非常規(guī)數(shù)學(xué)深究

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有一些數(shù)學(xué)問(wèn)題,例如操作問(wèn)題、邏輯推理問(wèn)題等,不能用通常的數(shù)學(xué)方法來(lái)解;還有一些實(shí)際問(wèn)題,研究的是事物的某種狀態(tài)或性質(zhì),其本身與數(shù)量無(wú)關(guān),也不能用通常的數(shù)學(xué)方法來(lái)解。人們習(xí)慣上將上述的這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為非常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題。非常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題近年來(lái)在各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽及數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽等賽題中頻頻出現(xiàn),特別是它與實(shí)際問(wèn)題密切聯(lián)系,因此受到廣泛關(guān)注。

非常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題需要非常規(guī)的特殊解法,本文就最常用的圖解法、賦值法、抽屜原理及邏輯推理等四種方法,結(jié)合實(shí)際例子作一探討。

1圖解法

例1(柳卡問(wèn)題)假設(shè)每天中午有一艘輪船由哈佛開(kāi)往紐約,同時(shí)也有一艘輪船由紐約開(kāi)往哈佛,航行時(shí)間都為七晝夜,且均沿同一航線(xiàn)航行。問(wèn)今天中午從哈佛開(kāi)出的一艘輪船將會(huì)遇到幾艘從紐約開(kāi)來(lái)的同一公司的輪船?

這是十九世紀(jì)在一次世界科學(xué)會(huì)議期間,法國(guó)數(shù)學(xué)家柳卡向在場(chǎng)的數(shù)學(xué)家們提出的一個(gè)問(wèn)題,它難倒了在場(chǎng)的所有數(shù)學(xué)家,連柳卡本人也沒(méi)有徹底解決。后來(lái)有一位數(shù)學(xué)家通過(guò)下面的圖解法,才使問(wèn)題最終得到解決。

這種方法是:用兩條橫線(xiàn)分別表示紐約港和哈佛港,某天中午(記作第0天)從哈佛出發(fā)的輪船在第7天中午到達(dá)紐約,用從下到上的一條斜線(xiàn)表示。用從上到下的斜線(xiàn)依次表示每天中午由紐約開(kāi)出的輪船經(jīng)7晝夜到達(dá)哈佛。顯然兩種斜線(xiàn)的交點(diǎn)總數(shù)就是相遇的輪船數(shù),共15艘。

值得注意的是,上述圖解法,不但給出這一問(wèn)題的一種簡(jiǎn)單、美妙、不用數(shù)字計(jì)算的非常規(guī)解法,更有意義的是它可作為一種模型,來(lái)解決這一類(lèi)型的問(wèn)題,請(qǐng)看下例:

例2某路電車(chē),由A站開(kāi)往B站,每5分鐘發(fā)一輛車(chē),全程為20分鐘。有一人騎車(chē)從B站到A站,在他出發(fā)時(shí)恰有一輛電車(chē)進(jìn)站,當(dāng)他到達(dá)A站時(shí)又恰有一輛電車(chē)出站,問(wèn):

(1)若騎車(chē)人在中途共遇到對(duì)面開(kāi)來(lái)的10輛電車(chē),則他出發(fā)后多少分鐘到達(dá)A站?

(2)如果騎車(chē)人由B站到A站共用50分鐘時(shí)間,則他一共遇到多少輛迎面開(kāi)來(lái)的電車(chē)?

(3)若騎車(chē)人同某輛電車(chē)同時(shí)出發(fā)由A站返回B站,騎車(chē)人用40分鐘到達(dá)B站時(shí)也恰有一輛電車(chē)進(jìn)站,問(wèn)在中途有多少輛電車(chē)超過(guò)他?

解:仿柳卡問(wèn)題圖解法,畫(huà)出下面的圖:

由圖可知:(1)騎車(chē)人從B站總共遇到12輛從對(duì)面開(kāi)來(lái)的電車(chē)到達(dá)A站所用的時(shí)間,恰好等于A(yíng)站開(kāi)出7輛車(chē)的時(shí)間,即35分鐘。

(2)若騎車(chē)人一共用50分鐘走完全程(即由0到10的那條由下到上的斜線(xiàn)),可知一共遇到15輛電車(chē)。

(3)由上到下畫(huà)一條斜線(xiàn)(由0到8)即表示騎車(chē)人由A站出發(fā)40分鐘后到達(dá)B站,可見(jiàn)中途共有3輛電車(chē)超過(guò)他。

2賦值法

賦值法解題,是對(duì)本身與數(shù)量無(wú)關(guān)的問(wèn)題巧妙地賦于某些特殊的數(shù)值(如±1、0與1等)將其轉(zhuǎn)化成數(shù)量問(wèn)題,然后利用整除性、奇偶性或正負(fù)號(hào)等的討論,使問(wèn)題得以解決。

