小議概率統計教學的要點

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本文作者：董毅工作單位：蚌埠學院

重視辯證思維的培養

思維的辯證性在概率統計中十分顯著。比如：隨機現象具有偶然性，但大量的偶然性又蘊含著必然性，概率統計理論就是通過對表面顯現的偶然性的研究，來達到認識本質的必然性的目的；特定事件的發生與否不能確定，但結果的規律性卻可以通過觀察、歸納、類比、聯想、猜測等合情推理進行預測、估算，體現了可能性與不可能性的辯證統一；事件的頻率是事件的概率的近似，事件的概率是同一事件眾多頻率的穩定值，是從這些頻率中抽象出來的，反映了頻率與概率之間的具體與抽象關系；小概率事件雖然有發生的可能性，但概率太小，人們認為它是不可能事件，但并不是絕對不發生，這里反映了相對與絕對的辯證關系；隨機事件是從靜態觀點研究隨機想象，隨機變量是從動態的觀點研究隨機現象，體現了概率研究方法中動和靜的辯證統一；總體特征要通過樣本來研究，說明每一事物內部不僅包含矛盾的特殊性而且包含了矛盾的普遍性；數據的特征數反映的是數據“群體”的特征，它來自于各個數據的信息，又不同與各個數據，體現了個體與整體的關系；統計推斷的方法是科學的，但其作出的結論卻可能犯錯誤，這兩者是辯證統一的。作出的結論可能會犯錯誤的方法是科學的，就在于犯錯誤的概率很小；回歸方程反映了兩個高度線性相關變量之間的近似關系，是從這兩個變量的數據對群體抽象出來的，它來自于它們又不同于他們；等等。概率統計教學中要注重闡述這些辯證的思想方法，培養學生的辯證性思維的能力。

重視實驗研究的方法

一方面，我們需要讓學生通過實驗感受數學知識，比如去體驗“頻率的穩定性”，感受大量偶然性后面的必然性，去體驗事件概率的客觀性等等。由于概率統計應用極廣，學生切實可做的實驗很多，如生日問題、抽簽問題、擲色子等。另一方面，概率論教學中的有些問題，也需要用實驗的方法去研究，例如，對“隨機擲兩枚均勻硬幣，出現“一正一反”的概率是1／2還是1／3”的問題，就要通過實驗去統計頻率并由頻率估計概率來解決。再者，據我們的調查表明，學生很少知道數學需要實驗方法，更沒有用實驗法研究數學問題的意識。因此，在教學中有意識地突出實驗方法，利用實驗教學，十分重要。

重視直觀意義的說明

理論大多是由直觀想法所猜測的結果經加工、修改或證明得出的。所以，在教學中要注重理論的直觀解釋、概率意義，關注理論是“如何想到的”，這有利于放飛學生的想象，培養學生創新的意識。同時這種直觀教學思路，深入淺出，通俗易懂。概率統計中的大部分內容都可以結合學生已有經驗，進行直觀說明。比如：“A，B獨立，則珡A，B獨立”直觀解釋：因為A，B獨立即A發生的可能性與B發生的可能性無關，而A完全決定了珡A，既然A與B獨立，故珡A與B也獨立；DX＝D（－X），DX＝（X＋A）直觀解釋：方差是反映隨機變量取值差異的，X與－X（X與X＋A一樣）取值不同，但取值的差異沒變，故他們的方差相等；DC＝0：隨機變量總是取常數C，取值間彼此無差異，故差異量為；算術平均數利用了數據的全部信息，中數（四分位數及百分位數類似，只是利用的更多）只利用了數據的大小順序信息，而眾數只利用了數據中的最大頻數信息，所以算術平均數反映集中趨勢最好，中數其次，眾數再次。另外，Φ（x）＝1－Φ（－x），開方檢驗的思想———比較理論頻數與實際頻數，算術平均數性質的意義，等等，都可以直觀解釋。5重視結果產生的過程重視結果產生的過程，關注“知其所以然”，有利學生深刻地理解理論，更好地應用理論，對培養學生的創新能力十分重要。應當指出的是，教師在教學中展示理論產生的過程，未必是“原汁原味”的，那倒不一定適合學生。教師有時要按照“建構主義”思想，采取教育數學方法，從學生已有的經驗出發，以能被學生所感悟為目標，來“創造”理論的產生過程，借此過程培養學生的能力。比如，對離散型隨機變量期望定義，我們設計了下面“產生”的思考過程：第一步：1，2，1，3，2，2，3這7個數的平均數為（1＋2＋1＋3＋2＋2＋3）／7。第二步：設X是從這7個數中任意取出的一個數，隨機變量X取值的平均數是什么？按（1＋2＋3）／3顯然不對，因為X雖然只取這三個數，但取各個值的機會不同。將第一步中式子變形為（1＋2＋1＋3＋2＋2＋3）／7＝1×2／7＋2×3／7＋3×1／7可見，X取值的平均數是X的取值按概率的加權平均，從直觀上看，這是合理的。第三步：X的期望是其取值的平均數。設取X的值N次，其中k出現Nk次，k＝1，2，3。由頻率是概率的近似值得N1＝2N7，N2＝3N7，N3＝N7從而X的N次取值的平均數為1N1×2N7＋2×3N7＋3×N（）7＝1×27＋2×37＋3×17此結果與第二步相同，與N無關。由此得出期望定義，再加上為保證期望唯一性的“絕對收斂”條件，將定義完善。又如，在方差分析教學中，我們采用下面直觀講法，幫助學生理解統計量的構造思路：樣本間的誤差，是由諸水平效應引起的系統誤差和由隨機因素引起的隨機誤差兩部分組成。因此，要研究“諸水平無顯著差異”的假設是否成立，就要研究在假設成立條件下，由諸水平效應引起的系統誤差相對于由隨機因素引起的隨機誤差的大小，由此，再用樣本均值代替相應的總體均值并稍作修改，得到方差分析中所用的統計量。這種直觀的講法，注重了結果產生的過程，不僅講了是什么，而且交代了為什么。再如，方差的定義及改進教學中，我們注意交代方差的定義的形成過程：為度量隨機變量取值的差異，以隨機變量的期望為參照，并考慮平均首先想到構造為E｜X－EX｜，為數學處理方便的，修改為E｜X－EX｜2＝E（X－EX）2（修改后性質沒變），作為方差DX的定義；為使DX與X的量綱一致，有時利用將DX改進為均方差槡DX（修改后性質沒變）；為比較不同量綱的均方差或要相對于期望來看均方差的大小，的需要，將均方差改造成均方差系數槡DX珡X。

