小學(xué)數(shù)學(xué)估算教學(xué)的思考

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【摘要】估算與人們的日常生活息息相關(guān)，估算學(xué)習(xí)也非常重要。良好的估算能力，有利于提高學(xué)生的計(jì)算能力，促進(jìn)思維的發(fā)展，建立良好的數(shù)感。估算能力與數(shù)感相互影響、相互促進(jìn)。本文以關(guān)注估算教學(xué)為切入點(diǎn)，探討估算教學(xué)中的常見問題，并嘗試提出培養(yǎng)學(xué)生估算能力的針對(duì)性策略。

【關(guān)鍵詞】估算能力；估算策略；精算；數(shù)感

生活中處處有數(shù)學(xué)，生活中處處能用到估算，如購(gòu)物、旅行、房屋裝修等。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們也常常利用估算來(lái)檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果的正確性等。但在實(shí)際運(yùn)用中，又有多少學(xué)生能自覺地應(yīng)用估算來(lái)解決問題呢？學(xué)生學(xué)習(xí)估算的意義在哪里呢？考慮到估算教學(xué)本身的特殊性、估算方法的多樣性和估算結(jié)果的不確定性，估算教學(xué)成為教師困惑的教學(xué)內(nèi)容之一。本文以蘇教版數(shù)學(xué)教材為例，通過(guò)收集估算教學(xué)中的常見問題，了解估算教學(xué)的困難所在，嘗試從多個(gè)角度分析并給出相應(yīng)的對(duì)策。

一、估算的意義與價(jià)值

何謂“估算”，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中沒有明確的定義，通過(guò)查找相關(guān)資料，筆者認(rèn)為估算是指對(duì)一些無(wú)法或沒有必要進(jìn)行精確測(cè)量和計(jì)算的數(shù)量所進(jìn)行的近似或粗略估計(jì)的一種方法，估算能力是計(jì)算能力的重要組成部分。早在1992年，估算內(nèi)容首次被引入教材，課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)驗(yàn)稿和2011年版的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)都提出了明確的要求。2011年版的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中是這樣描述的：“在具體情境中，能選擇適當(dāng)?shù)膯挝弧⒑线m的方法進(jìn)行簡(jiǎn)單估算，理解估算的意義。”可見，估算教學(xué)越來(lái)越被重視。估算意識(shí)的培養(yǎng)、估算技能的掌握、估算能力的提高，已成重要的教學(xué)目標(biāo)。估算能力的培養(yǎng)，有利于提高學(xué)生的計(jì)算能力，促進(jìn)思維的發(fā)展，建立良好的數(shù)感，良好的數(shù)感反過(guò)來(lái)也能增強(qiáng)學(xué)生的估算能力。學(xué)習(xí)估算，是為了更好地應(yīng)用估算解決實(shí)際生活問題，實(shí)踐證明，估算還能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。

二、估算教學(xué)中常見的問題及成因

教師常常認(rèn)為估算沒什么可教的，正是因?yàn)榉椒ǖ亩鄻有院凸浪憬Y(jié)果的不確定性，使得估算不容易教，加上相關(guān)作業(yè)、練習(xí)中估算內(nèi)容較少，往往精算也能解決問題，所以師生長(zhǎng)期不重視估算的教學(xué)。而走過(guò)場(chǎng)式的估算教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生估算能力比較薄弱。筆者認(rèn)為，學(xué)生估算能力薄弱的原因，總結(jié)起來(lái)有以下幾方面：

