小學數學結構化學材開發與實踐

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摘要：結構化學材開發需要教師站在學科結構和單元知識整體結構的視角，用結構化的觀點理解知識本質，把握教材，將教材創造性地改造成學材；能夠以廣闊的學生生活與奇妙的學科世界為綜合體，積極創造、開發適合于開放學習系統的模型、方法和技術支撐工具；創設促進高階思維發展的問題解決活動，引導學生置身于真實任務情境中學習，以拓寬知識結構生長，優化與還原學習過程的完整性。

關鍵詞：結構化；學材；開發；策略

學材是指學習材料或學習資源。結構化學材不僅蘊藏著知識，也蘊含著讓知識得以生長的“情境、情感、態度、思想過程、思維方式”，同時還包含著為學習活動而創造發明的“實物工具、活動方式、路徑及過程設計”等。結構化學材充滿了有價值的學習主題、有挑戰性的任務問題情境、有創造性的數學活動，更利于知識的遷移與應用，對學生數學素養的形成起到規劃與引領作用。因此，本文基于知識結構序列與學生認知結構兩者關系，聚焦情境、工具、活動三個要素來說說學材開發的實踐策略。

一、開發貼近思維發生的“最近性”真實任務情境

結構化學材開發應選擇貼近學生的知識經驗，具有價值判斷的情境，讓情境與知識、任務有機整合，并將情境轉化為有助于兒童數學學習的場域。1.認知連續，創設“超越經驗視界”的真實情境真實任務情境是科學探究學習的重要載體，能夠喚起學生已有的知識、激起學生認知結構中的各種物像，促進知識遷移，且對學生利用已有知識經驗建構新知識有重要的作用。結構化學材開發要關注學生舊有的“經驗”和可能形成的“新經驗”，內容與活動的設計要與具體實踐相聯通，應是感性、可見、形象、具體的，要把知識獲得過程與學生的發展整合在一起，有效激發學生內驅力，更利于他們理解知識本質，并獲得技能的提升、方法的啟迪與思想的形成。因此，為適應不斷變化的情節，創設超越兒童“經驗”的主體情境，就成為結構化學材開發的基本策略。在“小數的意義”學習中，學生認識小數的生活經驗是十分豐富的，如微信紅包、商品價格、身高與視力測量等，這也成為教師利用小數的生活意義引導學習小數的優質資源。然而，如果聚焦小數的數學意義，即“小數是在自然數、分數認識的基礎上數系的擴張，是基于十進制表示數量的需要，使得十進制分數與整數在形式上獲得了統一，體現了數的稠密性”來設計學材則更利于深度理解小數的意義。如創造使用無刻度的1米尺，測量教室黑板的長度，從1米、2米……產生數的累加過程，激活舊有的“十進制”計數經驗；然后，由測量不足1米的物體引發測量單位“1米尺”細分的需要，激活由“十進分數”而產生小數的新經驗；之后，將1米尺細分成整分米或整厘米數，即等分成10份、100份……在變化測量的情境中聯結“十進制”新舊基點，不但闡明小數與十進分數的內在聯系，體現小數的度量意義，而且弄清了小數概念的來源，用不同數表示的離散量到連續量的過程，使得一位到兩位小數的知識結構能夠自然拓寬，亦將小數置于完整的數系結構中學習。2.知識連續，創設“核心元素聯結”的真實情境真實任務情境如果沒有緊扣數學核心知識，則會增加情境的干擾效應，極易產生負遷移，學生即使學到數學知識，也會導致實際學到的數學知識偏離應學的知識本質。因此，真實的任務情境應是開放、好奇、真實、有趣的，師生能夠共同置身其中，既要選擇與兒童知識體系、認知結構相匹配，與學生學習興趣和價值認同相吻合的學習資源；還要能夠較好地承載知識內容，不僅囊括學科知識與技能，更要觸及數學學科的內核，應用數學自身的情境體現數學的本質，滲透科學思想方法，更利于元素聯結與意義拓展。底和高是平行四邊形面積計算的核心元素，圍繞此設計“選擇合適的車位”的情境（如圖1），既蘊含著生活與數學的共存關系，又能圍繞核心元素的關系展開面積意義的拓展。首先，來自于生活的圖形更會引起學生的興趣，而圖形中所蘊涵的任務問題具有現實意義，更加能激起學生的學習欲望。教學實踐表明，學生通常選1號或3號位，1號和2號在一起，為什么不選2號呢？真實任務情境的貼近性與開放性能夠給學生勇于探究、批判質疑的機會，讓學生在深入思考、嚴謹推理和清晰表達的過程中看到數學內在的本質。學生認為：“1號和2號的高不用看，哪個底長面積就大。”由于兩個車位圖中高的隱蔽性與關聯性，所以只能看哪個底長，那么底與面積的大小密切相關。其次，3號和2號誰大呢？由于底和高同時變化的矛盾沖突，使得底和高成為研究面積計算的驅動性問題，促動學生對此類面積計算的本質展開思考，利于形成知識與方法的整體認知結構。如圖2，通過格子圖中“怎樣比較大小？”將實際問題抽象為數學問題的過程中，將學生置于知識發生和應用的真實世界的情境之中，因為3號位數格子無法獲得正確結果，從而使學生在矛盾沖突中認識到：必須探究出計算方法才能比較大小。

