物理習題極值問題論文

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論文關鍵詞:物理習題極值

論文摘要:本文根據學生的實際情況以及本人的教學實踐,針對普通物理教學中困擾學生的極值問題,利用數學、物理的概念、公式等,嘗試對物理極值問題的求解規律進行歸納與探析。

在普通物理習題中有一些是關于求極值問題。有的是求極小值,有的是求極大值,學生對此并沒有足夠的預備知識,遇到這類題目往往感到無從下手,不知如何解,故而在解題過程中錯誤層出不窮,本文試從幾個方面對物理習題中的極值問題加以說明。

一、從物理概念、公式出發求極值

例1:一車技演員騎摩托車駛進一半徑為R,路面傾角為的圓錐形峭壁上做圓周運動,車輪與路面間靜摩擦系數為μ。求飛車在此圓軌道上不致滑動的速率V的取值范圍。

解:物體受力:支持力N;重力G;最大靜摩擦力fm;建立坐標,假定fm沿斜面向上,如圖(a)所示:

y軸方向沒有運動(1)

x軸方向做勻速圓周運動

式(2)中的向心力為最小,因而V最小應表示為Vmin

最大靜摩擦力

假定最大靜摩擦力fm沿斜面向下,如圖(b)所示:

y軸方向

x軸方向合外力充當向心力式(4)中的向心力為最大,因而V最大應表示為Vmax

從(3)(4)兩式可解得:

最后,飛車在此圓軌道上不致滑動的速率V的取值范圍為:Vmin≤V≤Vmax

此題利用向心力公式

fm沿斜面向上向心力F最小因而V最小;

fm沿斜面向下向心力F最大因而V最大;

故而求得V的取值范圍。

例2:如圖(c)所示,滑道AC的后部是一個半徑為R的圓環,質量為m的滑塊在高度為h的位置從靜止出發,沿AC滑下,求滑塊通過圓環頂部時不致脫落的h的最小值。

解:把滑塊和地球看作一個系統,沒有外力作功,內力中的重力為保守力,摩擦力被忽略,滑道和圓環對滑塊的作用力均與運動方向垂直,它們不作功,機械能守恒條件得到滿足,以地球作參考系,取滑塊通過的最低位置作為重力勢能的零點,設h為使滑塊在圓環頂端不脫落的最小高度,比較滑塊在圓環頂部和出發點的機械能有:

V0為滑塊在圓環頂部的速度,滑塊在圓環頂部所受的向心力為mg+N

RN為圓環頂部對滑塊的壓力,在一般情況下N≥0

對于滑塊剛好能通過頂點的情況,取N=0,由式(2)得到mv02=mgR代入式(1),可得

二、利用數學求導一階導數為零求極值

此題利用了數學求導求極值問題,一階導數為零,有極值;二階導數大于零,有極小值;二階導數小于零,有極大值。

三、利用矢量三角形解物理極值

例4:如圖(d)所示,質量為m的小球用細線懸掛在O點,并置于傾角為a的光滑斜面上,細線與豎直方向的夾角為>a,試分析:在斜面緩慢右移,逐漸減至0°的過程中,小球受到線的拉力和斜面支持力如何變化?它們的極值各是多少?

分析與解:在逐漸減少的過程中,小球在三個共點力的作用下始終處于平衡狀態,重力mg為豎直向下的恒力,支持力N大小變化而方向始終垂直斜面,而拉力T的大小和方向都在變化。從三力構成的矢量三角形如圖(e)可以看出:拉力T先減小后增大,當T與N垂直,即+α=90°。T與斜面平行時,拉力最小為Tmin=mgsinα。而支持力N不斷減小,當=0°時,N減為零,即Nmin=0

四、利用三角函數解物理極值

例5:質量為m的物體放在地面上,它們間的滑動摩擦系數為μ,用力F拉物體,使物體在水平面上作勻速直線運動,力與水平方向的夾角α為多大時最省力。

分析:由于物體在水平面上做勻速直線運動,隨著α角的不同,物體與水平面間的彈力不同,因而滑動摩擦力也不一樣,而拉力在水平方向的分力與摩擦力相等,因而α角不同,拉力F也不一樣。

解:以物體為研究對象,受力分析如右圖(f)所示。因為物體處于平衡狀態,根據