線上教學的定義范文

導語：如何才能寫好一篇線上教學的定義，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

問題究竟出在何處？當我置身于高效課堂這個改革環境之中時，先前的疑慮便豁然開朗了。“不學不教，先學后教，以學定教”，這種顛覆性的教學思想讓我看到了傳統課堂中存在的痼疾：以教師為主體，以講授為中心，很難讓學生在課堂中真正找到自我，認清自我，展示自我，無法脫離被動學習的痛苦。難怪在熱烈的掌聲中，仍然有人漠不關心，仍然有人半夢半醒。是時候擺脫這種尷尬的局面了！于是，我踐行了高效課堂教學模式，希冀在課改的引領下找到新的方向。

在踐行課改的半年時間里，我驚喜地發現，學生的學習習慣悄然發生了變化：課堂秩序井然有序，越來越多的學生能夠從容地進行自主學習，樂于小組討論探究，而且合作意識越來越強，課堂上經常會聽到讓人耳目一新的觀點，學習報告是學生自覺地知識點的整理和查漏補缺，等等，這些都是我當初始料未及的。

一、擺脫固執，做課堂中的“定心丸”

任何一種理念，執行之初，都會面臨挑戰，而最大的挑戰莫過于“內心”的固執。對于習慣了傳統教法的我而言，突然要從“師”主體的位置退下來，總有些猶豫和疑慮。這個時候，決心非常重要。盡管對理念的認識還不成熟，盡管課堂上呈現了諸多的不盡如人意之處，但是，老師一旦著手進行，就要拿出大膽嘗試的勇氣，鎮定自若地按照既定的方案進行，不可三心二意。在新的模式中搖擺不定的學生，看到老師的果決，自會慢慢放下心中的抵觸情緒，逐漸適應新的課堂節奏。習慣成自然，老師這顆“定心丸”，會讓課堂教學很快渡過課改的“磨合期”，走入新的境界。

二、全力以赴上好自主課

“不學不教，先學后教，以學定教”突出的是學生的主體地位，讓他們通過獨立自主地學習，解決問題，提升探究能力，培養思維品質。而這種理念能夠落實的關鍵就是讓學生獲得自主學習的空間，這就是“自主課”的重要性。可以說，自主課是學生靜心思考，發現問題，樹立信心，走向精彩展示的關鍵性一步。實踐證明，上好自主課，以下兩個環節必不可少。

1.科學合理的導學案

學生在自主課上“學”什么？個人以為，我們必須將課改環境下的“自主”與傳統的“預習”區分開來。簡言之，“預習”更多的是學生在課前對知識的預先了解，很難落到實處，甚至漫無邊際；而“自主課”中，學生要通過自己主動有目的、有條理的學習，自行解決課題中的大部分問題，如此，“課堂任務”的確定就至關重要了。老師課前三言兩語的布置過于籠統，必須有一套重點突出、難易結合的隨堂任務作指導，這就是導學案的魅力。

在課堂實踐中，我越來越感覺到，導學案是否合理，將會直接影響學生對課題的研究興趣，影響學生對知識點的整合速度、質量，以及德育思想的滲透，所以，每次自主課前，我們都會集中精力，進行集體備課，對導學案的各個環節進行分析研究，盡最大努力，讓它貼近學情，切中重難點，便于引導學生夯實基礎，開拓思維。我們現在的語文導學案是經過不斷地修改后確定的模式，包括“學習情境”“知識導學”“自主預習”“問題探究”“課后鞏固”和“美文欣賞”六大部分，從課堂實踐來開，比較符合學生的認知規律，也注重了語文課程中的德育思想的滲透，使用起來效果還不錯。

2.耐住性子，等待花開

耐得住性子，才能真正撞開學生的思維之花。于是，現在的自主課上，除非必要，我都會沉下心來，等待學生完成自主任務。我的注意力，從急于給學生講，變成了在小組間流動，及時糾正學生自主時的學習狀態，默默觀察審視學生的答題思路，根據學生探究時出現的實際問題，在腦子里快速整合下節課的展示重點。偶爾因為個性化的問題，我也會跟某個學生小聲討論幾句，多是會心一笑之后，師生便各司其責了。老師耐下心來，學生學下去，才會真正地發現問題，快速完成課堂任務。

三、展示課的前奏――小組討論，查漏補缺

理想情況下，我的自主課會分為兩部分，一是個人完全獨立的自主時間（約30分鐘左右），二是小組成員間針對導學案的集中討論（約15分鐘左右）。但有時因為時間不夠，我也會將第二部分放在展示課的開始部分。有些問題，學生個人通過獨立預習思考就能夠解決，但是，也會有一些知識的盲點，是個人無法解決的，這時候，就要發揮集體的力量了。因為有了前面個人的獨立完成，所以，小組間的討論會更有針對性，小組成員總是會全神貫注，提出不同的見解，導學案上的探究題，經過小組成員的相互質疑討論，就會變得充實精彩起來。這一階段，老師仍然要在小組間流動，細心聽取不同組中的討論意見，以便最終確定展示任務，因為有了細心地調查，往往老師設計的問題會更加有的放矢。隨著討論的深入，學生會的越來越多，自信心也會膨脹起來，待到討論真正結束，老師選取重要的探究問題分配任務，要求各組展示，便是順理成章的事情了。

四、評價機制不可少

篇2

“曲線與方程”這節課是一節承上啟下的內容，既對必修2中解析幾何初步學習進行了延伸，又為后面學習圓錐曲線做好了鋪墊。

二、學情分析

學生在必修2中已經學過直線和圓的方程，體會到了解析幾何的基本方法――坐標法的好處。但沒有從理論的角度探索曲線與方程的關系，表現在求解一些軌跡問題或曲線方程的時候常常出現范圍錯誤的現象。

