高等代數范文

導語：如何才能寫好一篇高等代數，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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【關鍵詞】高等代數 習題處理

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1006－9682（2011）07－0015－01

高等代數是大學數學專業的一門重要基礎課程，其特點是抽象嚴謹，解題方法靈活多變。因此，同學普遍感到難學。有些同學反應盡管在課堂上對教學內容已經很清楚，但是到做時仍不知如何下手。

為幫助學生更好的消化課堂內容，加深對基本概念、基本理論的理解，提高解題的技巧和能力，老師還需要上習題課。習題有助于更好地把握教學內容中的概念、方法和技巧，所以應該處理好習題課。習題課的作用：有助于正確理解基本概念和教材所涉及的內容；有助于訓練學生的解題技巧，培養解題能力。那么，該如何上好習題課呢？我認為應注意以下幾點：

首先，分析常見的錯誤。主要是將學生常見的錯誤指出來并加以分析。例如：在多項式的這一章中，很多同學在利用艾森斯坦判別法時出現的常見錯誤是將它作為必要條件，認為不滿足艾森斯坦判別條件的整系數多項式就是可約的。針對這種情況，老師應舉例說明艾森斯坦判別法只是整系數多項式不可約的充分條件，并非必要條件，不滿足判別條件的整系數多項可能是可約的，也可能是不可約的。

其次，解題的方法和技巧。有一些習題初看好像有些難度，但是只要仔細進行分析，結合所學內容就可以得出不同的解題方法。例如：教材［1］的習題中有如下一道題：設V是n維歐氏空間，α≠0是V中的一個固定向量，證明：V1＝｛x|（x，α）＝0，x∈V｝是V的子空間；V1的維數等于n－1。分析：問題（1）的證明一般情況下就用子空間的定義證明即可，即對數乘和加法運算封閉。但是問題（2）初看覺得不知如何下手，但是我們在所學內容的基礎上進行分析就可以得出此題不同的解法。

證法1：為證明結論，首先證明V1是L（α）（表示由向量α生成的子空間）的正交補。事實上，由書上的結論可知：

L（α）＝｛x∈V|（x，β）＝0， β∈L（α）｝

而容易證明：

｛x∈V|（x，β）＝0， β∈L（α）｝＝V1。

從而L（α）＝V1。所以，V＝V1＋L（α）＝V1+L（α）。因此，由直和的判定定理可知：

n＝dimV＝dimV1＋dimL（α）＝dimV1＋1。

這表明dimV1＝n－1。

證法2：由書上結論可知任意歐氏空間必存在標準正交基，故不妨設α1，…αn為V的標準正交基。設α＝k1α1＋…＋knαn，其中k1，…，kn∈R，則對 β＝x1α1＋…＋xnαn∈V1，其中x1，…，xn∈R，由α1，…，αn為V的標準正交基可知（α，β）＝x1k1＋…＋xnkn＝0。因此，線性方程組x1k1＋…＋xnkn＝0的解就是V1中的向量在α1，…，αn下的坐標向量，其解空間的維數就是V1的維數。因為α≠0，故（k1，…，kn）≠0，從而x1k1＋…＋xnkn＝0的解空間的維數為n－1，即dimV1＝n－1。

證法3：考慮實數集R按數的加法和數乘在實數域R上構成的的線性空間，定義映射σ∶VR為σ（x）＝（x，α）， x∈V，則易驗證σ是線性映射，σ的核空間就是V1＝｛x|σ（x）＝（x，α）＝0，x∈V｝，σ的像空間為R。由線性映射的維數公式有：σ的核空間的維數+σ的像空間的維數＝dimV＝n，而σ像空間的維數＝dimR＝1，故σ的核空間的維數＝dimV1＝n－1，故結論成立。

以上利用不同的方法給出了一道習題的證明，并且所用到的知識都是高等代數中一些重要的結論。通過不同的方法解題可以讓學生了解到一道數學題的證明不止一種方法，只要在做題的過程中聯系所學的內容，可以得到許多不同的方法，這也將有助于加深對已學內容的理解。

高等代數這門課是比較難的基礎課，如何讓學生更好的掌握所學內容是所有老師一直在思考的問題。本文，只從習題處理對高等代數的教學進行了分析。我認為學數學一定要多做題，在做題過程中學生可以更好地掌握所學的抽象概念，由此對所學內容加深理解。在教學實踐中，可以發現老師可以通過習題課加深學生對這門課的內容，可以培養學生自覺地上下聯系、經常總結，從而對這門課感興趣，愿意去學習并能學好它。

參考文獻

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多項式是一類最常見,最簡單的函數,他的應用非常廣泛。多項式理論是以代數方程的根的計算和分布作為中心問題的,也叫做方程論。研究多項式理論,主要在于探討代數方程的性質,從而尋找簡易的解方程的方法。

多項式代數所研究額內容,包括整除性理論,最大公因式,重因式等。這些大體和中學代數里的內容相同。多項式的整除性質對于解代數方程是很有用的。解代數方程無非就是求對應多項式的零點,零點不存在的時候,多對應的代數方程就沒有解。

我們把一次方程叫做線性方程,討論線性方程的代數叫做線性代數。在線性代數中最重要的內容就是行列式和矩陣。

行列式的概念最早是由十七世界日本數學家孝和提出來的。他在寫了一部叫做《解伏題之法》的著作,標題的意思是"解行列式問題的方法",書里對行列式的概念和他的展開已經有了清楚的敘述。歐洲第一個提出行列式概念的是德國的數學家萊布尼茨。德國數學家雅可比總結并提出了行列式的系統理論。

行列式有一定的計算規則,利用行列式可以把一個線性方程組的解表示成公式,因此行列式是解線性方程組的工具。行列式可以把一個線性方程組的解表示成公式,也就是說行列式代表著一個數。

因為行列式要求行數等于列數,排成的表總是正方形的,通過對它的研究又發現了矩陣的理論。矩陣也是由數排成行和列的數表,可是行數和列數相等也可以不相等。

矩陣和行列式是兩部完全不同的概念,行列式代表著一個數,而矩陣僅僅是一些數的有順序的擺法。利用矩陣這個工具,可以把線性方程組中的系數組成向量空間中的向量,這樣對于一個多元線性方程組的解的情況,以及不同解之間的關系等等一系列理論上的問題,都可以得到徹底的解決。矩陣的應用是多方面的,不僅在數學領域里,而且在力學,物理,科技等方面都有十分廣泛的應用。

高等代數在初等代數的基礎上研究對象進一步擴充,還引入了最基本的集合,向量和向量空間等。這些量具有和數相類似的運算特點,不過研究的方法和運算的方法都更加繁瑣。

集合是具有某種屬性的事物的全體:向量是除了具有數值,同時還具有方向的量,向量空間也叫線性空間,是由許多向量組成的并且符合某些特定運算的規則的集合。向量空間中的元素已經不只是數,而是向量了,其運算性質也有很大的不同了。

在高等代數的發展過程中,許多數學家都做出了杰出的貢獻,伽羅華就是其中一位,伽羅華在臨死前預測自己難以擺脫死亡的命運,所以曾連夜給朋友寫信,倉促的把自己生平的數學研究心得扼要寫出,并附以論文手稿。他在給朋友舍瓦利葉的信中說:"我在分析方法做出了一些新發現,有些是關于方程論的,有些是關于整函數的……,公開請求雅可比或高斯,不是對這些定理的證明的正確定而是對這些定理的重要性發表意見。我希望將來有人發現消除所有這些混亂對他們是有益的。

