多邊形內角和范文

導語：如何才能寫好一篇多邊形內角和，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

2、此時六邊形被分割成6個小三角形，因為三角形的內角和是180°，所以這6個三角形的所有內角之和是180°×6＝1080°。

3、而求六邊形的內角和則還需用1080°減去中間的一個周角(360°)，所以六邊形的內角和為:180°×6－360°＝720°。

4、將此方法推廣到其他多邊形，如四邊形、五邊形等等。

篇2

教學目標：

1.知識與技能：運用三角形內角和定理來推證多邊形內角和公式，掌握多邊形的內角和的計算公式。

2.過程與方法：經理探究多邊形內角和計算方法的過程，培養學生的合作交流的意識。

3.情感態度與價值觀：感受數學化歸的思想和實際應用的價值，同時培養學生善于發現，積極探究，合作創新的學習態度。

教學重點：

多邊形的內角和公式。

教學難點：

探索多邊形的內角和定理的推導

教學過程：

一、 創設情境，導入新課

1、請看：我身后的建筑物是什么？─ 水立方。我看到水立方時發現它的膜結構的結合處都是多邊形，你們想知道這些多邊形的內角和嗎？（多媒體展示）

這節課咱們一起來探究《多邊形的內角和》。

二、合作交流，探究新知

1、 多邊形的內角和

問：要求內角和你聯想到什么圖形的內角和？（示三角形的內角和定理）。如果兩個三角形能夠拼成四邊形，你能求出四邊形的內角和是多少度呢？

預設回答：三角形的內角和360°。四邊形的內角和360°

知道四邊形的內角和為360°，現在你能利用三角形的內角和定理證明嗎？自主學習教材第34頁“動腦筋”

【教學說明】“解放學生的手，解放學生的大腦”，鼓勵學生積極參與合作交流，尋找多種圖形形式，深入全面轉化的本質——將四邊形轉化為三角形問題來解決.

2、是否所有的多邊形的內角和都可以“轉化”為兩個三角形的內角和來求得呢？如何“轉化”？

預設回答：能，可以引對角線，將多邊形分成幾個三角形。

讓學生合作交流討論，展示探究成果。教材第35頁“探究”

示圖，取多邊形上任意一個頂點，連接除相鄰的兩點，則多邊形的內角和可轉化為三角形內角和之間的關系，

多邊形邊數可分成三角形的個數多邊形的內角和56 7n邊形 nn邊形有幾個內角？是否可以“轉化”為多個三角形的角來求得呢？如何“轉化”？

預設回答：有n個內角，可以轉化多個三角形來求，n邊形可以引n-3條對角線，即有n-2個三角形。所有n邊形的內角和等于（n-2）*180°

【教學說明】通過五邊形、六邊形、七邊形、八邊形等特殊多邊形內角和的探索，讓學生從特殊到一般歸納總結出多邊形內角和公式，體會數形間的聯系，感受從特殊到一般的數學推理過程和數學思考方法.

例：教材第36頁例1

【教學說明】讓學生利用多邊形的內角和公式求一個多邊形的內角和或它的邊數，加深知識的理解與運用.

三、課堂演練

1、若從一個多邊形的一個頂點出發，最多可以引10條對角線，則它是（）

A.十三邊形B.十二邊形

C.十一邊形D.十邊形

2、十二邊形的內角和為 ，已知一個多邊形的內角和是1260°，則這個多邊形的邊數是 。

【教學說明】由學生自主完成，教師及時了解學生的學習效果，讓學生經歷運用知識解決問題的過程.對需要幫助的學生及時點撥并加以強化.在完成上述題目后，讓學生完成練習冊中本課時的對應訓練部分.