三、教學重點、難點

重點：曲線的方程和方程的曲線的定義。

難點：運用定義驗證曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程。

四、教學目標

1.知識與技能：知道曲線的方程和方程的曲線的定義。給出一些熟悉的曲線的部分圖象后能確定變量的取值范圍。能夠根據所給的方程畫出相應的圖形。

2.過程與方法：讓學生參與教學的全過程，通過對定義的總結與應用，進一步體會數形結合的思想方法。

3.情感態度與價值觀：通過師生互動、生生互動，讓學生在民主、和諧的課堂氛圍中，感受學習的樂趣，提高學生的興趣，增強學生的信心。

五、教學方法

課堂教學中堅持以學生為主體，教師為主導，思維訓練為主線，能力培養為主攻的原則。我采用引導發現、問題引領等方法。

六、媒體資源選用

采用多媒體輔助教學，PPT制作課件，利用天宮一號的視頻來讓學生初步體會曲線與方程的關系。

七、教學流程

為突出重點，突破難點，完成教學目標，我設計的教學流程如下：

首先利用天宮一號的目標飛行器成功發射的模擬動畫，使學生初步體會曲線上的點與方程的解是一一對應的關系，同時體會數學的應用價值。

我引導學生嘗試用自己的語言歸納什么叫曲線的方程，什么叫方程的曲線，在學生自我歸納的基礎上，教師給出標準的定義將其感性認識理性化。

為了幫助學生理解定義，我又從集合、充要條件兩個不同角度進行剖析，也為后面解決問題做好了鋪墊。

為了檢測學生對定義的理解和應用，在習題配備上，我采用了二、二、三的結構。

首先給出兩組練習，并設置問題。接著設置兩道例題，讓學生掌握利用定義判斷及證明方程為曲線的方程。通過師生互動完成例題的證明過程，進一步加深學生對定義的理解，培養學生書面表達的嚴謹和簡潔。

最后，讓學生歸納、總結出本節課所學的主要內容，老師作適當點撥引導，培養學生的概括能力、表達能力和自我獲取知識的能力，并布置課后作業。

篇3

在初中數學中，幾何知識是教學的重點和難點，很多學生對幾何內容敬而遠之。筆者分享兩個幾何問題設計的案例。

案例1：已知如圖1，線段AB、CD相交于O，連接AD、CB，請寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關系，并說明理由。

解答：解：在AOD中，∠AOD=180°-∠A-∠D，

在BOC中，∠BOC=180°-∠B -∠C，

∠AOD=∠BOC（對頂角相等），

180°-∠A -∠D=180°-∠B -∠C，

∠A+∠D=∠B+∠C；

如果把形如圖1的圖形稱之為“對頂三角形”。那么在這一個簡單的圖形中，筆者循序漸進的設計了九個問題，現分享如下：

（1）仔細觀察，在圖2中“對頂三角形”有幾個？

（2）在圖2中，若∠D=46°，∠B=30°，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N，利用原題中的結論，試求∠P的度數。

（3）如果圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數量關系？

（4）如圖3所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=？

（5）如圖4，若∠B=50°，∠D=32°，∠BAM=∠BAD，∠BCM=∠BCD，求∠M的度數。

（6）如圖5，設∠B=x°，∠D=y°，∠BAM=∠BAD，∠BCM=∠BCD，用含n、x、y的代數式表示∠M的度數。

（7）如圖6，點E在BA的延長線上，∠DAE的平分線和∠BCD的平分線交于點N，求∠ANC度數。

（8）如圖7，點E在BA的延長線上，點F在BC的延長線上，∠DAE的平分線和∠DCF的平分線交于點P，請直接寫出∠APC 的度數。

案例2：如圖1，O是ABC內一點，且BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB。

（1）若∠ABC=80°，∠ACB=60°，求∠BOC的度數。

（2）若∠A=40°，求∠BOC的度數。

（3）若∠A=α，用含α的代數式表示∠BOC。

分析：（1）根據角平分線的定義得到∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的內角和定理求出∠BOC的值；

（2）根據角平分線的定義和三角形的內角和定理求出∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的內角和定理求出∠BOC的度數；

（3）根據角平分線的定義和三角形的內角和定理求出∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的內角和定理求出

。

為拓寬、拓深學生的思維，鞏固所學知識，此題可以有如下幾種變式：

變式1：如圖2，若BO，CO分別平分ABC的兩個外角，試探索∠BOC與∠ABC的數量關系。

分析：分別作∠ABC、∠ACB的平分線交于點G，這樣就可以應用原題中第三問的結論了。證明如下：

BG、CG分別平分∠ABC、∠DBC

∠ABC+∠DBC=180°

∠GBO=90°

同理可得∠GCO=90°

∠GBO+∠GCO+∠G+∠O=360°

∠G+∠O=180°

由第三問結論可知：∠G=90°+（∠A/2）

∠O=180°-（90°+（∠A/2））

=90°-（∠A/2）

變式2：如圖3，若BO，CO分別平分ABC一個內角和一個外角，交于點O，你能探索出∠O與∠A之間的數量關系嗎？試試看。

分析：和變式1一樣，可以作∠ACB的平分線與∠ABC的平分線交于點H，也可以利用原題中的結論了。

將圖1、2、3糅合到一個圖上，此類題型就得到一個升華，可以找出∠1、∠2、∠3、∠4之間的相互關系等題型。

篇4

關鍵詞：距離空間;不動點;共軛空間;內積空間;弱收斂

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）18-0177-02

泛函分析課程是高等學校數學專業一門重要的專業課程.它內容抽象，理論深刻，應用廣泛，它的思想、觀念及處理問題的方式也同時滲透到數學科學的方方面面，對于提高學生數學素質，開展理論和應用研究有不可替代的作用.本課程由于理論性強，內容較抽象，需要的前期準備知識較多，在學生學習和老師授課方面都有一定的難度.在教學過程中，除了注重應用，我們也重視了加強基本概念的教學.下面是我們多年教學的點滴體會.

一、距離空間的有關概念

數學分析的基本概念之一是序列收斂的概念，而收斂又是與距離有關的.

在距離的定義中，d（x，y）≥0可用三角不等式推出.另外，定義中非負性、對稱性、三角不等式等三個條件等價于下面兩條：

（1）d（x，y）≥0，d（x，y）=0？圳x=y;

（2）d（x，y）≤d（x，z）+d（y，z）.

在同一個集合上，可以定義多個距離，就得到不同的距離空間.例如在R 中，設p>1是一個確定的實數，可以定義距離d（x，y）= |ζ -η | .由于p的不同值，就有無限多個不同的距離空間.

應用較多的是C[a，b]中的距離：

d（x，y）= |x（t）-y（t）|.

