關聯矩陣法的基本原理范文

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篇1

關鍵詞：柔性關節鉸 柔性機械系統動力學 動力分析

1.前言

復雜空間機械臂的物理模型是受控多體系統。考慮到現代機構的的構型愈來愈大及其高速運轉，其組成部件及關節必須視為柔性體。建立柔性體系統的程式化、便于計算機自動實現的數學模型是機械系統動力學數字仿真的基礎。從理論上講，根據力學基本原理推導系統離散的仿真數學模型并無太大困難，只是比較繁瑣。近幾十年來，國內外許多學者已給出多種形式基本類同的數學模型。然而，數學模型相當復雜，數值計算呈病態，仿真計算慢是長期困惑著力學工作者的難題。

近幾十年來，多體系統動力學迅速發展，成為應用力學中發展最快的領域之一。一方面，多體系統正越來越多地用來作為諸如機器人、機構、鏈系、纜系、空間結構和生物動力學系統等實際系統的模型，另一方面，對多體系統動力學的研究活動已經促進了許多子領域的研究.當前最感興趣的多體動力學研究領域是把柔性效應并入動力學控制方程中去[1-3]。對于柔性多體系統，特別是由小變形物體組成的系統運動，大多采用相對描述的方法，引進浮動坐標系來分解系統部件的運動，如節點切向坐標系、割線坐標系、或Trsserand坐標系和Bucken坐標等等[4]。彈性體相對浮動坐標系的離散，通常有有限元法、部件模態法等。后者是建立在現代結構振動分析領域內動態子結構方法 ，它大大降低了動力學方程的廣義坐標數，且可利用靜力修正模態收回模態截斷誤差，提高計算精度。在部件有大變形時，則需考慮采用有限變形的理論進行系統建模。對多體系統的動力學分析，目前已形成了Kane方程、Roberson/Wittenburg體系、變分方法、最大數量坐標法、旋量矩陣法及動力學方程單向遞推法等多種方法，推導方程則可以從Largrange方程、虛功原理、虛功率原理、Gibbs-Appells方程和牛頓-Euler方程等出發，但哪些方法最好仍存在爭論。在描述多體結構的方式上，有Wittenburg的關聯矩陣、通路矩陣，Huston的內接剛體數組和Kim， Haug的遞推方程， Shabana等人的遞推投影算法等。對于非樹或約束多體系統、處理約束方程的方法也有偽逆解法、正交補法、奇異值分解法和零/切空間法等等。多體系統動力學分析中的這些方法的優劣很難評價，各有長短，需要不斷研究與探索。由于多體系統動力學方程相當繁雜，呈強非線性，多體系統，特別是柔性系統，其數值計算特性一般都不能令人滿意。

2. 轉動鉸連接系統的運動學

運動學的研究先從樹系統開始，因為樹系統具有最簡單的數學表達形式，而且非樹系統可使用切割鉸或者物體切割方法簡化為派生樹系統來進行處理。首先討論轉動鉸聯結的系統，這里鉸點相對鄰接物體的位置不變而最有利于分析研究。

2.1 物體的變形描述

考慮彈性系統的第i個物體，在彈性小變形內，可以借助有限元方法與模態綜合理論，它的彈性變形up可用彈性模態基Ψi與模態坐標向量ηi表示為：up =Ψηi （2.1）

其位移與轉角分量分別為： （2.2）； （2.3）

其中o-e0為整體坐標，其上固連一正交坐標基 ，Ci-ei為浮動坐標，在質心Ci處，其上固連一正交坐標基 ，P0為彈性體上任意點，其變形后的位置為P，P-eP為單元坐標系，固連于P點，坐標基 。對（2.2）與（2.3）求導，有：

（2.4）； （2.5）

2.2 彈性體的運動描述

根據彈性體Bi上任一點P的有限元節點P的矢徑的表達式（2.6），再考慮式（2.2）與（2.3），得到P點在慣性坐標系下的速度與角速度為

（2.7）

（2.8）

這里 與 分別為彈性體Bi的質心速度與相對質心的角速度。彈性體Bi上的節點P的加速度與角加速度可分別由對式（2.7）與（2.8）求導獲得：

（2.9）

（2.10）

這里 與 分別為彈性體Bi的質心加速度與相對質心的角加速度。

3.物體的相對運動遞推關系

3.1物體絕對角速度與角加速度

現在考慮系統中任意物體Bi-（a）相對慣性參考系的絕對角速度與角加速度。系統中任意物體Bi-（a）相對慣性參考系的絕對角速度ωi應等于B0的角速度ω0以及沿物體B0與物體Bi-（a）的路上各對鄰接物體的相對角速度之和，引入圖論方法，考慮沿物體B0與物體Bi-（a）的路上的通路矩陣Tji，則任意物體Bi-（a）相對慣性參考系的絕對角速度可寫作

（j=1，2，…，n）

3.2物體的質心速度與加速度

考慮鉸在物體上的分布情況：在樹系統內部，任意物體B0所所關聯的全部鉸中，只有一個特殊鉸與B0連通而成為內鉸接。使用規則標號時，內連接的與物體的序號相同，記作Oi，除內接鉸以外的其他鉸均通過與Bi連通的外側物體為外鉸鏈。

結束語

利用Wittenberg的關聯矩陣對開環拓撲樹結構進行了柔性關節鉸運動學遞推組集建模，采用連體浮動坐標系對柔性關節鉸運動進行分解，用部件模態法對柔性關節鉸變形進行離散，取得了如下成果：1.建立了柔性關節鉸系統運動學遞推組集建模的數學描述方法。2.推導了柔性關節鉸系統運動學方程。3.推導了柔性關節鉸系統動力學學方程。

參考文獻：

[1]Huston R L. Multibody dynamic-modeling and analysis methods[J].力學進展，1992，22（3）：426-432