小議概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)的要點(diǎn)

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本文作者：董毅工作單位：蚌埠學(xué)院

重視辯證思維的培養(yǎng)

思維的辯證性在概率統(tǒng)計(jì)中十分顯著。比如：隨機(jī)現(xiàn)象具有偶然性，但大量的偶然性又蘊(yùn)含著必然性，概率統(tǒng)計(jì)理論就是通過對(duì)表面顯現(xiàn)的偶然性的研究，來達(dá)到認(rèn)識(shí)本質(zhì)的必然性的目的；特定事件的發(fā)生與否不能確定，但結(jié)果的規(guī)律性卻可以通過觀察、歸納、類比、聯(lián)想、猜測等合情推理進(jìn)行預(yù)測、估算，體現(xiàn)了可能性與不可能性的辯證統(tǒng)一；事件的頻率是事件的概率的近似，事件的概率是同一事件眾多頻率的穩(wěn)定值，是從這些頻率中抽象出來的，反映了頻率與概率之間的具體與抽象關(guān)系；小概率事件雖然有發(fā)生的可能性，但概率太小，人們認(rèn)為它是不可能事件，但并不是絕對(duì)不發(fā)生，這里反映了相對(duì)與絕對(duì)的辯證關(guān)系；隨機(jī)事件是從靜態(tài)觀點(diǎn)研究隨機(jī)想象，隨機(jī)變量是從動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)研究隨機(jī)現(xiàn)象，體現(xiàn)了概率研究方法中動(dòng)和靜的辯證統(tǒng)一；總體特征要通過樣本來研究，說明每一事物內(nèi)部不僅包含矛盾的特殊性而且包含了矛盾的普遍性；數(shù)據(jù)的特征數(shù)反映的是數(shù)據(jù)“群體”的特征，它來自于各個(gè)數(shù)據(jù)的信息，又不同與各個(gè)數(shù)據(jù)，體現(xiàn)了個(gè)體與整體的關(guān)系；統(tǒng)計(jì)推斷的方法是科學(xué)的，但其作出的結(jié)論卻可能犯錯(cuò)誤，這兩者是辯證統(tǒng)一的。作出的結(jié)論可能會(huì)犯錯(cuò)誤的方法是科學(xué)的，就在于犯錯(cuò)誤的概率很小；回歸方程反映了兩個(gè)高度線性相關(guān)變量之間的近似關(guān)系，是從這兩個(gè)變量的數(shù)據(jù)對(duì)群體抽象出來的，它來自于它們又不同于他們；等等。概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中要注重闡述這些辯證的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的辯證性思維的能力。

重視實(shí)驗(yàn)研究的方法

一方面，我們需要讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)感受數(shù)學(xué)知識(shí)，比如去體驗(yàn)“頻率的穩(wěn)定性”，感受大量偶然性后面的必然性，去體驗(yàn)事件概率的客觀性等等。由于概率統(tǒng)計(jì)應(yīng)用極廣，學(xué)生切實(shí)可做的實(shí)驗(yàn)很多，如生日問題、抽簽問題、擲色子等。另一方面，概率論教學(xué)中的有些問題，也需要用實(shí)驗(yàn)的方法去研究，例如，對(duì)“隨機(jī)擲兩枚均勻硬幣，出現(xiàn)“一正一反”的概率是1／2還是1／3”的問題，就要通過實(shí)驗(yàn)去統(tǒng)計(jì)頻率并由頻率估計(jì)概率來解決。再者，據(jù)我們的調(diào)查表明，學(xué)生很少知道數(shù)學(xué)需要實(shí)驗(yàn)方法，更沒有用實(shí)驗(yàn)法研究數(shù)學(xué)問題的意識(shí)。因此，在教學(xué)中有意識(shí)地突出實(shí)驗(yàn)方法，利用實(shí)驗(yàn)教學(xué)，十分重要。

