB,BA,AB,Ω}也為Ω的一個σ代數；Ω的所有子集所組成的集合同樣能構成Ω的一個σ代數．當我們考慮?2時，就只把元素?2的元素?，A，A，Ω當作事件，而B或AB就不在考慮范圍之內．由此σ代數的定義就較易理解了．2廣泛運用案例教學法案例與一般例題不同，它有產生問題的實際背景，并能夠為學生所理解．案例教學法是將案例作為一種教學工具，把學生引導到實際問題中去，通過分析和討論，提出解決問題的基本方法和途徑的一種教學方法．我們可以從直觀性、趣味性和易于理解的角度把概率論基礎知識加以介紹．我們在講條件概率一節時可以先介紹一個有趣的案例——“瑪麗蓮問題”：十多年前，美國的“瑪利亞幸運搶答”

電臺公布了這樣一道題：在三扇門的背后（比如說1號、2號及3號）藏了兩只羊與一輛小汽車，如果你猜對了藏汽車的門，則汽車就是你的．現在先讓你選擇，比方說你選擇了1號門，然后主持人打開了剩余兩扇門中的一個，讓你看清楚這扇門背后是只羊，接著問你是否應該重新選擇，以增大猜對汽車的概率？

由于這個問題與當前電視上一些娛樂競猜節目很相似，學生們就很積極地參與到這個問題的討論中來．討論的結果是這個問題的答案與主持人是否知道所有門背后的東西有關，這樣就可以很自然的引出條件概率來．在這樣熱烈的氣氛里學習新的概念，一方面使得學生的積極性高漲，另一方面讓學生意識到所學的概率論知識與我們的日常生活是息息相關的，可以幫助我們解決很多實際的問題．因此在介紹概率論基礎知識時，引進有關經典的案例會取得很好的效果．例如分賭本問題、庫存與收益問題、隱私問題的調查、概率與密碼問題、17世紀中美洲巫術問題、調查敏感問題、血液檢驗問題、1992年美國佛蒙特州州務卿競選的概率決策問題，以及當前流行的福利彩票中獎問題，等等[4]．概率論不僅可以為上述問題提供解決方法，還可以對一些隨機現象做出理論上的解釋，正因為這樣，概率論就成為我們認識客觀世界的有效工具．比如說我們知道某個特定的人要成為偉人，可能性是極小的．之所以如此，一個原因是由于某人的誕生是一系列隨機事件的復合：父母、祖父母、外祖父母……的結合、異性的兩個生殖細胞的相遇，而這兩個細胞又必須含有某些產生天才的因素．另一個原因是嬰兒出生以后，各種偶然遭遇在整體上必須有利于他的成功，他所處的時代、他所受的教育、他的各項活動、他所接觸的人與事以及物，都須為他提供很好的機會．雖然如此，各時代仍然偉人輩出．一個人成功的概率雖然極小，但是幾十億人中總有佼佼者，這就是所謂的“必然寓于偶然之中”的一種含義．如何用概率論的知識解釋說明這個問題呢？設某試驗中事件A出現的概率為ε，0<ε<1，不管ε如何小，如果把這試驗不斷獨立重復做任意多次，那么A遲早會出現1次，從而也必然會出現任意多次．這是因為，第一次試驗A不出現的概率為(1?ε)n，前n次A都不出現的概率為1?(1?ε)n，當n趨于無窮大時，此概率趨于1，這表示A遲早出現1次的概率為1．出現A以后，把下次試驗當作第一次，重復上述推理，可見A必然再出現，如此繼續，可知A必然出現任意多次．因此，一個人成為偉人的概率固然非常小，但是千百萬人中至少有一個偉人就幾乎是必然的了[5]．3積極開展隨機試驗隨機試驗是指具有下面3個特點的試驗：

