淺析數(shù)學(xué)思維培訓(xùn)的幾種方法

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摘要：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),最重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方法,這是人人皆知的命題,然而又是一個(gè)世界難題,在數(shù)學(xué)教學(xué)中對學(xué)生的要求不僅僅只滿足于求得問題的正確答案，還應(yīng)注意在教學(xué)過程中教會學(xué)生領(lǐng)悟知識的來龍去脈，有意識地訓(xùn)練學(xué)生的思維，并通過遷移變通，引導(dǎo)學(xué)生大膽設(shè)疑，拓寬思維空間，尋找多種解題方法，從中發(fā)現(xiàn)最佳解法，本文將結(jié)合筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)就數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師如何培養(yǎng)學(xué)生有序性和合理性的數(shù)學(xué)思維能力，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力，創(chuàng)造性思維能力以及概括能力，進(jìn)行力所能及的探討和總結(jié)，讓學(xué)生智慧的火花在課堂中頻頻綻放。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維；能力；培養(yǎng)

古人說：“學(xué)貴知疑，小疑小進(jìn)，大疑大進(jìn)”，有疑問才有學(xué)習(xí)的內(nèi)動(dòng)力。人類的思維活動(dòng)往往是由于要解決當(dāng)前的問題而引發(fā)的。課堂上要讓學(xué)生思，必先教有疑。現(xiàn)代教育觀點(diǎn)認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，即思維活動(dòng)的教學(xué)。如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，是教學(xué)改革的一個(gè)重要課題。下面就數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，談?wù)勛约旱目捶ā?/p>

一分層教學(xué)，設(shè)置階梯，激發(fā)興趣，培養(yǎng)學(xué)生有序性，合理性的數(shù)學(xué)思維能力。

培養(yǎng)興趣，促進(jìn)思維。興趣是最好的老師，也是每個(gè)學(xué)生自覺求知的內(nèi)動(dòng)力。教師要精心設(shè)計(jì)每節(jié)課，要使每節(jié)課形象、生動(dòng)，有意創(chuàng)造動(dòng)人的情境，設(shè)置誘人的懸念，激發(fā)學(xué)生思維的火花和求知的欲望。為了讓每個(gè)層次的學(xué)生在課堂教學(xué)都能聽懂，有興趣去學(xué)，能運(yùn)用所掌握的數(shù)學(xué)知識，積極思考、積極參與。

例1：在輔導(dǎo)學(xué)生用十字相乘法把多項(xiàng)式分解因式這節(jié)課時(shí)，我設(shè)計(jì)了下列題目：

（1）2x2–7xy+3y2（2）2(x+1)2–7(x+1)+3

（3）2(x+y)2–7(x+y)+3（4）2(x+y)2–7(x+y)(x–y)+3(x-y)2

依據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，我把學(xué)生分成四組，分組練習(xí)。學(xué)生看到題目馬上發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)的系數(shù)都一樣，有了興趣，通過以上練習(xí)，學(xué)生始終處于積極探討狀態(tài)之中，通過他們的積極參與，對“十字相乘法分解因式”的方法理解快、記得牢、用得活，從而培養(yǎng)學(xué)生有序性和合理性的數(shù)學(xué)思維能力。

適當(dāng)分段，分散難點(diǎn)，創(chuàng)造條件讓學(xué)生樂于思維。如列方程解應(yīng)用題是學(xué)生普遍感到困難的內(nèi)容之一，主要困難在于掌握不好用代數(shù)方法分析問題的思路，習(xí)慣用小學(xué)的算術(shù)解法，找不出等量關(guān)系，列不出方程。因此，我在教列代數(shù)式時(shí)有意識地為列方程的教學(xué)作一些準(zhǔn)備工作，啟發(fā)同學(xué)從錯(cuò)綜復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中去尋找已知與未知之間的內(nèi)在聯(lián)系。通過畫草圖列表，配以一定數(shù)量的例題和習(xí)題，使同學(xué)們能逐步尋找出等量關(guān)系，列出方程。并在此基礎(chǔ)進(jìn)行提高，指出同一題目由于思路不一樣，可列出不同的方程。這樣大部分同學(xué)都能較順利地列出方程，碰到難題也會進(jìn)行積極的分析思維。

例2：要用20張白紙做包裝盒，每張白紙可以做盒身2個(gè)，或者做盒底蓋3個(gè)。如果1個(gè)盒身和2個(gè)底蓋可以做成一個(gè)包裝盒，那么能否把這些白紙分成兩部分，一部分做盒身，一部分做盒底蓋，使做成的盒身和盒底蓋正好配套?

