三角形的分類范文

導語：如何才能寫好一篇三角形的分類，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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對我來說感觸比較深的有以下幾個方面。

一、整體教程層次性強，各環節過渡直接到位，反映了教師具有強烈的目標意識和在課堂中能及時捕捉學生的信息資源。由于教師預設充分，點撥恰到好處，所以學生對新知識的掌握比較到位。

二、教師在教學中能根據教材固有的特點和學生的實際情況。通過觀摩、操作、比較、合作、自學的方法引導學生發現三角形的角和邊的特征，會給三角形進行分類，能理解掌握三角形種類的特征。三角形的分類有兩種不同的標準，可以用角的大小作為標準來分，還可以用邊作標準來分。教師始終以學生活動來完成比較抽象的分類方法的學習，這比較有利于學生知識的內化，也充分體現了以學生為主的教學理念。如按角分類、按邊分類、等環節都給學生創造了動手的機會，調動了學生的感知，讓學生獲得了最直接的經驗。

三、自學環節處理的非常有效，自學時機把握的好，自學環節設計的好，比如說：

1、要求明確具體，操作性強。

2、難易在度上適中。內容適合學生自學，學有所獲。

3、此環節很好的培養了學生的自學能力。

四、練習設計實施性強層次性、針對性、趣味性、多樣性為它融一體。鞏固和強化了本節課所要掌握的內容，特別是通過練習學生的所學的知識在疑惑處有了清晰和明了的認識。

五、板書設計，條理清晰，布局合理，體現整節課的主要內容。

幾個小建議：

1、要注意教學細節。如教態要自然大方，要把課堂當成是展示自己風采的地方，充滿自信。在教學過程中盡量避免出現冷場，避免口誤。

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【關 鍵 詞】 知識分類；視角；認知策略；教學設計

【作者簡介】 高勝霞，甘肅省定西市安定區李家堡中學教師。

中圖分類號：G633.64 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568 （2015） 25-0101-03

現代認知心理學認為，知識在人腦中的表征形式是不同的，根據表征的不同可以把知識分為陳述性知識（知道某事是什么）和程序性知識（知道如何做事）。陳述性知識主要以命題、命題網絡、圖式的形式來表征；程序性知識主要以產生式或產生式系統為表征形式。這種廣義的知識分類也適合數學知識的分類。孔凡哲在此基礎上對數學知識進行了分類：數學知識不僅有陳述性知識和程序性知識還應包括過程性知識。

這種知識分類體現了數學的一種動態局勢，當陳述性知識在知識運用過程中就會變為程序性知識。換句話說，程序性知識學習是以陳述性知識習得為基礎的，同時各種不同類型知識的學習存在顯著差異。加涅認為，不同知識類型或者說不同的學習目標具有不同的實施最佳學習條件和教學處方，教師在教學設計中要充分處理好各種知識的合理學習方式，促進知識的動態轉化，讓學生形成清晰的圖式和牢固的產生式系統并習得一定的認知策略。下面以《三角形的內角》為例說明知識分類理論指導下數學教學設計。

一、教學任務分析

《三角形的內角》一課在教材中的位置承前啟后，為多邊形內角和及三角形全等的推理證明起一定的奠基作用，是人教版八年級數學上冊的核心內容。這是一節以數學定理證明為重點的教學課。知識類型有陳述性知識、程序性知識和過程性知識。本節課教學任務是讓學生建立初步的數學思想方法和邏輯推理能力，通過三角形內角和定理證明的教學實踐，感受幾何證明的思想，體會輔助線在幾何問題解決中的橋梁作用。同時，引領學生體會數學中數形結合的思想。最后，進一步體會輔助線添加方法的多樣性，滲透“最優化”思想。

二、學生起點能力分析

“三角形的內角和是180°”這一結論，學生在四年級通過動手操作已經得出。而本學期學生已經學習了平行線的性質與判定、平角的知識，平移的知識，初步感受了幾何推理的結構。本節課是在此基礎上，證明這個結論成立的道理。同時引導學生回憶與180°有關的知識，想辦法將三角形的三個角拼成一個平角或同旁內角的形式，再利用所學的知識證明三角形內角定理，啟發學生正確添加輔助線并證明。

三、目標設計

知識與技能：會證明三角形內角和定理，會運用三角形的內角和定理進行簡單的幾何計算。

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從初一到初三涉及到三角形的問題很多，我把它分為五大類型：一是由于一般三角形的形狀不確定而進行的分類；二是由于等腰三角形的腰與底不確定而進行的分類；三是由于直角三角形的斜邊不確定而進行的分類；四是由于相似三角形的對應角（或邊）不確定而進行的分類。五是運動中三角形的分類.

一、 三角形的形狀不定需要分類討論

例1 在ABC中，∠B=25°，AD是BC上的高，并且AD2=BD·DC，則∠BCA的度數為 .

解析 因未指明三角形的形狀，故需分類討論.

如圖1，當ABC的高在形內AD2=BD·DC，得 ABD～CAD，進而可以證明ABC為直角三角形.

由∠B=25°.可知∠BAD=65°.所以∠BCA=∠BAD=65°.

如圖2，當高AD在形外時，此時ABC為鈍角三角形.

由AD2=BD·DC，得ABD～CAD

所以∠B=∠CAD=25°，∠BCA=∠CAD+∠ADC=25°+90°=115°

二、 等腰三角形的分類討論

a、 在等腰三角形中求邊：等腰三角形中，對給出的邊可能是腰，也可能是底邊，所以我們要進行分類討論.

例2 已知等腰三角形的一邊等于5，另一邊等于6，則它的周長等于 .

【練習】 若等腰三角形一腰上的中線分周長為9cm和12cm兩部分，求這個等腰三角形的底和腰的長.

簡析： 已知條件并沒有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，應有兩種情形.若設這個等腰三角形的腰長是xcm，底邊長為ycm，可得x+x=9，x+y=12，或x+x=12，x+y=9.解得x=6，y=9，或x=8，y=5.即當腰長是6cm時，底邊長是9cm；當腰長是8cm時，底邊長是5cm.

b、 在等腰三角形中求角：等腰三角形的一個角可能指底角，也可能指頂角，所以必須分情況討論.

例3 已知等腰三角形的一個內角為75°則其頂角為（ ）

A. 30° B. 75°

C. 105° D. 30°或75°

【練習】 1. 等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為45°，求這個等腰三角形的頂角的度數.

簡析： 依題意可畫出圖1和圖2兩種情形.圖1中頂角為45°，圖2中頂角為135°.

2. 在ABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為50°，則底角∠B= .

三、 直角三角形中，直角邊和斜邊不明確時需要分類討論

例4 已知x，y為直角三角形兩邊的長，滿足，則第三邊的長為 .

解析 由x2-4+=0，可得x2-4=0且y-5y+6=0

分別解這兩個方程，可得滿足條件的解

x=2y=2，或x=2y=3

由于x，y是直角邊長還是斜邊長沒有明確，因此需要分類討論.

當兩直角邊長分別為2，2時，斜邊長為=2；

當直角邊長為2，斜邊長為3時，另一直角邊的長為；

當一直角邊長為2，另一直角邊長為3時，斜邊長為.