（一）從知識(shí)的角度：估算概念模糊不清

翻閱蘇教版數(shù)學(xué)教材，教材中常常會(huì)出現(xiàn)“先估計(jì)”“先估一估”“口答”等詞，而且有時(shí)是用紅筆特別標(biāo)注，估算的要求非常明確。實(shí)際教學(xué)中，教師也會(huì)有意識(shí)地去教學(xué)估算，但不是所有像上面的情境都需要估算。學(xué)生往往只要一看見題目中有“估計(jì)”“大約”“大概”“可能”等字樣，就認(rèn)定這道題是估算，至于需不需要估算、為什么要選擇估算，根本就沒有考慮，這使估算學(xué)習(xí)顯得很機(jī)械。例如：蘇教版數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)第42頁(yè)第4題。給一面邊長(zhǎng)80厘米的正方形鏡子做鋁合金邊框，大約需要多長(zhǎng)的鋁合金條？有學(xué)生認(rèn)為這一題是需要估算的，問題中有“大約”，但是仔細(xì)讀題之后會(huì)發(fā)現(xiàn)，這兒的“大約”僅僅是這個(gè)情境在現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)際需要的表達(dá)，因?yàn)閷?shí)際做鋁合金條是有損耗的，這個(gè)“大約”也可以換成“至少”，并不是要求估算值。所以，這里用精確計(jì)算80×4得到的320，看著是一個(gè)精確數(shù)，其實(shí)它仍然是一個(gè)近似數(shù)，這取決于實(shí)際的情境。

（二）從方法的角度：找不準(zhǔn)估算的方法

就估算而言，估算方法可以有很多種，選擇哪種估算方法，則需要有選擇性地靈活運(yùn)用，加上估算結(jié)果的不確定性，所以估算對(duì)于學(xué)生的綜合要求比較高。尤其讓學(xué)生感到困難的是：面對(duì)不同的情境，要判斷不同估法的準(zhǔn)確性，找到合理的估法。例如：蘇教版數(shù)學(xué)二年級(jí)下冊(cè)第77頁(yè)例7“三位數(shù)減法的筆算”。教師引導(dǎo)學(xué)生先進(jìn)行估算。生1:把204看作200，把108看作100，200-100=100，所以大約是100。生2：把108看作100，204不變，204-100=104，所以差比104要小。生3：把108看作104，204不變，204-104=100，所以差比100小。生4：我是這樣想的：100+108=208，現(xiàn)在才是204，所以差一定比100小。生5：我覺得差一定在90~100之間，108+90=198，還不到204，差一定比90大，再加上204-104=100，204-108的差比一定比100小。生6：204-104=100，現(xiàn)在減數(shù)是108，減數(shù)要多減4，那么差就少4，所以我能口算出答案，用100-4=96。……從上面可以看出，學(xué)生估算的方法是很豐富的，有用減法想的，也有用加法想的，學(xué)生暢所欲言，教師也很尊重學(xué)生的想法。但是如果深入思考，這些估法是否都可以呢？如果加上一個(gè)具體的情境，問題為：一年級(jí)有100個(gè)兒童畫展位，夠掛嗎？加上這個(gè)情境后，那么學(xué)生1和2的這種估法顯然就不合適了。

（三）從習(xí)慣的角度：先算后估急于求成

估算和精算相比，精算是直接計(jì)算，直接思維；而估算往往要先繞過(guò)精算，先估后算，是一種間接思維。所以，學(xué)生常常不喜歡估算。確實(shí)，有些題目用精算能直接解決問題，用估算還要根據(jù)情境思考合適的估算方法，有時(shí)還會(huì)出錯(cuò)。學(xué)生會(huì)認(rèn)為既然這樣，為什么還要估算。所以，學(xué)生是越不用就越想不到用，精確計(jì)算已經(jīng)形成思維定式。例如：蘇教版數(shù)學(xué)二年級(jí)下冊(cè)，“兩位數(shù)的加減法”練習(xí)中設(shè)計(jì)了下面兩組題目。學(xué)生大多是這樣匯報(bào)的：54+14，個(gè)位上4+4=8，再看十位5+1=6，所以是60多。26+29，個(gè)位上6+9=15，再看十位2+2=4，個(gè)位有進(jìn)位，所以是50多。67-35，個(gè)位上7-5=2，再看十位6-3=3，所以是30多。93-57，個(gè)位上3，減7不夠減，變成13-7=6，再看十位8-5=3，所以是30多。上述的兩組題是純估算練習(xí)的情境，可以看出大部分學(xué)生在匯報(bào)估算方法時(shí)，由于習(xí)慣精算的思維定式，說(shuō)著說(shuō)著就先算出精確值了，而且和豎式計(jì)算的方法一樣，都是先從個(gè)位算起。其實(shí)教材分組呈現(xiàn)，意在讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)估算的方法，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先估十位，再看個(gè)位，只要看個(gè)位是否需要進(jìn)位或者退位即可，這種估算方法更簡(jiǎn)單、快捷。