請你設(shè)計(jì)一種分法，如果不允許剪開白紙，能不能找到符合題意的分法？如果允許剪開一張白紙，怎樣才能即符合題意又充分地利用白紙？

分析：看到這道題目，有的同學(xué)不知道如何去解,其實(shí)只要找出等量關(guān)系即一個(gè)盒身配2個(gè)盒底蓋,從這個(gè)方面去考慮就對了.

解：設(shè)應(yīng)該用x張白紙做盒身，y張白紙做盒底蓋.則可做盒身2x個(gè)，盒底蓋3y個(gè)。

要做成一個(gè)包裝盒需要1個(gè)盒身2個(gè)盒底蓋，則為了配套，盒底蓋的個(gè)數(shù)應(yīng)是盒身的2倍。

依題意得x+y=20x=60/7

解得

4x=3yy=80/7

由于解為分?jǐn)?shù)，所以如果不允許剪開白紙，則只能用8張紙做盒身，共可做16個(gè)盒身;用11張白紙做盒底蓋，共可做33個(gè)盒底蓋，而16個(gè)盒身只需32個(gè)盒底蓋，所以只能做16個(gè)包裝盒，且剩余一張白紙和一個(gè)盒底蓋的材料，無法全部利用白紙；如果允許剪開一張白紙，可以將一張白紙分為3：4兩部分，用8張零一大半做盒身，11張零一小半做盒底蓋，可以做成盒身17個(gè)，盒底蓋34個(gè)，正好配成17個(gè)包裝盒，較充分地利用了材料。

像上面這道例題這種配套問題,往往給出的數(shù)據(jù)恰好使得到的解都是正整數(shù),求解之后也不需深人的思考,而本題所得到的解不是整數(shù),學(xué)生有可能懷疑是否解錯(cuò)了,這樣可以引起學(xué)生的注意.另外有的學(xué)生可能采用四舍五入的辦法,這是錯(cuò)的.在列方程組解決問題時(shí),要勇于探索,大膽嘗試，與同學(xué)之間互相交流，逐步培養(yǎng)自己解決實(shí)際問題的能力，從而提高了自己合理性的數(shù)學(xué)思維能力。

二錯(cuò)例剖析，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力。

思維的嚴(yán)謹(jǐn)性是指考慮問題的嚴(yán)密、有據(jù)。要提高學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，必須嚴(yán)格要求，加強(qiáng)訓(xùn)練。

首先要求學(xué)生要按步思維，思路清晰，就是要按照一定的邏輯順序進(jìn)行思考問題。特別在學(xué)習(xí)新的知識與方法時(shí)，應(yīng)從基本步驟開始，一步一步深入。

其次要求學(xué)生要全面、周密地思考問題，做到推理論證要有充分的理由作根據(jù)。運(yùn)用直觀的力量，但不停留在直觀的認(rèn)識上；運(yùn)用類比，但不輕信類比的結(jié)果；審題時(shí)不但注意明顯的條件，而且留意發(fā)現(xiàn)那些隱蔽的條件；應(yīng)用結(jié)論時(shí)注意結(jié)論成立的條件；仔細(xì)區(qū)分概念間的差別，弄清概念的內(nèi)涵和外延，正確地使用概念；給出問題的全部解答，不使之遺漏。

隨著數(shù)學(xué)概念、定理、公式的增多，對一些概念，公式等容易混淆，因此做題時(shí)，往往丟三落四，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)。

例3：我在教學(xué)二次函數(shù)時(shí)，出示了一道容易出錯(cuò)的題目：已知函數(shù)

y=(m–1)x2–2mx+4,

求證：不論m為何值，此函數(shù)圖象總與x軸相交。

許多學(xué)生的解法為：∵△=（-2m）2-4(m-1)?4=4(m-2)2≥0

∴不論m為何值，此函數(shù)圖象總與x軸相交。

分析：造成錯(cuò)誤的原因在于學(xué)生對函數(shù)y=(m-1)x2–2mx+4理解考慮不全面，覺得這是二次函數(shù)，從這方面去解題，沒考慮到其他的情形。事實(shí)上，當(dāng)m=1時(shí)，原函數(shù)變?yōu)橐淮魏瘮?shù)，y=-2x+4。只把原函數(shù)作二次函數(shù)去解題是不全面的。