四、課時小結

1、這節課你有什么新的收獲？

五、布置作業：教材第36頁練習1、2題。

六、板書設計多邊形的內角和

n邊形內角和等于(n－2)×180°。

多邊形的內角和是180的倍數；

篇3

一、 多邊形的內角和

在推導多邊形的內角和公式時，用到了轉化的數學思想，將多邊形的內角和問題轉化成若干個三角形的內角和的問題.即從n邊形的一個頂點出發，可以引（n-3）條對角線，它們將n邊形分成（n-2）個三角形. 這（n-2）個三角形的所有內角拼在一起就是n邊形的內角和，從而得到n邊形的內角和是（n-2）?180°（n≥3）.

如圖1，六邊形可以分成四個三角形，所以六邊形的內角和就是四個三角形的內角度數之和：（6-2）×180°=720°.

例1 （依葫蘆畫瓢）九邊形的內角和是________.

【分析】直接利用公式解題：（9-2）×180°=1 260°.

例2 （方程思想） 一個多邊形的內角和是720°，這個多邊形的邊數是（ ）.

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【分析】已知一個多邊形的內角和，求邊數，可先設邊數，再根據內角和公式列出方程求解. 有些數學問題從形式上看雖然不是方程問題，但通過挖掘等量關系，可以轉化為方程. 同學們應在平時的學習中掌握并運用方程思想.

【答案】設這個多邊形為n邊形，則有：（n-2）?180°=720°，n=6. 選C.

二、 多邊形的外角和

在一個多邊形的每個頂點處各取一個外角（每個頂點處有兩個外角），這些外角的和叫做多邊形的外角和.

n邊形的任何一個外角加上與它相鄰的內角都等于180°，n個外角連同它們各自相鄰的內角的總和等于n?180°，所以外角和為n?180°-（n-2）?180°=360°，即多邊形的外角和等于360°，它與邊數的多少無關.

如圖2，五邊形一共有10個外角，而五邊形的外角和則是∠1+∠3+∠5+∠7+∠9=360°.

例3 （小試牛刀） 一個多邊形的每個外角都等于45°，那么這個多邊形的內角和為（ ）.

A. 675° B. 720°

C. 900° D. 1 080°

【分析】本題主要考查多邊形的內角和與外角和.由于已知多邊形每個外角均為45°，從而可知多邊形邊數n為360°÷45°=8，進而求出多邊形的內角和為（8-2）×180°=1 080°，故選D.

三、 兩者的聯系

例4 （“內”“外”兼修） 一個多邊形的內角和是外角和的2倍，則這個多邊形是（ ）.

A. 四邊形 B. 五邊形

C. 六邊形 D. 八邊形

【分析】已知任意多邊形的外角和是360°，可知其內角和是720°，利用內角和公式（n-2）?180°=360°×2，得n=6，故選C.

【答案】C.

例5 （由“內”而“外”） 已知一個多邊形各個內角都等于150°，求這個多邊形的邊數.

【分析】本題可以有兩種方法：（1） 這是一道利用多邊形內角和求多邊形邊數的應用題.解題的關鍵是要明確多邊形各個內角相加即為多邊形的內角和.多邊形的內角和表示為（n-2）?180°的形式，由于所給多邊形的每個內角的度數都相等，所以多邊形的內角和又表示為n?150°，從而可列出方程求解. （2） 已知每個內角都等于150°，易得每個外角都是30°，再根據多邊形外角和為360°，可求出邊數.

【答案】方法一：設多邊形的邊數為n，由題意，得（n-2）?180°=n?150°，解得n=12，即這個多邊形的邊數是12.

方法二：由題意，得這個多邊形的每個外角都是180°-150°=30°，所以多邊形的邊數n=360°÷30°=12.

例6 （以“偏”概“全”） 已知一個多邊形的每一個內角都相等，且每一個內角都等于與它相鄰的外角的9倍，求這個多邊形的邊數.

【分析】（1） 因為多邊形的每個外角與和它相鄰的內角相加等于180°，根據題意，可先求出外角的度數，再求邊數；（2） 由于本題所給的條件是多邊形的內角與外角之間的關系，所以還可以轉化為這個多邊形的內角和與外角和之間的關系.