三、提高學(xué)生估算能力的方法與策略

（一）創(chuàng)設(shè)問題情境，感受估算價(jià)值

估算教學(xué)的目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí)，使學(xué)生能靈活地運(yùn)用估算方法解決實(shí)際問題。情境的設(shè)計(jì)、問題的呈現(xiàn)是學(xué)生體會(huì)估算意義和價(jià)值的關(guān)鍵。在實(shí)際教學(xué)中，教師要善于捕捉生活中的“數(shù)學(xué)現(xiàn)象”，或者有意義的教材資源，將其作為素材，設(shè)計(jì)出鮮活的、有挑戰(zhàn)性的問題情境，進(jìn)而讓學(xué)生深切地體會(huì)估算的作用和意義。例如：蘇教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)第2頁(yè)例2。王大伯把去年收獲的蒜頭裝在同樣大的袋子里，一共裝了60袋。為了估算總產(chǎn)量，他從中任意抽出5袋稱一稱，結(jié)果如下表:你會(huì)估算王大伯去年大約一共收獲蒜頭多少千克嗎？這一題就是一個(gè)很好的生活中的估算素材，筆者在上課時(shí)只呈現(xiàn)了以下情境：“王大伯把去年收獲的蒜頭裝在同樣大的袋子里，一共裝了60袋。”激發(fā)學(xué)生思考：“你能想辦法估算王大伯去年大約一共收獲蒜頭多少千克嗎？”課堂上學(xué)生進(jìn)行了熱烈的討論。生1：這里有60袋大蒜，要是一袋一袋稱有點(diǎn)麻煩，我覺得可以先稱出一袋的質(zhì)量，再乘60。生2：我認(rèn)為生1的方法挺好，也就是我們可以估計(jì)大概有多重。生3：我同意你們說(shuō)的，但是我不大同意生1的想法，雖然這個(gè)袋子是同樣大的，但是每袋的質(zhì)量可能會(huì)有不同，如果巧了，你拿的那袋正好是最少的，那乘60，60袋誤差就大了，如果王大伯拿去賣的話，那豈不是太虧了。生4：我覺得生3說(shuō)得有道理，但是題目中說(shuō)袋子是同樣大的，所以我覺得每袋的質(zhì)量不會(huì)相差很多。生5：我認(rèn)為我們可以不只拿一袋來(lái)稱，可以多稱幾袋，看看情況。生6：我想問，假如說(shuō)我們現(xiàn)在拿出5袋來(lái)稱，那也有可能這5袋是最少的，或者是最多的，那怎么辦？生7：我覺得這種可能性有，但也不一定，你不是隨便拿的嗎？但是這個(gè)方法比生1說(shuō)的方法誤差要小。……當(dāng)學(xué)生把所學(xué)知識(shí)與生活情境聯(lián)系起來(lái)，就能更好地掌握知識(shí)、內(nèi)化知識(shí)。像上面的設(shè)計(jì)就很有價(jià)值，學(xué)生討論時(shí)自然而然就想到了估算，通過(guò)對(duì)估算方法的討論，體會(huì)到估算可以有效地解決實(shí)際生活中的難題，方便人們的生活。這里，學(xué)生真正感受到了估算的價(jià)值，是發(fā)自內(nèi)心的一種感悟，從而增強(qiáng)了學(xué)生的估算意識(shí)。再如：蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)第30頁(yè)第2題。師：你能快速判斷上面的計(jì)算是否正確嗎？比一比，誰(shuí)判斷得快？生1:121≈120，13≈10，120×10≈1200，第1題肯定不對(duì)。生2:121≈100，13≈10，100×10≈1000，121×13肯定比1000大，所以第1題不對(duì)。生3:我們可以看最高位，121的百位是1，表示1個(gè)百，13的最高位是1，表示1個(gè)十，1個(gè)百乘1個(gè)十，怎么可能結(jié)果只有400多呢？生4：我觀察了一下，這3道豎式都是三位數(shù)乘兩位數(shù)，三位數(shù)乘兩位數(shù)，至少是四位數(shù)，所以484肯定不對(duì)。上面的例子呈現(xiàn)的是純估算計(jì)算練習(xí)情境的教學(xué)，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生是在“被逼”的情況下想到用估算，而且方法多樣。實(shí)際教學(xué)中，如果學(xué)生在每次計(jì)算之后都能自覺利用估算，反過(guò)來(lái)再檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果的合理性，并養(yǎng)成習(xí)慣，那么計(jì)算的準(zhǔn)確性將大大提高。所以，教師要研究估算，努力把估算滲透到計(jì)算的每一個(gè)環(huán)節(jié)中，如小數(shù)乘法計(jì)算、復(fù)雜除法（除數(shù)是兩、三位數(shù)或小數(shù)）計(jì)算中的試商等，讓學(xué)生能自覺地運(yùn)用估算的檢驗(yàn)功能，真正感受到估算能為筆算服務(wù)。教師還要?jiǎng)?chuàng)造性地使用教材、活化教材，即使有些題中沒有估算要求，也可以創(chuàng)設(shè)情境，適時(shí)地“逼”學(xué)生應(yīng)用估算，讓學(xué)生感受到估算的實(shí)用性和便捷性。久而久之，學(xué)生的估算意識(shí)就會(huì)不斷加強(qiáng)。

