“等”對“不等”的啟示

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對于解集非空的一元二次不等式的求解，我們常用“兩根之間”、“兩根之外”這類簡縮語來說明其結(jié)果，同時也表明了它的解法．這是用“等”來解決“不等”的一個典型例子．從表面上看，“等”和“不等”是對立的，但如果著眼于“等”和“不等”的關(guān)系，會發(fā)現(xiàn)它們之間相互聯(lián)系的另一面．設(shè)M、N是代數(shù)式，我們把等式M＝N叫做不等式M＜N，M≤N，M＞N、M≥N相應(yīng)的等式．我們把一個不等式與其相應(yīng)的等式對比進行研究，發(fā)現(xiàn)“等”是“不等”的“界點”、是不等的特例，稍微深入一步，可以從“等”的解決來發(fā)現(xiàn)“不等”的解決思路、方法與技巧．本文通過幾個常見的典型例題揭示“等”對于“不等”在問題解決上的啟示．

1．否定特例，排除錯解

解不等式的實踐告訴我們，不等式的解區(qū)間的端點是它的相應(yīng)等式（方程）的解或者是它的定義區(qū)間的端點（這里我們把＋∞、－∞也看作端點）．因此我們可以通過端點的驗證，否定特例，排除錯解，獲得解決問題的啟示．

例1滿足sin（x－π／4）≥1／2的x的集合是（）．

A．｛x｜2kπ＋5π／12≤x≤2kπ＋13π／12，k∈Z｝

B．｛x｜2kπ－π／12≤x≤2kπ＋7π／12，k∈Z｝

C．｛x｜2kπ＋π／6≤x≤2kπ＋5π／6，k∈Z｝

D．｛x｜2kπ≤x≤2kπ＋π／6，k∈Z｝∪｛2kπ＋5π／6≤（2k＋1）π，k∈Z｝（1991年三南試題）

分析：當x＝－π／12、x＝π／6、x＝0時，sin（x－π／4）＜0，因此排除B、C、D，故選A．

例2不等式＋｜x｜／x≥0的解集是（）．

A．｛x｜－2≤x≤2｝

B．｛x｜－≤x＜0或0＜x≤2｝

C．｛x｜－2≤x＜0或0＜x≤2｝

D．｛x｜－≤x＜0或0＜x≤｝

分析：由x＝－2不是原不等式的解排除A、C，由x＝2是原不等式的一個解排除D，故選B．

這兩道題若按部就班地解來，例1是易錯題，例2有一定的運算量．上面的解法省時省力，但似有“投機取巧”之嫌．選擇題給出了三誤一正的答案，這是問題情景的一部分．而且是重要的一部分．我們利用“等”與“不等”之間的內(nèi)在聯(lián)系，把目光投向解區(qū)間的端點，化繁為簡，體現(xiàn)了具體問題具體解決的樸素思想，這種“投機取巧”正是抓住了問題的特征，體現(xiàn)了數(shù)學思維的敏捷性和數(shù)學地解決問題的機智．在解不等式的解答題中，我們可以用這種方法來探索結(jié)果、驗證結(jié)果或縮小探索的范圍．

例3解不等式loga（1－1／x）＞1．（1996年全國高考試題）

分析：原不等式相應(yīng)的等式--方程loga（1－1／x）＝1的解為x＝1／（1－a）（a≠1是隱含條件）．原不等式的定義域為（1，＋∞）∪（－∞，0）．當x→＋∞或x→－∞時，loga（1－1／x）→0，故解區(qū)間的端點只可能是0、1或1／（1－a）．當0＜a＜1時，1／（1－a）＞1，可猜測解區(qū)間是（1，1／（1－a））；當a＞1時，1／（1－a）＜0，可猜測解區(qū)間是（1／（1－a），0）．當然，猜測的時候要結(jié)合定義域考慮．

上面的分析，可以作為解題的探索，也可以作為解題后的回顧與檢驗．如果把原題重做一遍視為檢驗，那么一則費時，對考試來說無實用價值，對解題實踐來說也失去檢驗所特有的意義；二則重做一遍往往可能重蹈錯誤思路、錯誤運算程序的復轍，費時而于事無補．因此，抓住端點探索或檢驗不等式的解，是一條實用、有效的解決問題的思路．

2．誘導猜想，發(fā)現(xiàn)思路

當我們證明不等式M≥N（或M＞N、M≤N、M＜N）時，可以先考察M＝N的條件，基本不等式都有等號成立的充要條件，而且這些充要條件都是若干個正變量相等，這就使我們的思考有了明確的目標，誘導猜想，從而發(fā)現(xiàn)證題思路．這種思想方法對于一些較難的不等式證明更能顯示它的作用．

例4設(shè)a、b、c為正數(shù)且滿足abc＝1，試證：1／a3（b＋c）＋1／b3（c＋a）＋1／c3（a＋b）≥3／2．（第36屆IMO第二題）

分析：容易猜想到a＝b＝c＝1時，原不等式的等號成立，這時1／a3（b＋c）＝1／b3（c＋a）＝1／c3（a＋b）＝1／2．考慮到“≥”在基本不等式中表現(xiàn)為“和”向“積”的不等式變換，故想到給原不等式左邊的每一項配上一個因式，這個因式的值當a＝b＝c＝1時等于1／2，且能通過不等式變換的運算使原不等式的表達式得到簡化．

1／a3（b＋c）＋（b＋c）／4bc≥＝1／a，

1／b3（a＋c）＋（a＋c）／4ca≥1／b，1／c3（a＋b）＋（a＋b）／4ab≥1／c，

將這三個等式相加可得

1／a3（b＋c）＋1／b3（c＋a）＋1／c3（a＋b）≥1／a＋1／b＋1／c－（1／4）［（b＋c）／bc＋（c＋a）／ca＋（a＋b）／ab］＝（1／2）（1／a＋1／b＋1／c）≥（3／2）＝3／2，從而原不等式獲證．