伽羅華死后,按照他的遺愿,舍瓦利把他的信發表在《百科評論》中。他的論文手稿過了14年,才由劉維爾編輯出版了他的部分文章,并向數學界推薦。隨著時間的推移,伽羅華的研究成果的重要意義愈來愈為人們認識。伽羅華雖然十分年經,但他在數學史上作出的貢獻,不僅解決了幾個世紀以來一直沒有解決的代數解問題,更重要的是他在解決這個問題提出了"群"的概念,并由此發展了一系列一整套關于群和域的理論,開辟了代數學的一個嶄新的天地,直接影響了代數學研究方法的變革。從此,代數學不再以方程理論為中心內容,而轉向對代數結構性質的研究,促進了代數學的進一步發展。

高等代數不是一門孤立的學科,它和幾何學,分析數學等有密切聯系的同時,又具有獨特的方面。

首先,代數運算是有限次的,而且缺乏連續性的概念,也就是說,代數學主要是關于離散性的。盡管在現實中連續性和不連續性是辯證統一的,但是為了認識現實,有時候需要把它分成幾個部分,然后分別的研究認識,在綜合起來,就得到對現實的總的認識。這是我們認識事物的簡單但是科學的重要手段,也是代數學的基本重要思想和方法。代數學注意到離散關系,并不能說明它的特點,時間已經多次,多方位的證明了代數學的這一特點是有效的。

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關鍵詞： 高等代數 線性相關 多項式

高等代數作為初等代數的發展和提高，是數學專業的一門必修基礎課，它所介紹的理論、方法廣泛應用于各個學科與實際問題中，其內容較多地體現著數學中嚴密的邏輯推理方法和計算方法，是現代數學的基礎，在培養學生抽象思維和邏輯推理能力等方面發揮著非常重要的作用.但由于高等代數課程概念多，內容抽象，思維方式獨特，與初等數學的思維習慣差距較大，剛入學的新生常常不能適應，而且一般的教材中例題較少，初學者常常感到困難，如何提高教師的教學質量和學生的學習效率，成為師生共同探討的問題.下面我就幾年來高等代數的教學談談體會.

1.教師應發揮緒論課的重要性

現在的理科生在高中階段已經接觸了高等代數的部分內容，比如二階行列式和二階矩陣，聯系學生已學知識，教師在高等代數緒論課上介紹行列式和矩陣產生的背景，讓學生明白高等代數要解決的問題及其主要的思想方法.初等代數從最簡單的一元一次方程開始，一方面研究二元及三元的一次方程組，另一方面研究二次以上及可轉化為二次的方程組.沿著這兩個方向繼續發展，討論任意多個未知數的一次方程組（即線性方程組）的同時還研究次數更高的一元方程，發展到這個階段，就叫做高等代數.行列式和矩陣也是在解線性方程組時引入的工具；在緒論課上，教師要向學生介紹高等代數這門課程的性質與后續課程的關系，指出高等代數是有志從事中學數學教學的學生將來勝任中學主干學科――代數課教學的理論基礎和指導，也是學生將來參加研究生考試的必考科目.從而使學生認識到：學好高等代數是將來工作和深造的需要，這樣可以使學生萌發對高等代數的初級興趣，進而為提高教學質量打下基礎.

2.對于抽象概念的教學，做到深入淺出

線性代數是高等代數中的重點內容之一，而“線性”這個數學名詞在中學數學課程中從未出現，學生剛進入大學，對這一詞匯的具體內容知之甚少.所以在學習之前，學生必須對什么是“線性”有所了解.首先以線性方程組為例讓學生對線性這個詞有初步印象，然后從線性運算、線性空間等概念提煉出“線性”的特點，加深學生對“線性”的印象.線性相關性是高等代數的重點和難點，所涉及的內容包括行列式、矩陣、線性方程組，并為向量組的極大無關組及向量組的基和維數、齊次線性方程組的基礎解系奠定了基礎，也是學習線性空間、線性變換和歐氏空間的一個重要工具.此部分的學習對學生來說內容抽象，是一個難點.根據以前的講授經驗，很多同學對于線性相關性概念中的不全為0理解不清晰，常常與線性組合的概念混淆.事實上，將這兩個概念與齊次和非齊次方程組聯系，如齊次線性方程組

3.教師充分備課，使課堂教學生動有趣

針對每次課的特點，選取合適的教學方法，在講授抽象概念時適時引入此概念的研究背景，同時穿插一些名家的數學小故事.很多同學認為理論內容在實際中沒有多大應用，因此偶爾引入數學建模思想，讓學生感受到數學在生活中有很多應用.例如，在學習了矩陣和線性方程組的有關知識后可以引入簡單供求模型、簡單國民收入模型等線性經濟模型，讓學生接觸一些簡單的實際問題，樹立理論聯系實際的思想和初步分析解決實際問題的能力，而且讓他們切實體會到學習高等代數是有用的，可培養他們在以后的學習和工作中主動應用數學工具分析和解決專業中實際問題的意識和能力.

4.在課堂中讓學生充分參與

多年的傳統數學教學通常以講授為主，忽視了學生的主動參與性.鑒于此，教師在講解高等代數中的概念時，一定要著重揭示其含義和實質，注重聯系中學教學實際，使學生掌握基本的系統的高等代數知識和高等代數方法，從而提高學生對高等代數知識的理解.對于相關定理和結論，建議學生多方面考慮，帶著問題學習.例如多項式中兩個最大公因式的存在性定理：對于任意的，在中一定存在一個最大公因式，且可表示成的一個組合，講授此定理時，建議學生考慮此定理的逆命題是否成立？若不成立，需要加什么條件才可以成立？

比如在講授可逆矩陣的定義的時候，因為學生中學里學過此定義：若方陣，則稱可逆，又因為矩陣的乘法一般不滿換律，建議學生考慮要是這個定義中去掉一半，只有或者，能不能得到可逆呢？再例如矩陣的乘法一般不滿換律，建議學生探討在什么情況下的矩陣是可交換的？幫助學生設問，建議學生在自己學習的時候類似考慮問題，讓學生主動參與到學習中，學生是學習的主體，只有充分調動學生的積極性和主動參與性，才能從根本上提高學生的學習效率.

當然，提高高等代數的教學質量和學生的學習效率的方法很多，以上只是一些粗淺的做法，教和學如何適應新時期的要求與時俱進，有待教師和學生不斷探索和改進.

參考文獻：

[1]北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數[M].5版.北京：高等教育出版社，1988.

[2]王勇.高等代數教學的一些探討.廣西民族大學學報（自然科學版），2007，13（4）：93-95.

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【關鍵詞】高等代數 矩陣 線性方程組 特征值 特征向量 向量空間

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）09-0133-01

1.引言

高等代數是高校數學專業一年級的專業基礎課，該學科內容抽象，邏輯嚴密，它不僅是研究數學其他分支和自然科學的基本工具，而且在經濟學、工程力學、管理學科等領域中有著廣泛應用。為充分深刻理解代數的價值，須通過教學改革注重理論與實際的聯系，課程內容要充實應用實例，尤其是代數與數學其他分支及其他學科相互滲透的例子，與社會密切聯系的例子，講課中可將高等代數的知識與數學建模思想進行融合，如矩陣與密碼、特征值問題與動力系統等，引入典型應用性例題既能加深學生對數學概念、公式、定理的理解，又能將數學知識與其他知識有機結合。這種教學方法不僅能提高學生的抽象思維能力、應用能力，而且能激發學生的學習興趣和創新意識。每個概念的應用實例是比較多的，我們在選擇例子的時候要選擇簡單一點的，學生感興趣的例子，這樣效果好一些。本文具體給出高等代數中的幾個重要知識點的學習中實例的引入。