【答案】方法一：設多邊形的每一個外角為x，則它的每個內角為9x. 根據題意，得x+9x=180°，解得x=18°. 所以這個多邊形的邊數為n=360°÷18°=20.

方法二：設多邊形的邊數為n. 根據題意，得（n-2）?180°=9×360°. 解得n=20. 所以這個多邊形的邊數為20.

篇4

【關鍵詞】活動經驗；數學思想；問題意識；探索規律

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）25-0059-03

【作者簡介】杜建軍，江蘇省沭陽縣第二實驗小學（江蘇沭陽，223600）教科室主任，高級教師，宿遷市數學學科帶頭人，江蘇省教育科研先進個人。

“探索規律”是《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出的基本課程內容之一。蘇教版教材從三年級起，在每一冊教材里都安排一次有明確主題和內容的探索規律專題活動，其教學目標不是指向規律本身的理解和掌握，而是注重引導學生經歷探究規律的過程，主要目的是讓學生在探索規律的過程中初步學會用數學的眼光去觀察世界，用數學的語言去解釋現象，用數學的方式思考問題，不斷積累數學學習的經驗，發展數學素養。下面，筆者以蘇教版四下《多邊形的內角和》教學為例，談談對探索規律教學的一些思考與實踐。

一、揭示課題，提出問題

出示課題：多邊形的內角和。

提問：對于多邊形及內角和，你們已經知道些什么？還想再研究些什么？

引導：你們對這些問題打算怎樣進行研究呢？

談話：這種從簡單入手、有序思考的研究策略是一種很好的學習方法。我國古代思想家老子這樣說過：“天下難事，必作于易。”它的意思就是說，比較困難的事情，都要從簡單的事情做起。今天就讓咱們從比較簡單的圖形――四邊形開始研究。

課始的提問喚醒了學生原有的知識經驗，架起新舊知識間的橋梁，通過“你們打算怎樣進行研究”引導學生自己去尋找研究方法，初步滲透由簡單到復雜的探究策略。

二、選擇策略，研究個案

1.探究四邊形的內角和。

提問：在我們學過的圖形中，有哪些是四邊形？在這些圖形中，你能一眼看出哪個圖形的內角和呢？你是怎樣知道的？

引導：猜一猜，任意四邊形的內角和是多少度？數學學習離不開大膽的猜想，同時也得進行科學驗證。請同學們拿出課前發放的紅色四邊形圖片（圖1），想辦法求出它的內角和。

這里選擇直角梯形作為學具，其中有兩個角是直角，另兩個角分別是120°和60°，便于有些學生用測量的辦法求出其內角和。這里把直角梯形當作一般的四邊形讓學生進行度量和計算，得出360°為一般四邊形的內角和。

操作：W生用不同方法進行驗證。

匯報：請用不同方法驗證的同學到講臺前來匯報，明確測量的方法有時會產生誤差，重點引導學生理解為什么可以用分割法。

追問：像這樣將四邊形分割為兩個三角形以后，原來四邊形的四個角都“躲”到哪去了呢？

引導學生發現分割后兩個三角形的內角的總和就是原來四邊形的內角和。

談話：我們把四邊形的內角和轉化為兩個三角形的內角總和。原來，不用量也能求出四邊形的內角和。

比較：剛才我們用測量法、分割法分別求出了四邊形的內角和，現在你覺得哪種方法更為簡單呢？

追問：任意一個四邊形是否都能轉化成兩個三角形呢？

演示：利用幾何畫板課件演示四邊形的變化情況，讓學生發現任意四邊形都可以分割為兩個三角形。

小結：從特殊的四邊形――長方形、正方形的內角和引發猜想，并舉例驗證，從而得出一般的結論。由特殊到一般，是獲取結論的重要方法。

對四邊形內角和的探究是本節課探究活動的重點，讓學生在課堂上通過對不同驗證方法的比較，感受分割法的簡便，初步體會可以將四邊形轉化成兩個三角形來計算其內角和。同時讓學生通過回顧對四邊形內角和的研究，體會從特殊到一般的研究方法。