這道題看似不難，當年卻使參賽的412名選手中有300人得0分．上述湊等因子的思路源于由等號的成立條件而產(chǎn)生的猜想，使思路變得較為自然，所用的知識是一般高中生所熟知的．再舉二例以說明這種方法有較大的適用范圍．

例5設(shè)a，b，c，d是滿足ab＋bc＋cd＋da＝1的正實數(shù)，求證：a3／（b＋c＋d）＋b3／（a＋c＋d）＋c3／（a＋b＋d）＋d3／（a＋b＋c）≥1／3．（第31屆IMO備選題）

證明：a3／（b＋c＋d）＋a（b＋c＋d）／9≥（2／3）a2，

b3／（a＋c＋d）＋b（a＋c＋d）／9≥（2／3）b2，

c3／（a＋b＋d）＋c（a＋b＋d）／9≥（2／3）c2，

d3／（a＋b＋c）＋d（a＋b＋c）／9≥（2／3）d2．

∴a3／（b＋c＋d）＋b3／（a＋c＋d）＋c3／（a＋b＋d）＋d3／（a＋b＋c）≥（2／3）（a2＋b2＋c2＋d2）－（2／9）（ab＋bc＋cd＋da＋ac＋bd）

＝（5／9）（a2＋b2＋c2＋d2）－（2／9）（ab＋bc＋cd＋da）＋（1／9）（a2＋c2－2ac＋b2＋d2－2bd）

≥（5／9）（a2＋b2＋c2＋d2）－（2／9）（ab＋bc＋cd＋da）≥（5／9）（ab＋bc＋cd＋da）－（2／9）（ab＋bc＋cd＋da）＝（1／3）（ab＋bc＋cd＋da）＝1／3．

當a＝b＝c＝d＝1／2時，原不等式左邊的四個項都等于1／12，由此出發(fā)湊“等因子”．對于某些中學數(shù)學中的常見問題也可用這種方法解決，降低問題解決對知識的要求．

例6設(shè)a，b，c，d∈R＋，a＋b＋c＋d＝8，求M＝＋＋＋的最大值．

分析：猜想當a＝b＝c＝d＝2時M取得最大值，這時M中的4個項都等于3．要求M的最大值，需將M向“≤”的方向進行不等變換，由此可得3≤（3＋4a＋1）／2＝2a＋2，3≤2b＋2，3≤2c＋2，3≤2d＋2．于是3M≤2（a＋b＋c＋d）＋8＝24，∴M≤8．當且僅當a＝b＝c＝d時等號成立，所以M的最大值為8．

當然，例6利用平方平均數(shù)不小于算術(shù)平均數(shù)是易于求解的，但需要高中數(shù)學教材外的知識．利用較少的知識解決較多的問題，是數(shù)學自身的追求，而且從教學上考慮，可以更好地培養(yǎng)學生的數(shù)學能力．先有猜想，后有設(shè)計，再有證法，也是數(shù)學地思考問題的基本特征．

3．引發(fā)矛盾，啟迪探索

在利用基本不等式求最大值或最小值時，都必須考慮等號能否取得，這不僅是解題的規(guī)范要求，而且往往對問題的解決提供有益的啟示．特別當解題的過程似乎順理成章，但等號成立的條件卻發(fā)生矛盾或并不一定成立．這一新的問題情景將啟迪我們對問題的進一步探索．

例7設(shè)a，b∈R＋，2a＋b＝1，則2－4a2－b2有（）．

A．最大值1／4B．最小值1／4

C．最大值（－1）／2D．最小值（－1）／2

分析：由4a2＋b2≥4ab，得原式≤2－4ab＝－4（）2＋2＝－4（－1／4）2＋1／4≤1／4．若不對不等變換中等號成立的條件進行研究，似已完成解題任務(wù)，而且覺得解題過程頗為自然，但若研究一下等號成立的條件，則出現(xiàn)了矛盾：要使4a2＋b2≥4ab中的等號成立，則應(yīng)有2a＝b＝1／2，這時＝／4≠1／4，第二個“≤”中的等號不能成立．這一矛盾使我們感覺到解題過程的錯誤，促使我們另辟解題途徑．事實上，原式＝2－（2a＋b）2＋4ab＝4ab＋2－1，而由1＝2a＋b≥2得0＜≤／4，ab≤1／8，∴原式≤／2＋1／2－1＝（－1）／2，故選C．

等號不一定成立而啟迪我們對問題進一步探索的典型例子是1997年全國高考（理科）第22題：

例8甲、乙兩地相距S千米（km），汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米／小時（km／h）．已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（千米／小時）的平方成正比，比例系數(shù)為b，固定部分為a元．

Ⅰ．把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米／小時）的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；

Ⅱ．為了使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以多大的速度行駛?

分析：y＝aSv＋bSv，v∈（0，c］，由y≥2S當且僅當aS／v＝bSv，即當v＝時等號成立得，當v＝時y有最小值．這是本題的正確答案嗎?那就得考慮v＝是否一定成立．當≤c時可以，但是有可能大于c的．這就引發(fā)了我們進行分類討論的動機，同時也獲得分類的標準．

綜上所述，“等”是不等式問題中一道特殊的風景，從“等”中尋找問題解決的思路，本質(zhì)上是特殊化思想在解題中的應(yīng)用．從教學上看，引導學生注視不等式問題中的“等”，是教會學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，從而分析問題、解決問題的契機．