（1）可以在相同的條件下重復進行；（2）每次試驗的可能結果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結果；（3）進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現．在講授隨機試驗的定義時，我們往往把上面3個特點一一羅列以后，再舉幾個簡單的例子說明一下就結束了，但是在看過一期國外的科普短片以后，我們很受啟發．節目內容是想驗證一下：當一面涂有黃油，一面什么都沒有涂的面包從桌上掉下去的時候，到底會哪一面朝上？令我們沒有想到的是，為了讓試驗結果更具說服力，實驗人員專門制作了給面包涂黃油的機器，以及面包投擲機，然后才開始做試驗．且不論這個問題的結論是什么，我們觀察到的是他們為了保證隨機試驗是在相同的條件下重復進行的，相當嚴謹地進行了試驗設計．我們把此科普短片引入到課堂教學中，結合實例進行分析，并提出隨機試驗的3個特點，學生接受起來十分自然，整個教學過程也變得輕松愉快．因此，我們在教學中可以利用簡單的工具進行實驗操作，盡可能使理論知識直觀化．比如全概率公式的應用演示、幾何概率的圖示、隨機變量函數的分布、數學期望的統計意義、二維正態分布、高爾頓釘板實驗等，把抽象理論以直觀的形式給出，加深學生對理論的理解．但是我們不可能在有限的課堂時間內去實現每一個隨機試驗，因此為了有效地刺激學生的形象思維，我們采用了多媒體輔助理論課教學的手段，通過計算機圖形顯示、動畫模擬、數值計算及文字說明等，建立一個圖文并茂、聲像結合、數形結合的生動直觀的教學環境，從而拓寬學生的思路，有利于概率論基本理論的掌握．與此同時，讓學生在接受理論知識的過程中還能夠體會到現代化教學的魅力，達到了傳統教學無法實現的教學效果[6]．4引導學生主動探索傳統的教學方式往往是教師在課堂上滿堂灌，方法單一，只重視學生知識的積累．教師是教學的主體，側重于教的過程，而忽視了教學是教與學互動的過程．相比較而言，現代教學方法更側重于挖掘學生的學習潛能，以最大限度地發揮及發展學生的聰明才智為追求目標．例如，在給出條件概率的定義以后，我們知道當P(A)>0時，P(B|A)未必等于P(B)．但是一旦P(B|A)=P(B)，也就說明事件A的發生不影響事件B的發生．同樣當P(B)>0時，若P(A|B)=P(A)，就稱事件B的發生不影響事件A的發生．因此若P(A)>0，P(B)>0，且P(B|A)=P(B)與P(A|B)=P(A)兩個等式都成立，就意味著這兩個事件的發生與否彼此之間沒有影響．我們可以讓學生主動思考是否能夠如下定義兩個事件的獨立性：

定義1：設A，B是兩個隨機事件，若P(A)>0，P(B)>0，我們有P(B|A)=P(B)且P(A|B)=P(A)，則稱事件A與事件B相互獨立．接下來，我們可以繼續引導學生仔細考察定義1中的條件P(A)>0與P(B)>0是否為本質要求？事實上，如果P(A)>0，P(B)>0，我們可以得到：

P(B|A)=P(B)?P(AB)=P(A)P(B)?P(A|B)=P(A)．但是當P(A)=0，P(B)=0時會是什么情況呢？由事件間的關系及概率的性質，我們知道AB?A，AB?B，因此P(AB)=0=P(A)P(B)，等式仍然成立．所以我們可以舍去定義1中的條件P(A)>0，P(B)>0，即如下定義事件的獨立性：公務員之家

定義2：設A，B為兩隨機事件，如果等式P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱A，B為相互獨立的事件，又稱A，B相互獨立．很顯然，定義2比定義1更加簡潔．在這個定義的尋找過程中，我們不僅能夠鼓勵學生積極思考，而且可以很好地培養和鍛煉學生提出問題、分析問題以及解決問題的能力，從而體會數學思想，感受數學的美．5結束語通過實踐我們發現，將數學史引入課堂既能讓學生深入了解隨機數學的形成與發展過程，又切實感受到隨機數學的思想方法；把案例應用到教學當中以及在課堂上開展隨機試驗可以將概率論基礎知識直觀化，增加課程的趣味性，易于學生的理解與掌握；引導學生主動探索可以強化教與學的互動過程，激發學生用數學思想來解決概率論中遇到的問題．

總之，在概率論的教學中，應當注重培養學生建立學習隨機數學的思維方法.通過教學手段的多樣化以及豐富的教學內容加深學生對客觀隨機現象的理解與認識．另外，要以人才培養為本，實現以教師為主導，學生為主體的主客體結合的教學思想，將培養學生實踐能力、創新意識與創新能力的思想落到實處，以期達到學生受益最大化的目標，為學生將來從事經濟、金融、管理、教育、心理、通信等學科的研究打下良好的基礎．

［參考文獻］

[1]C·R·勞．統計與真理[M]．北京：科學出版社，2004．

[2]朱哲，宋乃慶．數學史融入數學課程[J]．數學教育學報，2008，17（4）：11–14．

[3]王梓坤．概率論基礎及其應用[M]．北京：北京師范大學出版社，2007．

[4]張奠宙．大千世界的隨機現象[M]．南寧：廣西教育出版社，1999．

[5]王梓坤．隨機過程與今日數學[M]．北京：北京師范大學出版社，2006．

[6]鄧華玲，傅麗芳，任永泰．概率論與數理統計實驗課的探討與實踐[J]．大學數學，2008，24（2）：11–14．