二、創造促進思維發展的“沖突性”技術支撐工具

結構化學材開發要弄懂元素間的內在聯系，看清其序列、拓撲與關聯的結構，創造積極的工具技術支撐，激發學生真正進入意義學習，改變平鋪直敘的形式教學。1.認知關聯，創造促進“思維聯結”的工具數學工具作為促進概念理解的一種具身認知工具，可以延伸成幫助學生認知世界的外腦，以直接觸摸的實物工具代替屏幕間接塑造的可視工具，集多種感覺器官為一體，由此引發智力參與，幫助學生透過數學工具抽象，發現理解數學知識，歸納數學規律與驗證數學結論。學生最初認識20以內、百以內的數重在用實物和小棒，以及計數器作重要學材；從千以內再到億以內數的認識，則逐步使用半抽象的結構化直觀材料計數器、數位順序表對應的抽象符號化表示，計數器成為整數數位順序表的可視化載體。那么，可以創造以計數器的解構與建構為基礎的數概念學材（如圖3），左邊的拆裝組合結構，利用底座內部空間存放算珠、算桿，上面的插孔可以放算桿，根據計數需要，體會從1開始累加成10、100等，建立十進制，在前面的數位插板可以標識成個、十、百、千、萬……可以根據不同學段需求，增加算桿即增加數位。右邊的計數器亦能從1的依次遞減，滿足十進分數（小數）的學習，也可在前面的數位插板上標識十分、百分……，同時在兩個數位之間插裝表示小數點的數位插板，中間的小數點成為架設的橋梁，能夠將整數、小數融為一體，使計數器的直觀組合過程成為搭建數位順序表的工具支架與模型支架，模型應用過程成為學習“數系”的重要載體。2.知識關聯，創造促進“思維轉換”的工具兒童認知結構的發展與知識結構體系、知識呈現順序、知識表征方式、學習方法等有密切關系，能夠促進有效學習的發生[1]。結構化學材基于核心知識內容自身的邏輯性、結構性，知識內容整體上顯示出與元素的緊密銜接，從而建立橫向與縱向數學化過程，讓學生真切地經歷探究學習過程。借助兩個可活動的長方形模型，既可以幫助學生理解一些圖形之間難以想象的位置關系，還可直觀、形象地展示一些抽象、復雜的數學問題，形象地描述一些數學關系，以揭示事物的矛盾或引起學生內心的沖突，平衡學生已有的認知結構，彌補客觀上給學生學習理解帶來的局限。如圖4，將磁性方格紙貼在黑板上，然后將這兩個同樣的長方形吸在上面，由學生自主拉動其中一個圖形，引發“這時兩個圖形的面積相同嗎？”的探討活動，在平行四邊形拉伸下壓后，變化應用的過程中既能激發其內驅力，又能看清因為高度變化引發面積單位變化的過程。另外，可變化的數學工具需要與任務問題持續互動（如圖5），變化其中一個長方形的長后，進一步由學生自主活動，對問題在思維層面進行表征，在不斷解決問題、創生意義的過程中建構平行四邊形面積的核心元素之間的關系。圖形4展示的是周長相同面積不同，圖形5展示的是周長不同，面積可以相同。無論是哪種圖形，一個量不變，另一個量變化后，直接引起計數單位的變化。