2.探究五邊形、六邊形的內角和。

提問：接下來，你想研究幾邊形的內角和？

引導：要求五邊形、六邊形的內角和，你能運用研究四邊形內角和的方法也來試一試嗎？請同學們拿出畫有五邊形和六邊形的操作紙，想一想，分一分，并算出每個圖形的內角和。

匯報：讓兩名學生到臺前匯報。

引導：我發現大多數同學都是從同一個頂點出發向其他頂點連線，這樣分割有什么好處呢？

小結：有序操作和思考也是數學學習的重要方法。

通過觀察比較，讓學生體會到從一個頂點出發，向與它不相鄰的頂點連線分割最為有序方便，引導學生學會更加合理的分割方法。

三、發現規律，建立模型

1.任意多邊形的內角和。

提問：對于其他多邊形，是否也能像剛才那樣將它們分割成一些三角形呢？

小組合作，任意畫一些多邊形，試一試。

小結：任意一個多邊形都能分割成一些三角形。

2.探索多邊形內角和的計算方法。

提問：如果要求一百邊形或邊數更多的多邊形內角和，要不要將這樣的多邊形畫出來進行研究？多邊形的內角和還有什么奧秘呢？

引導：觀察剛才的研究記錄，你有什么發現？你能通過剛才的研究找出多邊形內角和的秘密嗎？在小組里說一說。

提問：多邊形的內角和與什么有關？你能用一個式子表示多邊形的內角和嗎？

匯報得出：多邊形的內角和=（多邊形的邊數-2）×180°。

談話：同學們真了不起！人類經過多年的探究才發現的規律，我們僅在短短一節課中就發現了其中的秘密。

通過讓學生求一百邊形的內角和激發學生的探究欲望，抓住“多邊形的內角和與什么有關？”這一核心問題，引導學生發現多邊形的內角和與多邊形邊數的關系，將學生的思維引向更深處。通過談話讓學生感受數學探究的樂趣，獲得快樂的情感體驗，增強其數學學習的信心。

四、回顧反思，積累經驗

提問：回顧我們剛才探索和發現規律的過程，你有哪些收獲和體會？

總結：這節課，我們從特殊到一般，把復雜的問題轉化為簡單的問題，讓我們在今后的學習中，自覺運用這樣的思想方法，更加智慧地去學習數學，相信你一定會發現數學中更多的奧秘！

在回顧反思環節，引導學生從知識本身、探究過程中的思考方法及數學思想等三個不同層面進行反思，激發學生的學習興趣，感受運用轉化思想解決問題的價值，為學生今后的數學學習埋下數學思想的種子。

【教后反思】

《多邊形的內角和》是蘇教版四下“探究規律”專題活動內容，是在學生已經認識了三角形、平行四邊形和梯形，知道三角形的內角和是180°、平行四邊形的內角和是360°等知識的基礎上進行的教學。在教學設計的理念上，筆者力求體現以下三點：

1.關注探究過程，積累活動經驗。

本節課作為探索規律的專題內容，教學中不是直接將方法呈現給學生，而是引導學生自己找到解決問題的方法。課中讓學生通過觀察、操作、歸納、類比等一系列活動，引導學生充分經歷從特殊到一般、從簡單到復雜的探究過程，自主發現多邊形的內角和與邊數之間的關系，從而獲得計算多邊形內角和的一般方法，積累數學活動經驗。

通過活動，不僅要讓學生計算出多邊形的內角和，還要讓學生概括求多邊形內角和的計算方法，并初步用數學模型來表示。在試教的過程中筆者發現，學生雖然能計算出多邊形的內角和是多少度，但讓他們總結出求多邊形內角和的算法還具有一定困難。為了克服這一困難，我讓學生分別把四邊形、五邊形、六邊形……的“邊數”“分成三角形的個數”“內角和”等數據依次填入表中，這樣容易得出以下結論：圖形的邊數越多，分成三角形的個數就越多，內角和的度數也就越大；多邊形分成三角形的個數總是比它的邊數少2；多邊形的內角和一定是180°的倍數。這些發現都是概括多邊形內角和計算方法的感性認識，讓學生在活動的過程中，不斷積累活動經驗。