例3在圓周上均勻地放4枚圍棋子,然后作如下操作:若原來(lái)相鄰的兩枚棋子是同色,就在其間放一枚黑子;若是異色,就在其間放一枚白子,然后將原來(lái)的4枚棋子取走,以上算一次操作。證明:不論原來(lái)4枚棋子的黑白顏色如何排列,最多只須作4次操作,就可使剩下的4枚棋子全是黑子。

解因?yàn)橹挥泻诎變缮遄?所以可以用1記黑子,-1記白子。又規(guī)定在同色兩子之間放黑子,正好符合1·1=1,(-1)(-1)=1;在異色兩子之間放白子,正好符合1·(-1)=(-1)·1=-1,因此,這樣賦值后就將原來(lái)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為+1和-1的討論問(wèn)題。

將圓周上的4枚棋子依次記為x1、x2、x3、x4(繼續(xù)數(shù)下去記x5=x1,x6=x2……)按上面的賦值方法可知:

x2i=1,xixi+1=1xi與xi+1同色-1xi與xi+1異色

這樣,判斷在xi與xi+1兩棋子之間該放黑子還是白子,就由xi·xi+1的乘積符號(hào)的正、負(fù)來(lái)確定;乘積為+1時(shí)放黑子,為-1時(shí)放白子。按此方法,將各次操作后的正、負(fù)號(hào)列成下表:(將圓周上的棋子排在直線(xiàn)上)

第一次操作x3x4x1x2x3x4x1x2

x3x4x4x1x1x2x2x3x3x4x4x1x1x2

第二次x3x24x1

操作=x3x1x4x2x1x3x2x4x3x1x4x2

第三次操作x1x2x3x4x1x2x3x4x1x2x3x4x1x2x3x4x1x2x3x4

第四次(x1x2x3x4)2

操作=1111

由上表可見(jiàn),經(jīng)第4次操作后,符號(hào)皆為正,故4枚棋子都應(yīng)放黑子。用數(shù)學(xué)歸納法可以證明,一般情況下,若圓周上原來(lái)擺著2n枚棋子,最多操作2n次后一定全剩下黑子。

例4有11只杯子都口朝上放著,然后將它們?nèi)我夥紨?shù)只算一次操作(翻過(guò)的也可以再翻)。證明:無(wú)論操作多少次,都不能使11只杯子都口朝下。

解將口朝上的杯子記為1,口朝下的記為-1,然后計(jì)算每操作一次后11只杯子乘積的正負(fù)號(hào):

開(kāi)始,11只杯子都口朝上,所以乘積的符號(hào)為:111=1。

當(dāng)翻動(dòng)n個(gè)杯子(n為偶數(shù)且n≤10)使其口朝下時(shí),乘積的符號(hào)為:

111-n·(-1)n=1·1=1

繼續(xù)討論可知,無(wú)論n是小于11的什么偶數(shù),乘積的正負(fù)號(hào)均為正,而11只杯子都口朝下時(shí),乘積為(-1)11=-1,故不可能辦到。

本問(wèn)題的一般結(jié)論是:奇數(shù)個(gè)杯子每次翻動(dòng)偶數(shù)個(gè)或偶數(shù)個(gè)杯子每次翻動(dòng)奇數(shù)個(gè),都不能使所有杯子都口朝下。

3抽屜原理抽屜原理是證明“存在性”問(wèn)題的有力工具,其最基本形式是:將n+1(或更多)個(gè)元素任意放入n個(gè)抽屜中,則至少有一個(gè)抽屜中至少有兩個(gè)(或更多)元素。抽屜原理的正確性簡(jiǎn)單而顯然,但具體運(yùn)用并不容易,困難之處在于怎樣設(shè)置抽屜,把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為抽屜原理問(wèn)題。

例5世界上任意6個(gè)人中,總有3個(gè)人,或彼此都認(rèn)識(shí),或彼此都不認(rèn)識(shí)。

這是有名的Ramsey問(wèn)題,要用抽屜原理來(lái)解。

對(duì)6個(gè)人中的任一個(gè)人,不妨設(shè)為A來(lái)說(shuō),除A外的其余5人可分為同A相識(shí)或不同A相識(shí)兩類(lèi)(即兩個(gè)抽屜),由抽屜原理可知,至少有一類(lèi)中至少有3個(gè)人。分別討論如下:

如果同A都認(rèn)識(shí)的那一類(lèi)中至少有3人,若有3人互相都不認(rèn)識(shí),則結(jié)論成立;否則至少有兩個(gè)人互相認(rèn)識(shí),而這兩人又都同A認(rèn)識(shí),故有3人互相認(rèn)識(shí),結(jié)論也成立。

