混沌圖像內部結構管理論文

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摘要：本文對由周期通向混沌的主要道路之一——倍周期分岔道路做了深入的分析與研究，并使用圖像分解方法展示正分岔和倒分岔及各自的分岔圖形。從微觀的角度在更深入的層面上揭示混沌圖像的深層細節，以填補傳統的混沌圖像生成方法中看不到圖形內部結構的空白。

關鍵字：倍周期分岔；周期；混沌

中圖分類號：TP301

一、前言

隨著非線性科學理論研究和應用的不斷發展，混沌理論正日益受到關注。前不久美國上映的新影片“蝴蝶效應”曾創北美票房紀錄。影片的片頭語稱：“北非的蝴蝶扇一扇翅膀有可能使得半個世界以外的地方刮起臺風?！?AbutterflyflappingitswingsinNorthAfricacancauseatyphoonhalfaworldaway.)。這段話是科學家對混沌特性的描述語言，即“蝴蝶效應”應屬于混沌學(Chaos)。它反映了因果關系，意思是小小的擾動（原因變化）可能引起完全不同的結果。當然電影要談的并不是混沌學，但它在一定程度上為混沌的普及起到一定的推波助瀾的作用，使混沌從最初的科學家談論的名詞進入到社會的方方面面，為更多的人所認識。

現代的科學意義上的混沌是個難以精確定義的概念，不同領域的科學家往往對其有不同的理解，至今對混沌概念還沒有公認的嚴格的定義。李－約克的定義是用三個方面的本質特征來對混沌進行刻畫的，即“有界”、“非周期”和“敏感初條件”[1]，而在有限性制約下的物理混沌仍具有這三個本質特征。所以，我們認為可以這樣來界定混沌概念，“混沌是確定性非線性系統的有界的敏感初條件的非周期行為”，只要能確定系統處于混沌狀態，那么行為(或狀態)主體就是確定性的非線性系統，而且它一定具有“有界”、“敏感初條件”和“非周期”三個本質特征；反之，任何一個確定性的非線性系統，只要它表現出“有界”、“非周期”和“敏感初條件”的特征，那么就可以認為該系統處于混沌狀態。

歸納起來，它具有如下的特征[2]：混沌具有內在的隨機性；混沌具有分形的性質；混沌具有標度不變性，是一種無周期的有序；混沌現象還具有對初始條件的敏感依賴性。

目前，公認的通向混沌的主要道路有三條[3]：倍周期分岔，陣發混沌和準周期進入混沌。與之對應的是非線性方程中三種不同類型的分岔——倍周期分岔、切分岔和霍普夫分岔。本文對其中的倍周期分岔道路進行分析與研究,重點是從微觀的角度在更深入的層面上揭示混沌圖像的深層細節，以填補傳統的混沌圖像生成方法中看不到圖形內部結構的空白。

二、倍周期分岔過程

系統運動變化的周期行為是一種有序狀態，它在一定的條件下，系統經倍周期分岔，就會逐步喪失周期行為而進入混沌。這種周期加倍增加，最后進入混沌的過程稱為倍周期分岔，它是通向混沌的主要道路之一。

下面以邏輯斯蒂模型[4]

為例來說明倍周期分岔，其中1<<4是人們感興趣的參數的取值范圍。一個看似簡單的系統，隨著參量的不同會表現出截然不同的行為周期區。

當0<<1時，在線段[0，1]內任選一個初值，迭代過程迅速趨向一個不動點

O（），下面不在發生變化。當時，從初值出發的迭代過程總是離開不穩定的不動點O趨進穩定的不動點A。即系統仍將有一個穩定的迭代結果。

當3<<=1+=時，O點仍是不穩定的。而A點由穩定變為不穩定。于是系統出現兩個穩定的迭代結果和，這叫周期2解。=3是系統變化的第一個分岔點。當3.449<&lt;3.545=時，周期2的兩個值又不穩定，各自產生一對新的不動點，此時在四個值上跳動，這叫周期4解，=3.545是系統變化的第二個分岔點。依次類推，系統經過一系列分岔點，，等，直到=3.569945672,最后喪失周期行為，使系統進入混沌。由此可見，混沌否定有序的過程，是系統經過一系列分岔最后完成的。