對于C[a，b]的這個距離，如果x是所要求的某個函數，y是它的一個近似表達式，要求d（x，y）<10 ，則是指給出近似表達式y的數值與真值x的偏離在任何地方都不超過10 .逼近論中的許多問題都能用這個距離表示.維爾斯特拉斯證明了閉區間C[a，b]上的任意連續函數都能用多項式作任意逼近，這里的逼近就是用上面定義的距離來度量的.

也應該注意到在C[a，b]中，依距離d（x，y）= |x（t）-y（t）|是完備的距離空間，但把它看作L [a，b]的子空間，依距離

d（x，y）= |x（t）-y（t）| dx 卻是不完備的.

二、注意巴拿赫不動點定理的條件

設X是完備距離空，T：XX，d（Tx，Ty）≤αd（x，y）（0≤α<1）是壓縮映射，則T在X中存在唯一的不動點x ，x =Tx .這就是巴拿赫不動點理.

對于不動點定理，有幾點需要說明：（1）壓縮映射使得X中的任意兩點x，y的像比該兩點自身更接近.此外，壓縮映射是連續的.（2）X的完備性保證了不動點是存在的，至于不動點的唯一性是直接從映射的壓縮性來的，并不要假設空間是完備的.定理中完備性與壓縮性兩個條件缺一不可.例如考察（0，+∞）到它自身的映射Tx=αx，這里α是小于1的一個正數，它顯然是壓縮映射，但是它在（0，+∞）中沒有不動點.原因就是空間（0，+∞）不完備.（3）條件α不能等于1.例如，設X={x|1≤x<+∞}，取實軸上的通常距離，定義映射T：XX為xx+1/x，當x≠y時，|Tx-Ty|<|x-y|，但映射T沒有不動點，就是因為α等于1.

三、理解共軛空間

X上的全體有界線性泛函記為X ，稱X 為X的共軛空間.

有很多物理現象具有這樣的特點，當用函數來描述它們時，其自變量在極小的范圍內取值很大，而在其他范圍內取值為零.例如，力學中瞬間發生作用力的沖擊力，數字信號處理中的抽樣脈沖，直線上的質量集中在一點附近時的密度，電學中點電荷的密度等.為了刻畫這種物理現象，需要一種抽象的數學模型，即需要一種“函數”，除某點（如原點）外處處為零，在這一點其值等于無窮，而在整個直線上的積分值為1，這種“函數”后來被稱為δ函數，它是由物理學家狄拉克（Dirac）最先引進的，其表示式為：

δ（x）=0，x≠0，∞，x=0，？搖 δ（x）dx=1.

這樣表示的函數與數學命題：若f=0 a.e.，則 f=0矛盾，因此δ函數的上述表示一直不能被數學家接受.數學家經過長期的努力，在共軛空間中找到了δ函數的位置和理論依據.

我們來看一下δ函數的數學定義.

對C[-1，1]中任意一個連續函數f（t），對應一個C[-1，1]R的泛函：

f（x）= f（t）x（t）dt.

線性泛函是顯然的，現證其連續性.

對任意的x ∈C[-1，1]，有

|f（x）-f（x ）|= f（t）[x（t）-x （t）]dt

≤ |x（t）-x （t）| |f（t）|dt=||x-x || |f（t）|dt.

當xx ，即||x-x ||0時，f（x）f（x ），故f在x 點連續.由x 的任意性得，f在C[-1，1]上連續.考察C[-1，1]中的如下函數列f ：

f （t）=n-|t|n ， |t|≤1/n，0， |t|>1/n.

當t≠0時， f （t）=0，且 f （t）dt=1.設想f （t）的極限應當就是有廣泛應用的δ函數，所以稱f （t）為δ函數序列.但由于在t=0時， f （t）不收斂，故不能采用 f （t）來作為δ函數的數學定義.

在C[-1，1]的共軛空間來考察.δ函數序列f （t）對應于f （x）= f （t）x（t）dt= f （t）x（t）dt

=x（ζ ） （n-|t|n ）dt=x（ζ ），|ζ |<1/n.

當n∞時， f （x）= x（ζ ）=x（0），

即在C[-1，1]的共軛空間中，f （x）的極限函數（記為δ（x））應是C[-1，1]的如下泛函：

δ（x）=x（0），？坌x∈C[-1，1].

這就是δ函數嚴格的數學定義.因此有些事情借助共軛空間可以辦到，而在原空間卻是不可能做到的.

四、內積空間的新定義

我們從另一個角度看內積的定義.先看下面的例題.

例 設x=（ζ ）∈l ，x=（η ）∈l ，則

||x+y|| = ζ +η |

= ζ | + ζ + η + η | ，||x-y|| = ζ -η | = ζ | - ζ - η + η | .

上面兩式相加得到所謂的平行四邊形法則：

||x+y|| +||x-y|| =2||x|| +2||y|| .

五、理解點列的弱收斂

點列的弱收斂是一個比較難理解的概念.先看一下什么是弱收斂.

設X是賦范線性空間，x ，x∈X.如果對任一x ∈X，都有 x （x ）=x （x），則稱x 弱收斂于x，記作x x.

要理解弱收斂的原始意義，我們看Riemann-Lebesgue引理：設f∈L [0，2π]，則

f（x）cos（nx）dx= f（x）sin（nx）dx=0.

篇5

例1（習題2．2A組第7題）如圖1，圓Ο的半徑為定長r，Α是圓Ο內一個定點，Ρ是圓上任意一點。線段ΑΡ的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，當點Ρ在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？

例2（習題2．3A組第5題）如圖2，圓Ο的半徑為定長r，Α是圓Ο外一個定點，Ρ是圓上任意一點。線段ΑΡ的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，當點Ρ在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？

可以發現這兩道題目只是一字之差，前一題點Α是圓Ο內一個定點，后一題點Α是圓Ο外一個定點，解決的方法是連結點Q和點A，由線段中垂線上的點到線段兩端點的距離相等，前一題可以得到|QO|＋|QA|=|OP|(定值)，且大于|OA|。根據橢圓的定義，可得到點Q的軌跡是一個以點Ο和點Α為焦點的橢圓。后一題可以得到|QO|－|QA|=|OP|(定值)，且小于|OA|。根據雙曲線的定義，可得到點Q的軌跡是一個以點Ο和點Α為焦點的雙曲線。通過教材中這兩道只有一字之差的習題，筆者有以下兩點思考。