綜上，第三邊的長為2或或。

四、 相似三角形的對應角（或邊）不確定而進行的分類

例5 如圖所示，在ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中點，過P點的直線交AB于點Q，若以A、P、Q為頂點的三角形和以A、B、C為頂點的三角形相似，則 的長為（ ）

A. 3 B. 3或

C. 3或 D.

解析 由于以A、P、Q為頂點的三角形和以A、B、C為頂點的三角形有一個公共角（∠A ），因此依據相似三角形的判定方法，過點 的直線 應有兩種作法：一是過點 作PQ ∥BC ，這樣根據相似三角形的性質可得=，即=，解得AQ=3；二是過點P作∠APQ=∠ABC，交邊AB于點Q，這時∠APQ：∠ABC，于是有 =，即，解得AQ=. 所以AQ的長為3或 ，故應選B.

五、 運動中三角形的分類

例6 如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，DC=5，AB=4 ，∠B=45°.動點M從B點出發沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動，動點N同時從C點出發沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動，設運動的時間為t秒.

（1） 求BC的長.

（2） 當MN∥AB時，求t的值.

（3） 試探究：t為何值時，MNC為等腰三角形.

解析 （3）分三種情況討論：

① 當NC=MC時，如圖③，即t=10-2t， t=10/3.

② 當MN=NC時，如圖④，過N作NEMC于E.

∠C=∠C，∠DHC=∠NEC=90°，NEC～DHC. NC：DC=EC∶HC，

即 t/5=5-t/3.t= 25/8.

③ 當MN=MC時，如圖⑤，過M作MFCN于F點.FC= 12NC= 12t.

∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，MFC～DHC. FC∶HC=MC∶DC，

即 12t/3=10-2t/5， t=60/17.

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單元總體目標：

1.認識三角形各部分的名稱、三角形的底與高、三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的內角和是 180 度等。

2.通過對比了解三角形的不同類型。

3.通過觀察、探究、操作的過程，認識三角形的特征及分類。

4.培養學生樂于探究、樂于實驗的科學精神，培養學生的合作交流和空間觀念。

本單元共用 6 課時完成教學

第一課時：認識三角形 例1、例2及課堂活動，練習九1-4

第二課時：認識三角形 例3課堂活動1題及練習十1-3

第三課時：認識三角形例4 課堂活動2題及練習十4-8題

第四課時：三角形的分類例1及課堂活動1題及練習十一1-4

第五課時：三角形的分類例2、3及課堂活動2-4題及練習十一5-8

第六課時：整理與復習 及練習

單元教學重點：三角形的特征及三角形的底與高。這是探究三角形邊的關系、三角形的內角和三角形面積計算等的基礎，因此是教學的重點。

單元教學難點：發現和體會”三角形任意兩邊之和大于第 3 邊“及”三角形的內角和是 180°。

第一課時

教學目標：1、通過觀察、折、畫認識三角形的特征和特性。

2、指出三角形邊、角、定點、會辨認出三角形的底和高。

教學例1：認識三角形的特征，用自己的語言說出什么的三角形。認識三角形的特性：三角形不容易變形的這種性質就是三角形的穩定性。

教學例2：認識三角形的底和高

1、認識底和高：檢查方法：拿一個銳角三角形。折痕的一端過三角形的頂點，另一端所指的邊被分為兩段，折后這兩段要重合。

2、三角尺畫三角形的高。

第二課時

教學目標：實驗操作中探索三角形3條邊之間的關系，通過操作了解“三角形兩邊之和大于第三邊”。

教學例3：探索三角形三條邊的關系。課前準備好不同長短的小棒或吸管，學生動手操作實驗，并完成實驗表格，在圍成的三角形中，兩邊之和與第3邊比較發現：三角形任意兩邊之和大于第三邊。

第三課時

教學目標：探索三角形內角和等于180°的過程。通過猜想、驗證了解“三角形內角和等于180°

教學例4：方法：1、通過量一量，加一加2、撕一撕，評一評等方法驗證三角形的內角和都是180°。

思考：三角形的內角和與三角形的大小有關系嗎？

第四課時

教學目標：知道三角形按內角的大小可分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。在操作中去認識各種類別的三角形及其特征。

教學過程：出示例1中的6個三角形。

提出要求：

（1）觀察每個三角形中3個角分別是什么角？（不易觀察的要用量角器度量）

（2）根據角的特點對這些三角形進行分類，并思考這樣分的依據。

（3）給同桌同學講一講，你是怎樣分的？為什么要這樣分？

教師：為什么這里說“有1個角是直角的三角形叫做直角三角形”，想一想，在一個三角形里面能不能有2個直角呢？在一個三角形里面能不能有2個鈍角呢？

第五課時

教學目標：了解等腰三角形、等邊三角形的特征。

教學：

1、將紅領巾或小彩旗對折，你有什么發現？

發現：（1）兩條邊相等。（2）兩個角相等。（3）是軸對稱圖形。

教師：是不是所有的三角形對折后都是這樣的呢？請拿出自己隨意剪的三角形，進行對折，看有沒有這些特征。

2、教學等腰三角形各部分的名稱。

3、探索等邊三角形的特征

出示例3 按要求剪三角形。

（1）將一張長方形紙對折。

（2）用量角器量30°的角。

（3）剪三角形。

（4）展開。

2、仔細觀察手中的三角形的角和邊，也可以動手折一折或用直尺和量角器量量，看有什么發現？

3、在小組里面交流自己的發現并說出你是怎樣發現的。

4、反饋：

（1）3條邊相等。

（2）3個角相等，都是60°。

（3）是軸對稱圖形。

（4）銳角三角形。

教師：像這種3條邊相等的三角形，我們給它取個名字叫做等邊三角形。

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教材簡析：

“三角形的分類”是“空間與圖形”領域內容的一部分，是在學生認識了直角、鈍角、銳角和三角形的特征基礎上展開學習的，教材分為兩個層次：一是三角形按角分類，分為銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形，并通過集合圖形象地揭示三種三角形之間的關系，并體現分類的不重復和不遺漏原則；二是三角形按邊分類，不等邊三角形和等腰三角形，等腰三角形里又包含等邊三角形。著重引導學生認識等腰三角形、等邊三角形邊和角的特征。

學情分析：

四年級的學生已經具備了一定的平面圖形的知識，而且是在學生認識了直角、鈍角、銳角和三角形的特性的基礎上開展學習的，三角形按角的特點分類比較直觀，學生容易理解。按邊的特點分類相對比較難一些，要讓學生通過度量邊的長度（或折）來引出概念。

設計理念：

課堂分為三個教學環節：一是談話導入，揭示課題；二是自主探究，合作交流；三是拓展練習，提高能力。自主學習的過程實際就是教學活動的過程，以活動促學習是本節的教學定位。在活動中給學生足夠的時間和空間，自由開放的探究數學知識的產生過程，逐步建立對三角形的角與邊特征的認識。通過測量、觀察、概括等多種形式的學習，力求讓學生真正動起來，充分展現了做中學，從而獲得對三角形邊、角特征的認識，培養創新的意識和能力。

教學目標：

1.使學生通過觀察、操作、發現三角形角和邊的特征，給三角形分類，理解并掌握各種三角形的特征。

2.經歷觀察與探索的過程，培養學生觀察分析、動手操作能力，進一步發展學生的空間觀念。

3.激發學生的主動參與意識、自我探索意識和創新精神，進一步感受三角形與日常生活的聯系。

教學重點：學會從不同角度給三角形分類，掌握各類三角形的特征。

教學難點：會按邊的特征給三角形進行分類。

教學準備：多媒體課件、三角尺、各種形狀的三角形若干個、表格。

教學過程：

一、談話導入，揭示課題

1.提出問題

師：這節課，老師帶來了7個三角形，在看到第7個三角形之前，請大家想一想：第7個三角形會跟前6個三角形有什么共同的地方？（都有三條邊、三個角）

請你再從這6個三角形里選1個跟7號三角形比一比看能發現有什么不同的地方？（角的大小，邊的長短都不同）

（設計意圖：復習有關三角形的知識，為下面探究新知做好鋪墊，創設問題情境，引出要探討的問題，激發學生學習的興趣。）

2.揭示課題

二、自主探究，合作交流

1.我們通過小組合作探究的方式來對三角形進行分類，請同學們聽清楚小組合作的要求。

小組合作要求：①每個小組選擇一個觀察角度（角的特征或者邊的特征）給三角形分類；②每個組員負責測量一個三角形的相關數據，并記錄在表格上，并根據數據的特點對三角形進行分類；③派代表向全班匯報分類情況。