重視直觀意義的說明

理論大多是由直觀想法所猜測的結(jié)果經(jīng)加工、修改或證明得出的。所以，在教學(xué)中要注重理論的直觀解釋、概率意義，關(guān)注理論是“如何想到的”，這有利于放飛學(xué)生的想象，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新的意識(shí)。同時(shí)這種直觀教學(xué)思路，深入淺出，通俗易懂。概率統(tǒng)計(jì)中的大部分內(nèi)容都可以結(jié)合學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行直觀說明。比如：“A，B獨(dú)立，則珡A，B獨(dú)立”直觀解釋：因?yàn)锳，B獨(dú)立即A發(fā)生的可能性與B發(fā)生的可能性無關(guān)，而A完全決定了珡A，既然A與B獨(dú)立，故珡A與B也獨(dú)立；DX＝D（－X），DX＝（X＋A）直觀解釋：方差是反映隨機(jī)變量取值差異的，X與－X（X與X＋A一樣）取值不同，但取值的差異沒變，故他們的方差相等；DC＝0：隨機(jī)變量總是取常數(shù)C，取值間彼此無差異，故差異量為；算術(shù)平均數(shù)利用了數(shù)據(jù)的全部信息，中數(shù)（四分位數(shù)及百分位數(shù)類似，只是利用的更多）只利用了數(shù)據(jù)的大小順序信息，而眾數(shù)只利用了數(shù)據(jù)中的最大頻數(shù)信息，所以算術(shù)平均數(shù)反映集中趨勢最好，中數(shù)其次，眾數(shù)再次。另外，Φ（x）＝1－Φ（－x），開方檢驗(yàn)的思想———比較理論頻數(shù)與實(shí)際頻數(shù)，算術(shù)平均數(shù)性質(zhì)的意義，等等，都可以直觀解釋。5重視結(jié)果產(chǎn)生的過程重視結(jié)果產(chǎn)生的過程，關(guān)注“知其所以然”，有利學(xué)生深刻地理解理論，更好地應(yīng)用理論，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力十分重要。應(yīng)當(dāng)指出的是，教師在教學(xué)中展示理論產(chǎn)生的過程，未必是“原汁原味”的，那倒不一定適合學(xué)生。教師有時(shí)要按照“建構(gòu)主義”思想，采取教育數(shù)學(xué)方法，從學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，以能被學(xué)生所感悟?yàn)槟繕?biāo)，來“創(chuàng)造”理論的產(chǎn)生過程，借此過程培養(yǎng)學(xué)生的能力。比如，對(duì)離散型隨機(jī)變量期望定義，我們設(shè)計(jì)了下面“產(chǎn)生”的思考過程：第一步：1，2，1，3，2，2，3這7個(gè)數(shù)的平均數(shù)為（1＋2＋1＋3＋2＋2＋3）／7。第二步：設(shè)X是從這7個(gè)數(shù)中任意取出的一個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量X取值的平均數(shù)是什么？按（1＋2＋3）／3顯然不對(duì)，因?yàn)閄雖然只取這三個(gè)數(shù)，但取各個(gè)值的機(jī)會(huì)不同。將第一步中式子變形為（1＋2＋1＋3＋2＋2＋3）／7＝1×2／7＋2×3／7＋3×1／7可見，X取值的平均數(shù)是X的取值按概率的加權(quán)平均，從直觀上看，這是合理的。第三步：X的期望是其取值的平均數(shù)。設(shè)取X的值N次，其中k出現(xiàn)Nk次，k＝1，2，3。由頻率是概率的近似值得N1＝2N7，N2＝3N7，N3＝N7從而X的N次取值的平均數(shù)為1N1×2N7＋2×3N7＋3×N（）7＝1×27＋2×37＋3×17此結(jié)果與第二步相同，與N無關(guān)。由此得出期望定義，再加上為保證期望唯一性的“絕對(duì)收斂”條件，將定義完善。又如，在方差分析教學(xué)中，我們采用下面直觀講法，幫助學(xué)生理解統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造思路：樣本間的誤差，是由諸水平效應(yīng)引起的系統(tǒng)誤差和由隨機(jī)因素引起的隨機(jī)誤差兩部分組成。因此，要研究“諸水平無顯著差異”的假設(shè)是否成立，就要研究在假設(shè)成立條件下，由諸水平效應(yīng)引起的系統(tǒng)誤差相對(duì)于由隨機(jī)因素引起的隨機(jī)誤差的大小，由此，再用樣本均值代替相應(yīng)的總體均值并稍作修改，得到方差分析中所用的統(tǒng)計(jì)量。這種直觀的講法，注重了結(jié)果產(chǎn)生的過程，不僅講了是什么，而且交代了為什么。再如，方差的定義及改進(jìn)教學(xué)中，我們注意交代方差的定義的形成過程：為度量隨機(jī)變量取值的差異，以隨機(jī)變量的期望為參照，并考慮平均首先想到構(gòu)造為E｜X－EX｜，為數(shù)學(xué)處理方便的，修改為E｜X－EX｜2＝E（X－EX）2（修改后性質(zhì)沒變），作為方差DX的定義；為使DX與X的量綱一致，有時(shí)利用將DX改進(jìn)為均方差槡DX（修改后性質(zhì)沒變）；為比較不同量綱的均方差或要相對(duì)于期望來看均方差的大小，的需要，將均方差改造成均方差系數(shù)槡DX珡X。

