運籌學在單位制度中應用

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摘要：運籌學作為一門基礎學科，在企業管理過程中發揮著越來越重要的作用，特別是在模型的應用，更是為企業管理各領域提供了一種較好的問題決策分析方法，本文主要從企業管理幾個不同角度，通過建立數學模型來解決實際問題，從而說明運籌學在企業管理中的應用。

關鍵詞：運籌學數學模型企業管理

1．前言

運籌學是一門應用科學，至今還沒有統一且確切的定義。莫斯和金博爾曾對運籌學下的定義是：“為決策結構在對其控制下業務活動運行決策時，提供以數量化為基礎的科學方法。”它首先強調的是科學方法，這含義不單是某種研究方法的分散和偶然的應用，而是可用于整個一類問題上，并能傳授和有組織地活動。它強調以量化為基礎，必然要用數學。但任何決策都包含定量和定性兩個方面，而定性方面又不能簡單地用數學表示，如政治、社會等因素，只要綜合多種因素的決策才是全面的。運籌學工作者的職責是為決策者提供可以量化方面的分析，指出那些定性的因素。另一定義是：“運籌學是一門應用科學，它廣泛應用現有的科學技術知識和數學方法，解決實際中提出的專門問題，為決策者選者最優提供定量依據。”這定義表明運籌學具有多學科交叉的特點，如綜合運用經濟學、心理學、物理學、化學中的一些方法。運籌學是強調最優決策，“最”是過分理想了，在實際生活中往往用次優、滿意等概念代替最優。所以，運籌學的又一定義是：“運籌學是一種給出問題壞的答案的藝術，否則的話問題的結果會更壞。”

在技術高度發展的時代，企業的競爭由此變得更加激烈。如何在自己的技術方面趕超別人，同時最大程度地節約成本呢，減少開支，是每個企業必須關注的問題，更是企業管理中的首要問題。日本豐田汽車公司第一次提出了著名的精益生產方法，包括零庫存與即時生產等，以實現成本最小化。一時風靡全球。世界上成功的企業無不是在成本上進行控制，技術上進行創新得以生存與發展內的。因此，科學管理越來越被企業管理者所重視，發揮著越來越大的作用，而運籌學作為管理科學的核心與基礎，其作用顯然是首當其沖的。

在企業管理學科的發展中，可以感受到運籌學的重要性。運籌學作為工具，在企業產品定價問題，余數問題，生產庫存問題等等一系列方面可以提供最優化模型

2．合理分配材料使利潤最大的問題

2.2模型分析

企業生產過程中常常會遇到生產不同的產品所需要的各種材料只是數量不一樣，而這些材料的合理分配將導致產品最后利潤的不同。

假設某企業生產m種產品為，…，生產所需的n材料i*為1*,2*…n*,已知單位產品材料定額，i*的材料上限為,單位產品利潤為，有關信息如表1所示，問如何安排生產計劃，使得企業獲得最大利潤。

表1

產品

材料

材料上限1*a11a12…

b1

2*a21a22…

b2

n*

設表示產品的產量，由此可建立數學模型：

maxz=

s.t.

此問題可用線性規劃來求解。

2.2案例分析

某企業生產3種產品，有關信息如表2所示。問如何安排生產計劃，使得企業獲得最大利潤？

表2

單位產品的材料定額

產品

i*材料上限1#2#3#

i*材料1*342600

2*212400

3*132800

單位產品

利潤

243

解：設產品的產量為，則得線性規劃模型：

maxz==;

s.t.

,j=1,2,3.

將它化成標準型（LP）：

minf==;

s.t.

,j=1,2,3,4,5,6.

用單純形法求解（LP），得到最優單純形表如表3所示。

表3

1/3101/3-1/30200/3

5/601-1/62/30500/3

-5/300-2/3-1/31800/3

r11/6005/62/302300/3

最優解==，最優值z*=2300/3。

3.運輸問題

3.1模型分析

一類典型的運輸問題可描述為：設某種產品有m個產地A1,A2,...，產量分別為a1,a2,…;有n個銷地B1,B2…，銷量分別為b1,b2…。已知從第i個產地運送單位產品到第j個銷地的費用為（i=1,2,…m;j=1,2,…n）。問如何調運產品才能使總運費最小。