2.幾個具體的實例的引入

2.1矩陣概念相關例題的引入

矩陣的概念是高等代數中最基礎的一個概念，如果直接給學生講這個概念，學生會感到抽象，如果我們在講概念前能夠引入一些實例，學生對這個掌握的可能會更好些，其實矩陣在很多領域都有應用，我們可以舉下面一個有趣的例子，古羅馬時期，凱撒大帝為了避免信使在途中被殺以至于情報被敵軍劫走，發明了一種方法，就是把明文中的每一個字母轉化成英文字母表中的第四個字母，人們為了紀念凱撒，把這種密碼稱為凱撒密碼。但是凱撒密碼有一個致命的缺陷，即每個字母與經過轉化后的字母分別在明文和密文出現的頻率是相通的。到1929年，HILL提出了克服凱撒密碼的缺陷的密碼，該密碼以矩陣變換的方法建立字母組間的對應關系，下面利用二階矩陣的例子來說明HILL密碼的加密與解密。

2.2線性方程組實例的引入

線性方程組也是一個重要的概念，它的應用是非常廣泛的，在講解這個內容的時候，我們可以引入這樣的一個例子。一種在20世紀80年代很流行的食譜，稱為劍橋食譜，是博士領導的科學家團隊經過8年對過度肥胖病人的臨床研究，在劍橋大學完成的。下表是該食譜中的3種食物以及100克每種食物成分含有某些營養素的數量。

如果用這三種食物作為每天的主要食物，那么它們的用量應各取多少才能全面準確地實現這個營養要求。以100克為一個單位，為了保證減肥所需求的每日營養量，設每日需食用的脫脂牛奶x1個單位，大豆面粉x2個單位，乳清x3個單位，由所給的條件得到一個線性方程組36x1+51x2+13x3=3352x1+34x2+74x3=45，7x2+1.1x3=3 其解為x1=0.2772，x2=0.3919，x3=0.2332即為了保證減肥所要求的每日營養量，每日需脫脂牛奶27.72克，大豆面粉39.19克，乳清23.32克。減肥是現在比較流行的一個話題，這個問題也是要轉化為數學的線性方程組的問題解決的。這樣學生在學習的時候就興趣很高，效果自然會很好。

2.3 特征值與特征向量的實例的引入

高等代數中的特征值與特征向量這個內容是個重點也是個難點，我們在講的時候可以引入這樣的一個例子，可以幫助學生理解概念，同時學生也知道了怎么將這個知識運用于實際。

在利用或濫用太平洋西北部大面積森林問題上，北方的斑點貓頭鷹成為一個爭論的焦點，環境保護學家試圖說服聯邦政府，如果采伐原始森林的行為不遏制的話，貓頭鷹將瀕臨滅絕的危險，而木材行業卻爭辯說貓頭鷹不應被劃為瀕臨滅絕的的動物，并引用一些已經發表的科學報告來支持其觀點。數學生態學家要對這個斑點貓頭鷹種群進行動力學研究，他們使用動力系統xk+1=Axk為貓頭鷹建立種群模型，在該模型中，xk=（jk，sk，ak）的分量分別表示在時間k幼年，半成年和成年的雌性貓頭鷹的數量，A為階段矩陣A=0 0 2.4向量空間實例的引入

向量空間是高等代數中的一個重要的研究對象，那么它有沒有在實際中有所應用呢，可以給學生舉一個例子， 航天飛機的控制系統對飛機是絕對關鍵的，由于航天飛機是個不穩定的空中機體，在大氣層飛行時它需要不間斷的用計算機監控，飛行控制系統不斷的向空氣動力控制表面和44個小推進器噴口發送命令，從數學的角度看，一個工程學系統輸入和輸出信號都是函數，這些函數的加法和數量乘法在應用中是重要的，在這節的學習中可以看到，函數的這兩個運算既有完全類似于中向量的加法和數量乘法的代數性質，由于這個原因，所有可能輸入的集合稱為一個向量空間。這樣就可以引入向量空間的定義。

3.小結

本文只是就一些概念的學習引入典型的實例，其實高等代數的每一個知識點都可以引入實例。我們在引入實例的時候要注意例子的選擇，不要選那些超越我們所學知識的例子，并且學生相對感興趣的例子，這種教學方法不僅能提高學生的抽象思維能力、應用能力，而且能激發學生的學習興趣和創新意識，是常規教學方法的一種改進和提高。

參考文獻：

[1]北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組.高等代數[M].高等教育出版社，2003.

[2]張賢科，許甫華.高等代數學[M].清華大學出版社，2004.

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關鍵詞：高等代數；教學；改革

前言

高等代數是高師數學專業的一門重要的基礎課，它不僅是中學代數的延拓，也是現代數學的基礎。然而由于這課程概念多，定理多，證明多，便構成了高等代數抽象、邏輯性強的特點，因此，也就成了初學者的“老大難”。筆者通過很多年的教學實踐經驗，對高師高等代數課程教學改革提出幾點建議：

1 因材施教，適當調整課程教學。

根據學生實際的專科教育，高等代數的改革目標應當是符合學生實際，且全體學生數學素質都能得到培養和提高。

（1） 強調代數基礎知識和基本理論

教學計劃和教學方案的改革直接關系到人才培養規格，而代數、分析、幾何等重要的基礎課應在適當更新內容的基礎上得到加強和保證。作為高師數學專業重要基礎課程之一的高等代數，它進行的改革必須是突出和保證基礎知識和基本理論的教學改革。高師高等代數分二個學期教學，筆者在張禾瑞編著的《高等代數》（第五版）作為教材的基礎上，對教材內容和順序進行了調整，第一學期按照順序學習行列式、矩陣、線性方程組，把多項式這一章放到第一學期的最后，行列式和矩陣是高等代數的主要內容之一和最基本的研究工具，貫穿著高等代數課程整個內容的始終。第二學期依次學次型、線性空間、線性變換、歐幾里得空間。

（2） 適當融代數應用知識于代數理論

數學的應用已深入到社會生產和生活的各個方面，數學的發展始終沒有離開社會生產和科學技術的不斷進步，是數學科學的重要組成部分而且還是這門學科存在價值的一個體現，為了在數學教學中體現數學的應用性，也為了適合未來數學教育改革的形式多樣化，知識多層次化，思想方法突出化和應用強化，以及素質教育的需要，高等代數的教學改革，必須是適當融代數應用知識于代數理論的教學改革。如在矩陣乘法運算中，筆者引用了這么一個例子：某公司生產的A，B，C三種產品的原料成本、人工成本、管理與其他成本和每種產品在每個季度生產的數量如下表：

生產單位產品的成本（單位：元）

每季度的產量

現用一張表格展示出在每一季度中每一類成本的成本值。

用這么個例題就可以充分展示出矩陣在實際生活當中的利用價值，就是體現了學有所用。

（3） 運用現代化的數學語言

一直以來數學課堂的緊張、嚴肅、枯燥壓抑著學生，教師要上好課，必須講求課堂教學的語言藝術。這就需要我們在數學語言的嚴謹性、準確性、精煉性、形象性、幽默性等方面下功夫，讓數學語言“與時俱進”，體現數學語言獨有的風韻格調。如筆者在多項式互素的充要條件教學中，采取如下形式描述：。這樣將普通的文字語言轉化為數學語言（即數學化），運用現代化的數學語言，不僅有利于問題的轉化和解決，可以把枯燥的數學課堂變得有趣，更能體現數學的思想和內涵，收到更好的教學效果。