（二）尊重算法多樣，培養(yǎng)估算策略

估算教學(xué)時(shí)，我們往往更重視“如何估算”的方法指導(dǎo)，估算的方法很多，但并不是任何估算方法都是合理的，估算策略很重要。估算策略主要是指根據(jù)不同的問題情境，運(yùn)用合適的估算方法去解決問題的策略，具有較強(qiáng)的針對(duì)性和靈活性。學(xué)生掌握基本的估算方法并不難，但是靈活運(yùn)用估算策略卻不容易。例如：蘇教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)第15頁(yè)第3題。師：49×62，你是怎么估計(jì)的，誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)？生1:49×62，把49估算成50，把62估算成60，50×60＝3000，所以49×62的積大約是3000。生2:把49和62兩個(gè)數(shù)都看小，分別看成40和60，40×60＝2400，把49和62兩個(gè)數(shù)都看大，分別看成50和70，50×70＝3500，所以49×62一定比2400大，比3500小，在2400和3500之間。生3:我是這么估的，把49看成50，62不變，50×62＝3100，所以49×62的積大約是3100。生4：可以把62看成60，49不變，49×60＝2940，所以49×62的積大約是2940。……師：你們覺得哪種估算方法更好呢？生5：我覺得生1的方法好，找最接近的整十?dāng)?shù)，這種方法最簡(jiǎn)單。生6：我想補(bǔ)充一下生3的估法，他是把49看成50，估大了，所以49×62的積應(yīng)該比3100小。生7：那么用生4的估法，49×62的積一定比2940大了。生8：老師，如果把題目改一下，改成比較大小：49×62○3100，我覺得用生6的方法好，其他方法好像都不行。生9：如果是買東西的問題，問帶2400元夠不夠，那我覺得用生2的方法就可以了，不用再細(xì)估了。如果換成2800元，那就得用生7的估法了。生10：所以，我覺得前面大家說(shuō)的估算方法都對(duì)、都可以，但是要具體題目具體分析。……上述一道簡(jiǎn)單的乘法估算題，開啟了學(xué)生估算學(xué)習(xí)的大門，經(jīng)歷探索估算方法這個(gè)過(guò)程，學(xué)生會(huì)對(duì)估算有更加深刻的認(rèn)識(shí)，生成的是方法、是策略，更是能力。可見估算能力是一種綜合性很強(qiáng)的能力，在不同的具體情境下，運(yùn)用的估算策略也是不相同的。因此，在估算教學(xué)中，我們不能僅僅局限在教會(huì)學(xué)生估算方法，還要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際情境，思考估值與準(zhǔn)確值之間的關(guān)系，是多估了，還是少估了，怎樣估才與準(zhǔn)確值最為接近。學(xué)生通過(guò)對(duì)估算值與準(zhǔn)確值的比較，逐步明確估算的策略，建立更為清晰的數(shù)感。教師在估算教學(xué)時(shí)還要重視讓學(xué)生暢所欲言，交流、解釋彼此的估算過(guò)程，在思維的碰撞中獲得“估算智慧”。