為了直觀起見，列出表4，其中（i=1,2,…m;j=1,2,…n）為產地到銷地的運輸量，為到的單位運價。

表4

產地

銷地A1A2…

銷量

B1

b1

B2

b2

產量a1a2…

由于總產量與總銷量之間可能存在“>”“<”“=”三種關系，故下分三種情況討論模型的建立：

（1）產銷平衡（）

該種情況下數學模型為minz=

(2)總產量大于總銷量（）

該種情況下數學模型為minz=

(3)總銷量大于總產量（）

minz=

3.2案例分析

設有A1,A2,A3三個產地生產某種物資，其產量分別為7t,5t,7t,B1,B2,B3,B4四個銷地需要該種物資，銷量分別為2t,3t,4t,6t,又知產銷地之間的單位運價見表5，試決定總運費最少的調運方案。

表5

銷地

產地B1B2B3B4

A121134

A210359

A37812

解：產地總產量為19t，銷地總銷量為15t，所以這是一個產大于銷的運輸問題。按上述方法轉化為產銷平衡的運輸問題，其產銷平衡表和單位運輸價表分別見表6、表7。

表6

銷地

產地B1B2B3B4庫存產量

A17

A25

A37

銷量23464

表7

銷地

產地B1B2B3B4庫存

A1211340

A2103590

A378120

對上兩表可以用表上作業法計算求出最優方案如表8：

表8

銷地

產地B1B2B3B4庫存產量

A12327

A2325

A3437

銷量23464

4.生產庫存問題

4.1模型分析

生產與庫存是每個企業在生產經營過程中都會面臨的問題。在實際生產中，增加產量可以帶來成本上的節約，但是產量增加了，必然增大庫存量，使庫存費用上升。另一方面，若減少庫存量又會造成生產成本的增加。如何保證既滿足市場需要，又盡量降低成本費用，欲使總的生產成本和庫存成本費用之和最小，這就是生產庫存問題的最優化目標。

設某生產部分，生產計劃分為n個階段。已知期初庫存量為s1，n階段末的終結庫存量為方便起見，可設（因為它的庫存量一般歸于下一生產周期）；每階段生產該產品的數量有上限m的限制；為第k階段期初庫存量，為第k階段時常對長品的需求量，為第k階段該產品的生產量（k=1,2,…n）；階段生產固定費用為F（不生產時F=0），單位產品變動費用為a，單位產品階段庫存費用為p；欲求此問題最優化目標。

因為第k+1階段的起初庫存量等于第k極端的起初庫存量加上第k階段的產量減去第k階段的需求量，于是狀態轉移方程為

第k階段生產費用

第k階段庫存費用

故第k階段成本費用為

因而上述問題數學模型為

ming=

此問題可用動態方法求解。

4.2案例分析

已知三個時期內對某種產品的需求量、各時期的定貨費用及存存儲費用如表9所示，又生產費用函數為：

要求確定各個時期最佳定貨批量，使三個時期各項費用和為最小。已知第1時期初有一件庫存，第3時期末庫存為零。

表9

i

1331

2273

3462

解：利用動態規劃的算法，當i=3時，因有=4而，故，，計算過程見表10

表10

01234

06+50564

16+30363

26+20262

36+10161

4000

當i=2時，有，故，，計算過程見表11

表11

A

0123456

07+107+207+307+507+707+90

027+5637+3957+3277+2597+12763

117+5627+3937+3257+2577+12662

20+5617+3927+3237+2557+12560

30+3917+3227+2537+12390

40+3217+2527+12320

50+2517+12250

60+12120

當k=1時，有q1+x1d1+d2+d3=9,因已知x1=1，故2q18。計算過程見表12

表12

q1

A

x1

2345678

3+203+303+503+703+903+1103+130

123+7633+6753+5873+4293+36113+30133+18992

由計算結果知：x1=1，q1*=2；x2=0，q2*=3；x3=1，q3*=3；三個時期最小費用總和為99。

5.設備更新問題

5.1模型分析

企業管理中經常會遇到因設備老化，損壞，后審查后效率底下而需要更新的問題。一臺機器使用的太久，必然性能低下，影響效率與生產質量，因而影響利潤。但如果更新過快，又必然需要增大投資，增加成本，也影響到利潤。如果更新可提高年凈收入，但是當年要指出一筆數額巨大的購買費，為了選擇最優決策，常常要在一個較長時間內考慮更新決策問題。

