初中數(shù)學(xué)論文：“不可破譯”的密碼

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密碼在當(dāng)今社會生活中的作用可以說十分巨大，除了眾所周知的軍事國防方面的應(yīng)用外，現(xiàn)代金融、貿(mào)易、生產(chǎn)等無不在大規(guī)模使用密碼．計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的廣泛應(yīng)用，使人們對密碼的依賴達(dá)到了新的高度，在千百萬臺計(jì)算機(jī)聯(lián)結(jié)成的因特網(wǎng)上，用戶的識別基本上是靠密碼．密碼被破譯就會產(chǎn)生危及安全的極嚴(yán)重的后果．計(jì)算機(jī)“黑客”的作為，即為密碼破譯的一例，連美國國防部的計(jì)算機(jī)都未能幸免，可見密碼編制的難度了．

由大整數(shù)因數(shù)分解的困難，人們研制成功一種“不可破譯”的密碼：RSA體制密碼（見本刊2000年第6期《大整數(shù)的因數(shù)分解問題》一文）．RSA密碼是一種公開密鑰密碼，說它“不可破譯”是形容破譯之難，不過的確至今尚沒找到破譯的理論工具．

一般密碼編制理論中，稱要傳遞的原文為“明文”，經(jīng)加密后實(shí)際傳遞的是密碼構(gòu)成的“密文”，收信方則將其解密，恢復(fù)為明文使其可理解，就完成了通信任務(wù)．這其中加密和解密要用通信雙方約定的方法，這一方法就稱為密鑰．更一般地，人們首先給定一個加密算法，不太嚴(yán)格地說，可把這一算法視為函數(shù)，函數(shù)的值就是密鑰，而解密算法可以說是加密算法的一個反函數(shù)，使用同一個密鑰（原函數(shù)的值）可將密文惟一地譯成明文．

密碼的關(guān)鍵就在于通信雙方約定密鑰而不被外界所知，外界對密碼的破譯也就指向密鑰了．而且為了防止外界可能的破譯，就應(yīng)盡力使外人不可能積累在同一密鑰下的許多密文，否則可用統(tǒng)計(jì)分析法等確定出密鑰，世界戰(zhàn)爭史、外交史上有許多破譯成功的例子．這樣就經(jīng)常變換密鑰，重要的通信要每天一換甚至通一次信換一次．

這么頻繁換的密鑰怎樣送給對方？如果隨其他信息（用無線電或網(wǎng)絡(luò)）易于失密，每次派專人送又不可能，怎樣解決這一問題呢？這就是RSA密碼的長處了，它把密鑰分成加密鑰和解密鑰．如A和B通信，A把加密鑰公開送達(dá)B（可用明碼電報或與上次通信同時），不怕外人知道，所以叫公開密鑰，而解密鑰留在自己處不送達(dá)B，B收到公開密鑰后，用它加密要給A的信息，然后送回A（這也無須特別秘密），則A可用手中的解密密鑰解密．

外人沒有解密密鑰，就無從破譯密碼了，那么加密鑰和解密鑰就沒有關(guān)系了嗎？當(dāng)然不是，否則就無法解密了．不過這種關(guān)系正是建立在大整數(shù)因數(shù)分解困難的基礎(chǔ)上．換句話說，由公開密鑰得出解密鑰要進(jìn)行一個充分大的整數(shù)的因數(shù)分解，你無法分解也就無法破譯．

具體的編碼過程是，先找出兩個不同的大素?cái)?shù)p和q，再給定一個數(shù)r（一般是用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生一個隨機(jī)數(shù)或至少一個偽隨機(jī)數(shù)，也可每次一換），使r與數(shù)（p－1）（p－1）互素，這三個數(shù)p、q、r就是解密密鑰．

再求一個數(shù)m，使（rm－1）能被（p－1）（q－1）整除．嚴(yán)格表述為：求m，使

rm≡1（mod（p－1）（q－1））．

由于r與（p－1）（q－1）互素，所以m是一定可求出來的（有數(shù)論定理保證）．再求出數(shù)n＝pq．m、n為加密密鑰，即公開密鑰．

具體的加密方法為，設(shè)明文為x，可把x視為（或變?yōu)椋┮粋€大整數(shù)，設(shè)x＜n，若x≥n，則將x表示為s進(jìn)位的形式（s≤n，常用s＝2t形式）的數(shù)，使其每一個數(shù)位上的數(shù)都小于n，再分?jǐn)?shù)位進(jìn)行編碼．求一個數(shù)y（0≤y＜n）使

y≡xm（modn）（可理解為，使（y－xm）能被n整除），y就是用m、n密鑰加密后的密文．

解密過程為，求

z＝y(tǒng)r（modn）（0≤z＜n），

在限定的條件（0≤y＜n，0≤z＜n）下有（可嚴(yán)格證明）

δ＝x，

即得出明文．

外人要想破譯密碼，就必須由m、n求出數(shù)r來．

由此可見，要找到r必須由n得出p和q，即對n進(jìn)行因數(shù)分解，如p、q取得相當(dāng)大，即n相當(dāng)大，由于分解困難，無法破譯這一密碼．

由于運(yùn)用現(xiàn)代計(jì)算機(jī)已可分解100位左右數(shù)的因數(shù)，因此n要取得相當(dāng)大，從而p、q也要取得相當(dāng)大，比如每個數(shù)80位以上，再求積，這在技術(shù)上是可能的．

是否還應(yīng)考慮相應(yīng)計(jì)算的復(fù)雜性和計(jì)算所需要的時間呢？當(dāng)然有這方面的問題，現(xiàn)在通常用復(fù)合編碼法解決，即用其他計(jì)算比較簡單、耗時少的編碼方法編碼，而每次編碼所采用的密鑰用RSA密碼來傳遞，這既加強(qiáng)了安全性，又加快了速度．