統計質量管理技術兩類錯誤分析

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摘要:假設檢驗、過程控制、抽樣檢驗是統計質量管理的三種常用技術。小概率事件原理是前二者的實際推斷原理，三者均是由樣本提供的信息對總體的相關特征進行推斷。由于推斷原理的特性以及樣本的隨機性，三種統計技術在應用過程中不可避免地存在兩類錯誤。本文就兩類錯誤的影響因素以及為減少錯誤所采取的措施進行了系統討論與比較，這對于正確認識三種質量管理統計技術的風險并采取措施降低風險有著積極的指導意義。

關鍵詞:質量管理;統計方法;假設檢驗;過程控制;抽樣檢驗;小概率事件

一、引言

質量是企業的生命，隨著信息和科學技術的進步，統計方法在企業質量管理中得到了廣泛的應用。假設檢驗、過程控制、抽樣檢驗是常用的三種質量管理統計技術。假設檢驗是統計推斷的核心內容，對總體的某種特征(分布函數或有關參數)提出假設，依據小概率事件原理，利用樣本提供的信息做出拒絕或不拒絕原假設的決策。在產品生產過程的各個階段，利用小概率事件原理，通過控制圖判斷生產過程是否存在異常因素，或對生產過程進行監控，以提高和控制產品質量。在產品驗收階段，抽樣檢驗是產品驗收的重要手段，制定合理的抽樣檢驗方案，利用抽取的樣本信息做出拒收或接收該批產品的決策。然而，假設檢驗、過程控制、抽樣檢驗三種質量管理統計技術在實際應用過程中均有可能犯兩類錯誤。假設檢驗中，若原假設正確卻被拒絕時就犯了第一類錯誤，也稱棄真錯誤;若原假設不正確卻未被拒絕時就犯了第二類錯誤，也稱取偽錯誤。在利用控制圖判異過程中，過程處于穩態卻被判異時，就犯了第一類錯誤，也稱虛發警報錯誤;若過程存在異常因素卻未被判異時，就犯了第二類錯誤，也稱漏發警報的錯誤。根據抽樣檢驗方案對檢驗批進行產品驗收時，合格批產品被拒收就犯了第一類錯誤，犯第一類錯誤的風險稱為生產方風險;若不合格批產品被接收就犯了第二類錯誤，犯此類錯誤的風險稱為使用方風險。關于假設檢驗中的兩類錯誤，已取得了大量的研究成果，如文獻［1］－［4］。溫德成［5］研究了質量特性均值發生連續漂移時基于兩類錯誤經濟性分析的控制圖控制界限的選擇問題。任玉瓏等［6］基于兩類風險，運用博弈思想研究了計數一次抽檢方案的確定。假設檢驗、過程控制、抽樣檢驗三種質量管理統計技術中兩類錯誤的影響因素、影響趨勢既有各自的特點又有相似之處，本文首次對質量管理三種統計技術中產生的兩類錯誤進行比較研究，并提出為降低兩類錯誤的風險所應采取的措施。

二、“兩類錯誤”在三種統計技術中的原因分析及其風險

(一)假設檢驗中的兩類錯誤

假設檢驗是統計推斷的重要內容，為了推斷總體的某些特征，提出關于總體特性的某種假設，根據抽樣獲取的樣本的信息對所提出的假設做出拒絕還是不拒絕的判斷。假設檢驗所依據的實際推斷原理———“小概率事件原理”，即小概率事件在一次實驗中幾乎不發生。如果小概率事件發生，則有理由懷疑原假設的合理性，從而做出拒絕原假設的判斷。然而，小概率事件并不是不可能事件，在一次實驗中也是有可能發生的，此時，若原假設是正確的，因小概率事件發生而做出拒絕原假設的判斷，就犯了第一類錯誤，犯此類錯誤的概率記為α=Ρ(拒絕原假設|原假設正確);另一方面，若原假設不正確，由于抽樣的隨機性，因小概率事件未發生而做出了不拒絕原假設的判斷，就犯了第二類錯誤，犯第二類錯誤的概率記為β=Ρ(不拒絕原假設|原假設不正確)。無論是犯了棄真錯誤還是取偽錯誤，都會造成一定的損失。