系統進入了混沌狀態（如圖1所示）此時系統的狀態不再具有規律性，而是發生隨機的波動，使圖1右側的大部分區域被涂黑了，仔細觀察發現，混沌區域并非一片涂斑，而是有粗粗細細的白色“豎線”，稱為周期窗口，隨著參量μ的增大（如）時，混沌突然消失，系統出現周期三的穩定狀態，接著倍周期分岔以更快的速度進行，再次進入混沌狀態。如果將周期窗口放大，發現其結構與分岔圖的整體結構具有相似性，而且是一種無限嵌套的自相似結構。Fig.1Logisticbifurcationmap

可以看出，通過改變系統參量，使系統進入混沌的第一種模式是倍周期分岔，即由不動點→周期二→周期四→…無限倍周期→進入混沌狀態。當然通向混沌的道路不只于此，第二種通向的道路是：從平衡態到周期運動，再到擬周期運動，直到進入混沌狀態。第三種通向混沌的方式是陣發（或間歇）道路，即系統在近似周期運動的過程中，通過改變參量，系統會出現陣發性混沌過程，隨著參量的調整，陣發性混沌越來越頻繁，近似的周期運動越來越少，最后進入混沌。

三、圖形展示分岔過程

對一維邏輯斯蒂映射的計算表明，隨著參數的增長，一維邏輯斯蒂映射發生一系列的倍周期分岔，但倍周期分岔在一臨界點時終止，此后，每次迭代得到的值是隨機地出現的，說明系統已從周期運動進入到了非周期運動，或稱混沌運動。

其參數在（0，）區間內為周期區。其內有一個正的周期分岔序列（如圖2至圖6）。從周期到，各分岔點之間的間隔比有一極限

計算間距比由此得到表1中的結果。

其參數在區間(,4)中為混沌區。其內有一個反的周期的混沌帶序列。混沌帶并非亂成一片，其實混沌區中也有不少的周期窗口。窗口區內還有混沌，窗口的混沌區內還有窗口。這種結構將無窮地重復，往往有無窮多的層次，而且每一層次都有上一個層次的重復，這是一種自相似的結構。

在混沌區內，從參數最大的開始，=4時，迭代后其的數值充滿整個[0，1]區間，從0到1稱為“單片”混沌。當從4逐漸減小時，開始混沌仍然是單片的，只是的數值分布的范圍略小于從0到1之間的整個區間（如圖7）。但當減小到小于時，由單片混沌變為兩片混沌，即數值分布在兩個區間內，且每次迭代時的數值從其中一個區間跳到另一個區間（如圖8）。當值再減少到時，則兩片混沌又分為四片混沌（如圖9）。隨著的繼續減小，將依次繼續發生4分為8，8分為16等等。這種倒分岔過程一直進行到為止。其分岔過程和間距比值如表2.2所示。

這里應指出，由于在參數區間存在一個周期的正周期分岔序列，而在區間存在一個反的周期為的混沌帶序列，因此它們從兩邊收斂到同一個參數處。

雖然混沌系統具有復雜性和不可預測性，但期間也蘊涵著某種規律性[5]，（一）混沌系統中普遍存在奇怪吸引子，無論系統的動態特性多么復雜以及初始狀態如何不同，系統的狀態最終會回到吸引子區；（二）系統狀態的終態集具有精巧的幾何結構，奇怪吸引子具有無限嵌套的自相似性；（三）在通往混沌的道路上，倍周期分岔點的收斂速率是一普適常數。上面討論的logistic映射，費根鮑姆常數[6]，而費根包姆普適常數又是一切倍周期分岔所共有的，它反映了倍周期分岔通向混沌的規律性。