一、重視定義教學

對于上面一字之差的兩道習題，主要考查的是橢圓和雙曲線的定義，但是筆者在教學和練習的過程中感覺部分學生解決起來有一定的難度，這與學生對圓錐曲線的定義的理解和掌握方面不夠到位有關，如何才能抓好圓錐曲線定義的教學呢？

在定義教學的過程中，首先，提高學生的學習興趣。要讓學生從整體上認識三種圓錐曲線的內在聯系，通過與科研、生產以及日常生活的密切關系，激發學生的學習興趣。在學習圓錐曲線之前和學習的過程中，教師要多講一些相關的數學史與數學文化,也可以讓學生自己去搜集相關資料講給周圍的同學們聽。

其次，在定義教學的時候，始終要抓住動點所滿足的條件，要搞清楚動點所滿足的幾何關系式。一定要讓學生自己動手作圖才行，比如說,通過拉鏈實驗、折紙實驗、借助幾何畫板工具作圖等，讓學生親歷軌跡的形成過程，這樣有助于對學習興趣的培養，對定義的印象會更深刻更牢固。同時，對于動點到兩定點的距離之和（差）是一個常數，這個常數大于、等于、小于兩定點間距離時候，軌跡分別是什么圖形？在拋物線的定義中，若定點F在定直線l上，動點的軌跡又是什么圖形？這些問題都要對學生作適當的引導，要讓學生自己去發現結論。

再次，就是正確地使用定義解決問題，比如，教材上就有這樣的習題：

例3（習題2．2A組第1題）如果點M(x,y)在運動過程中，總滿足關系式x2+(y+3)2+x2+(y－3)2=10，點M的軌跡是什么曲線？為什么？寫出它的方程。

例4（習題2．2B組第2題）一動圓與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時與圓x2+y2－6x－91=0內切,，求動圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么曲線。

最后，對于圓錐曲線的第二定義，是作為發展要求的（發展要求是了解橢圓和雙曲線的第二定義），筆者認為，可以結合教材中兩道例題進行教學。

例5（P47例6）點M(x,y)到定點F(4,0)的距離和它到定直線l:x=254的距離的比是常數45，求點M的軌跡。

例6（P59例5）點M(x,y)到定點F(5,0)的距離和它到定直線l:x=165的距離的比是常數54，求點M的軌跡。

然后借助信息技術作圖，去探討教材76頁的圓錐曲線的離心率與統一方程。從特殊到一般，去了解圓錐曲線的統一定義，進一步了解三種曲線的內在聯系，這樣的話，圓錐曲線的第二定義教學就會比較到位了。

二、重視教材習題的教學

作為教材上的練習和習題，是為了鞏固本章節的定義、概念、公式、性質等，幫助學生理解并掌握相關內容而設置的。高考題目是“萬變不離其宗”，相當比例的題目都是來自對教材上例題和習題的改編，進行變式引申和拓展而來的。這就要求我們的教師在平時的教學中一定要切實而有效地引導學生學好教材上的例題和習題，使學生在解題時知常達變，舉一反三，真正提高解題能力。

作為教師，我們要對需要對教材中的習題進行鉆研，練習題、習題和復習參考題是如何搭配的？他們之間有何關系？編者的意圖何在？突出什么？強調什么？哪些習題是鞏固知識形成技能;哪些習題是教材知識的補充與深化；哪些習題是為后面學習做好鋪墊；哪些習題是培養學生某種能力等。然后才能進行更加有效的教學與指導。

在圓錐曲線與方程這章，教材中有不少題目“長得很像”，比如P41例3：設點A,B的坐標分別是(－5,0),(5,0)，直線AM,BM相交于點M，且它們的斜率之積是－49,求點M的軌跡方程。

篇6

由于近年來高校擴張，學生人數劇增，高校大學英語師資匱乏，語言類教學所需的小班制教學無法實現。再加上四六級證書與畢業、就業掛鉤，導致很多大學的英語教學就是應試教育，延續了教師講、學生聽的傳統教學方式，教師講語法句法，講知識點，講四六級作文的典型模塊，割裂了英語與實際生活的聯系，忽略了其工具性，學生很少有機會用英語來表達自己，故無法在大學課堂上提高英語的聽說能力。大多數大學畢業生有很高的英語寫作、閱讀水平的同時，卻無法甚至不敢與外國人交流。

該文針對傳統大學英語教學中存在的上述弊端，結合大學英語教學發展的未來走向[1]以及如今網絡對教育的影響[2]，提出依托網絡教學綜合平臺，開展混合式教學。

1 混合式教學

1.1 混合式教學定義

所謂混合式教學，就是要把傳統學習方式的優勢和網絡在線學習的優勢結合起來。其中，在線學習部分占整個教學活動的30%～79%。在混合式教學過程中，既要發揮教師引導、啟發、監控教學過程的主導作用，又要充分體現學生作為學習過程主體的主動性、積極性與創造性[3]。

1.2 混合式教學的意義及優勢

在混合式教學過程中，更強調的是學生作為學習過程主體的主動性、積極性與創造性，將傳統的傳授知識的過程轉化為師生共同探討研究問題的過程。

另一方面，知識的學習過程主要在線上完成，學生線上沒有聽明白的視頻內容可以根據需要反復重播，沒有看明白的課件可以慢慢揣摩，而課堂上的時間主要用來進行師生交流。

簡而言之，混合式教學有以下一系列優勢。

發揮和利用了課堂教學與在線自主學習的優勢，形成以學生為主體的學習和以教師為主導的教學形式。學生的自主性將得到充分的發揮，學生的主體地位也得到進一步的加強。

很好地彌補了傳統教學模式在時間、空間上的限制，充分提高教學效率，解決多校區辦學師資匱乏、師生交流不充分的問題。

利用網絡教學綜合平臺的大數據[4]統計、分析功能，及時發現網上教學過程中有待改進的地方，迅速更新、完善本課程的網上教學資料；及時查看學生學習過程中遇到的難點、易錯點，有針對性地設計或調整課堂上的教學互動環節。