如果同A都不認(rèn)識(shí)的那一類(lèi)中至少有3人,若其中有3人互相認(rèn)識(shí),則結(jié)論成立;否則,至少有兩人彼此不認(rèn)識(shí),但這二人又都與A互不認(rèn)識(shí),故這時(shí)有3人互相不認(rèn)識(shí),結(jié)論也成立。

此問(wèn)題也可以用染色法來(lái)證明:

在平面上用A1,A2………A6來(lái)代表6個(gè)人,設(shè)它們無(wú)三點(diǎn)共線(xiàn)。將互相認(rèn)識(shí)的兩人連一條紅線(xiàn),否則連一條藍(lán)線(xiàn)。問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為:在這15條連線(xiàn)中要證明至少有一個(gè)同顏色的三角形。

證明:考慮由A1出發(fā)的5條線(xiàn),因?yàn)橹挥屑t、藍(lán)兩種顏色(兩個(gè)抽屜),所以至少有3條為同色,不妨設(shè)A1A2、A1A3、A1A4為紅色。其次,再考慮△A2A3A4三邊的顏色,若均為藍(lán)色則結(jié)論成立(此三人互相不認(rèn)識(shí));否則,至少有一條邊為紅色,例如A2A3,則△A1A2A3的三邊都為紅色,結(jié)論也成立(此三人彼此都認(rèn)識(shí))。

例6已知某學(xué)者在五年期間內(nèi)每月至少發(fā)表一篇文章,又知他每年至多發(fā)19篇,則可得結(jié)論:他必在某連續(xù)的幾個(gè)月內(nèi)恰好發(fā)文24篇,試證明之。

解設(shè)此人在5年內(nèi)(60個(gè)月)每月發(fā)文數(shù)為a1,a2……a60,又設(shè)此數(shù)列前n項(xiàng)和為S1,S2,…,S60≤19×5=95。

如果他在某連續(xù)的幾個(gè)月內(nèi)恰發(fā)文24篇,則說(shuō)明存在兩個(gè)編號(hào)i和j,使得

Sj=Si+24(1≤i<j≤60)成立。

又S1+24,S2+24…,S60+24≤95+24=119共60個(gè)數(shù),連同S1,S2…S60共120個(gè)數(shù),將它們寫(xiě)在一起,即

1≤S1,S2…S60,S1+24…S60+24≤119

上式表明,在區(qū)間〔1,119〕中寫(xiě)了20個(gè)整數(shù)(元素),但〔1,119〕上只有119個(gè)不同的整數(shù)(設(shè)為抽屜),由抽屜原理知,在S1,S2…S60+24這120個(gè)整數(shù)中必有兩個(gè)相等。又因?yàn)镾1<S2…<S60彼此不相等,從而S1+20

<S2+24<…<S60+24也各不相等,因此彼此相等的那兩個(gè)數(shù)必來(lái)自?xún)山M之中,不妨設(shè)為Sj與Si+24相等,即Sj=Si+24成立。

4邏輯推理有一些涉及邏輯推理方面的問(wèn)題,可通過(guò)邏輯推理方法,將矛盾結(jié)論排除,找出合理結(jié)論。推理順序有順推法和逆推法。

例7要分派A、B、C、D、E五人去執(zhí)行一項(xiàng)任務(wù),但按實(shí)際情況必須滿(mǎn)足以下條件:

(1)若A去,B也去;

(2)B、C兩人中至少有一人去;

(3)B、C兩人中必須去且只能去一人;

(4)C、D都去或都不去;

(5)E若去,則A、D都去。

問(wèn):應(yīng)派誰(shuí)們?nèi)?

解(逆推):

若E去→A、D都去→B去→C不去→D不去,導(dǎo)自矛盾。

所以E不能去。E不去→D去→C去→B不去→A不去,符合所有條件。

∴應(yīng)當(dāng)派C、D去。

例8有4個(gè)人對(duì)話(huà):甲說(shuō):我們當(dāng)中只有一個(gè)人說(shuō)假話(huà)。乙說(shuō):我們當(dāng)中僅有兩個(gè)人說(shuō)假話(huà)。丙說(shuō):我們當(dāng)中恰有三個(gè)人說(shuō)假話(huà)。丁說(shuō):我們都說(shuō)假話(huà)。試問(wèn):到底誰(shuí)說(shuō)的是真話(huà)?

解:因?yàn)樗膫€(gè)人說(shuō)的話(huà)彼此矛盾,所以不會(huì)有兩個(gè)人都說(shuō)真話(huà),至多有一個(gè)人說(shuō)真話(huà)。

但四個(gè)人不都說(shuō)假話(huà)(因?yàn)檫@時(shí)丁說(shuō)的就是真話(huà))。

由上推理可知,恰有一個(gè)人(即丙)說(shuō)真話(huà),其他人都說(shuō)假話(huà)。