2.小組成員分工合作，按照活動要求進行探究。（教師巡視）

（設計意圖：為學生創設交流的機會，通過小組觀察、測量、交流、討論活動，使學生的自主學習與合作交流有機的結合。）

3.全班交流，按角分類

（1）師：請小組匯報你們是怎么分的？為什么要這樣分？（按角分可以分為三類：①三個銳角；②一個直角，兩個銳角；③一個鈍角，兩個銳角）

師：你發現這三類三角形有沒有什么共同點？不同點呢？（相同點：都至少有兩個銳角。不同點：第三個角不同。）

（2）畫一畫：現在請你們在點子圖上任意畫一個三角形，并標上名稱。（生畫圖）

（設計意圖：在學生動手操作充分感知的基礎上，引導學生歸納出各種三角形的特征，培養學生的探究能力和歸納概括能力。）

4.全班交流，按邊分類

（1）師：剛才我們按角分把三角形分成了三類，其他小組有沒有用不同的方法進行分類呢？（生匯報）

（2）認識等腰三角形、等邊三角形及它們之間的關系。

師：等腰三角形除了兩腰相等，還有什么也相等？（折一折、比一比發現：兩個底角也相等）

認識等邊三角形，再折一折、比一比，看等邊三角形除了三條邊相等，還有什么特點？（三個角也相等；說明等邊三角形是特殊的等腰三角形）

（設計意圖：在探究的過程中滲透了等腰三角形與等邊三角形的關系，滲透出“異中求同，同中求異”的辯證思維觀念。）

（3）找一找，哪里有這兩種特殊的三角形。（學生舉例）

三、鞏固應用，暢談收獲

本節課的學習，你有什么收獲？

（設計意圖：通過課堂總結，提高學生的概括能力，培養學生學數學、用數學的意識。）

四、拓展延伸

三角形從角的角度觀察可以分成三類，從邊的角度也可以分成三類。如果既考慮角，又考慮邊，這個位置應該放什么三角形？

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問：何謂教學目標？一條規范的教學目標應包括哪些要素？

答：關于教學目標的定義，國內外教育專家的提法不盡相同，也因此導致當前教學目標設置亂象的現狀。目前比較公認的教學目標定義是：教學目標是預期學生通過各種學習活動獲得的全部學習結果。從這個定義可以析出：教學目標至少有三個基本要素――目標指向的對象；學習活動；學習結果。但描述學習活動需要說明學習的載體、活動的方式等。評價學習結果需要說明特定的限制和達到的程度。因此，根據教學目標的詳略其組成要素又有三要素說、四要素說、五要素說等。一般地，在不會引起誤解或多種解釋的前提下，目標指向的對象可以省略；由于獲得學習結果往往需要多項學習策略，為避免教學目標的復雜性表述學習活動一般不具體（甚至可以省略）。因此，一般地，一條教學目標包含4個要素：學習活動（策略性的，用行為動詞來界定）；學習結果（教學目的，用性能動詞來界定）；特定的限制（評價學習結果所需要的特定限制）；達到學習結果的程度（學習之后預期達到的最低表現水準）。從教學目標的組成要素可以看出：教學目標是教學目的的具體化――目的只是一般的意向或意圖，它只表達了“學什么”，但它沒有表達“怎樣學”和“學到什么程度”；目標不但表達了“學什么”，也表達了“怎樣學”和“學到什么程度”.

問：根據教學目標的定義，學習結果是教學目標的基本成分。怎樣確定學習結果？

答：先析出教材涉及的課程內容；再論證并解析獲得課程內容的認知過程及認知條件；然后按學習結果分類理論確定涉及的學習結果。其具體操作方法如下：

（1）析出教材涉及的課程內容。析出教材涉及的課程內容就是根據課程內容的含義從章節核心概念的概念體系中抽出本節課涉及的課程內容。例如，“認識三角形（第1課時）”涉及的課程內容有：三角形的產生方法及三角形與線段和三角形與生活中三角形的關系；三角形的概念（包括定義、組成要素和表示三角形的符號）及定義三角形的步驟和蘊涵的歸納思想與發現幾何圖形特征的經驗；三角形的“角角關系”及三角形的分類表示、三角形的“邊邊關系”及三條線段構成三角形的條件，及研究三角形性質的過程和蘊涵的數形結合思想、分類討論思想、符號表示思想等與從運算角度發現與提出問題和從逆命題角度發現和提出問題的經驗；用三角形的有關知識解決有代表性的問題及解題的過程和蘊涵的演繹思想等與判斷三條線段構成三角形的經驗等。內容之間的邏輯關系可用圖1表示.圖1“認識三角形（第1課時）”主要內容及其邏輯關系（2）論證并解析認知過程及認知條件。論證認知過程及認知條件就是運用學習任務分析理論，分析獲得主要課程內容（特別是概念、性質）的認知過程及認知所需要的必要條件和支持性條件。認知過程是指獲得有關課程內容的步驟。必要條件是學習中不可缺少的條件――學習新知識必須具備的先決條件；支持性條件是對學習起“催化劑”作用的條件――數學認知策略、數學思想方法、數學活動經驗、態度等。解析認知過程及認知條件就是說明認知過程和蘊涵的數學思想方法的價值。例如，獲得三角形概念的認知過程和認知所需要條件的分析結果可用圖2表示.圖2三角形概念學習分析結構圖從圖2可以看出：獲得三角形概念的基本步驟是：①用適當的方法產生特定的三角形或有代表性的三角形；②觀察特定或有代表性三角形的特征；③歸納或演繹三角形的本質特征；④用文字語言定義、用符號語言表示、說明組成要素等。獲得三角形概念的支持性條件是：①發現幾何圖形特征的經驗；②歸納思想（或演繹思想）；③定義幾何圖形的經驗。獲得三角形概念的必要條件是：三條線段拼接三角形的經驗，或生活中三角形到數學中三角形的抽象經驗。由于產生三角形有兩種可行的方法，所以選擇哪種方法需要價值分析：這第①種方法符合認知同化理論和幾何發展規律，并且暗示了數學中三角形與生活中三角形的關系，但教師演示學生觀察的方法學生思維含量不高，也容易導致學生“生活中三角形”與“數學中三角形”相混淆。這第②種方法符合認知同化理論和幾何發展規律，并且暗示了三角形的本質特征，也是畫三角形的基本方法。由此可見，采用線段拼接的方式產生三角形更能反映數學的本質。由于定義三角形的步驟和蘊涵的數學思想及發現三角形特征的數學活動經驗對學習其它幾何圖形有指導作用，觀察并歸納三角形的共同特征有能力發展點、個性和創新精神培養點，所以定義三角形的步驟和蘊涵的數學思想及數學活動經驗應列入課程內容，并成為教學目標的有機組成部分.

