圓的四邊形教案

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1.知識結構2.重點、難點分析

重點：圓內接四邊形的性質定理．它是圓中探求角相等或互補關系的常用定理，同時也是轉移角的常用方法．

難點：定理的靈活運用．使用性質定理時應注意觀察圖形、分析圖形，不要弄錯四邊形的

外角和它的內對角的相互對應位置．

3.教法建議

本節內容需要一個課時．

（1）教師的重點是為學生創設一個探究問題的情境（參看教學設計示例），組織學生自主觀察、分析和探究；

（2）在教學中以“發現——證明——應用”為主線，以“特殊——一般”的探究方法，引導學生發現與證明的思想方法．

一、教學目標：

（一）知識目標

（1）了解圓內接多邊形和多邊形外接圓的概念；

（2）掌握圓內接四邊形的概念及其性質定理；

（3）熟練運用圓內接四邊形的性質進行計算和證明．

（二）能力目標

（1）通過圓的特殊內接四邊形到圓的一般內接四邊形的性質的探究，培養學生觀察、分析、概括的能力；

（2）通過定理的證明探討過程，促進學生的發散思維；

（3）通過定理的應用，進一步提高學生的應用能力和思維能力．

（三）情感目標

（1）充分發揮學生的主體作用，激發學生的探究的熱情；

（2）滲透教學內容中普遍存在的相互聯系、相互轉化的觀點．

二、教學重點和難點:

重點：圓內接四邊形的性質定理．

難點：定理的靈活運用．

三、教學過程設計

（一）基本概念

如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓．如圖中的四邊形ABCD叫做⊙O的內接四邊形，而⊙O叫做四邊形ABCD的外接圓．

（二）創設研究情境

問題：一般的圓內接四邊形具有什么性質？

研究：圓的特殊內接四邊形（矩形、正方形、等腰梯形）

教師組織、引導學生研究．

1、邊的性質：

（1）矩形：對邊相等，對邊平行．

（2）正方形：對邊相等，對邊平行，鄰邊相等．

（3）等腰梯形：兩腰相等，有一組對邊平行．

歸納：圓內接四邊形的邊之間看不出存在什么公同的性質．

2、角的關系

猜想：圓內接四邊形的對角互補．

（三）證明猜想

教師引導學生證明．（參看思路）

思路1：在矩形中，外接圓心即為它的對角線的中點，∠A與∠B均為平角∠BOD的一半，在一般的圓內接四邊形中，只要把圓心O與一組對頂點B、D分別相連，能得到什么結果呢?

∠A=，∠C=

∴∠A+∠C=

思路2：在正方形中，外接圓心即為它的對角線的交點．把圓心與各頂點相連，與各邊所成的角均方45°的角．在一般的圓內接四邊形中，把圓心與各頂點相連，能得到什么結果呢?

這時有2(α+β+γ+δ)=360°

所以α+β+γ+δ=180°

而β+γ=∠A，α+δ=∠C，

∴∠A+∠C=180°，可得，圓內接四邊形的對角互補．

（四）性質及應用

定理：圓的內接四邊形的對角互補，并且任意一個外角等于它的內對角．

（對A層學生應知，逆定理成立，4點共圓）

例已知：如圖，⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點，經過A的直線與⊙O1交于點C，與⊙O2交于點D．過B的直線與⊙O1交于點E，與⊙O2交于點F．

求證：CE∥DF．

（分析與證明學生自主完成）

說明：①連結AB這是一種常見的引輔助線的方法．對于這道例題，連結AB以后，可以構造出兩個圓內接四邊形，然后利用圓內接四邊形的關于角的性質解決．

②教師在課堂教學中，善于調動學生對例題、重點習題的剖析，多進行一點一題多變，一題多解的訓練，培養學生發散思維，勇于創新．

鞏固練習：教材P98中1、2．

（五）小結

知識：圓內接多邊形——圓內接四邊形——圓內接四邊形的性質．

思想方法：①“特殊——一般”研究問題的方法；②構造圓內接四邊形；③一題多解，一題多變．

（六）作業：教材P101中15、16、17題；教材P102中B組5題．

探究活動

問題：已知，點A在⊙O上，⊙A與⊙O相交于B、C兩點，點D是⊙A上（不與B、C重合）一點，直線BD與⊙O相交于點E．試問：當點D在⊙A上運動時，能否判定△CED的形狀？說明理由．

分析要判定△CED的形狀，當運動到BD經過⊙A的圓心A時，此時點E與點A重合，可以發現△CED是等腰三角形，從而猜想對一般情況是否也能成立，進一步觀察可發現在運動過程中∠D及∠CED的大小保持不變，△CED的形狀保持不變．

提示：分兩種情況

（1）當點D在⊙O外時．證明△CDE∽△CAD’即可

（2）當點D在⊙O內時．利用圓內接四邊形外角等于內對角可證明△CDE∽△CAD’即可

說明：（1）本題應用同弧所對的圓周角相等，及圓內接四邊形外角等于內對角，改變圓周角頂點位置，進行角的轉換；

（2）本題為圖形形狀判定型的探索題，結論的探索同樣運用圖形運動思想，證明結論將一般位置轉化成特殊位置，同時獲得添輔助線的方法，這也是添輔助線的常用的思想方法；

（3）一般地，有時對幾種不同位置圖形探索得到相同結論，但不同位置的證明方法不同時，也要進行分類討論．本題中，如果將直線BD運動到使點E在BD的反向延長線上時，

△CDE仍然是等腰三角形．