2 選擇適合學生實際的好的教學方法

在數學概念或命題的教學中，學生心里老是納悶，這個證明或解法是怎樣想出來的？從中可悟出，數學概念或命題的教學過程離不開數學思想方法，離不開處理具體問題的具體方法的體現，更離不開適合學生實際的好的教學方法，因此高等代數的教學改革，必須是體現出代數思想方法和適合學生實際的好的教學方法的教學改革。

（1） 提高學生對代數學的認識，培養學習興趣

興趣是學習的一切動力。教師在教學中可展現所教內容的歷史背景，穿插些數學史料，使學生沿著數學發展的足跡認識代數學的真諦，發揮學生的主觀能動性，從思想上提高對代數意義的認識。高等代數中某些內容的知識背景源于中學的，在教學過程中注意與初等代數的縱橫聯系，能從較高的層次對中學所學的知識內容給予更科學的解釋。如多項式與中學的代數式、方程、因式分解等聯系較緊。例如，分解因式（x-y-z）3-（x3-3-z3）在中學是一道比較難的習題，而利用多項式的根與因式分解聯系起來可以很容易解決。解法是：因x=-y，x=-z，y=-z均為多項式的根，所以（x-y-z）3-（x3-y3-z3）=m（x+y）（x+z）（x+z）。用待定系數法得m=3。這些活生生的實例，不但使學生增強了解題能力，激發了學習興趣，也排除了少數學生“當一個中學數學教師，學高等代數有何用”的疑難。

（2） 運用適合學生的好的教學技術手段

由于高等代數教學的許多軟件不斷出現，迫使我們高等代數教師不得不考慮適當使用先進教學技術、手段和軟件，來提高教學效果和學生興趣，做到使用新技術的教學與好的數學課堂教學的有機結合與統一。筆者在高等代數教學改革中采用了前期開展的數學實驗，在行列式、矩陣的教學中，展示數學軟件在高等代數中的運用，讓學生充分體會先進教學技術的魅力，取得了很好的效果。

（3） 運用啟發式的教學

教師要從學生實際情況出發，考慮教學設計，善于設疑誘導，采用啟發式教學，教學中要善于體現出各知識點的銜接和相互結合的關系，注意承上啟下的關系和不同知識之間的聯系。筆者認為，學好高等代數，重點講清基本概念，讓學生真正理解高等代數中的概念和定理。在高等代數教學中為保證教學達到預期的效果，可以同時適當兼顧解決實際問題的“技能”性教學，適當重視解決實際問題能力的訓練，培養學生創新能力。

（4） 適當引進一些帶有研究性的開放性數學問題

平常在教學過程中可以適時適量的給出一些數學開放性問題，所謂開放性問題，即只提出原則性的要求，對問題所涉及的知識和能力范圍有所控制，不對完整解答問題所需要的知識，能力層次作出要求。對開放性問題的教學，可由學生自已作出小結，進行板演，最后由教師進行總結和點評。筆者認為可以充分利用數學建模這個平臺，目前我系的數學建模協會正在按計劃進行，力求通過對開放性問題的深入研究，提高學生解決問題能力、科研能力及創新能力。

（5） 實施參與式教學，將數學教育與素質教育有機結合

所謂參與式教學，就是要求學生在學習時，要有一種主動參與精神，在學習的同時要敢于去想和說一些自已的思想和觀點；而教師應該更注重引導，在引導過程中培養學生具有適應社會，改造社會的素質和能力。參與式教學常見形式為課堂討論，通過學生相互討論，鍛煉了學生的邏輯思維能力和口頭表達能力，強化了學習的效果，增加學生主動學習的自信心。新世紀素質教育的基本要求是“以學生發展為本”。教學有法，教無定法，通過教師的“行動研究”，使數學教育與素質教育有機結合，以期達到提高學生整體素質的目的。

3 結語

現代高等代數課程建設是一項巨大的系統工程，只有在課程教育觀念更新、課程內容、教學方式、方法和手段改革、師資隊伍建設等方面做大量深入的開創性工作，才能真正建成適應我國現代高層次人才培養目標的高等代數課程體系。

[參考文獻]

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關鍵詞：高等代數 解析幾何 課程改革 整合

作為高校數學與應用數學專業的重要基礎課程，高等代數、解析幾何一直備受關注。如何實現包括高等代數、解析幾何在內的大學基礎課程的改革與發展，是教育工作者一直關注的問題。本文在教學改革實踐探索的基礎上，分析高等代數、解析幾何改革發展的一種可行方案整合及其實踐探索。

一、高等代數與解析幾何課程整合的可行性分析

（一）改革高等代數與解析幾何課程設置是數學教師專業化發展的需要。

當前，教師專業化發展成為推動師范教育走向教師教育的不竭動力，高等師范教育的目的在于培養合格的中小學教師。作為培養中學數學教師必備的高等代數和解析幾何課程，面臨著中學數學課程內容綜合化和現代化的嚴峻挑戰，課程內容的綜合化需要高等代數、解析幾何走向整合，而課程內容的現代化又要求師范教育必須壓縮傳統課程的課時，增加反映現代數學基本思想和基本方法的課程內容。壓縮課時、整合內容、提高教學效率，成為高等代數、解析幾何兩門基礎課程需要解決的問題。

（二）高等代數與解析幾何課程改革是適應高等教育理念變化的需要

眾所周知，教學內容受制于一定的教育理念，高等教育理念的變化總會誘發高等教育教學內容的相應變革。近代高等教育初始時的功能比較單一，以傳授知識為主，高等教育的主要甚至唯一的基點就是教學。隨著社會的發展，高等教育與社會經濟的關系日趨緊密，產、學、研三結合日趨密切，高等教育步入了多樣化、綜合化、個性化和職前職后一體化的終身教育發展進程，高等學校也日益成為科學、文化、社會和經濟發展的中心。適應高等教育理念的變革，體現多樣化、綜合化的特點，高師院校的課程結構必須由線性單向的課程模式向網狀多向的課程模式方向發展。關注學科之間的關聯、關注不同領域之間的內在聯系，是當前教育教學內容改革的整體趨勢。

二、高等代數與解析幾何課程整合的主要措施

整合教材的編寫

1.將高等代數與解析幾何的相關內容進行實質性整合。將高等代數與空間解析幾何的相關內容進行整合，并不是將二者簡單地拼湊，而是將其糅合在一起，形成統一的整體，使得彼此雙方的核心內容都得到加強。基于這種考慮，我們的做法是：適當增加與中學數學有聯系的數論等內容；適當增加抽象代數的相關內容，將抽象代數與高等代數的內容整合在一起，并用統一的思想方法加以處理；把高等幾何的主要內容整合到解析幾何中；通過對傳統的經典內容的精選、貫通、融合和相互滲透，進一步加強高等代數與解析幾何在內容和方法上的緊密聯系，即不僅體現高等代數作為解析幾何的主要工具作用，而且更要具體地給高等代數提供各種幾何背景和幾何解釋。

2.精選和更新課程內容。高等代數與解析幾何畢竟屬于基礎課，許多基本內容在大學數學課程中居于基礎地位，仍需要保留，問題的關鍵在于如何加以精選，賦予新的意義。

（1）精選好高等代數與解析幾何相互融合的結合點，使學生更直觀地接受現代數學中的一些重要數學思想方法和思維方式，學會如何尋找事物的內在聯系，掌握課程的精華所在，體會數與形的和諧統一。

（2）精選好具有堅實的幾何直觀背景的有關代數內容。例如，加強二維、三維的線性方程組、線性空間、線性變換等內容。通過數形結合，使學生借助二維、三維的幾何直觀進一步理解高維的線性方程組、變換、空間等內容，感受立足幾何圖形把握問題實質的思維方式，進一步認識直覺思維、形象思維在數學演繹中的重要地位，體會數學的抽象美與直觀美之間的和諧統一。