(二)過程控制中的兩類錯誤

統計過程控制是應用統計技術對過程中的各個階段進行評估和監控，建立和保持過程處于可接受且穩定的水平，從而保證產品與服務符合規定要求的一種質量管理技術。各行業經常利用關鍵特性的控制圖，實現過程的穩定性。控制圖已成為重要的過程質量控制的工具［7］。若正態隨機變量Χ～Ν(μ，σ2)，其觀測值落在［μ－3σ，μ+3σ］外的概率為0．27%，為小概率事件。休哈特根據正態分布的這一性質構造了休哈特控制圖。若過程不存在異常因素，則控制圖中點子一般位于界內呈隨機排列無異常趨勢。根據樣本點位置以及變化趨勢，國家標準GB/T4091－2001《常規控制圖》給出了控制圖的8種判異準則。控制圖的判異依據仍為小概率事件原理。由于抽樣的隨機性，在過程不存在異常因素的情況下，仍可能會出現樣本點出界。此時根據判異準則，認為過程存在異常因素，就犯了第一類錯誤，也稱“虛發警報的錯誤”;另一方面，若過程存在異常因素，樣本點仍可能位于界內，從而判定過程正常，于是就犯了第二類錯誤，也稱“漏發警報的錯誤”。第一類錯誤將導致對本不存在的問題去無謂地尋找原因而導致成本增加，第二類錯誤將引起更多廢品、次品而增加損失。

(三)抽樣檢驗中的兩類錯誤

抽樣檢驗是質量控制的重要組成部分，從一大批產品中按事先設計好的方案隨機抽取若干樣品，通過檢查這些樣品的質量來判斷整批產品的質量是否合格的一種統計方法。其核心是用統計方法規定樣本量與接收準則的一個具體方案［8］。如計數型標準型抽樣方案常表示為(n，Ac)，即從檢驗批產品中隨機抽取n件產品進行檢驗，若其中不合格品數(不合格數)d≤Ac，則接收該批產品;若d＞Ac，則拒收該批產品。檢驗批的接收概率是抽樣檢驗方案、批質量的函數。一個合理的抽樣檢驗方案，應使得高質量產品以高概率接收，低質量產品以低概率接收。由于抽樣的隨機性，無論多么完美的抽樣方法、檢測程序，都會存在兩類錯誤，即高質量產品經抽樣檢驗被拒收———犯了第一類錯誤;低質量產品經抽樣檢驗，做出了接收該批產品的判斷———犯了第二類錯誤。高質量產品被拒收，意味著將會給生產方造成損失，即造成生產方風險;低質量產品被接收，將會給使用方造成損失，即造成使用方風險。

三、質量管理統計技術中“兩類錯誤”計算示例及分析

本節將分別以正態總體均值檢驗、休哈特均值圖、質量特性具有下規范限的一次抽樣檢驗方案為例，探討兩類錯誤的計算，產生兩類錯誤的影響因素以及為減少兩類錯誤應采取的措施。例1:設X～N(μ，σ2)，其中σ2已知，X=(X1，X2，…，Xn)為來自總體X的一個樣本，其觀測值記為x=(x1，x2，…，xn)，原假設為H0:μ=μ0，備擇假設為H1:μ≠μ0，檢驗的顯著性水平為α。對于此假設檢驗問題，一般分析過程如下:(1)提出原假設H0:μ=μ0，備擇假設H1:μ≠μ0;(2)在原假設成立的條件下，{|珚X－μ0|＞c}為小概率事件，對于給定的檢驗水平對單側假設檢驗結論與雙側檢驗結論類似。由結論(1)－(3)，若要同時減少兩類錯誤，唯一的途徑就是增大樣本容量。但在實際應用中，增大樣本容量，也就意味著成本的增加，往往不太現實。此外，權衡犯兩類錯誤所造成的損失，若犯第一類錯誤的損失更大，可適當降低檢驗水平α;若犯第二類錯誤的損失更大，可適當增大檢驗水平α，以降低犯第二類錯誤的概率β。例2:假設質量特性X～N(μ，σ2)，不妨假設σ2已知，休哈特均值圖以μ0為控制中心線，分別以μ0±3σ/槡n為上下控制限。分別比較式(1)(2)和(3)(4)，可得如下結論:(1)若增大上下控制限的寬度，α減小，β增大;若減小上下控制限的寬度，α增大，β減小。(2)其他參數不變，若均值偏離度|μ0－μ1|越小，β越大，且lim|μ0－μ1|→0β=1－α。|μ0－μ1|越大，β越小，lim|μ0－μ1|→∞β=0。在應用中，雖然偏離度|μ0－μ1|小會導致更大的β，但更小的偏離度卻是人們所期待的結果。(3)β是n的減函數，若增大樣本容量，則β減小。(4)經簡單計算可得，若μ0≠μ1，根據上述分析，為減小控制圖應用中存在的兩類錯誤，可采取增大樣本容量的方法，但增大樣本容量，勢必造成成本的增加。另外，也可以通過改進工藝，提高管理水平，以減少過程標準差的途徑。此外，通過引入點子趨勢的更多判異準則，也可減少漏發警報的錯誤。例3:質量特性Χ～Ν(μ，σ2)，具有下規范限，計量一次抽樣檢驗方案表示為(n，kL)。經簡單計算可得μ1＜kL＜μ0，由式(6)可得如下結論，n，kL，σ三個參數中，保持其中兩個不變:(1)若樣本容量n增大，則α及β均減小。(2)若標準差σ減小，則α及β均減小。(3)若kL增大，則α增大，β減小;若kL減小，則α減小，β增大。通過以上分析，可以采取與控制圖應用中類似的辦法來降低犯兩類錯誤的概率，如增大抽樣的樣本容量或縮小過程的標準差。

