剖析超市排隊的仿真模型應用論文

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論文關鍵詞：動態模擬；蒙特卡洛模擬；排隊論

論文內容摘要：綜合考慮顧客等待成本和商場的成本效益，進而得出超市為滿足一定服務水平應該開設的服務器個數。本文根據超市顧客到達的隨機性和服務時間的隨機性，用蒙特卡洛方法模擬不同的顧客到達和服務水平，在MATLAB/Simulink上對超市單隊列多收銀臺的服務系統進行了動態模擬仿真，得到不同顧客到達率和不同服務水平下，顧客的排隊等待時間，服務器的空閑率等要素。

在超市收銀排隊系統中，顧客希望排隊等待的時間越短越好，這就需要服務機構設置較多的收銀臺，這樣可以減少排隊等待時間，但會增加商場的運營成本。而收銀臺過少，會使服務質量降低，甚至造成顧客流失。如何科學合理地設置收銀臺的數量，以降低成本和提高效益，是商場管理人員需要解決的一個重要問題。

蒙特卡洛方法簡介

蒙特卡洛方法又稱隨機模擬方法，它以隨機模擬和統計試驗為手段，從符合某種概率分布的隨機變量中，通過隨機選擇數字的方法，產生一組符合該隨機變量概率分布特性的隨機數值序列，作為輸入變量序列進行特定的模擬試驗、求解（杜比，2007）。在應用該方法時，要求產生的隨機數序列應符合該隨機變量特定的概率分布。應用該方法的基本步驟如下：

步驟1：建立概率模型，即將所研究的問題變為概率問題，構造一個符合其特點的概率模型；步驟2：產生一組符合該隨機變量概率分布特性的隨機數值序列；步驟3：以隨機數值序列作為系統的抽樣輸入進行大量的數字模擬試驗，以得到模擬試驗值；步驟4：對模擬試驗結果進行統計處理（如計算頻率、均值等），進而對研究問題做出解釋。

基于排隊理論的仿真模型建立

（一）超市服務排隊模型（M/M/C）

超市收款臺服務是一個隨機服務系統（唐應輝，2006），該系統具有如下特征：服務的對象是已經選購好商品的顧客，顧客源是無限的，顧客之間相互獨立，顧客相繼到達的時間間隔是隨機的。系統有多個服務員且對每個顧客的服務時間是相互獨立的。服務規則遵從先到后服務（FCFS）的原則。每個收款臺前都有排隊隊列，顧客選擇較短的隊列排隊等候，這樣形成單隊列多服務員（M/M/C）的排隊系統。超市收銀臺顧客排隊系統結構。

（二）產生隨機數值序列

由于顧客到達間隔時間和顧客服務的時間服從負指數頒布的隨機數。令這個負指數分布的隨機數為x，負指數分布密度函數為：，其分布函數為：，F（x）的反函數為。設u為[0，1]區間上的獨立、均勻分布的隨機變量，則所求隨機數為，進而簡化得，這樣得到負指數分布的隨機數（吳飛，2006）。

針對商場顧客到達和服務水平的統計數據，據此可產生兩個隨機數列：顧客到達時間間隔a（i）和顧客服務時間st（i），以此數值序列進行動態輸入仿真。

（三）模型變量設置

at（i）：表示第i

個顧客到達時刻；

a（i）：表示第i個顧客到達的時間間隔；

st（i）：第i個顧客的服務時間；sst（i）：

第i個顧客的開始服務時間；lea（i）：第

i個顧客離開時間；ls（j）：第j個隊列中

最后一個顧客的離開時間；ls（m）：每個

隊列中最后一個顧客離開時間的最早值；

freet（j）：第j個服務員的平均空閑時間；

w（i）：第i個顧客進入系統后的排隊等

待時間。

其中：at（i+1）=at（i）+a（i+1），

sst（i）=max（at（i）,ls（m）），w（i）=

max（0,ls（m）-at（i）），ls（m）=min（lt（j））。

仿真系統模擬

（一）超市收銀臺服務仿真模擬

解決超市收銀臺顧客排隊問題，關鍵是要測量常態下需要多少收銀臺才是適宜的。根據商場收銀臺服務統計數據，可以測算出超市收銀員的服務率、顧客到達率，然后通過仿真方法測量出超市提供多少收銀臺才最適宜。基本步驟如下：

系統經過較長時間運行后達到平穩。

根據實際考察，一周之內，雙休日及節假日的客流量劇增，而在一天之中顧客的到達也出現幾個高峰期，所以，作如下改進：將一天分為四個時段（9：00-12：00，12：00-14：00，14：00-18：00，18：00-21：00），首先調查其中一個時段（以第三時段為例）周一至周五的工作狀況，調查數據如表1所示。

根據統計數據得到了單位時間內到達的顧客數n和為每位顧客服務的時間t，然后利用χ2擬合檢驗（包科研、李娜，2008），得到單位時間的顧客到達數服從Possion分布，服務時間服從負指數分布。

根據資料統計得到單服務臺服務強度為每小時49人，即μ=49，到達速率每小時277人，即λ=277。設定顧客平均等待時間小于5分鐘，模擬次數1000次，模擬超市應設置多少收銀臺。同時，這里的μ和λ可以根據不同時段的實際情況變化，以模擬在不同到達速率和服務強度下的工作狀態。公務員之家

（二）仿真程序設計

首先顧客按規定的到達模式產生到達，同時按規定的服務模式產生服務時間，然后判斷是否有空閑的服務臺。有，則直接接受服務而不需進入隊列等待；否則，顧客將進入隊列等待服務。顧客選擇等待服務臺隊列時，以最早接受服務為標準，此前要計算各服務臺進入空閑的時間。仿真鐘采用事件調度法，以顧客到達為驅動。一個顧客進入系統后，按仿真方法和流程計算其服務時間與離開時間后，驅動下一個事件（下一個顧客的到達）的發生。

在仿真過程中還要對服務臺利用率、隊列長度、顧客等待時間等進行統計以達到仿真目的，如圖2所示。

該模型（M/M/C）以第三時段為例，顧客隨機性到達，到達模式服從泊松分布λ=277；服務時間也是隨機的，服從指數分布，每小時服務人數為μ=49；紀錄到2000名顧客時模擬終止，仿真采用基于事件（基于顧客）的方法。本文以MATLAB7.0/Simulink6.0仿真系統為工具進行動態模擬仿真（黃永安，2007），仿真次數1000次，結果取平均值。

參考文獻：

1.杜比.蒙特卡洛方法在系統工程中的應用[M].西安交通大學出版社，2007

2.唐應輝.排隊論[M].科學出版社，2006

3.吳飛.產生隨機數的幾種方法及應用[J].數值計算與計算機應用，2006.3

4.包科研，李娜.數理統計與MATLAB數據處理[M].東北大學出版社，2008