重視縱橫貫通的聯系

教學中重視縱橫貫通的聯系，對學生融會貫通、形成知識建構，真正掌握理論，提高運用知識去解決問題的能力，是十分重要的。概率統計中這種聯系是多方面的。聯系離散講連續離散型隨機變量比較簡單，且能用來較好地闡述概率思想、說明方法，一般先講。對連續型隨機變量則可聯系已學的離散型的相應理論，采取“離散化”方法直觀得出。一般只要注意求和與積分、xi與x、分布列pi與分布密度f（x）的對應，就可將離散型的概念和結果“移植”到連續型情形。比如，由離散型隨機變量期望的求法：EX＝∑ixipi，可直接得出連續型隨機變量期望的求法：EX＝∫＋∞－∞f（x）dx。聯系一維講多維多維隨機變量的概念和結果大多和一維隨機變量是平行的，形式上是相似的，思想方法上是類同的。一般只要注意一元函數與多元函數的對應，相應地，一重極限與多重極限、一重求和或積分與多重求和或積分、導數與偏導數的對應，就可由一維隨機變量的概念和結果類似建立多維的。這方面的例子很多。值得注意的是，正象一元函數與多元函數一樣，一維隨機變量與多維隨機變量存在很多不同之處，比如，分布函數的性質。這一點在聯系中應予以強調。聯系概率講統計統計以概率為基礎。故統計的教學應當聯系概率理論。而現行教材聯系不夠。一些統計中的概念和結果若通過聯系概率論的相應內容直觀引入，既能闡述它們之間的內在聯系，又能突出統計的思想方法。比如，在統計量的教學中，我們將取自總體X的樣本X1，…，Xn看成是總體取值的“縮影”，由于是簡單隨機取樣，故可認為它們是等可能出現的。因此形式分布P｛X＝Xk｝＝1n，k＝1，…，n，可作為總體分布的縮影。這樣，樣本分布函數及樣本數字特征就是隨機變量X的分布函數及數字特征，這就將統計中的樣本分布函數及樣本數字特征統一為概率論中隨機變量的相應概念。因此，S2＝1n∑ni＝1X2i－（珡X）2作為X的期望與方差的關系DX＝EX2－（EX）2，也就自然成立了。更重要是，這種用總體的“縮影”代替總體的直觀思想，還蘊涵了格列文科定理、矩法估計的思想。聯系檢驗講估計參數的假設檢驗與區間估計是密切聯系的。在學生了解了區間估計的概念、原理及思想之后，可通過引入構造量———含有未知參數的樣本的函數的概念，由相應的假設檢驗方法，來得出參數的區間估計：只要將假設檢驗的接受域中的統計量換成構造量，再解出未知參數即可，限于篇幅，這里不詳述。這種區間估計與假設檢驗的聯系，不僅使學生避免了死記硬背繁雜的區間估計公式，而且這里引入的Neyman的由假設檢驗的理論來建立區間估計理論的思想，有利于學生進一步學習。聯系現實社會生活概率統計與日常生活、自然知識和生產實踐聯系密切，教學中要充分利用。這種聯系貼近學生生活，有利于學生知識建構，增加實用感，從而調動學生學習的積極性和主動性。比如安徽體育彩票開獎號碼的數理統計分析、生日問題、保險問題等。聯系學生所學專業概率統計知識呈現的背景，要聯系學生所學專業上的問題，突出概率統計知識在實踐中的應用，使學生感到需要，提高他們學習的主動性。比如，在師范類專業教學中，要注意滲透教育統計的內容和方法，聯系中學教學實際；在經濟與管理類專業教學中，結合教學內容，介紹概率統計在經濟與管理中的應用，如“風險報酬”分析、“風險決策”分析、需求預測等，注重對學生應用概率統計知識解決專業領域中問題的意識與能力。

重視思想方法的凸現

概率統計中蘊涵不少很好的思想方法，比如：概率加法公式中體現的“增補原理”，大量現象下呈現的統計思想；全概率公式中體現的分解難點、由局部研究整體的思想；乘法公式中體現的“由因索果”思想，貝葉斯公式中體現的“由果索因”思想，等等。在相關內容的教學中，不失時機地闡述這些思想方法，十分有利于學生把握數學思想，提高數學素養。