3.教材內容的編寫注意體現啟發式。面向21世紀的大學代數與幾何教材，不僅要求內容新、體系新，而且要求方法也要新。所謂方法新，是指采用啟發式的教學方法，對既定的教學內容加以組織和表達，使之易教、易學，具有典型的學材風格（而不是專著風格）。

（1）寫明主題。在每一章節的開頭都簡要地寫明本章節的主題，讓學生能整體了解本章節的內容特點，包括知識的來龍去脈和基本思路，以便于整體把握本章節內容。

（2）突出知識點。突出每一章節的知識點，并冠以小標題，讓學生一目了然，同時采用既有分解又有綜合，既有特殊到一般，又有一般到特殊的表達和敘述方法，使學生在從具體到抽象的認識過程中，了解知識的來龍去脈。

（3）關注知識的前后聯系與對比。對主干知識（基本概念、基本理論和基本方法），力求體現知識發生發展的全過程，體現前后內容的關聯，關注數學知識結構體系，以便于學生在體系中掌握數學知識。同時，在內容的展開中，適時地通過分析、腳注等形式，給學生提供思維過程，提出問題，引發學生去思考，給學生留下思考的空間。

（4）精心設計課后習題。除編寫一些基本訓練題外，還要為不同層次的學生編選一些復習思考題，引導學生對所學的知識加以擴展、延伸和綜合運用，留給學生足夠的思考空間。努力改變學生只會做題，不會研究的學習方式。

（5）編寫小結，引發學生及時回顧、反思。為了加強啟發性和研討性，在每一章的最后，可以編寫一些有特色的本章小結，概述本章知識的整體邏輯結構以及貫穿全章的數學基本思想和方法。既包括正文中沒有深入闡述的結論，也包括推理過程中沒有詳細涉及的問題，也涉及已講授內容的擴展性、延伸性問題。這樣做有利于培養學生的綜合概括能力，也為學生的創新思維開辟了較大的空間。

（6）在教材中適當增加課外閱讀材料。可以介紹有關代數與幾何方面的一些史料以及有突出貢獻的一些數學家，介紹他們的簡要經歷、學術成就、治學態度與方法，以此激勵學生刻苦鉆研、勇于創新。也可以介紹代數與幾何在其他領域中的一些應用。

參考文獻：

篇7

關鍵詞： 多項式 整數環 整環 素數 不可約多項式

一、引言

高等代數是數學專業學生的專業基礎課之一，它強調邏輯的嚴密性和計算的準確性.正因為如此，它在代數學、數值計算、最優化等學科中有著重要的應用.相對于計算的準確性，邏輯的嚴密性讓剛走進大學校門的新生倍感吃力.造成這一現象的最初原因就是多項式理論太抽象了.學生不知道這些理論從哪里來？為何會有如此多的定理？

注意到高等代數的教材中提到了多項式環的概念，并沒有給出相應的解釋，這給學生的學習帶來一定的困擾.本文將從環論的角度重新解釋多項式理論，使該理論更容易被更多學生接受.通過對比的學習，學生將能夠更好地掌握多項式的互素，最大公因式，不可約多項式，以及因式分解定理.

本文共分為兩部分，在第一部分，我們將回顧環的定義整環的定義及整數環的基本性質.在第二部分，我們將對照第一部分給出的有關整數環的結果給出多項式環的相關結果.

二、整環與整數環

在本節中我們將首先回顧環和整環的定義，然后給出整數環的性質.為了解決教材中的多項式環留下的疑問，我們需要給出以下定義：

定義 2.1 設R為一個非空集合，記RXR={（r，s）|r，s 為R中的元素}，設a： RXR------> R的映射使得a（r，s）=rs，則R被稱為群如果a滿足

（1）結合律成立，即對于R中任意的r，s，t有（rs）t=r（st）.

（2）左單位元存在，即存在R中的元素e使得對任意的R中的元素r ， er=r.

（3）左逆元存在，即對于R中任何的元素r存在r使得rr=e.

注記：非零有理數關于通常的乘法構成一個群.形如a的映射可以看成集合上的一種運算.

定義2.2 設R，RXR，a同上且b：RXR------> R的映射使得b（r，s）=r+s. R 被稱為一個環如果 a，b滿足：

（1）R關于加法構成一個ablian 群，也就是說R關于定義的′+′構成一個交換群.

（2）R關于乘法滿足結合律，即對于R中任意的r，s，t有（rs）t=r（st）.

（3）分配率成立，（a+b）c=ac+bc； c（a+b）=ca+cb.

注記：整數集關于通常的加法和乘法構成一個環.所有的一元多項式的集合關于多項式的加法和乘法構成一個環.

為了說明我們的主要結果，給出整環的定義.

定義2.3 一個環R成為整環如果它滿足：

（1）它的乘法可交換.

（2）它含有一個幺元 I，即Ia=a 對任意的R中的元素a成立.

（3）任意R中的非零元素a，b，ab≠0.

注記： 特別地，如果一個交換有幺元環R中的非零元素關于它的乘法構成一個群，則稱R為域.注意域必為整環，實數域，有理數域是域，都也是整環.

為了給出本文的主要結果，下面我們回顧整數環作為整環具有的性質.

定理2.4 設R整數環，則R滿足：

（1）對于任意的R中的元素m，n≠0存在q，r∈R使得m=qn+r其中0≤r

（2）對于任意的R中的元素m，n ，它們的最大公因子（m，n）存在且（m，n）=lm+pn，其中l， p 為R中的元素.

（3）對于任意素數p和任意的n， 都有p|n或者（p，n）=1.

三、一元多項式環的性質

本節中我們將研究數域P上的一元多項式環的性質.注意到P上的所有的一元多項式關于多項式的加法和乘法構成一個環P[X].下面證明P[X]是一個整環.

命題3.1 P[x]是一個整環.

證明：由定義2.3，我們只需要證明P[x]中交換有幺元且非零元之積不為零.由多項式的乘法可知，幺元為零次多項式 1且f（x）g（x）=g（x）f（x）.再由多項式乘法的定義可知若f（x），g（x）不為零，則f（x）g（x）≠0.

注意到整數環是整環，自然地問題是整環是否有類似定理2.1的性質呢？此部分近世代數將詳細講解.而多項式環也是特殊的整環，本文將考慮如下問題.

問題3.2 P[x]是否有類似定理2.4的性質？

下面我們給出高等代數第一章的主要定理.但我們不給出定理的證明，只給出如何與定理2.1對比.

定理 3.3 設P為一數域，P[x]為其一元多項式環.

對比說明：

（1）提示學生思考有沒有類似定理2.4（1）的結論.然后學生考慮如何改善定理2.4（1）中的余數比較大小的問題.這里要聲明多項式是沒法比較大小的，但是次數是可以的.

（2）這里要提示學生對比寫出類似的結論并用類似的方式證明.需要注意這里的最大公因式并不唯一，因此引進了首1的最大公因式.

（3）結合素數的定義，由學生給出對應的不可約多項式的概念，然后類似地證明相似的性質.

（4）有了（3）的引入，誘導學生自然地思考本命題的表達形式.并參考素數的證明給出證明.

四、結語

通過本文的論述，學生很容易知道這一章的所有結果不是憑空而來的，而是仿照整數環的理論類比而來的，同時學生也知道了環和域的概念.此外，關于整環上的問題3.2，給學生留下了懸念.

參考文獻：

[1]北大代數組.高等代數[M].北京：高等教育出版社， 2013，1-50.