（3）按學習結果分類理論確定涉及的學習結果。一般地，全部學習結果包括知識、技能、情感態度與價值觀三個方面。《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011年版）》）把學習結果分為“結果性”學習成果和“過程性”學習成果兩類。“結果性”學習成果包括四種類型的知識（事實性知識、概念性知識、程序性知識、元認知知識）和四個層級的智慧技能（知識技能、理解概念、運用規則、解決問題）。“過程性”學習成果包括數學思考、問題解決、情感態度――在數學結果形成與應用過程中的數學抽象、數學推理、數學思維等；從數學角度發現和提出問題及分析和解決問題等；在反思學習過程和學習結果中，體會認知過程和蘊涵的數學思想，體驗解決問題方法的多樣性，體會數學的特點和了解數學的價值等；在數學活動的過程中，積極參與數學活動，有“認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質疑”的良好學習習慣等。例如，“認識三角形（第1課時）”的“結果性”學習成果有：事實性知識――三角形的名稱、組成要素，表示三角形的符號；概念性知識――三角形的概念，三角形三個內角之和等于180°和三角形任意兩邊之和大于第三邊等的性質，三條線段能組成三角形的條件；程序性知識――產生三角形的方法，定義三角形的步驟，研究三角形性質的方法，用有關知識解題的方法等；元認知知識――研究三角形的策略和蘊涵的數學思想及發現幾何關系和判斷給定三條線段能否構成三角形的經驗等。知識技能――用符號和字母表示三角形，在具體情境中識別三角形，用三角形的角角關系進行計算等；理解概念――三角形的分類表示，三角形與線段和三角形與生活中三角形的關系，用三條線段構成三角形的條件判斷給定三條線段能否構成三角形；運用規則――用定義幾何圖形的經驗定義三角形，用三角形的邊邊關系進行大小比較；解決問題――觀察基礎上歸納三角形的特征，用合情推理發現三角形的性質和用演繹推理說明三角形的性質，從運算的角度發現并提出三角形兩邊之差小于第三邊，從逆命題的角度發現并提出三條線段能構成三角形的條件，用三角形的有關性質解決簡單的實際問題。其“過程性”學習成果可能有：發現三角形特征和生成三角形性質中的個性化想法；反思三角形概念和性質形成過程中的個性化體驗（特別是定義的步驟和研究的方法及蘊涵的數學思想）；參與定義三角形活動和探索三角形性質中的個性化表現（積極參與討論并敢于發表觀點等）和對學習三角形意義的感觸等.

問：根據教學目標的定義，學習結果暗含認知要求。怎樣確定認知要求？

答：先解析課程內容的地位與作用；再查閱《課標（2011年版）》中學段目標和教學參考書設置的章節目標；然后結合學生現實確定學習結果的認知要求。其具體操作方法如下：

（1）解析課程內容的地位與作用。解析課程內容的地位就是說明研究對象在數學體系中的位置、研究內容在解決數學內部和外部問題中的作用、研究方法對進一步認識數學的影響。解析課程內容的作用就是說明教學對學生理解數學地認識問題和解決問題的方法的作用、蘊含在知識背后的思想方法和數學活動經驗等對發展學生智力的作用、數學活動過程對發展學生能力和個性的作用。例如，“認識三角形（第1課時）”，其地位是：三角形是基本圖形，是平面幾何的重要研究對象；日常生活中經常采用三角形的結構，利用三角形的性質能解決許多數學內部和外部中的問題；研究三角形的“基本套路”、定義三角形的步驟和研究三角形性質的方法對研究其他幾何圖形有示范作用。其的作用有：通過教學能使學生理解數學地認識幾何問題的思維模式和解決問題的方法；其蘊涵的數學思想方法和數學活動經驗對發展學生的智力有積極的影響；其蘊涵的理性思維過程對發展學生的能力和個性也有積極的影響.

（2）查閱《課標（2011年版）》中學段目標和教學參考書設置的章節目標。《課標（2011年版）》體現了國家對義務教育階段數學課程的基本規范和質量要求，是國家管理和評價義務教育數學課程的基礎，也是教材編寫、教學、評估和考試命題的依據。因此，所有教學活動都應該而且必須基于《課標（2011年版）》展開。教學參考書設置的章節目標是《課標（2011年版）》學段目標的下位目標，是編者根據《課標（2011年版）》學段目標按“知識與技能+認知過程”兩個維度進行細化的結果，在設置教學目標時有一定的參考價值。例如，“認識三角形”在《課標（2011年版）》中的學段目標是：理解三角形及其內角、外角、中線、高線、角平分線等概念，了解三角形的穩定性。探索并證明三角形的內角和定理；掌握它的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊。“認識三角形”在教學參考書設置的章節目標是：體驗并理解三角形概念；經歷并掌握三角形的表示方法；體驗并理解三角形兩邊之和大于第三邊；探索并掌握三角形三個內角的和等于180°及其推論；探索并運用三角形的邊和角的性質解簡單的幾何問題；經歷并了解三角形的分類.

（3）結合學生的現實確定學習結果的認知要求。學生的現實是指學生已有的知識與經驗狀況，它是貫徹“個性化”和“針對性”思想的前提。如果學生數學基礎較好，則其教學要求可以比《課標（2011年版）》的要求適當提高；如果學生數學基礎較差，則其教學要求不能隨意提高。例如，“認識三角形（第1課時）”，盡管其學習結果有較高的價值并且學生在小學階段對三角形已有一些感性認識，但《課標（2011年版）》對“認識三角形”的教學要求已經比較高了，對大部分學生來說只要達到《課標（2011年版）》的要求即可。然而，盡管《課標（2011年版）》給出了刻畫學習結果的性能動詞，但這些性能動詞仍然比較概括、抽象，不能滿足準確刻畫學習結果的需要。例如，“了解”、“理解”屬于內隱的心理活動動詞，應將其轉換為相應的外顯動詞以滿足準確刻畫學習結果的需要。一般地，了解對應的性能動詞有：能（陳述、再認、區分、識別、告訴、界定等）――了解所要解決的是“知”與“不知”的問題，即只要求“知其然”，知道“是什么”；理解對應的性能動詞有：能（說明、闡明、舉例、描述、解釋、判斷、轉換、表示、分類、辯護、領會等）――理解所要解決的是“懂”的問題，即要求“知其所以然”，知道“為什么”；掌握對應的性能動詞有：會（表示、計算、推理、畫圖、操作、測量、執行、演示等）――掌握所要解決的是“會”與“不會”的問題（具有一定的方法和步驟）；運用對應的性能動詞有：會（解釋、判斷、運算、推理、論證、生成等）――運用所要解決的是“熟”與“不熟”和“活”與“不活”的問題（需要綜合運用有關知識，選擇或創造適當的方法解決問題）。例如，“理解三角形的概念”可以具體分解為：能結合圖形說出三角形的組成要素與相關要素，能陳述三角形的特征和三角形與線段和三角形與生活中三角形的關系，會用文字、符號和字母表示三角形，會用三角形的定義進行判斷與推理，能說出定義三角形的步驟和體會蘊涵的歸納思想等.