正確解法應(yīng)為：1.當(dāng)m=1時(shí)，原函數(shù)變成一次函數(shù)y=-2x+4,與x軸相交（2，0）點(diǎn)；2.當(dāng)m≠1時(shí)，△=4(m-2)2≥0,∴二次函數(shù)y的圖象總與x軸相交。

教學(xué)中有意收集或編制一些學(xué)生易犯而又意識不到的錯(cuò)誤方法和結(jié)論，使學(xué)生的思維產(chǎn)生錯(cuò)與對之間的交叉沖突，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生找出致誤原因。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要使學(xué)生思維活躍，就要教會學(xué)生分析問題的基本方法，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的正確思維方式。要學(xué)生善于思維，必須重視基礎(chǔ)知識和基本技能的學(xué)習(xí)，沒有扎實(shí)的雙基，思維能力是得不到提高的。數(shù)學(xué)概念、定理是推理論證和運(yùn)算的基礎(chǔ)，準(zhǔn)確地理解概念、定理是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提。在教學(xué)過程中要提高學(xué)生觀察分析、由表及里、由此及彼的認(rèn)識能力。在例題課中要把解（證）題思路的發(fā)現(xiàn)過程作為重要的教學(xué)環(huán)節(jié)。不僅要學(xué)生知道該怎樣做，還要讓學(xué)生知道為什么要這樣做，是什么促使你這樣做，這樣想的。在數(shù)學(xué)練習(xí)中，要認(rèn)真審題，細(xì)致觀察，對解題起關(guān)鍵作用的隱含條件要有挖掘的能力。學(xué)會從條件到結(jié)論或從結(jié)論到條件的正逆兩種分析方法。對一個(gè)數(shù)學(xué)題，首先要能判斷它是屬于哪個(gè)范圍的題目，涉及到哪些概念、定理、或計(jì)算公式。在解（證）題過程中盡量要學(xué)會數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號的運(yùn)用等，有助于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力

三通過巧妙的質(zhì)疑和引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力

猜想是由已知原理、事實(shí)，對未知現(xiàn)象及其規(guī)律所作出的一種假設(shè)性的命題。在我們的數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行猜想，是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展學(xué)生直覺思維，掌握探求知識方法的必要手段。啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行猜想，作為教師，首先要點(diǎn)燃學(xué)生主動(dòng)探索之火，我們決不能急于把自己全部的秘密都吐露出來，而要“引在前”，“引”學(xué)生觀察分析；“引”學(xué)生大膽設(shè)問；“引”學(xué)生各抒己見；“引”學(xué)生充分活動(dòng)。讓學(xué)生去猜，去想，猜想問題的結(jié)論，猜想解題的方向，猜想由特殊到一般的可能，猜想知識間的有機(jī)聯(lián)系，讓學(xué)生把各種各樣的想法都講出來，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，推動(dòng)其思維的主動(dòng)性。為了啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行猜想，我們還可以創(chuàng)設(shè)使學(xué)生積極思維，引發(fā)猜想的意境，可以提出“怎么發(fā)現(xiàn)這一定理的？”“解這題的方法是如何想到的？”諸如此類的問題，組織學(xué)生進(jìn)行猜想、探索，還可以編制一些變換結(jié)論，缺少條件的“藏頭露尾”的題目，引發(fā)學(xué)生猜想的愿望，猜想的積極性。在教學(xué)中，教師應(yīng)及時(shí)捕捉和誘發(fā)學(xué)生中出現(xiàn)的靈感，對于學(xué)生在探究時(shí)“違反常識”的體溫，考慮問題時(shí)“標(biāo)新立異”的構(gòu)思，解題時(shí)別出心裁的想法，即使只有一點(diǎn)點(diǎn)新意，都應(yīng)充分肯定其合理的，有價(jià)值的一面。并通過巧妙的提問和引導(dǎo)，讓學(xué)生嘗試，發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。