四、結論

作為質量管理的重要統計技術，假設檢驗、過程控制、抽樣檢驗在實際應用中均存在犯兩類錯誤的風險，錯誤發生通常會造成損失，所以應盡量采取相關措施，以降低兩類錯誤發生的概率。本文將對三種統計技術應用中可能發生的兩類錯誤進行比較研究，尋求減少兩類錯誤的措施。結論如下:(1)三種技術均是由樣本推斷總體，由于樣本的隨機性，兩類錯誤的發生難以避免。且通常兩類錯誤呈“此消彼長”的關系，采取措施降低一類錯誤概率的同時，又會導致犯另一類錯誤概率的增加。(2)兩類錯誤為互斥事件(非對立事件)，一次應用中，兩類錯誤至多有一類出現，且通常α+β≠1。(3)假設檢驗第一類錯誤是可以控制的，第二類錯誤通常是不可控的，但可確定其范圍(總體參數未知時，是不能計算出第二類錯誤發生概率大小的)。(4)正態性假定是推斷的基礎。通常，假設檢驗是對正態總體的參數進行推斷;控制圖構造是以正態分布為前提的;計量型抽樣檢驗假定質量特性值服從正態分布。(5)通過增加抽樣的樣本容量可降低犯三種常用方法中兩類錯誤的概率;改進加工工藝，減少過程標準差，可減少控制圖應用、抽樣檢驗中所犯第二類錯誤的概率。(6)假設檢驗、過程控制、抽樣檢驗中的兩類錯誤，發生的環節不同，造成的危害也有區別。假設檢驗中出現錯誤，會導致對原假設的判斷出現偏差;過程控制中出現錯誤，會影響生產工序的正常進行;抽樣檢驗中出現錯誤，會對生產方或使用方的利益造成損害。三種方法在應用中，應綜合考慮其影響因素，合理控制成本，采取有效措施降低兩類錯誤發生的風險。

參考文獻:

［1］蔡越江．論假設檢驗中的兩類錯誤［J］．數理統計與管理，1999，(3):31－35．

［2］李文華，雷金星．假設檢驗中的兩類錯誤的成因、發生概率及其相關問題:以單個總體均值檢驗為例［J］．統計與決策，2005，(6):117－119．

［3］高發玲，劉春霞，孫建英，郭萍．單正態總體假設檢驗的兩類錯誤概率關系分析［J］．重慶工商大學學報(自然科學版)，2015，32(9):57－60．

［4］黃艷華，鄭芳琳．參數假設檢驗中兩類錯誤的剖析［J］．欽州學院學報，2018，(3):14－21．

［5］溫德成，安玉紅．均值變化下的控制圖3σ控制界限的經濟性分析［J］．統計與決策，2008，(21):151－152．

［6］任玉瓏，任洪賓，李俊，唐浩陽．生產方和使用方博弈行為的計數1次抽檢方案［J］．重慶大學學報(自然科學版)，2004，(12):139－141．

［7］周友蘇，于振凡．質量管理統計技術［M］．北京:北京大學出版社，2010．

［8］周紀薌，茆詩松．質量管理統計方法［M］．北京:中國統計出版社，2008．

作者：李鋒 馮三營 朱杰堂 單位：鄭州大學數學與統計學院 鄭州航空工業管理學院