重視縱橫貫通的聯(lián)系

教學(xué)中重視縱橫貫通的聯(lián)系，對(duì)學(xué)生融會(huì)貫通、形成知識(shí)建構(gòu)，真正掌握理論，提高運(yùn)用知識(shí)去解決問題的能力，是十分重要的。概率統(tǒng)計(jì)中這種聯(lián)系是多方面的。聯(lián)系離散講連續(xù)離散型隨機(jī)變量比較簡單，且能用來較好地闡述概率思想、說明方法，一般先講。對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量則可聯(lián)系已學(xué)的離散型的相應(yīng)理論，采取“離散化”方法直觀得出。一般只要注意求和與積分、xi與x、分布列pi與分布密度f（x）的對(duì)應(yīng)，就可將離散型的概念和結(jié)果“移植”到連續(xù)型情形。比如，由離散型隨機(jī)變量期望的求法：EX＝∑ixipi，可直接得出連續(xù)型隨機(jī)變量期望的求法：EX＝∫＋∞－∞f（x）dx。聯(lián)系一維講多維多維隨機(jī)變量的概念和結(jié)果大多和一維隨機(jī)變量是平行的，形式上是相似的，思想方法上是類同的。一般只要注意一元函數(shù)與多元函數(shù)的對(duì)應(yīng)，相應(yīng)地，一重極限與多重極限、一重求和或積分與多重求和或積分、導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)的對(duì)應(yīng)，就可由一維隨機(jī)變量的概念和結(jié)果類似建立多維的。這方面的例子很多。值得注意的是，正象一元函數(shù)與多元函數(shù)一樣，一維隨機(jī)變量與多維隨機(jī)變量存在很多不同之處，比如，分布函數(shù)的性質(zhì)。這一點(diǎn)在聯(lián)系中應(yīng)予以強(qiáng)調(diào)。聯(lián)系概率講統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)以概率為基礎(chǔ)。故統(tǒng)計(jì)的教學(xué)應(yīng)當(dāng)聯(lián)系概率理論。而現(xiàn)行教材聯(lián)系不夠。一些統(tǒng)計(jì)中的概念和結(jié)果若通過聯(lián)系概率論的相應(yīng)內(nèi)容直觀引入，既能闡述它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，又能突出統(tǒng)計(jì)的思想方法。比如，在統(tǒng)計(jì)量的教學(xué)中，我們將取自總體X的樣本X1，…，Xn看成是總體取值的“縮影”，由于是簡單隨機(jī)取樣，故可認(rèn)為它們是等可能出現(xiàn)的。因此形式分布P｛X＝Xk｝＝1n，k＝1，…，n，可作為總體分布的縮影。這樣，樣本分布函數(shù)及樣本數(shù)字特征就是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)及數(shù)字特征，這就將統(tǒng)計(jì)中的樣本分布函數(shù)及樣本數(shù)字特征統(tǒng)一為概率論中隨機(jī)變量的相應(yīng)概念。因此，S2＝1n∑ni＝1X2i－（珡X）2作為X的期望與方差的關(guān)系DX＝EX2－（EX）2，也就自然成立了。更重要是，這種用總體的“縮影”代替總體的直觀思想，還蘊(yùn)涵了格列文科定理、矩法估計(jì)的思想。聯(lián)系檢驗(yàn)講估計(jì)參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)是密切聯(lián)系的。在學(xué)生了解了區(qū)間估計(jì)的概念、原理及思想之后，可通過引入構(gòu)造量———含有未知參數(shù)的樣本的函數(shù)的概念，由相應(yīng)的假設(shè)檢驗(yàn)方法，來得出參數(shù)的區(qū)間估計(jì)：只要將假設(shè)檢驗(yàn)的接受域中的統(tǒng)計(jì)量換成構(gòu)造量，再解出未知參數(shù)即可，限于篇幅，這里不詳述。這種區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)的聯(lián)系，不僅使學(xué)生避免了死記硬背繁雜的區(qū)間估計(jì)公式，而且這里引入的Neyman的由假設(shè)檢驗(yàn)的理論來建立區(qū)間估計(jì)理論的思想，有利于學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)。聯(lián)系現(xiàn)實(shí)社會(huì)生活概率統(tǒng)計(jì)與日常生活、自然知識(shí)和生產(chǎn)實(shí)踐聯(lián)系密切，教學(xué)中要充分利用。這種聯(lián)系貼近學(xué)生生活，有利于學(xué)生知識(shí)建構(gòu)，增加實(shí)用感，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。比如安徽體育彩票開獎(jiǎng)號(hào)碼的數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析、生日問題、保險(xiǎn)問題等。聯(lián)系學(xué)生所學(xué)專業(yè)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)呈現(xiàn)的背景，要聯(lián)系學(xué)生所學(xué)專業(yè)上的問題，突出概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)在實(shí)踐中的應(yīng)用，使學(xué)生感到需要，提高他們學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。比如，在師范類專業(yè)教學(xué)中，要注意滲透教育統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容和方法，聯(lián)系中學(xué)教學(xué)實(shí)際；在經(jīng)濟(jì)與管理類專業(yè)教學(xué)中，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，介紹概率統(tǒng)計(jì)在經(jīng)濟(jì)與管理中的應(yīng)用，如“風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬”分析、“風(fēng)險(xiǎn)決策”分析、需求預(yù)測等，注重對(duì)學(xué)生應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決專業(yè)領(lǐng)域中問題的意識(shí)與能力。

重視思想方法的凸現(xiàn)

概率統(tǒng)計(jì)中蘊(yùn)涵不少很好的思想方法，比如：概率加法公式中體現(xiàn)的“增補(bǔ)原理”，大量現(xiàn)象下呈現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)思想；全概率公式中體現(xiàn)的分解難點(diǎn)、由局部研究整體的思想；乘法公式中體現(xiàn)的“由因索果”思想，貝葉斯公式中體現(xiàn)的“由果索因”思想，等等。在相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)中，不失時(shí)機(jī)地闡述這些思想方法，十分有利于學(xué)生把握數(shù)學(xué)思想，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。