例4：教學(xué)“和圓有關(guān)的比例線段”這節(jié)課時(shí)，我抓住四個(gè)結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，把兩個(gè)定理和兩個(gè)結(jié)論串聯(lián)起來，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮思維器官的功能，自己去發(fā)現(xiàn)，猜測，論證，實(shí)現(xiàn)再創(chuàng)造，新課導(dǎo)入的設(shè)計(jì)如下：

（1）讓學(xué)生按下面要求作圖：

經(jīng)過⊙O內(nèi)或⊙O外一點(diǎn)P，作兩條相交直線，交⊙O于A、B、C、D四點(diǎn)，得線段PA、PB、PC、PD（教師巡視，并鼓勵(lì)學(xué)生盡可能畫出下面各種情況）。

（2）提出問題：你們知道這幾個(gè)圖形中的四條線段之間在數(shù)量上滿足什么關(guān)系嗎？（教師鼓勵(lì)學(xué)生大膽的猜想，可能有的學(xué)生由圖①和圖⑥想到PA、PB、PC、PD相等。可啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用從特殊到一般的思想方法去猜想，也可讓學(xué)生用直尺測量去猜，最后得出結(jié)論P(yáng)A?PB=PC?PD①

（3）進(jìn)一步提出問題:上面的結(jié)論是猜想出來的，是否正確還需要論證。先看圖②的情況，怎么證呢?(啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行逆向探索,要證PA?PB=PC?PD,只要證PA:PD=PC:PB,要設(shè)法找到包含這四條線段的兩個(gè)近似三角形，進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生添加輔助線,證明結(jié)論成立)

（4）小結(jié)后再提出問題:我們在逆向探索中找到了解決問題的方法，用先猜后證的方法證明了”圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。如果把弦AB、CD的位置變動(dòng)一下，使AB經(jīng)過點(diǎn)O，且弦CD與AB垂直于P，這就變成了圖③這種情況。這時(shí)①式怎樣表示?(引導(dǎo)學(xué)生把①式寫成PC2=PA?PB,并總結(jié)出相交弦定理的推論.)

（5）繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生在變化中探索創(chuàng)造。變動(dòng)AB、CD位置，使它們相交于⊙O外一點(diǎn)P，所得的四條線段是否也是滿足①式？怎樣證明？（激發(fā)學(xué)生的探索熱情，讓學(xué)生證明并歸納得到割線定理）

（6）讓學(xué)生觀察圖⑤的情況，并指出這是由一般推得特殊，從而得到切割線定理。

（7）讓學(xué)生觀察圖2、圖3、圖4、圖5四個(gè)結(jié)論，用辨證的觀點(diǎn)，觀察知識的發(fā)生、發(fā)展、變化、發(fā)現(xiàn)、猜想、創(chuàng)造的全過程，并完成幾道練習(xí)題，進(jìn)行強(qiáng)化記憶。

（8）最后再設(shè)計(jì)問題讓學(xué)生課后進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究：過⊙O外一定點(diǎn)P作直線交⊙O于A、B兩點(diǎn)，PA?PB的值是否為定值。

盡管這結(jié)論的得出不是新發(fā)明，但對于學(xué)生來說卻是新的，必須通過創(chuàng)造性思維，才能予以解決。學(xué)中教通過巧妙的質(zhì)疑和引導(dǎo)，讓學(xué)生自己去想象、發(fā)現(xiàn)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。

四通過揭示題目間的內(nèi)在規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的概括能力

數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的“過程”與“結(jié)果”的平衡，要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得過程，而不是只注意數(shù)學(xué)活動(dòng)的結(jié)果。這里，“經(jīng)歷數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得過程”的含義是什么呢？我們認(rèn)為，其實(shí)質(zhì)是要讓學(xué)生有機(jī)會通過自己的概括活動(dòng)，去探究和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律。

概括是思維的基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)，能否獲得正確的抽象結(jié)論，完全取決于概括的過程和概括的水平。數(shù)學(xué)的概括是一個(gè)從具體向抽象、初級向高級發(fā)展的過程，概括是有層次的、逐步深入的。隨著概括水平的提高，學(xué)生的思維從具體形象思維向抽象邏輯思維發(fā)展。數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生思維發(fā)展水平和概念的發(fā)展過程，及時(shí)向?qū)W生提出高一級的概括任務(wù)，以逐步發(fā)展學(xué)生的概括能力。