2 大學英語混合式教師策略

首先，假設大學英語為32學時，那么，可以安排平臺上教學16學時，課堂上16學時，但是教務處仍然按照32學時給教師計算課時。

然后，外語系選派幾名教學經驗豐富、講課水平較高的教師組成課件制作小組，根據教學大綱和教學材料，制作教學資源，包括參考課件、電子教案、教學課件、錄制講課視頻以及查找相關的擴展閱讀或推薦視頻資料等等。每個代課英語教師在各自的課程平臺上這些教學資源，同時，還要在平臺上與課程相關的討論，給學生答疑，布置及批改作業等。

學生每周自己安排時間上網學習教師上傳的各類學習材料，積極參與課程討論，完成教師線上的作業。而大數據技術則會記錄每個學生在平臺上的學習情況。教師通過查閱這些記錄就可以了解每一個學生的線上學習情況，進而針對有特殊需要的學生進行線上一對一的聯系、輔導等。

每周一次的課堂學習不再是傳統的填鴨式教學，這些內容已經放到了平臺上由學生們自主學習。代課英語教師圍繞本周的教學重點，開展課堂專題討論、英語辯論或者演講等各種形式的互動，激勵學生在課堂上大膽表達自己，鍛煉口語，改善英語思維能力。同時，教師根據學生的課堂表現給每位學生記錄平時課堂成績。

最后的課程成績以平時成績為主，占總成績的60%。其中線上作業情況、參與討論情況、閱讀教學資源情況各占10%，課堂上的表現情況占30%，期末考試占總成績的40%。

通過這樣的改革，把書本知識的整個學習過程放到網絡教學綜合平臺上，而把寶貴的課堂時間用來提高學生的英語聽、說能力。只要教學大綱、教學材料不變，那么平臺上的各類教學資源就不需要大幅度變化，所有的教師都可以把教學精力轉移到及時在線上給學生答疑、參與課程討論，以及設計合理的課堂互動環節，從而提高學生的英語表達能力、提升英語思維上，而不是放在每年重復性的課堂講課上。

篇7

數學概念是反映一類對象本質屬性的思維形式，它具有相對獨立性。概念反映的這一類對象本質屬性，即這類對象的內在的，固有的屬性，而不是表面的屬性，而這類對象時現實世界的數量關系和空間形式，它們已被舍去了具體物質屬性和具體的關系，僅被抽取出量的關系和形式結構，在某種程度上表現為對原始對象具有內容的相對獨立性。

數學概念具有抽象與具體的雙重性，數學概念既然代表了一類對象的本質屬性，那么它是抽象的，以“矩形”概念為例，現實世界沒有見過抽象的矩形，而只能見到形形的具體的矩形，叢這個意義上來說，數學概念“脫離”了現實。由于數學中使用了形式化，符號化得語言，是數學概念離現實更遠，即抽象程度更高，但同時，正因為抽象程度愈來愈高，與現實的原始對象聯系愈弱，才使得數學概念應用愈廣泛。但不管怎樣的抽象，高層次的概念總是以低層次的概念為具體內容。且數學概念的數學命題，數學推理的基礎部分，就整個數學體系而言，概念是一個實在的東西。所以它即抽象又具體。

數學概念還具有邏輯關聯性。數學中打多數概念都是在原始概念（原名）基礎上形成的，并采用邏輯定義的方法，以語言或符號的形式使之固定。其他學科均沒有教學中諸如概念那樣具有如此精準的內涵和如此豐富，嚴謹的邏輯關系。

數學概念教學是中學教學中至關重要的一項內容，是基礎知識和基本技能教學的核心，正確理解概念是學好數學的基礎，學好概念是學好數學的重要一環。一些學生數學之所以差，概念不清往往是最直接的原因，特別是像我校這樣普通中學的學生，數學素養差的關鍵是在對數學概念的理解，應用和轉化等方面的差異。因此抓好概念教學時提高中學生數學教學質量的帶有根本意義的一環。教學過程中如果能夠充分考慮到這一因素，抓住有限的概念教學的契機，以提高大多數學生的數學素養是完全可以做到的，同時，數學素養的提高也為學生的各項能力和素養的培養提供了有利條件以及必要的保障。

從平常數學概念的教學實際來看，學生往往會出現兩種傾向，其一是有的學生認為基本概念單調乏味，不去重視它，不求甚解，導致概念認識和理解模糊：其二是有的學生對基本概念雖然重視但只是死記硬背，而不去真正透徹理解，只有機械的，零碎的認識。這樣久而久之，從而嚴重影響對教學基礎知識和基本技能的掌握和運用。比如有的同學在解題中得到異面直線的夾角為鈍角，有的同學認為函數與直線有兩個交點，這些錯誤都是由于學生對概念認識模糊造成的。從一定意義上來說，數學水平的高低，取決于對數學概念的掌握的程度。

二、數學概念的教學形式

1.重視概念的本源，概念產生的基礎，體驗數學概念形成過程。

學生如能在教師創設的情景中像數學家那樣去“想數學”，“經歷”一遍發現，創新的過程，那么在獲得概念的同時還能培養他們的創造精神。由于概念教學在整個教學中起著舉足輕重的作用，我們應重視在教學概念教學中培養學生的創造性思維。引入時概念教學的第一步，也是形成概念的基礎。概念引入時教師要鼓勵學生猜想，即讓學生依據已有的材料和知識作出符合一定經驗與事實的推測性想象，讓學生經歷教學家發現新概念的最初階段，猜想作為數學想象表現形式的最高層次，屬于創造性想象，是推動數學發展的強大動力。

比如，在立體幾何中異面直線距離與概念，傳統的方法是給出異面直線公垂線的概念，然后指出兩垂足間的線段長就叫做兩條異面直線的距離。教學可以先讓學生回顧一下過去學過的有關距離的概念，如兩點之間的距離，點到直線的距離，兩平行線之間的距離，引導學生思考這些距離有什么特點，發現共同的特點是最短與垂線。然后，啟發學生思索在兩條異面直線上是否存在這樣的兩點，它們間的距離是最短的？如果存在，應當有什么特征？于是經過共同探索，得出如果這兩點的連線段和兩條異面直線都垂直，則其長時最短的，并通過實物模型演示確認這樣的線段是否存在，在此基礎上，自然地給出異面直線距離和概念。