篇8

——以《高等代數》為例

朱雅敏

（西安工業大學理學院，陜西西安710021）

【摘要】當前的高校高等數學教育存在很多問題，這些問題體現在：學生對于課程的重要性和實用性了解不夠；因為做不到職業規劃，認為高等數學對于自己的未來職業意義不大；高等數學的教學和考核方式太過呆板和單一。

關鍵詞 高等代數；實用；職業規劃

筆者從教以來，一直從事《高等代數》、《線性代數》等代數類課程的教學工作。在幾年的教學過程中，發現學生學習代數學存在很大的問題（應該說不止代數學，在其他高等數學的教學中這些問題也是普遍存在的）。這些問題包括：

（1）學生對于學習高等數學類課程的重要性存在疑問。大多數學生認為自己畢業之后并不會從事數學的研究工作，故此學習這些課程沒有太大意義，即對高等數學課程的實用性了解不夠，認為這些只是理論基礎課。

（2）大學太早劃分了專業，很多學生是在對自己專業茫然無知狀態下做出的選擇，故此對自己所學專業本身談不上熱愛，但是對于專業之外的領域卻又一無所知。再加上最近幾年就業率下降，導致絕大部分學生在面對自己本該輝煌燦爛的未來時，表現出來的卻是茫然和恐懼，很難做到對自己的未來做充足的職業規劃，因此在學習數學等相對抽象而短時間之內“貌似”看不到實用價值的課程提不起興趣。

（3)教學方式和考核方式單一。教學絕大部分高校目前仍然是采取板書為主，只有部分高校引進多媒體，但效果并不理想。考核方式一般都是考試，這就導致了，考試考得好，并不一定會用。考得好也不一定是學得好。

針對以上問題，筆者做了以下思考（以《高等代數》的教學為例）：

針對第一個問題：

高等數學是抽象的，是理論的，但并不代表它們缺乏實用性。事實上，數學是從實踐中來，最終所有的數學也都走回到了實踐中去，即使曾經號稱“數學皇后”“最純粹的數學”的數論也不例外。在國家和高校都注重培養學生實踐能力和職業規劃教育的現在，在基礎課教學中融入實踐教育和職業引導，是順應時代的大事。

以《高等代數》為例，《高等代數》學中的幾乎每個知識點都可以涉及到很多的應用領域：

比如講到矩陣，可以提到電影《黑客帝國》中無所不能的機器“matrix”，可以提到電視劇《潛伏》中的加密解密等密碼學問題，可以提到博弈論中用來分析描述博弈各方得失的“支付矩陣”，可以講到《圖論》中的“鄰接矩陣”及其應用，甚至目前最火爆的大數據處理中各個數據特征的存取無一例外都是用到矩陣，機器學習領域的供機器學習和處理的數據也是以矩陣形式存在的…在這些領域矩陣都是必不可少的分析承載工具。

如果課時允許，在教授代數學理論時，能夠列舉并簡單介紹矩陣在這幾個領域的應用情況，不僅讓學生了解這部分知識并不只是枯燥無味的符號，而是承載了好多學科發展的必不可少的工具，而且讓學生了解一些目前科學領域的不同方向，不同的學生會對不同的學科感興趣，不管他感興趣的是哪個學科，都起到了激發他學習本門課程的學習興趣以及根據自己愛好和能力，規劃自己未來職業道路的作用。

針對第二個問題：

高等院校是培養人才的搖籃，是直面就業的最后一道堡壘。在這里，我們應該做的是最大的激發每個學生的潛能，照顧到學生興趣和能力的差異。

在這里，我認為高校不應該入學就設置專業壁壘，而應該至少給學生一個認識自己、發現自己的過渡時期。大一的時候可以設置很多專業基礎課，這些專業基礎課不應該是按專業來劃分班級，而應該是面對所有新生。根據學生的不同能力以及授課的不同側重點，可以把一門課程按照難度分解為幾個不同的課號。以密歇根大學（下文簡稱密大）的《抽象代數》為例:密大數學系提供了312,412,493三個模塊的《抽象代數》課程。這三個課程的教學目的都是：讓學生接觸嚴謹的代數語言，培養學生嚴格的邏輯推理能力。但由于課程的難度和側重點不同，所以這三門課程的教材，開課時間，教學內容都不盡相同。這很大程度上照顧到了學生的能力不同以及因為個人需要的不同而存在的差別。

以《高等代數》為例，我們的高校也可以采取類似的做法，根據學生需要不同以及能力的差異，對本門課程設置幾個模塊的教學內容。根據側重點不同，每個模塊的授課方式，授課時間，以及教學內容都不盡相同。針對經濟學等文科領域的學生，只教授和他們所學內容相關的知識，并講授這些知識在經濟領域的一些應用案例。而針對喜歡計算機以及偏好其他工科的學生，可以教授和這些領域相關的內容，并講授這些內容在相關領域的應用案例。針對愛好數學以及上述兩個課程學完之后深覺知識信息量不夠的學生，可以講授理論推導邏輯性較強的目前的授課版本。這樣即照顧了學生的能力以及因為愛好導致的需求不同，又可以照顧到愛好數學以及學完專業版本代數學之后深感知識量不夠的學生的要求。學生帶著需求上課的學習效果，與強行灌輸的效果必然不可同日而語。

雖然目前各個高校采取了類似的分類，但是分類簡單粗暴，只是把數學專業的學生和其他專業的學生做了簡單劃分，數學專業的學生學習《高等代數》，而其他專業的學生學習《線性代數》，而這種劃分，只是名義上的劃分，針對各個不同專業以及不同興趣的學生并無任何更多考慮。

針對第三個問題：

授課方式要多吸取國外高校數學類授課方式的長處。比如美國加州大學富勒頓分校（CSUF）的數學類授課方式大多采用案例式、討論式、研究式、實踐式等授課方法，培養學生發現問題，分析問題，解決問題的實踐能力。國外很多大學高等數學課堂人手一個的Graphingcalculator（圖形計算器），能夠幫助學生形象化的理解抽象的數學知識，但在國內課堂，這些高科技的手段都難覓蹤跡。而考核方式，國外與國內更是存在很大的不同，國內一般是期末考試一次定終身，或者加上平時成績以及期中考試的成績比例。而在國外，以美國大學數學課程微積分（calculus）為例，課程最終成績一般由四大塊構成（教師可自行調整比例）：家庭作業，每周小測驗和期中考試，期末考試，實踐環節（用所學知識解決實際問題）。

國內的高等數學教學方式和考核方式改革也迫在眉睫。以《高等代數》為例，在授課過程中可以通過多媒體等教學方式，具體化某些抽象的代數問題或者達到形象生動化一些實用案例的效果。比如多項式在擬合差值方面有重要的地位，在講多項式時，可以通過多媒體課件展示不同次數多項式的圖形效果，并進而可以講到多項式差值的含義以及在飛機、汽車等工業領域的應用。

而課程的考核方式改革也勢在必行。以《高等代數》為例，我們可以仿照美國大學的做法，把最終的考核結果分為更多模塊構成，比如課后作業，期末考試，以及實踐環節等。而實踐環節可以考慮一學期完成一到兩個，專門某一節課可以讓學生講解自己的實踐作業處理的問題，思路，及求解辦法。這樣不僅可以學以致用，利用知識的有用性推動和激發學生學習和研究的興趣，刺激學生展開想象力的翅膀，鼓勵各種奇思妙想，展示智慧結晶，并能夠帶動學生對于一些數學工具軟件，比如matlab等的掌握。可謂一舉多得。而這樣做無非是比現在的考核方式多了兩次課的實踐展示環節，并不需要對當下的教育模式動太大的手術。

參考文獻

［1］余達錦,楊淑玲.創新創業教育背景下高等數學教學方法研究[J].江西財經大學學報,2013(4),122-129.