概括的過程具有螺旋上升、逐步抽象的特點(diǎn)。在學(xué)生通過概括獲得初步結(jié)論后，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生把概括的結(jié)論具體化。這是一個(gè)應(yīng)用新獲得的知識去解決問題的過程，是對新知識進(jìn)行正面強(qiáng)化的過程。在這個(gè)過程中，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新結(jié)論之間的適應(yīng)與不適應(yīng)之間的矛盾最容易暴露，也最容易引起學(xué)生形成適應(yīng)的刺激在概括過程中，要重視變式訓(xùn)練的作用，通過變式，使學(xué)生達(dá)到對新知識認(rèn)識的全面性；還要重視反思、系統(tǒng)化的作用，通過反思，引導(dǎo)學(xué)生回顧數(shù)學(xué)結(jié)論概括的整個(gè)思維過程，檢查得失，從而加深對數(shù)學(xué)原理、通性通法的認(rèn)識；通過系統(tǒng)化，使新知識與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識建立橫向聯(lián)系，并概括出帶有普遍性的規(guī)律，從而推動(dòng)同化、順應(yīng)的深入。數(shù)學(xué)的表現(xiàn)方式是形式化的邏輯體系，數(shù)學(xué)理論的最后確立依賴于根據(jù)假定進(jìn)行抽象概括的能力。因此，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會形式抽象，實(shí)際上這是一個(gè)高層次的概括過程，在這個(gè)過程中，學(xué)生的邏輯推理能力可以得到很好的培養(yǎng)。

另外，在教學(xué)過程中，教師特別重視了“化歸”這一重要的數(shù)學(xué)思想方法的滲透，充分利用知識之間的相互聯(lián)系性，通過分析、歸納、概括，將要解決的新問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題，這個(gè)過程的實(shí)質(zhì)就是概括。我們相信，通過這樣的教學(xué)，長期堅(jiān)持，潛移默化，學(xué)生的觀察、猜想、分析、歸納、概括以及邏輯論證等能力都會得到很好的培養(yǎng)和提高。我們看一下下面例題。

例5：用一根長60厘米的鐵絲圍成一個(gè)長方形。

（1）使長方形的寬是長的2／3，求這個(gè)長方形的長和寬；

（2）使長方形的寬比長少4厘米，求這個(gè)長方形的面積；

（3）比較（1），（2）所得兩個(gè)長方形面積的大小，還能圍出面積更大的長方形嗎？

（4）使長方形的寬比長少3厘米，2厘米，1厘米或長寬相等時(shí)，長方形的面積有什么變化？

分析：（1）因?yàn)殚L方形的周長一定，長，寬與周長的關(guān)系是2（a+b）=60,設(shè)出長，即能表示寬，代入上式可得關(guān)于的一元一次方程，即可求之。

（2）同樣給出了長和寬的關(guān)系，用（1）的辦法可求出長與寬，然后求長方形的面積，如此問題屬間接設(shè)元，如果直接設(shè)長方形的面積為x，則無法用x表示長與寬，況且長方形的面積的大小不取決于其周長的大小。

（3）通過（1）（2）兩個(gè)長方形面積的大小，觀察長與寬的大小的變化規(guī)律，作出猜想，進(jìn)一步嘗試驗(yàn)證你的猜想的結(jié)論。

（4）比較各種情況下求出的長方形的面積，進(jìn)一步驗(yàn)證（3）中的猜想，最后得出結(jié)論。

解：（1）略（2）略，長方形的面積為221。

（3）在(1)的情況下，長方形的面積為18×12=216.216<221,由此可見，（2）中的長方形面積大。觀察（1）（2）中兩個(gè)長方形的長，（1）中的長比（2）中的長要長，由于長寬和為30是一個(gè)定值，這樣（1）中是寬要比（2）的寬短，且（1）的長方形的面積小于（2）中的長方形的面積，由此可猜想長與寬的差越小，則面積越大。例如長為16，寬為14時(shí)，長方形的面積為16×14＞17×13＞18×12.