問：根據教學目標的定義，學習活動是教學目標的組成要素。怎樣選擇活動方式？

答：一般地，學習有這樣一些基本的行為方式：①視，即看、觀察；②聽，即傾聽；③讀，包括有外部語言的讀和沒有外部語言的讀；④做，即動手操作，包括列表、排序、畫圖、測量、計算、解答、化簡、證明等；⑤思，即思考、思辨、分析、比較、抽象、概括、綜合、演繹、歸納、類比、判斷、推斷等；⑥議，包括說、論、評，即描述、論述、討論、交流等，總之是口頭的表達。《課標（2011年版）》根據數學學科的特點將數學活動概括成有層次的三種形式：①“經歷……過程”。其活動的內容是借助已有的知識與經驗從數學角度認識與研究對象有關的“生活題材”或“數學題材”；其活動的形式主要是有指導地“視”、“聽”、“讀”、“做”等；其活動的目的是：從“生活題材”或“數學題材”中抽象出研究對象，并獲得對象的一些感性認識。②“參與……活動”。其活動的內容是借助認知同化理論認識或驗證對象的特征；其活動的形式主要是主動地“視”、“做”、“思”等；其活動的目的是：初步認識對象的特征及認識對象特征的一些經驗。③“探索……關系”。其活動的內容是運用數學推理方法研究對象的特征、性質，或數學規律、數學方法、數學問題、數學結論等；其活動的形式主要是獨立或與他人合作進行“視”、“做”、“思”、“議”等；其活動的目的是：理解或提出問題，尋求解決問題的思路，發現對象的特征及其與相關對象的區別和聯系，獲得一定的理性認識。這三種數學活動方式分別用行為動詞“經歷”、“參與”、“探索”來界定。選擇活動方式就是依據“知識與技能”的地位與作用和獲得“知識與技能”的認知過程和蘊涵的數學思想方法等的價值，按《課標（2011年版）》的觀點選擇合適的數學活動方式以落實全面、和諧發展的教學目標。例如，由于定義三角形的步驟和蘊涵的數學思想對認識其它幾何圖形有指導作用，觀察并歸納三角形的特征有能力發展點、個性和創新精神培養點，所以“三角形概念”的教學應選擇學生參與定義三角形活動的數學活動方式.

問：根據教學目標的定義，規范的教學目標需要對學習結果附加特定的限制和說明表現的程度。怎樣附加特定的限制和說明表現的程度？

答：對學習結果附加特定的限制和說明表現的程度是滿足教學評價的需要。表述評價學習結果所需要的特定限制有四種類型：一是關于使用輔助手段，如“可以帶計算器”或“允許上網查閱”；二是提供信息或提示，如“類比發現三角形性質的經驗，能給出平行四邊形的兩條性質”等；三是時間的限制，如“在5分鐘內，能……”等；四是完成行為的情境，如“在課堂討論時，能敘述……的要點”。目標的表現程度是指學生學習之后預期達到的最低表現水準，它只是說明目標所指向的這一群學生最起碼達到的標準，而不代表所有學生真正獲得的真實的教育結果。刻畫行為表現程度可用多種方式來表達所有學生的共同程度。如練習中做對題目的數量（如演示10道計算題至少對8題）；連續正確題目的數量或者連續的無誤行為；以一定精確水平的完成（如正確地、精確地、準確地、正確率達80%以上等）；以一定熟練水平的完成（如熟練地、自然地等）；…….

問：表述教學目標有哪些原則？怎樣按規范表述教學目標？

答：表述教學目標有這樣一些原則：①目標應陳述預期學生學習的結果，即目標的主體是學生而不是教師。②目標陳述應有助于“導學、導教、導測評”。“導學”就是目標能明確告訴學生，通過學習，他應該學會做什么；“導教”就是目標應暗含要教會學生哪些知識與技能及認知策略等；“導測評”就是目標應暗含觀察學生學習結果的條件。③目標中應暗含適當的分類框架。例如，“認識三角形（第1課時）”，按這樣的表述原則及教學目標的定義，其教學目標可以表述為：①經歷產生與感悟三角形的過程，能說出兩種產生三角形的方法，能感受三角形具有豐富的現實情景。②參與定義三角形的活動，能陳述三角形的本質特征和定義三角形的步驟，能結合圖形指出三角形的邊、內角等，會用符號和字母表示三角形。③探索三角形的性質，能發現并提出“角角關系”和“邊邊關系”并能說明結論成立的理由，能發現并提出三條線段能構成三角形的條件，會對三角形進行合理分類，能感受蘊涵的數學思想和從運算角度思考、從逆命題角度思考分別是發現并提出幾何命題的方法；④參與嘗試有關知識應用的活動，能在具體情境中識別三角形，能用三角形的有關性質進行簡單的計算、比較大小等，能用三條線段構成三角形的條件判斷給定三條線段能否構成三角形.

這個教學目標體現了教學的結構、數學活動的類型、具體的任務和要求等，并且暗含著以教學順序作為教學目標的分類標準，能起“導教”、“導學”和“導測評”的作用.

以上幾個問題雖不十分系統，回答可能也不全面。但對幫助教師理解教學目標和掌握設置教學目標的方法有積極作用，對消除當前教學決策隨意性和盲目性的現象也有積極影響.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部。義務教育數學課程標準（2011年版）[S]。北京：北京師范大學出版社，2012.

篇7

教師普遍對復習課教學的要求比較清晰：一是要把零碎的知識點進行梳理，使之系統化;二是要通過查缺補漏，鞏固所學知識，使所學知識更扎實;三是在學有余力的基礎上再獲得一定的提升。但在具體實施時，復習課往往容易上成老師一人的“獨角戲”：苦口婆心地進行錯例的分析;枯燥反復地唆、強調;機械重復地進行技能的訓練。一節課下來，老師累，學生也累，無疑，這種“炒冷飯”的課堂缺少生氣。那么如何改變這種死氣沉沉的課堂面貌呢？我認為應為復習課增添“三股活力”：一是創設趣味情境，增添復習的活力;二是學生參與體驗活動，凸顯梳理的能力;三是滲透思想方法，激發學習的潛力。下面結合我上《整理復習：三角形》的實踐研究，談一點自己的思考。

這節復習課，我改變了以往固有的復習模式，創設了學生感興趣的三角形小精靈形象，以它為主線，串聯復習內容，而內容設計又建立在學生活動的基礎上，引導學生“玩中學，樂中悟”。

一、注入復習的動力

“沒有興趣的學習，無異于一種苦役。”興趣是最好的老師，也是高效復習的關鍵。《整理復習：三角形》一課伊始，我把俏皮可愛的三角形小精靈引入課堂。

如，教學片段：

師：這節復習課，我們先請出三角形家族中的幾位成員。是誰呢？大家看大屏幕一起說。（逐個出示后，立即隱去卡通形象，留下圖形）

生：鈍角三角形、銳角三角形、 直角三角形。

師：你們是怎樣快速判斷它們的類型呢？

生：我們只要看最大的角是什么角就知道是什么三角形。

伴隨悅耳的音樂，學生感到親切，同時復習了各種三角形的特征以及如何判斷三角形類別等基礎知識，充分調動了學生復習的興趣，也為后面的整理復習做好鋪墊，復習的效果便獲得了自然的增值。

《整理復習：三角形》一課，主要復習三角形的有關知識，包括三角形的特征、三角形的特性、三角形的分類等內容。涉及的知識點多而雜，如果只是一題接一題簡單重復地練習，課堂將枯燥無味，學生將沉悶無聊。那么如何活躍課堂氣氛，激發學生的復習熱情呢？課后，我設計了有趣味、有挑戰性的“寶藏在哪里”的尋寶活動。