篇9

數學在我們生活中無處不在，在大學期間，數學學習的難度有所增加，所以高等數學被分為了好多學科，其中就包括線性代數這一重要的學科。線性代數的學習程度對高等數學是有一定的影響的，因為線性代數與高等數學是由相輔相成的作用的，在解決某些問題上，采用其中的一種方法是有可能比較困難的，這個時候就需要轉變思維，換一個角度想問題，讓自己的學習過程更加順利，從而提高自己的成績。

1 線性代數方法學習所需能力

1.1 需要有抽象的思維能力才能使學習更加高效

線性代數是需要學生通過抽象的思維進行想象的，可以說學習的過程中對于向量，矩陣等都需要自己通過抽象想象的。線性代數中這樣的學習有很多種，例如矩陣與線性方程組，在矩陣與矩陣，矩陣與向量組，向量組與向量組等等，所以學生要了解他們之間的抽象關系，認真領會其中的知識點，對他們的概念以及性質的學習進行加強。在初中和高中的學習中，學生們已經接觸過具有抽象能力的數學知識點了，比如說在向量的學習中，就需要將向量想象成一種抽象的東西，這個時候的數學還是很好學的，但是對于高等數學中的線性代數里面的思維想象能力的要求就相對來說比較高了，所以對于學生在這方面能力的鍛煉與培養，需要教師多加引導，讓學生養成自己思考，主動學習的好習慣，多做題，逐漸的就會把自己的抽象能力培養出來。

1.2 邏輯推理能力

不僅僅是線性代數需要邏輯推理能力，可以說整個的數學學習就是一個邏輯推理能力的培養從小學時，學生們便開始學習數學，數學的學習一直都在鍛煉學生們的是邏輯推理能力。線性代數的各個知識點之間邏輯關系是非常緊密的，邏輯性是非常高的。其實我們在學習很多學科時都有這種體會，知識點不是單獨存在的，教材在安排知識點的位置的時候也都會將有聯系的知識點放在一起學，這樣既對學生學習起來是一個方便，同時教師在教授的過程中也更加容易方便，這在一定程度上考驗了學生的邏輯思維能力，所以線性代數在學習過程中一定要上下聯系，找出其中關聯的地方，把有關聯的知識點放在一起仔細研究，找到他們在解題過程中的運用效果，能夠在解題過程中顯得不那么手足無措，同時要深刻理解其中的每個知識點之間的聯系，從而提高學習效率。另一方面學習的過程中需要運用的推理能力不僅僅表現在知識點的上下聯系，而且在解題過程中需要在讀過題之后快速的找到體重的關鍵點，找出解題時所要用到的知識點，這也是對邏輯推理能力的一個考驗。[1]

2 線性代數核心方法與工具學習

學習過高等數學的人們都知道，在線性代數的學習過程中，線性方程組是一個核心內容，二有關于線性方程組在解題過程中的主要的答題方法和答題依據是矩陣和矩陣的初等變換。有的解題方法例如矩陣的初等變換這一階梯方法，可以用在特征向量，向量空間的維數和基，還有就是矩陣的逆矩陣這一內容也可以用矩陣的初等變換這一方法。[2]所以，線性代數的學習是融會貫通的，教師在教學過程中和學生在學習的過程中都要注意好矩陣的初等變換這一內容的學習，掌握矩陣這一項主要的學習工具，這樣才能在學習過程中可以游刃有余，可以找到解題的思路。

3 注重學生學習能力的培養

前面我們說過了。線性代數的學習需要很多的抽象能力，二線性代數的核心又在于行列式，行列式的學習就需要很高的抽象能力，學生在學習這一內容時，僅僅是憑借著公式死記硬背的套上去是不能夠解決問題的，需要手和腦的一起使用，所以學生在進行基礎概念的學習時，要靈活運用，注意要和題相結合，在解題的過程中自然而然的就學會了基礎概念，才能對所學的知識進行全面深入的了解。因此，學生在對線性代數知識點的掌握時，可以包含以下幾個基本點。

3.1 對學生學習和理解基本知識方面的能力進行加強

學生在學習之前必須要搞清楚概念，只有概念問題解決了，在解題過程中才不至于一頭霧水，線性代數是一門概念問題非常多的一門學科，里面的解題思路也很復雜，所以要想學好這門學科，必須先要把概念搞清楚，概念不清楚，解題過程中就會一點思路也沒有，即使題做出來了，也會事倍功半，達不到自己預期的效果。[3]線性代數里面包含的概念有關于解方陣的冪，有要求解逆矩陣以及解矩陣的秩，還有計算字母型和數字型的行列式等一些概念，這些概念說容易，只要學生搞清楚里面的關系，還有他們之間的邏輯性，按照規律循序漸進就可以很好地掌握，但是在掌握過程中，在一些抽象的地方還需要進一步的想象和理解。

3.2 強調知識點的轉換與銜接

線性代數這門課的知識點是比較多的，但是我們上面已經提到，這些知識點與知識點之間的聯系是比較緊密的，我們可以把這些知識點聯系起來，構成一個知識體系，使知識點之間能夠統籌起來，讓自己的綜合分析能力得到提高，從而提升自己的解題能力。我們在學習的過程中，要把知識點前后連接起來，形成一套完整的知識體系。從內容上看，這些知識點之間的聯系是相當緊密的，有時候一個知識點的學習得使用之前的知識點進行連接貫通，，他們之間是相互滲透，縱橫交錯的，所以在解題的過程中也有很多的方法可以進行選擇，這些都是靈活多變的，我們在學習過程中不能夠只是用一種方法階梯，這樣會使效率變得很低，達不到自己的要求。尤其是在線性代數這門課的學習中，應該將其中知識點的轉換與串聯進行靈活掌握，這樣才能在做題中快速的想到解題思路，提高做題速度，從而得到高分。[4]

3.3 敘述的表達能力需要鍛煉，邏輯思維能力需要提高

學生在線性代數的學習過程中，一定會碰到很多的證明題，這些證明題在證明的過程中一定會遇到語言敘述方面的問題，不要小看這些文字敘述，他們在考察敘述能力和邏輯思維能力方面是很強的。在證明時，首先得把解題的思路想出來，至于怎樣想的就需要對邏輯思維進行考察，當把解題思路想出來后，緊接著就是如何把自己的思路用簡潔明了的話語敘述出來，這就用到了我們的敘述表達能力了。[5]所以在學習線性代數的時候，對于表達能力和邏輯能力是需要特別的能力的。學生在不斷地證明一道題之后對于里面設計到的一些知識和概念也會隨著做題量的增加而更加熟練更加游刃有余的。

篇10

關鍵詞：高等代數與解析幾何；地方院校；教改

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）37-0164-02

一、背景

本文以筆者所在的民族地區新建本科院校開設的信息與計算科學專業為例，探討高等代數與解析幾何課程的教學改革。信息與計算科學專業培養具有良好的數學基礎和思維能力，掌握信息或計算數學的基本理論、方法和技能，接受科學研究初步訓練，能從事算法分析與設計、軟件開發、數據處理等方面的應用型人才。這是一個交叉專業，不僅要開設大量的數學課程，比如高等代數與解析幾何、數學分析、常微分方程、數學模型、復變函數、概率統計等，而且要開設大量的計算機課程和一些信息類的課程。筆者曾經在該專業做過統計，85%的同學報考的時候不知道這個專業需要學量的數學課程，有40%的同學壓根就不想學數學，有些同學高考數學科才考60分，大部分同學對數學課不感興趣。而高等代數與解析幾何課程是學生一進入大學就學的一門專業基礎課程，學時又長，如果學得不好，影響后續課程的學習，甚至影響整個大學專業課程的積極性。根據該專業的特點和學生的實際情況，筆者對高等代數與解析幾何課程進行了一些教學改革。