（三）突破思維定式，估算精算結(jié)合

從本質(zhì)上看，精算和估算是不同的，精算是對(duì)于數(shù)的運(yùn)算，估算是對(duì)于數(shù)量的運(yùn)算。精算有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力，而估算有利于培養(yǎng)學(xué)生的直觀能力，這兩種能力都是日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐中必不可少的能力，也是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的根本。估算不僅僅是近似計(jì)算，更不是精算以后的四舍五入，估算也是需要算的，常常和精算結(jié)合在一起。例如：蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)教學(xué)“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”。這里的試商是嘗試把除數(shù)看成接近它的整十?dāng)?shù)，通常口算就能直接找到商，但是試商也會(huì)出現(xiàn)下面兩種情況：一種是乘積大于被除數(shù)，一種是余數(shù)大于或等于除數(shù)，所以需要結(jié)合乘法精算的結(jié)果繼續(xù)調(diào)整商。例如，蘇教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”練習(xí)中有這樣一題：王老師帶48名學(xué)生去公園劃船，每張船票11元，帶500元錢，夠買門票嗎？有學(xué)生是下面這樣估的：生1：48+1=49，49≈50，11≈10，50×10=500，夠買。生2：48+1=49，49≈50，50×11=550，不夠買。生3：48+1=49，11≈10，49×10=490，夠買。但是實(shí)際的情況是48×11=528，528>500，應(yīng)該是不夠買。從這一題可以看出，學(xué)生會(huì)把估算方法簡(jiǎn)單地理解為四舍五入法，但是深入地思考后，上面的三種估算方法都不合理，因?yàn)槿N方法都不能確定是比500大還是比500小，只能說(shuō)大約是500。所以，教學(xué)估算時(shí)，教師一定要讓學(xué)生明確每種估法，是估多了，還是估少了，與參考值相比怎么樣。如上面生3的估法，估的是49×10=490，實(shí)際算的是49×11，實(shí)際值比估值多49，從而確定實(shí)際值比參考值500元多，500元不夠，這個(gè)估法就更為深入了。由此看出，有時(shí)候運(yùn)用估算不一定簡(jiǎn)單，需要不斷地對(duì)比、調(diào)整。有學(xué)生會(huì)覺得這道題還不如直接計(jì)算，精算更方便，估算反而更麻煩。這一題是可以精算，但是如果把題目中的500元改成550元，生2的估法就可以直接解決問題了。所以，估算教學(xué)并不是單一的教學(xué)，它常常和精算相結(jié)合。精算和估算也是相輔相成的，估算可以用來(lái)檢驗(yàn)精算的結(jié)果是否正確，精算也可以檢驗(yàn)估算方法是否合理。綜上所述，估算能力并不是單一的計(jì)算技能，它要求學(xué)生具有良好的數(shù)感和靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力。估算能力與數(shù)感是相互影響、相互促進(jìn)的。估算能力的養(yǎng)成是一個(gè)長(zhǎng)期積累的過(guò)程。作為一名數(shù)學(xué)教師，要善于不斷地研究、拓展教材，把對(duì)估算能力的培養(yǎng)不失時(shí)機(jī)地滲透到各個(gè)教學(xué)內(nèi)容之中，使學(xué)生增強(qiáng)估算意識(shí)，掌握估算技能，提高估算能力，充分發(fā)揮出估算在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，從而不斷提高學(xué)生數(shù)學(xué)的綜合素養(yǎng)。

作者：湯燕波 單位：江蘇省南京市江寧實(shí)驗(yàn)小學(xué)