寶藏在三角形ABC區域內。

從A點掃射，它在距離BC邊最短的線段上;從B點掃射，它在距離AC邊最短的線段上。

學生根據提供的信息，興趣盎然地投入緊張的“尋寶”活動， 課堂氣氛先是安靜緊張，進而激動愉悅，孩子們在興奮中進一步掌握了畫三角形高的方法和要點。

課堂實踐告訴我們，創設趣味的情境在復習課上尤為重要，它能激發、提高學生的學習熱情，又能較好地回顧和掌握所學的知識。

二、凸顯梳理的能力

整理、溝通，使知識條理化、系統化，形成良好的知識網絡，這是復習課最鮮明的特征。復習本身就是一個“串點成線”的過程。《整理復習：三角形》一課，我整合本單元學過的知識，將其分成兩大塊內容，一是從復習“三角形的分類”入手，引導學生在活動中進一步理解三角形不同的分類方法及各種三角形之間的關系;二是以“三角形有什么共同特點”為核心問題，引發學生回顧梳理，串起關于三角形邊、角的共同特征，以此完善三角形的認知結構。理清了知識的脈絡，那么如何以學生為主體進行知識梳理，將復習課上得活潑些呢？

1. 參與體驗，理清關系

師：這天，三角形家族蓋好了三棟大房子，你們看，分別是（生：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形）的家。

師：這是按“角”分類。

師：同學們，你們每人手上都有一個三角形，可以住進哪棟房子呢？

師：你說說看。（一位學生上臺來，手拿三角形舉高給大家看）

師：其他的同學呢？同桌互相說一說。

師：都找到進哪棟房子了嗎？如果再給你一些三角形，也還能找到相應的房子住進去嗎？

生（齊答）：都能找到。

師：是的，因為三角形按角分，只能分成三類。

師：如果把所有的三角形看做一個整體，怎樣用集合圖來表示這三種三角形的關系呢？

根據學生回答，出示集合圖。

每個學生通過手中的三角形卡片，自主參與判斷選擇可以住進哪棟房子，結合活動和集合圖，學生進一步理解了三角形的分類，三種三角形之間的關系。這些活動都能讓學生動起來，在活潑的氛圍中，激發學生的思維，他們在玩中學會了整理三角形的知識，避免了復習的枯燥。

2. 溝通聯系，適度拓展

三角形按邊分類對學生來說難一些，雖然教材不強調按邊分分成幾類，但我考慮到，作為一堂復習課，有必要幫助學生形成一個完整的認知結構，理清三角形邊與角之間的內在關系，于是參考了蘇教版教材《三角形按邊分》的編排，課中以介紹的方式，形象地再現等腰三角形、等邊三角形的關系以及按邊分的集合圖。從課堂教學的實施情況來看，這樣的處理，適度拓展，恰到好處，較好地實現分層教學。如下片段：

師：看！這里還有一棟房子，是等腰三角形的家。你們看看，哪些三角形精靈可以住進去呢？（出示后，立即隱去卡通形象，留下五個三角形。根據學生回答，在課件上分別移動四個三角形精靈進入等腰三角形的家）

師：在四個等腰三角形中，你覺得哪個三角形最特殊呢？

師：你們知道嗎？等邊三角形是特殊的等腰三角形。我們可以把所有三角形看作一個整體，按邊分，我們認識了兩種特殊的三角形：等腰三角形和等邊三角形。（用集合圖表示出來）

3. 核心問題，串聯知識

《三角形》這單元知識點較多，且較為零碎。如何將這些零散的知識點連綴起來，形成知識網絡呢？本節復習課，我引導同學們思考，手中這么多的三角形，盡管形狀、大小可能不相同，但是它們都有什么共同特點呢？請同學們以四人小組為單位，回顧一下三角形有哪些共同特點。

這樣，以“三角形都有什么共同特點”為核心問題，設計學習單，學生通過小組間的相互啟發、相互討論合作完成，將一個個似乎不相關的知識點串聯起來，自主建構了“三角形”的相關知識，進而形成一個完整的知識系統，使每一個學生在原有的認識基礎上得到提高和發展。

三、激發學習的潛力

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“數學知識的教學，應注重學生對所學知識的理解，揭示知識的數學本質及其體現的數學思想，幫助學生理清相關知識之間的區別與聯系。”

復習課中，我常常引導學生回顧反思，提出“回顧剛才的幾種分析或者解法，你能總結出解決這個問題的策略嗎？”“我們是采用什么方法來解決問題的？”等問題引導學生對自己的思考分析過程進行回顧與思考，滲透思想方法，完成探究教學。

1. 舉出反例，澄清模糊

根據平時收集的學生錯例，發現孩子綜合考慮三角形的邊和角時還較為混沌，甚至出現錯誤。如何幫助學生分析梳理呢？我把課堂交給學生，組織學生質疑、釋疑，自己解決還有疑惑的問題。如：“等腰三角形一定是銳角三角形”是個典型錯例，如何使學生加強并形成清晰的認識呢？如果僅僅停留在口頭的分析上是不夠的，分析過后很快又模糊不清。課中，我引導學生進行反駁，有的學生會利用手中的直角三角形或鈍角三角形反駁;有的學生用舉反例的方法反駁，一副三角板其中一個就是等腰直角三角形，我們戴的紅領巾就是一個等腰鈍角三角形，所以說，等腰三角形還可能是直角三角形、鈍角三角形，有的同學補充，只要兩邊相等的三角形就是等腰三角形。它與角的大小無關。看！我手中的三角形是這樣的（舉起手中的鈍角等腰三角形卡片展示），我同桌的三角形又是這樣的（直角等腰三角形）。結合學生舉反例的證明方法，學生及時總結：“要證明一個結論是不是成立時，只要找出一個實例來說明這個結論不正確就可以了。”我適時補充：“這種方法是舉反例的證明方法。”這樣，舉反例的證明方法就會在學生們的頭腦中深深地留下了印象。

2. 不同方法，證明釋疑

針對一部分學生就等邊三角形從角的角度觀察一定是銳角三角形的模糊認識，我創設了一個矛盾沖突：“一個三角形，既是等邊三角形，又是鈍角三角形。”

老師話音剛落，學生之間立即展開了一場小小的辯論，孩子此時的學習熱情高漲，分析與說理也精彩紛呈。

生1：等邊三角形三個角都相等所以每個角都是60度，是銳角三角形，故等邊三角形不可能是鈍角三角形。

生2：我們知道，每個三角形至少都有兩個銳角，而等邊三角形的三個角都是相等，那么第三個角也應該是銳角，三個角都是銳角的三角形一定是銳角三角形了，不可能出現其他情況。這位同學還邊說邊寫，到黑板前給大家呈現了他的分析推理過程。

聽著分析的理由，看著推理的過程，大家都為生2的奇思妙想所折服。我也不禁贊許：“上面兩位同學根據等邊三角形的多個特征結合起來推理，運用推理的思想方法來證明這個結論是否正確，真是厲害！”

生3：假設等邊三角形有一個角是鈍角，鈍角大于90度，那么等邊三角形的三個內角都大于270度了，絕對不可能！所以，有鈍角的等邊三角形是不存在的……

在復習課里，引導學生應用舉反例、假設法等思想方法多角度思考問題，學生思路逐步清晰，思維變得深刻，對知識的理解越辯越清、越辯越明。不僅進一步溝通、理清了三角形邊和角的關系，還向學生滲透了比知識更為重要的方法。

篇8

教學時教師要向學生強調：定義中有兩個條件1、三條線段不在同一條直線上。2、三條線段首尾順次相接，缺一不可。如果缺少第一個條件即三條線段首尾順次相接所組成的圖形是三角形。可畫圖讓學生觀察。 圖中三條線段AB、BC、CA首尾順次相接，但不構成三角形。如果缺少第二個條件即由不在同一條直線上的三條線段，也不一定構成三角形。 讓學生觀察圖形明白顯然也不構成三角形。這樣學生對三角形的定義就有了更加明晰的認識。