（4）用（2）的方法可得，寬比長少3時(shí)，長方形的面積為16.5×13.5=222.75

寬比長少2時(shí)，長方形的面積為16×14=224

寬比長少1時(shí)，長方形的面積為15.5×14.5=224.75

寬與長相等時(shí)，長方形的面積為15×15=225

可以發(fā)現(xiàn)這些長方形的面積越來越大，也驗(yàn)證了（3）中的猜想。

小結(jié)：要注意題中探索性的問題的思想與方法，不要單純地為了解題而解題，要善于聯(lián)想，我們能知道正方形是這些長方形中面積最大的。

例6初中《幾何》中有一道題

如圖，A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)在一條直線上，圖中有幾條線段？是哪幾條？

思路：以A點(diǎn)為端點(diǎn)的線段，從A向右數(shù)，有AB、AC、AD共3條；以B為端點(diǎn)的線段。從B向右數(shù)，有BC、BD共2條；以C為端點(diǎn)的線段只有CD1條。因此圖中共有6條線段。

象這樣依次從左向右，而不往左看的方法，稱為“向右看齊”。這種方法簡單明了，不會重復(fù)，也不遺漏。如直線上有A1、A2、A3—An個(gè)點(diǎn)，以每個(gè)點(diǎn)為一個(gè)端點(diǎn)的線段的條數(shù)可以列表如下：

端點(diǎn)A1A2A3—An-2An-1An

條數(shù)n-1n-2n-3—210

總條數(shù)：C=1+2+3+……+（n–2）+(n–1)

象這樣引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目間的內(nèi)在規(guī)律，可以增強(qiáng)學(xué)生舉一反三，觸類旁通的能力，對培養(yǎng)學(xué)生的概括能力也很有益處。必須指出的是，概括能力的培養(yǎng)，不論采取何種教學(xué)方法（發(fā)現(xiàn)法或講授法），關(guān)鍵是要有正確的教學(xué)思想，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體，把教學(xué)真正建立在學(xué)生自己的獨(dú)立探索、思考、理解的基礎(chǔ)上，真正給學(xué)生以獨(dú)立探索的機(jī)會，使他們在學(xué)習(xí)過程中有充分的自由思想空間，使學(xué)生有機(jī)會經(jīng)歷數(shù)學(xué)概括的全過程。但是，在教學(xué)實(shí)踐中，要做到這些并不容易，教師對學(xué)生的學(xué)習(xí)能力往往并不完全信任，他們總怕學(xué)生出錯(cuò)，總怕學(xué)生會浪費(fèi)時(shí)間，總想攙扶著學(xué)生，甚至不惜去代替學(xué)生思維。而這些做法與培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力的要求是背道而馳的，也是與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本來面目不相符合的。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)當(dāng)從數(shù)學(xué)概括的自身特點(diǎn)出發(fā)，在使用抽象的數(shù)學(xué)語言和符號表述數(shù)學(xué)定義、定理或原理之前，通過可觀察的（實(shí)物、圖形、圖表等等）、描述性的、可親身體驗(yàn)的形式來傳播新的思想，從而引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使他們自己去試驗(yàn)、構(gòu)造，用他們自己的語言去闡述和解釋，通過自己的獨(dú)立思維活動(dòng)來學(xué)習(xí)知識。要為學(xué)生創(chuàng)造一種環(huán)境，使他們在其中扮演自主活動(dòng)的角色，有發(fā)揮自己的聰明才智進(jìn)行創(chuàng)造性學(xué)習(xí)的機(jī)會，能自己去尋找需要的證據(jù)，獲得能夠反映自身特點(diǎn)的對數(shù)學(xué)原理的解釋，在他們自己的水平上完成對數(shù)學(xué)原理的概括過程。我們應(yīng)當(dāng)把數(shù)學(xué)當(dāng)作一種科學(xué)探索的過程（當(dāng)然，它是在教師的指導(dǎo)下進(jìn)行的），而不要把它當(dāng)成是一種語言、一種高度抽象的理論。應(yīng)當(dāng)努力促使學(xué)生形成自己對數(shù)學(xué)的理解，并能用自己的語言來表達(dá)這種理解，而不要只是追求所謂的精確性。因?yàn)樵趯W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，精確而沒有理解，理解但不精確的現(xiàn)象都不少見。通過死記硬背而一字不差地重述一個(gè)定理，在任何時(shí)候都不能與理解一個(gè)定理劃上等號。

總之，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要任務(wù)，而培養(yǎng)學(xué)生思維能力的方法是多種多樣的，我們只要根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況，通過各種手段，堅(jiān)持不懈，持之以恒，就必定會有所成效。

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