2.挖掘概念的內涵與外延，理解概念。

新概念的引入，是對已有概念的繼承，發展和完善。有些概念由于其內涵豐富，外延廣泛等原因，很難一步到位，需要分成若干個層次，逐步加深提高。如三角函數的定義，經歷了以下三個循環漸進，不斷深化的過程：

（1）用直角三角形邊長的比刻畫的銳角三角函數的定義，

（2）用點的坐標表示的銳角三角函數的定義，

（3）任意角的三角函數的定義。由此概念衍生出：三角函數的值在各個象限的符號；三角函數線；同角三角函數的基本關系式，三角函數點的圖像性質；三角函數的誘導公式等。可見，三角函數的定義在三角函數教學中可謂重中之重，它貫穿于與三角有關的各部分內容并起著關鍵的作用。

3.尋找新概念之間的聯系，掌握概念。

數學中有許多概念都有著密切的聯系。如函數概念有兩種定義，一種是初中給出的定義，是從運動變化的觀點出發，其中的對應關系式將自變量的每一個取值，與唯一確定的函數值對應起來，另一種高中給出的定義，是從集合中的每一個元素與象集合中唯一確定的元素對應起來。從歷史上看，初中給出的定義來源于物理公式，而函數可用圖像，表格，公式等表示，所以高中用集合與對應的語言來刻畫函數，抓住了函數的本質屬性，更具有一般性。認真分析兩種函數定義，其定義域與值域的含義完全相同，對應關系本質上也一樣，只不過在敘述的出發點不同，所以兩種函數的定義，本質是一致的。

篇8

一、運用公理定義“直線與平面垂直”概念的思考

對于直線與平面垂直定義的教學，大多教師會演示課本上的實例，旗桿與地面的位置關系，讓學生觀察直立于地面的旗桿及它在地面上的影子。并指出旗桿所在的直線與地面內任意一條過交點的直線垂直（和不過交點的直線也垂直）。

有些教師也會借助于使用多媒體CAI，展示在現實世界中大量存在的直線與平面位置關系中的這種很特殊的情形，對學生增強直觀的直線與平面垂直形象課堂容量進行演示。

在教師的誘導下，學生會利用知識的遷移，自然而然聯想到平面內兩條直線互相垂直和空間兩條直線相互垂直的知識，猜想總結出這種特殊位置關系應該稱為“直線與平面垂直”關系。此時，有的教師認為下定義的時機已經成熟，或者引導學生自己去給出準確的定義，或者直接給出教材中的概念：“一條直線和平面內的任何一條直線都垂直，我們就說這條直線和這個平面互相垂直”。我們研討認為這種教學方法有值得思考的地方。

是不是我們一定要用“如果一條直線與平面內的所有直線都垂直則稱這條直線與平面垂直”來定義？當然我們也可用“如果一條直線與平面內的兩條相交直線垂直，則稱這條線與平面垂直”來加以定義（如圖）。我們知道，這里的兩種不同的條件實際上是等價的，可以互相推出，所以本來這兩種選擇都可以作為定義的。

既然二種關系原來都可以定義概念，那我們為什么要用第一種方法來定義？

在數學體系中，各個名詞是預先已經用公理定義的概念，這樣的公理系統是一個實質性公理系統。因為要先定義概念，所以就要有一些原始的概念作為定義其他概念的出發點。一般來說當幾種公理都可作為定義某一要領時，特別是有的概念在下定義時，本來就可以有多種選擇的情況下，數學體系中往往會把簡單的公理留著作為判定定理。比如在初中教材中，平行線的定義與判定定理就是如此。在此，我們就容易理解了數學體系中用第一種方法來定義直線與平面垂直概念，而不是用第二種方法來定義直線與平面垂直概念的理由了。

通過我們以上的教學，讓我們的學生知道了“如果一條直線與平面內的所有直線都垂直則稱這條直線與平面垂直”與“如果一條直線與平面內的兩條相交直線垂直，則稱這條線與平面垂直”從本質上來說是等價的道理，為后面的判定定理的學習與運用，埋下了伏筆。

二、從定義引入到判定定理教學的思考

接下來，我們再思考另一個問題，就是在學了“直線與平面垂直定義”后，如何引入“直線與平面垂直的判定定理”的問題？大多教師會按照教材的思路進行這樣的引入教學：“要證明一條直線和一個平面垂直，若每次都要證明這條直線和平面上每一條直線都垂直，顯然是很麻煩也不必要的”。

這樣的引入值得我們教師進行認真的思考了，注意這里教師的引導語“很麻煩也不必要”可能會給學生帶來二個誤處。

誤處一：“很麻煩”導致學生在不善于直接從定義去思考問題，

誤處二：“不必要”導致學生誤認為遇到有關直線與平面垂直的判定問題時，根本不用去想用定義去證明。

這種誤處，學生一旦形成，對所有的定義的理解和運用，特別是對學生的思維活動是非常有害的制約。

實際上，有許許多多的題，完全可以應用定義判定直線與平面垂直，例如：“如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一個平面”，既可以用后面的判定定理證明，也可以用定義來證明。我們也可以運用定義來發散思維證題，例如：根據直線與平面垂直的定義，如果平面內存在一條直線與平面的一條交線b不垂直，則可以斷定此平面與直線b不垂直。

所以說，定義不是沒有用，而是看我們怎么去用。有時用定義去判定比用判定定理更容易解決問題。但大多數情況下，用定義去判定直線與平面垂直確實非常困難，要告訴學生，因為平面內直線的無限性，一條直線與平面內的所有直線都要判定與此垂直，既不現實，也難以操作，所以必須去尋找一種能夠避免逐一確定無限條直線與此直線垂直的問題，從而引入到判定定理的教學中。

三、對教材中的判定定理的思考

對直線與平面垂直判定定理，過去大多教師會這樣引入：“讓我們先來看看木工師傅是如何判斷一根立柱是否和板面垂直的方法，用曲尺（注：曲尺，是指木工及鉗工常用的一邊長一邊短的直角尺）檢查兩次，只要兩次，但曲尺靠板面的尺，兩次不能在同一條直線上，如果立柱、板面都和曲尺的兩條邊完全吻合，便可斷定立柱和板面垂直。從中你能得到判定直線和平面垂直的方法嗎？”引導學生進行猜想推測，從而引入判定定理。