二、教改內容

高等代數與解析幾何原來是該專業的兩門基礎課程，基于幾何為代數提供研究背景、代數為幾何提供研究方法的內因和濃縮學時的外因考慮，將兩門課程合并教學，現在很多高校也都采用合并教學，諸多學者也對這門課程的合并教學從可行性、內容和教學方法等進行了很多探討，但大都是以數學師范專業為背景。筆者基于信息與計算科學專業，對該課程教學教學了以下探索。

1.重視概念教學。數學概念的教學關系到學生是否能理解、能應用，可以說是數學教學中最重要的一個環節。而高等代數與解析幾何課程是學生從中學到大學學習的第一門基礎課程，學生很難一下子就能理解這些抽象概念。對于抽象的概念要注意從一般情況中總結：比如線性空間的概念是這門課的第一個抽象概念，概念的內容又多，要求具有兩個運算和滿足八條運算規律，如果一下拋出這個概念，學生就懵了，哪里見過這么長的一個概念，往往就會產生抵觸心理。如果循序漸進，先引導大家復習在中學熟悉的立體幾何知識，把幾何空間的一些基本性質逐條展開，再提升到一般情況，如果一個集合中的元素也滿足這些條件，將問題一般化得到線性空間的概念，接著多舉一些例子，對抽象概念多作鋪墊便于理解。有些概念的教學要重視其來源和歷史發展，比如圍繞解線性方程組這條主線，當方程個數和未知數個數相等時，引入了行列式這個工具來求解，當方程個數不等于未知數個數時，行列式這個工具顯然不適用了，進而就引入了矩陣這個工具，這也就是行列式和矩陣概念的由來，交代清楚的目的就是讓學生更好地理解概念，有利于學生形成良好的知識框架。有些概念太抽象了，也需要用通俗的例子或者形象的比喻來幫助學生理解，比如線性空間中基的概念，可以用班上學生的姓氏來比方，把班級看成一個線性空間，不同姓氏的同學就線性無關，每個姓氏選一個同學組成一組，這個組本身線性無關，班上的每一個姓都在里面，類似基的概念本身線性無關，線性空間中每個向量都可以由這組向量線性表示，又因為每個姓氏可以選不同的同學，組成一個新的組，選的這個組不是唯一的，對應就是線性空間中基不是唯一的，但全班總共有幾個不同的姓氏是唯一的，也就是說每組同學的人數是唯一的，對應在線性空間中就是維數是固定的等。有些例子可能沒有那么貼切，但對學生的理解是有好處的。

2.教學內容要優化。信息與計算科學專業學生需要掌握高等代數與解析幾何課程的基本思想、基本內容和基本技能，但要與培養數學師范生有一定的區分，針對該專業并不需要每個定理、每個推論都證明，為了保證知識的系統性和達到培養目的，必要的證明也不能省，需要老師在教學中大膽、靈活地對內容進行優化，制定好適合該專業的課程大綱，對有些內容可以簡講，甚至不講，但要經常對知識進行歸納總結，授課線條要清晰。現在還沒有一本高等代數與解析幾何的教材完全適合該專業，通用的教材有陳志杰教授的《高等代數與解析幾何》、孟道驥教授的《高等代數與解析幾何》，這兩本都是極好的教材，只需根據實際情況對內容進行優化即可。有些同學覺得高等代數與解析幾何教材太難，把線性代數或者線性代數與空間幾何作為參考書，認為這樣更好理解，易形成知識框架，也不失為一個方法。

3.數學軟件在教學中的應用。信息與計算科學專業要培養學生具有較強的數據處理能力，對應用數學軟件能力要求比較高，故需要從基礎課程就開始有意識地培養學生應用數學軟件解決數學問題的能力，比如對一些計算可以通過Matlab來實現，當然也可以用其他軟件，這樣一方面可以盡早的讓學生了解數學與計算機之間緊密的聯系，了解專業的特點，也能夠激起學生學習的熱情。可以用軟件來演示計算的內容有：行列式的計算、矩陣的計算、線性方程組的求解、二次型與相似矩陣、特征值的計算等等，在進行了必要的證明和方法介紹下，講述例題的時候，先用黑板演算，最后留點時間利用計算機軟件求解，因為有些計算比較繁瑣，學生不感興趣，采用軟件計算可以提高積極性，而且有利于學生了解專業特點，避免了學生到大二下學期還不知道信息與計算科學專業學的是什么，跟數學教育有什么區別。具體做法：在下課前十分鐘，教師打開多媒體電腦演示，課后讓學生自己練習，不必專門開設數學實驗課，一是學時不夠，二是該專業到三年級會開設數學實驗課程和一些算法類的課程，據筆者了解，一般院校高等代數與解析幾何課程開設數學實驗課程是不現實的。引導學生將一般的方法提煉成公式，將公式程序化，通過計算機軟件快速求解，這充分展示了現代數學的魅力，改變了以往過于枯燥的計算，可以提高學生學習該專業的興趣。對于這個專業，筆者認為利用講述數學的基礎知識，來傳授新的方法和新的知識，不能照搬傳統的數學師范專業講授特點。

4.數學建模思想滲透到教學中，突出應用數學的特色。該專業是一個應用型專業，要求學生應用數學解決問題的能力特別強，而數學建模恰好是一個鍛煉應用數學能力的極好途徑，高等代數與解析幾何課程看似跟實際的問題聯系不緊密，但高等代數與解析幾何作為一個基礎課程，很多定理、推論、例題都是建模的思想，只要教師采用問題驅動，適時地鼓勵和引導學生積極探索，把抽象的定理、公式進行結構化和程序化，提高學生的數學思維，具體可以在定理的證明、公式的推導、例題的講解中滲透，從一般情況提煉出數學模型，鼓勵學生思考。這種滲透不是找一個實際問題來解決，況且學生現在所學的知識還不足于解決復雜點的實際問題，那是數學建模課程的任務，高等代數與解析幾何是要注重在平時課堂上潤物細無聲似的滲透，培養模型的思想。比如求平行六面體的體積，通過推導最后得到公式，建立坐標系后，公式可以簡單地用行列式來表示，這些簡單的問題，教師采用問題驅動，逐步推導，得到的公式簡單優美。矩陣的乘法也具有數學建模的思想，比如5個同學參加4門考試，成績可以用一個5行4列的矩陣來表示，要評兩個獎，每科的成績在每個獎中占的權重不同，可以構造一個4行2列的矩陣，現在要你評獎。這樣來引入矩陣的乘法很實際和實用，可能學生就更感興趣，這其中就是數學建模思想的滲透。

5.重視作業訓練。數學課程一定要有適當的作業訓練，數學是思維的體操，不做作業不僅思維得不到訓練，而且知識極容易遺忘。作業的類型可以多樣，也可以留點利用軟件來簡單計算的操作題，但作業要有梯度，設置一些選做題，讓學生有挑戰性。教師要確保對作業有答復，可以在習題課上講解，如果時間不夠，也可以利用QQ交流工具解答，比如教師把過程寫出來拍照發給學生，這也是筆者答疑的一個方式。

三、結語

信息與計算科學是一個交叉專業，也可以說是一個邊緣性的數學專業，高等代數與解析幾何作為該專業的一門基礎課程，學時長、抽象難學，學生基礎不好，要提高該課程的教學，需要從多個方面下功夫。筆者根據這個專業的特點從教學內容到教學方法進行的一些探索，從平時課堂表現和作業情況看，大部分學生學習的積極性有較大提高。

參考文獻：

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