二、在三角形的分類時，學生常把等腰三角形和等邊三角形看成獨立的兩類。教學時教

師不妨采用欲擒故縱的方法，將其分為三類，造成認知沖突，然后緊扣等腰三角形定義，只要求兩邊相等即可，沒說明第三條邊是否一定相等或不等，從而強化等邊三角形屬于等腰三角形的認識，是底邊和腰相等的等腰三角形，使學生回到二分法的軌道上，從而突破難點。緊接著可用圖形進一步強化這種認識。

三、變式訓練，加深理解

例1有下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）

（A）7cm，4cm，3cm （B）8cm，4cm，3cm

（C）8cm，4cm，4cm （D）8cm，8cm，4cm

1、由學生作答后，教師故意選錯，說（B）可以，造成新的思維熱點，在辯論中活躍學生的思維，突出任意“兩邊和大于第三邊”，使學生對定理的理解進一步升華。

2、提問：是不是判斷三條線段能不能組成三角形都要寫出三個不等式？有沒有簡便的方法？讓學生知道掌握原理還不夠，還應探索方法，直到具有操作性為止。從而得出方法：檢查較小兩邊的和是否大于第三邊。

例2對課本中的例題進行改造，設置梯度，讓學生易于接受分類的數學思想方法。

一個等腰三角形的周長為18cm。

（1）已知底邊長是4cm，求腰長。

（2）已知腰長是4cm，求底邊長。

（3）已知其中一邊長4cm，求其他兩邊長。

（4）已知腰長是底邊長的2倍，求各邊長。

（5）已知底長是腰長的2倍，求各邊長。

（6）已知一邊長是另一邊長的2倍，求各邊長。

其中的（2）可以先讓學生板演，嘗試錯誤，造成思維反差，再有不同意見的學生闡述自己的觀點，使學生有恍然大悟之感，從而使學生記住：求三角形邊長問題，一定要考慮三邊關系，不符合的要舍去。（3）（6）這種題目條件不明確的，可以讓學生找出（3）的解答與（1）、（2）之間的關系，（6）的解答與（4）（5）的關系。

使學生明白對此類題目：需要分類討論，以培養學生思維的嚴密性和全面性。 轉貼于

課后練習：1、等腰三角形的兩邊長為5cm、9cm，求第三邊的長。

篇9

例1 如圖1所示，AA1∥BA2，求∠A1-∠B1+∠A2.

【分析】本題對∠A1、∠A2、∠B1的大小并沒有給出特定的數值，因此，答案顯然與所給的3個角的大小無關，也就是說，不管∠A1，∠A2，∠B1的大小如何，答案應是確定的.我們從直觀圖形入手，有理由猜想答案大概是0，即∠A1+∠A2=∠B1.要說明兩角的和等于第三個角，通常可以通過添加輔助線把較大角分成兩個較小角，首先使分出的一個角等于∠A1，這可以通過添加平行線實現，再說明余下的一個角等于∠A2即可.

【解答】如圖1，過B1作B1E∥AA1，得∠1=∠A1. 又因為AA1∥BA2，所以B1E∥BA2，所以∠2=∠A2. 所以∠A1B1A2=∠1+∠2=∠A1+∠A2，即∠A1-∠A1B1A2+∠A2=0.

【點評】（1） 當已知與未知的轉化不明顯時，常常通過作輔助線的方法加以解決，過一點作已知直線的平行線是解決平行線問題時常用的作輔助線的方法；（2） 從上面的解題過程可以看出，這個問題的實質在于已知條件AA1∥BA2，A1B1、B1A2可以看作連接A1、A2之間的折線段，當連接A1、A2之間的折線段增加到4條時，如圖2，仍然有結果∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2（即各向右凸出的角的和=各向左凸出的角的和），即∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0.

進一步可推廣為∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+…-∠Bn-1+∠An=0，這時如圖3，連接A1、An之間的折線段共有2（n-1）段A1B1，B1A2，…，Bn-1An（當然，仍要保持AA1∥BAn） .

【推廣】有些簡單的問題，如果抓住了問題的本質，那么，在本質不變的情況下，可以將問題推廣到復雜的情況，這是一種提升自我思考能力的方法.

此題還可以進行如下變化：① AA1∥BA2這個條件不變，如果點B1向右移動到如圖4的位置，那么∠A1、∠A2、∠B1之間又有怎樣的關系呢？② AA1∥BA2這個條件不變，點B1向上移動到如圖5的位置，那么∠A1、∠A2、∠B1之間又有怎樣的關系呢？相信同學們可自行解答.

例2 在ABC中，高BD和CE所在直線相交于O點，若ABC不是直角三角形，且∠A=60°，求∠BOC的度數.

【分析】因三角形的高不一定在三角形內部，又ABC不是直角三角形，所以ABC的形狀應分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況討論.

【解答】（1） 如圖6，當ABC是銳角三角形時，高BD和CE所在直線相交于三角形內的O點，∠BOE=∠DOC=90°-（90°-∠A）=60°，所以∠BOC=180°-∠BOE=120°.

（2） 如圖7，當ABC是鈍角三角形時，高BD和CE所在直線相交于三角形外的O點，此時∠A與∠O分別是對頂角∠ACE與∠DCO的余角，由余角的性質可知，∠BOC=∠A=60°.

綜上所述，∠BOC的度數是120°或60°.

【點評】（1） 解圖形形狀不唯一、幾何圖形位置關系不確定或與分類概念相關的問題時，常常用到分類討論法；（2） 中線、高、角平分線是三角形中的三條重要線段，從它們所處的位置看，高與中線、角平分線不一樣，中線、角平分線都交于三角形內一點，而高的位置隨著三角形形狀的變化而變化：銳角三角形三條高交于三角形內一點，直角三角形三條高交于直角頂點，鈍角三角形三條高所在直線交于三角形外一點，今后研究三角形高的問題時都要注意符合題設條件的圖形的多樣性.

例3 如圖8，將紙片ABC沿著DE折疊壓平，則（ ）.

A. ∠A=∠1+∠2 B. ∠A=■（∠1+∠2）

C. ∠A=■（∠1+∠2） D. ∠A=■（∠1+∠2）

【分析】折疊中含有很豐富的相等的量，因此在折疊的動態變化中，尋找不變關系是解題的關鍵.在此題中，由三角形的內角和定理可知，不變關系是∠B+∠C=∠ADE+∠AED，在四邊形BCED中，未知的量減少了，利用四邊形的內角和是360°建立方程，就能夠得到問題的答案.

【解答】由三角形內角和定理可知：∠A=180°-（∠ADE+∠AED），∠A=180°-（∠B+∠C），所以∠B+∠C=∠ADE+∠AED.

在四邊形BCED中，（∠B+∠C）+（∠1+∠2）+（∠ADE+∠AED）=360°，所以（180°-∠A）+（∠1+∠2）+（180°-∠A）=360°，即∠A=■（∠1+∠2），故選B.