四、研究意義

了解如何通向混沌是很有意義的。有時候我們需要人為地制造混沌，如保密通訊，但一些時候，我們又不允許系統出現混沌，這都要求我們對通向混沌的道路了如指掌。我們了解到，混沌學已經融入了整個科學體系中。從歷史發展的角度看[7]，在橫向上，它將各個學科連接起來，抹平了由于社會分工而造成的行業鴻溝，使混沌理論具有更廣泛的適用性；縱向上，它不僅進一步運用數學工具，開展深一層次的理論分析，而且，已經漸漸開始將一部分成果轉化為生產力（如混沌的控制和同步等）。如今，擺在我們面前的是一幅有序和混沌交替出現又同時并存的世界。聲學混沌，光學湍流，化學反應的混沌變化，太陽系中行星的混沌軌道，地震的混沌特征，長時期天氣的“蝴蝶效應”，蟲口數目的混沌更迭，電子線路中的噪音輸出及電力網的復雜振蕩等等都無不與這門新學科相聯系。探索復雜性，揭示生命現象的奧妙，混沌行為的啟發將使人類自身健康狀況改善，經濟學學者正試圖應用混沌理論來尋求商業周期中隱藏的有序性，以改善經濟數據的短期預報......可謂大千世界皆混沌；混沌即進一步細分了我們的研究客體，同時又統一了我們的研究方式，混沌理論的發展必將帶來新的技術革命。在理論方面，混沌綜合了很多數學分支，如測度論、泛函分析、拓撲、分形幾何等等。在技術上，一方面實驗物理學家們正在不斷地擴大對混沌的研究領域，另一方面，他們正在試圖駕馭混沌：他們用種種方法將系統穩定在混沌區的一個周期軌道上；他們還設法使兩個混沌的系統同步化，從而實現利用混沌的保密通訊。

五、結論

倍周期分岔是許多非線性動力學過程中的常見的現象，也是進入混沌的一種重要方式。本文先以邏輯斯蒂模型為例，說明一個由單峰映射描述的動力學系統可以通過倍周期分岔，以費根鮑姆常數的收斂速度從周期運動走向混沌。本文著重討論了倍周期分岔道路的全過程,從微觀的角度在更深入的層面上揭示混沌圖像的深層細節，以填補傳統的混沌圖像生成方法中看不到圖形內部結構的空白。

參考文獻：

[1]陳式剛.映象與混沌.北京：國防工業出版社，1992

[2]丁有瑚，對混沌學的基本認識，現代物理知識，1996增刊

[3]LuJinhuetal,BridgethegapbetweentheLorenzsystemandtheChensystem[J].Int.J.Bifurcat.Chaos,2002,12.

[4]胡瑞安.分形的計算機圖象及其應用.鐵道出版社，1993

[5]WangC,GeS.S.Adaptivebacksteppingcontrolofaclassofchaoticsystems[J].Int.J.Bifurcat.Chaos,2001,11

[6]H．舒斯特，混沌學引論，四川教育出版社，1994

TheInnerConstitutionDisplayofChaoticImagesbyLayersmethod

YANGFeng-xia1ZHANGJun-feng2

(ComputerDepartmentofCangzhouTeachers’College,Cangzhou061001,Heibei)

Abstract:Asoneofthemainroutestochaosfromperiodicstate,period-doublingbifurcationareanalysedandstudieddeeplyinthispaper.Bifurcationandinvertedbifurcationaswellastheirrelatedimagesarealsodisplyed.Moreover,theinnerconstitutiondisplayofchaoticimageshasbeenrevealedbylayersmethodindeeplydetailsbasedontheviewpointofmicrocosm,theseenableustofillinthegapsinthefieldsofexpressibleeffectsofchaoticattractors.

Keywords:period-doublingbifurcation;cycle;chaos