行政能力測試數學運算解題方法

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排列組合問題是公務員考試當中必考題型，題量一般在一到兩道，近年國考這部分題型的難度逐漸在加大，解題方法也越來越多樣化，所以在掌握了基本方法原理的基礎上，還要求我們熟悉主要解題思想。那首先什么排列、組合呢？

排列：從n個不同元素中，任取m個元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。

組合：從n個不同元素種取出m個元素拼成一組，稱為從n個不同元素取出m個元素的一個組合。

解答排列組合問題，首先必須認真審題，明確是屬于排列問題還是組合問題，或者屬于排列與組合的混合問題，其次要抓住問題的本質特征，靈活運用基本原理和公式進行分析，同時還要注意講究一些策略和方法技巧。下面介紹幾種常用的解題方法和策略。

解決排列組合問題有幾種相對比較特殊的方法。下面通過例題逐個掌握：

一、相鄰問題---捆綁法不鄰問題---插空法

對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，再將不相鄰元素在已排好的元素之間及兩端空隙中插入即可。

【例題1】一張節目表上原有3個節目，如果保持這3個節目的相對順序不變，再添進去2個新節目，有多少種安排方法？

A.20B.12C.6D.4

【答案】A。

【解析】首先，從題中之3個節目固定，固有四個空。所以一、兩個新節目相鄰的的時候：把它們捆在一起，看成一個節目，此時注意：捆在一起的這兩個節目本身也有順序，所以有：C(4，1)×2=4×2=8種方法。二、兩個節目不相鄰的時候：此時將兩個節目直接插空有：A(4，2)=12種方法。綜上所述，共有12+8=20種。

二、插板法

一般解決相同元素分配問題，而且對被分成的元素限制很弱(一般只要求不等于零)，只對分成的份數有要求。

【例題2】把20臺電腦分給18個村，要求每村至少分一臺，共有多少種分配方法？

A.190B.171C.153D.19

【答案】B。

【解析】此題的想法即是插板思想：在20電腦內部所形成的19個空中任意插入17個板，這樣即把其分成18份，那么共有：C(19，17)=C(19，2)=171種。

三、特殊位置和特殊元素優先法

對有限制的排列組合問題中的特殊元素或特殊位置優先考慮。

【例題2】從6名運動員中選4人參加4×100米接力，甲不跑第一棒和第四棒的參賽方案各有多少種？

A.120B.240C.180D.60

【答案】B。

【解析】方法一：特殊位置優先法：首先填充第一棒，第一棒共有5個元素可供選擇，其次第4棒則有4個元素可以選擇；然后第2棒則有4個元素可以選擇，第3棒則有3個元素可以選擇。則共有5×4×4×3=240種。

方法二：特殊元素優先法：首先考慮甲元素的位置

第一類，甲不參賽有A(5,4)=120種排法；

第二類，甲參賽，因只有兩個位置可供選擇，故有2種排法；其余5人占3個位置有A(5,3)=60種占法，故有2×60=120種方案。

所以有120+120=240種參賽方案。

四、逆向考慮法

對于直接從正面算比較復雜的排列、組合題，我們就要學會間接的方法。

正方體8個頂點中取出4個，可組成多少個四面體？

A.70B.64C.61D.58

【答案】D。

【解析】所求問題的方法數=任意選四點的組合數-共面四點的方法數，共C(8，4)-12=70-12=58個。

五、分類法

解含有約束條件的排列組合問題，應按元素性質進行分類，按事情發生的連續過程分步，保證每步獨立，達到分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏。

【例題3】五個人排成一排，其中甲不在排頭，乙不在排尾，不同的排法有

A.120種B.96種C.78種D.72種

【答案】C。

【解析】由題意可先安排甲，并按其分類討論：1)若甲在末尾，剩下四人可自由排，有A(4，4)=24種排法；2)若甲在第二，三，四位上，則有3×3×3×2×1=54種排法，由分類計數原理，排法共有24+54=78種，選C。

專家點評：解排列與組合并存的問題時，一般采用先選(組合)后排(排列)的方法解答。解決一道排列、組合提的方法很多，但我們必須選擇一種最快做有效的解題方法。這就要求我們準確掌握各種解題方法，能迅速的判斷出哪種方法最適合解答該題。

下面我們為考生準備5道習題，請考生們注意選擇最合適的解題方法。

1、丙丁四個人站成一排，已知：甲不站在第一位，乙不站在第二位，丙不站在第三位，丁不站在第四位，則所有可能的站法數為多少種？

A.6B.12C.9D.24

2、馬路上有編號為l，2，3，……，10十個路燈，為節約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關掉，但不能同時關掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關掉的情況下，求滿足條件的關燈方法共有多少種？

A.60B.20C.36D.45

3、用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的四位數，可組成多少個不同的四位數？

A.300B.360C.120D.240

4、10個名額分配到八個班，每班至少一個名額，問有多少種不同的分配方法？

A.45B.36C.9D.30

5、六人站成一排，求甲不在排頭，乙不在排尾的排列數？

A.120B.64C.124D.136

1、【解答】C。能站在第一位，因此甲必然站在后三個位置中的某一個位置。

如果甲站在第二位，則共有三種可能：乙甲丁丙，丙甲丁乙，丁甲丙乙

如果甲站在第三位，則共有三種可能，乙丁甲丙，丙丁甲乙，丁丙甲乙

如果甲站在第四位，則共有三種可能，乙丙丁甲，丙丁乙甲，丁丙乙甲

因此一共有9種可能

2、【解答】B。關掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因為燈與燈之間沒有區別，因而問題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個空中選出3個空放置熄滅的燈。所以共C(6，3)=20種方法。

3、【解答】A。排除法解P(6,4)-P(5,3)個=300個

4、【解答】B。把10個名額看成十個元素，在這十個元素之間形成的九個空中，選出七個位置放置檔板，則每一種放置方式就相當于一種分配方式。因而共C(9，7)=36種。

5、【解答】D。先考慮排頭，排尾，但這兩個要求相互有影響，因而考慮分類。

第一類：乙在排頭，有A(5，5)種站法。

第二類：乙不在排頭，當然他也不能在排尾，有C(4，1)×(4，1)×(4，4)種站法，故共有136種站法。