【點評】（1） 折疊類問題是近幾年中考的熱門考題，通常把某個圖形按給定的條件折疊，通過折疊前后圖形變換的相互關系來命題.折疊類問題立意新穎，變幻巧妙，能有效地培養同學們的識圖能力及靈活運用數學知識解決問題的能力.（2） 此題是用代數法解幾何計算問題，這種方法的基本思路是：引入未知數，運用圖形性質建立方程或不等式，把問題轉化為解方程或解不等式，因此這種方法也稱為“方程思想”.如圖9，把上題中的三角形紙片改成四邊形紙片ABCD，你能否用上面的方法找到∠A、∠D與∠1、∠2的關系？請你動手試試看.

例4 已知ABC中，三邊長a、b、c都是整數且滿足a>b>c，a=10，那么滿足條件的三角形共有多少個？

【分析】這是一道典型的幾何類計數問題，如果一個個三角形去列舉，不僅麻煩而且容易重復或遺漏，特別地，當a的取值很大時，列舉根本不可能實現，因此解決此類問題通常需要分類討論，為了不重復、不遺漏，還可以采用列表法.

解：由三角形的三邊關系知b+c>a，因為b>c，a=10，可知b>5，又因為b

因此，滿足條件的三角形共有1+3+5+7=16（個） .

篇10

    比較是認識事物、澄清概念的好辦法。在復習中運用比較的方法，可分清概念間的共性

和個性，把握知識 間的聯系和區別，加深對概念的運用。如復習“三角形”部分可以這樣

進行：

    1.指導學生閱讀課本。

    讓學生根據學過的知識，通過寫、填、畫完成教材規定的要求。這個過程是學生自己動

腦動手系統整理和 復習的過程，可以加深對三角形概念的認識。

    2.指導學生對比區別。

    （1）出示下表： 名稱 銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形 圖形 特征 三個角都是銳

角 一個角是直角 一個角是鈍角

    （2）讓學生畫出表中的三種圖形，提問：

    ①三角形最少有幾個角是銳角？

    ②為什么直角三角形中只能有一個直角？鈍角三角形只能有一個鈍角？

    ③在直角三角形中兩銳角與第三個角的關系怎樣？

    經過對比，學生明確了3類三角形的區別和特征。 這時學生會提出疑問：“等腰三角形、

等邊三角形，為 什么不歸納到銳角三角形中呢？”教師應及時指出：“分類要有確定的標準，

表中的三角形是以角為標準來分 類的，等腰三角形和等邊三角形是以邊為標準來分類的。”

同時引導學生討論：“等腰三角形、等邊三角形是 不是銳角三角形？”學生根據這兩類三角

形的特征很快會弄清等邊三角形一定是銳角三角形，而等腰三角形可 以是銳角三角形，也

可以是鈍角三角形或直角三角形。

    3.指導學生比較溝通。

    在學生明確了三角形的共性的基礎上，為了溝通三角形的底、高與它的面積間的本質聯

系，可設計下面一 組練習：

    附圖{圖}

    說出上圖各三角形面積的關系（單位：厘米）

    在這一組練習中，學生感受到：三角形的形狀在不斷地變化：銳角三角形直角三角形

鈍角三角形等 腰三角形，但底和高并沒有改變，所以各三角形的面積都相等。通過比

較中的復習，學生會對概念理解更清晰 ，形成比較完整的認知結構。

    二、形成網絡

    在復習四邊形時，教師可首先給出正方形圖形，引導學生觀察：如果將正方形的一組對

邊延長一段（等長 ），得到什么樣的圖形？學生會很快地回答是長方形。然后教師又拿出一

個用木條釘的長方形圖形，讓一個學 生在長方形的對角一拉（讓學生注意長方形角度的變

化），得到一個新的圖形——平行四邊形。經過分析演變 過程，學生清楚地認識到：正方形

屬于長方形的范疇，是特殊的長方形，正方形、長方形又都屬于平行四邊形 的范疇，都是

特殊的平行四邊形。接著再讓學生實際操作，截開平行四邊形的一條對角線，得出兩個三角

形。 再讓學生觀察得出：如果將三角形一腰平移，可得到梯形。

    附圖{圖}

    在學生系統了解以上平面圖形是怎樣得出的基礎上，引導學生分別分析每個圖形的特

點、對稱性、計算公 式以及各種圖形之間的聯系與區別。特別要搞清：平面四邊圖形中，

平行四邊形是原理性知識，正方形、長方 形因為是特殊的平行四邊形，所以它們的面積都

可以歸結為“底乘以高”；三角形、梯形都是平行四邊形的一 半（當梯形的上底為零時，就

是三角形），它們的面積公式都可歸結為“底乘以高除以2”。 學生掌握了這一 規律，學習

起來就會覺得輕松，有興趣，學習能力也會大大提高。

    表格式也是歸類梳理形成網絡的好辦法，下面的4 種表格涵蓋了第八冊幾何初步知識

的主要內容。 名稱 直線 射線 線段 垂線 平行線 圖形 特征 名稱 角 銳角 鈍角 直角 平

角 周角 圖形 特征 名稱 銳角 鈍角 直角 等腰 等邊

    三角形 三角形 三角形 三角形 三角形 圖形 特征 名稱 三角形 長方形 正方形 平行

四邊形 梯形 圖形 面積公式

    把知識表格化、條理化、系統化，便于運用和記憶。

    三、深化提高

    在復習整理中要提高學生綜合運用所學幾何知識解決問題的能力，培養學生的分析、綜

合、判斷、推理等 思維能力，在運用中加深對所學概念、公式的理解。

    1.例如：在復習角、三角形內角和等知識時，設計這樣的復習題：

    ①三角形的內角和是（ ）度。

    ②∠1是（ ）度。（圖一）

    ③等腰三角一底角等于55°，則頂角∠1是（ ）度。 （圖二）

    ④圖中三角形是等邊三角形，那么∠1＝（ ）度。（圖三）

    附圖{圖}

    上面幾道題的水平是不同的。第一題，只要記住三角形的內角和是180°就行了，屬識

記水平。第二題， 學生只要運用三角形內角和的知識進行簡要推理，就可求得∠1的度數。

屬于簡單運用水平。第三、 四兩題不 但要求學生掌握三角形內角和的知識，還要使其掌握

等腰三角形兩底角相等、等邊三角形三個內角都相等、一 平角為180°等， 屬綜合應用水

平。

    2.計算下圖的周長。（單位：厘米）

    附圖{圖}

    此題要求學生能把與底6厘米平行的階梯式的各線段向上移， 把與高6厘米平行的階

梯各線段向右移，從而 看出這個圖的周長與邊長6厘米的正方形的周長相等。

    3.求下圖陰影部分的面積。（單位：厘米）

    附圖{圖}

    解答此題，先要看出這是個什么樣的圖形。乍一看，它像個平行四邊形，但細一分析，

圖形的兩底分別是 2厘米與3厘米，所以這是個梯形，高為3厘米，陰影部分的面積是（2

＋3）×3÷2＝7.5（平方厘米）。

    4.由于多數組合圖形都可以用不同的方法解答，在復習整理過程中要加強一題多解的訓

練，培養學生多渠 道、多角度思考問題的能力。求下圖的面積。（單位：厘米）

    附圖{圖}

    解法一：6×3＋（3＋6）×（12－6）÷2＝45（平方厘米）

    解法二：6×（12－6）÷2＋（6＋12）×3÷2＝45（平方厘米）

    解法三：（12－6）×（6－3）÷2＋12×3＝45（平方厘米）

    解法四：12×6－（6＋12）×3÷2＝45（平方厘米）

    總之，幾何初步知識的復習，必須以全面提高學生的數學素質為出發點，要依據大綱要

求和學生實際，認 真研究復習內容和方法，充分發揮主導與主體的作用，扎實高效地搞好