三、設計促進思維層階的“變化性”問題解決活動

結構化學材開發要融通應用知識的整體與系統，有意識地把情感態度的目標融合在教學過程當中，促進學習能級目標循環上升。1.認知循環，“由淺入深”地展開活動結構化學材注意將知識核心元素融入問題的理解與解答過程，以適切性的開放問題解決為驅動，讓不同能力水平、知識基礎、文化背景、生活經驗的學生能夠結合自身的經歷進行創造性的解決，促使學生發生新舊知識的聯結，從而促進知識結構生長，實現知識的遷移與應用。平行四邊形有兩組分別平行的對邊，用對應的底和高相乘才能求出平行四邊形的面積。當給出兩個不同的高和一個底的圖形時，根據條件想問題，需要學生進行辨析，找到對應的元素與面積間的關系，自主變化問題可以由元素想到面積，也可以由面積再次回到元素，正向應用公式與逆向應用公式相結合，從而加深面積公式的現實意義。這里，圍繞核心元素底和高展開對面積的意義進行協商與溝通的活動，通過主體的動作或思維推理的實際過程，顯現出底和高特別是“對應的底和高”的整體意義，回顧面積計算的發生原理，加快有意識和無意識過程中面積計算的“組合”速度，從而促進知識結構生長，實現知識的遷移與應用，并逐步將數學策略凝聚為數學思想，促進兒童思維不斷進階、認知結構不斷完善，利于提升兒童的數學思維品質。2.知識循環，“深入淺出”地展開活動結構化學材開發注意解決問題過程中的創新性與實踐性，問題設計盡可能蘊藏解題策略和路徑的多樣化，便于個性化的創新解決問題，多角度分析問題，避免簡單、淺層次學習，有利于開展更加復雜的深度學習和創造活動。如圖6，正方形面積計算的關鍵元素是兩個邊長，也就是12×12，平行四邊形面積計算的關鍵元素是底和高，當底，即邊長為12時，另一條高的數量成為關鍵，通過將這兩類圖形融合到一個整體中，既能夠讓學生從尋找知識內在的規律出發，發現正方形與平行四邊形兩者之間的異同，又能夠突出相關的數形結合思想、轉化思想、分類思想，看清其中元素的關系，能夠把一個數學問題分解成幾個層面來理解，從而自覺地領悟其中的道理。總之，結構化學材實質上是一種結構關聯性的學材，其著眼點是在一種知識的關系脈絡中聯結相關知識的內涵和本質，盤活“經驗資源”，體現知識與認知發展的融合過程，積極創造促進思維層級發展的“支撐工具”，為學習者清晰地展示知識生成的脈絡結構，促進學生對知識體系的結構化理解，使得學習過程由外顯的知識關聯走向內隱的思想方法建構。

參考文獻

[1]章飛.數學學習任務整體設計的意義與路徑[J].中小學教師培訓，2018（05）：54-57.

作者：萬兆榮 吳玉國 單位：江蘇淮安市新民路小學 江蘇南京市五老村小學