有的教師也會按照教材P65圖2.3-4探究的折紙方法引入直線與平面垂直判定定理。但教材也好，老師也好，不管怎么引入判定定理，最后都沒有給予確切的嚴格證明，教材中只提出了二個思考問題作為運用時必須注意的問題——定理中兩條相交直線不可忽視（P65），就算把判定定理概念教學告一段落，接下去就直接進行如何運用判定定理了。

這種沒有嚴格證明的“判定定理”，我們認為教材處理不妥會讓學生有些迷茫。迷茫有三：

1.我們說，數學中的命題，必須經過嚴格的證明是正確的，才能成為定理。如果象教材上的實例引入，確實是對的，那也只是是用實驗的方法驗證了這確實是“正確”的。這種沒有經過嚴格證明的“判定定理”真的是正確的嗎？

2.剛剛前面說過，用定義判定直線與平面垂直不現實也難操作，所以要引入容易判定的直線與平面垂直的判定定理，而現在引入了判定定理卻又不給證明，這“判定定理”到底是對還是錯？

3.教師說，這定理以后可以借助空間向量等方法怎么怎么地來證明，如果以后確實可以證明了，那繞了一大圈，學生會不會說原來也可能是個數學怪圈？是否會產生循環論證之類的錯誤呢？用今天尚未證明的“判定定理”A推出B，再用B去推出C……，C推出A。

篇9

一、

指導思想

結合此次線上空中課堂和科任教師直播教學內容和以及本班學生掌握情況，致力于構建開放而有活力的數學教學體系，促進學生學習方式的改變，全面提高每一個學生的數學素養，為孩子的終身學習、生活和工作奠定監事的數學基礎。

二、

班級學生情況分析

（一）

通過一學期的教學，大多數學生基本上了解新教材的特點，適應了新教材的學習，基本上能夠自覺的學習，也對數學學科產生了一定的興趣,大部分同學已經形成良好的學習習慣，絕大多數學生順利的度過初、高中知識體系與思考方法等方面的銜接，但是還有一部分學生，存在薄弱環節，還沒有得到實質性的改變

本班現有學生X人，其中男生X人，女生X人。經過本學期為期幾周的線上“空中課堂”和科任教師線上直播教學，根據學生平時上交作業和家庭作業上交情況來看，有的同學對語文的興趣較濃，基礎知識和能力掌握較好，能主動學習，但有個別學生自制力較差，無論是聽課還是作業都不夠認真，甚至出現應付的情況，由于線上教學老師不在身邊，家長也有自己的工作要做，個別情況下不能及時陪同孩子觀看空中課堂，這就導致拉大了學生之間掌握知識情況的差異。

三、

本學期應達到的教學目標

本學期本著從學生的實際出發，認真落實新課程的標準，認真體會新教材的要求，使自己的教學水平有長足的進步。本學期努力提高期末考試的優秀率和合格率，同時也重視培養學生的應試能力和對學科的興趣，改善學生的學習習慣，全面落實基礎，使學生的能力有較大的提高。達到以下兩個目標：

（一）情意目標

1．

通過分析問題的方法的教學，培養學生的學習的興趣。

2．

提供生活背景，通過數學建模，讓學生體會數學就在身邊，培養學數學用數學的意識。

3．

在探究函數、等差數列、等比數列的性質，體驗獲得數學規律的艱辛和樂趣，在分組

研究合作學習中學會交流、相互評價，提高學生的合作意識

4．

基于情意目標，調控教學流程，堅定學習信念和學習信心。

5．

還時空給學生、還課堂給學生、還探索和發現權給學生，給予學生自主探索與合作交流的機會，在發展他們思維能力的同時，發展他們的數學情感、學好數學的自信心和追求數學的科學精神。

（二）能力要求

1.培養學生記憶能力。

（1）通過定義、命題的總體結構教學，揭示其本質特點和相互關系，培養對數學本質問題的背景事實及具體數據的記憶。

（3）通過揭示立體幾何、函數、數列有關概念、公式和圖形的對應關系,培養記憶能力。

2、培養學生的運算能力。

（1）通過數列的通項公式和求和公式的訓練，培養學生的運算能力。

（2）加強對概念、公式、法則的明確性和靈活性的教學，培養學生的運算能力。

（3）通過函數、數列的教學，提高學生是運算過程具有明晰性、合理性、簡捷性能力。

（4）通過一題多解、一題多變培養正確、迅速與合理、靈活的運算能力，促使知識間的滲透和遷移。

（5）利用數形結合，另辟蹊徑，提高學生運算能力。

（6）通過立體幾何的教學培養學生的空間想象能力。四、開學安排

（一）

對“空中課堂”?講過的知識運用課堂時間進行回顧復習，不放過任何一個知識點，使學生對已經掌握的知識進行復習鞏固，還未掌握的知識達到掌握的狀態，縮小學生之間的差距，為后續教學工作的展開打好基礎。

（二）

根據學生學習情況，利用一定的時間和精力，以測試的方式了解學生在線上教學階段對每一課每一個知識點的掌握情況，加強指導，嚴格要求。

（三）

學習新知識的同時，堅持不懈地抓好學生良好學習習慣的培養。尤其是培養學生養成樂于傾聽、勇于發言和認真寫字的習慣。對學生多一些寬容，以欣賞的眼光看待他們，對學困生多鼓勵，提高他們的學習興趣，消除學生在“空中課堂”線上教學活動中未掌握知識而產生的消極心理，增強他們的學習信心。

（四）

加強新教材的研修，努力提高教師本身對新教材的把握能力，使學生更加適應新課程的要求。

（五）

關注學生思想，及時與家長溝通學生狀況，確定解決措施。

（六）

提高課堂教學的利用率，在深入了解學情的基礎上，認真備課，從實際出發，努力提高課堂的效率，合理利用多媒體教學。加強課后作業的優化，合理選擇題目，使學生不做無用功，突顯作業的檢驗知識的功能，及時批改，及時評講，對個別學生面批。

篇10

【關鍵詞】工程數學；復變函數；積分變換；教學方法

工程數學是高等數學的后續課程，是一門重要的工科專業必修課。它不僅在數學的其他分支，如常微分方程、積分方程，有著重要的應用，還在其他科學領域有著廣泛的應用，如理論物理、流體力學等。