現以一臺機器為例，隨著使用年限的增加，機器的使用效率降低，收入減少，維修費用增加。而且機器使用內線越長，它本身的價值就越小，因而跟心時所需的凈支出費

----在第j年機器役齡為t年的一臺機器運行所得的收入。

----在第j年機器役齡為t年的一臺機器運行時所需的運行費用。

----在第j年機器役齡為t年的一臺機器更新時所需凈費用。

a----折扣因子（），表示一年以后的單收入的價值視為現年的a單位。

T----在第一年開始時，正在使用的機器的役齡。

n----計劃的年限總數。

----在第j年開始使用一個役齡為t年的機器時，從第j年至第n年內的最佳收入。

----給出時，在第j年開始時的決策（保留或是更新）。

為了寫出遞推關系式，先從兩方面分析問題。若在第j年開始時購買了新機器，則從第j年至第n年得到的總收入應等于在第j年中由新機器獲得的收入，減去在第j年中的運行費用，減去在第j年開始時役齡為t年的機器的更新凈費用，加上在第j+1年開始使用役齡為1年的機器從第j+1年至第n年的最佳收入；若在第j年開始時繼續使用役齡為t年的機器，則從第j年至第n年的總收入應等于在第j年由役齡為t年的機器得到的收入，減去在第j年中役齡為t年的機器的運行費用，加上在第j+1年開始使用役齡為t+1年的機器從第j+1年至第n年的最佳收入。然后，比較他們的大小，選取達到，并的出是該更新還是保留的決策。

將上面這段話寫成數學形式，即得到遞推關系式為：

(t=1,2,…nt=1,2,…j-1,j+t-1)

其中“K”是Keep的縮寫，表示保留使用；“R”是Replacement的縮寫，表示更新機器。

由于研究的是n的計劃，故還要求：=0

對于來說，允許的t值只能是T。因為當進入計劃過程時，機器必然已使用了T年。

應指出的是：這里研究的設備更新問題，是以機齡作為狀態變量，決策是保留和更新兩種。但它可推廣到多維情形，如還考慮對使用的機器進行大修作為一種決策，那時所需的費用和收入，不僅取決于機齡和購置的年限，也取決于上次大修后的時間。因此，必須使用兩個狀態變量來描述系統的狀態，其過程與此類似。

5.2案例分析

假設n=5，a=1，T=1，其有關數據如表13所示。試制定5年中的設備更新策略，使在5年內的總收入達到最大。

表13

產品年序

機齡

項目第一年第二年第三年第四年第五年期前

01234012301201012345

收入2221201816272524222926243028321816161414

運行費用6688105689556454889910

更新費用2729323437293134363132333233343234363638

解：因第j年開始機齡為t年的機器，其制造年序應為j-t年，因此，為第五年新產品的收入，故=32。為第一年的產品起機齡為2年的收入，故=20。同理=4，=8。而是第5年機齡為1年的機器（應為第四年的產品）的更新費用，故=33。同理=33，=31，其余類；

當j=5時，由于設T=1，故從第5年開始計算事，機器使用了1、2、3、4、5年，則遞推關系式為

因此所以

所以

同理=13，；=6，；=4，

當j=4時，遞推關系為

故

同理；；

當j=3時，有

故所以

同理；

當j=2時，有

故所以

所以

當j=1時，有

故所以

最后，根據上面計算過程反推之，可求得最優策略如表14，相應的最佳收益為46單位

表14

年最佳策略

1K

2R

3K

4K

5K

結論：

以上部分從企業管理的四個不同角度分析了運籌學在企業管理中的運用。有些問題中，我們針對問題建立模型，并收集一些實際數據進行計算。事實上，在實際運用中，只須將收集的數據帶入模型即可，同時本文數學模型的建立是高度抽象化了的，實際問題有所出入時，可適當調整模型參量。但其核心部分-----數學方法是不會改變的，這也是運籌學在企業管理中根本之所在。

當然，本文并沒有羅列出所有可以在企業管理中應用的模型，事實上，這也是不可能的，因為模型可以用在企業管理中的方方面面，如還由于薪資問題，風險決策問題，投資問題等等。但是，本文的目的并不是所有模型的羅列，而是通過一些實際問題的解決來說明運籌學確實在企業管理中發揮著巨大的作用，并且在今后管理科學的發展過程中，這種作用將會表現得越來越明顯。

參考文獻：

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