我校是醫學院校，針對我校生物醫學工程專業，我們在學生大二第一學期開設了工程數學這門課程，是一門必不可少的專業基礎類必修課程。它為電工與電路分析、模擬電子技術、信號與系統等后續專業專業課學習提供了必要的數學工具，在整個課程體系中占有舉足輕重的地位和作用。因此，如何學好工程數學這門課程是非常重要的。我校工程數學計劃54學時，包括復變函數和積分變換，學時少，內容多。在教學過程中，學生也時常反應概念難懂、方法不易掌握、習題難做，容易與高等數學的知識點混淆。對此，本文結合實際授課經驗和我校工程數學這門課程教學改革，淺談教學過程中遇到的一些問題和對一些知識點的處理建議。

工程數學和高等數學既有區別又有聯系。它們的研究對象都是函數，研究主線都是通過變量研究函數，從而定義極限，利用極限去研究函數的連續、導數、積分。兩者的差異在于工程數學研究的函數是復變函數，高等數學研究的函數是實變函數。從實變函數到復變函數，函數的定義域與值域從實數域擴大到復數域。因此，復變函數是實變函數理論的延續和拓展，兩者的區別和聯系貫穿教學的始終，在教學過程中，通過類比的方式，利用高等數學的知識，理解復變函數與實變函數的區別。例如，對許多基本概念及定義進行理解時，使用類比法多做對比，找出相似點與不同點，加深對這些概念的理解。

1 復數的定義

一般稱（其中，x，y是實數）是一個復數。但這個概念的本質是什么呢？類似實數可用直線上的點來表示，一個復數由一對有序實數（x，y）唯一確定，當建立直角坐標系后，平面xoy上的任意一點P（x，y）可以按照一定規則與一對有序實數（x，y）建立一一對應的關系，也可以和起點為原點，終點為P的向量建立一一對應的關系。因此，從幾何角度理解，復數可以用點P或者向量來表示，也可以說復數是向量的另外一種表示方式。因此，復數的本質應該是向量，而不是“數”。“數”的本質特性是可以比較大小的，因此，可以從這個角度不難理解，復數為什么不能比較大小了。

2 復變函數的定義

復變函數是一元實變函數的直接推廣，它的定義與一元實函數的定義形式完全相同，但是復變函數的自變量和因變量都取自復數，其與兩個二元實變函數相對應，因此，復變函數在幾何上就可以看成是z平面上的一個點集G到平面上一個點集的映射。因而，無法用直觀的圖形來表示函數關系，若要直角坐標系畫出，需要四維空間，而一元實變函數在幾何上表示的是一條平面曲線。這是復變函數與實變函數定義上的一個不同。在向學生講解復變函數的幾何特性時，可以從簡單的例子出發，例如，函數可以先介紹點與點的對應，然后是點集與點集的對應，如Z平面上的曲線在該函數作用下的圖像。復變函數與實變函數另外一個不同在于復變函數可以是多值函數，例如，開方函數可以將Z平面上的一點映射為平面上的兩個點。

3 復變函數的極限與連續

復變函數與一元實變函數的極限、連續在定義形式上相似，許多基本性質與運算法則也相同，但本質上與二元實變函數一致。定理證明[1-2]，一個復變函數的極限存在充要條件是它的實部函數與虛部函數的極限都存在；一個復變函數在某一點連續充要條件是它的實部函數與虛部函數在點是連續的。因此，研究復變函數的極限和連續等問題可以轉化為兩個二元實變函數的極限與連續問題。其次，復變函數中自變量的變化趨勢與實變函數的自變量的變化趨勢也有所不同，復變函數中自變量的變化趨勢指的是以任何方式任何路徑區域，不僅僅是左右兩個方向趨于，而實變函數的自變量的變化趨勢是指從左右兩個方向趨于。因此，復變函數的極限要求更高、更嚴格。而連續是基于極限這個基礎的，所以復變函數連續也要比實變函數連續要求更高。

4 解析函數

解析函數是復變函數的一個重要研究對象。函數解析是比可導（可微）更強的一個概念，復變函數在一點處解析，不僅要求在該點可導，還要求在該點的領域內可導。因此，復變函數在一點解析，一定是可導的，反之，不一定成立。在區域D內每點都解析的函數稱為區域D上的解析函數。判斷復變函數在某一點可導的充要條件是它的實部函數和虛部函數在這一點可導，且滿足柯西-黎曼方程。要判斷函數在這一點的解析性，一般只能通過定義。其次，要判斷一個復變函數在區域D內的充要條件是它的實部函數和虛部函數在區域D內可導且在區域D內滿足柯西-黎曼方程。這里主要利用了開區域的定義，因為開區域每個點都是其內點，故若函數在開區域D內處處可導，則在D內處處滿足上述兩個條件。因此，對于D內任意一點，必存在該點的一個鄰域，使得函數在該鄰域內處處可導。故由函數解析的定義可得，函數在區域D內的每一點處解析。

5 復變函數的積分

從形式上看，復變函數的積分是實變函數定積分的一種自然推廣。但其本質上是復平面上的，它可以與二元實函數的線積分聯系在一起。相對應就有了柯西-古薩基本定理，在此基礎上，得到了一系列推廣定理如：復合閉路定理、閉路變形原理等。柯西積分公式的證明基于柯西-古薩定理。其重要性在于解析函數在區域內部的值可以通過其在邊界上的值通過積分得到。

綜上所述，工程數學中蘊含了豐富的數學方法，特別是類比的數學方法。工程數學中很多問題可以通過一定的技巧轉化為高等數學的問題，很多的結論可以通過與高等數學的知識類比得到。但是，它們在概念上也有一定的差異，因此，在教學過程中，要注重與高等數學知識銜接，比較和探究它們的異同，概括它們的原理，使得學生在掌握新概念的同時，領悟概念間的內在聯系，從而加深學生對知識的理解，提高分析問題和解決問題的能力。

【參考文獻】

[1]王錦森.復變函數[M].1版.北京：高等教育出版社，2008.

[2]鐘玉泉.復變函數輪[M].3版.北京：高等教育出版社，2004.

[3]熊春連，陳翠玲，段華貴.工科復變函數中的遷移教學[J].大學數學，2010，26（2）：203-206.