2.培養問題意識，提升思維品質。

“問題”是建構課堂的“腳手架”，決定了學生思維的方向。本節課不僅要讓學生經歷分析問題、解決問題的過程，還要鼓勵學生用心發現問題，大膽提出問題。本節課教學的生長點是“三角形的內角和”，基于學生對三角形內角和的認識，可以讓學生自主質疑，提出問題。因此，筆者在課始采取開門見山的方式，直接出示課題，讓學生說一說已經知道些什么，還想研究些什么，培養學生的問題意識。當學生得出長方形、正方形和平行四邊形等特殊的四邊形內角和是360°時，引導學生猜想并提出“其他任意四邊形的內角和也是360°嗎”“其他多邊形的內角和是多少度”等問題。通過“一百邊形的內角和是多少度”這一具有挑戰性的問題，激發學生的探究欲望，進而引導學生觀察已有數，分析存在的規律，得出任意多邊形內角和的計算方法。通過問題引領，激發學生的學習興趣，引發學生進行數學思考，提高學生的數學思維能力。

3.滲透數學思想，彰顯數學魅力。

本節課設計注重轉化、類比、歸納等思想方法的滲透。由長方形、正方形的內角和是360°入手，引導學生進行猜想，通過舉例驗證得到一般四邊形的內角和；由對四邊形內角和的探究類比到對其他多邊形內角和的探究；通過對四邊形、五邊形、六邊形等圖形內角和的探究，歸納出任意多邊形內角和的計算方法；將多邊形分割轉化為若干個三角形來計算其內角和，將新的問題轉化為學過的問題，將復雜的問題轉化為簡單的問題。

篇5

1080度是正六邊形。正六邊形就是在平面幾何學中，具有六條相等的邊和六個相等內角的多邊形。各內角相等，六邊相等。由多邊形外角和等于360度，推出一個內角為180-(360/6)=120度，所以每個內角均為120度。

數學用語，由三條或三條以上的線段首尾順次連接所組成的平面圖形叫做多邊形。按照不同的標準，多邊形可以分為正多邊形和非正多邊形、凸多邊形及凹多邊形等。

（來源：文章屋網 ）

篇6

很多八年級的學生之所以總是考不好數學，是因為平時缺乏思考，所以學過的知識要及時復習，不懂的知識要多思考。。以上就是小編為大家梳理歸納的知識，希望能夠夠幫助到大家。

初二數學上冊知識點北師第一章 勾股定理定義：如果直角三角形兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

判定：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a +b = c ，那么這個三角形是直角三角形。

定義：滿足a +b =c 的三個正整數，稱為勾股數。

第二章 實數定義：任何有限小數或無限循環小數都是有理數。無限不循環小數叫做無理數

(有理數總可以用有限小數或無限循環小數表示)

一般地，如果一個正數x的平方等于a，那么這個正數x就叫做a的算術平方根。

特別地，我們規定0的算術平方根是0。

一般地，如果一個數x的平方等于a，那么這個數x就叫做a的平方根(也叫二次方根)

一個正數有兩個平方根;0只有一個平方根，它是0本身;負數沒有平方根。

求一個數a的平方根的運算，叫做開平方，其中a叫做被開方數。

一般地，如果一個數x的立方等于a，那么這個數x就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。

正數的立方根是正數;0的立方根是0;負數的立方根是負數。

求一個數a的立方根的運算，叫做開立方，其中a叫做被開方數。

有理數和無理數統稱為實數，即實數可以分為有理數和無理數。

每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示;反過來，數軸上的每一個點都表示一個實數。即實數和數軸上的點是一一對應的。

在數軸上，右邊的點表示的數比左邊的點表示的數大。

第三章 圖形的平移與旋轉定義：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。平移不改變圖形的形狀和大小。

經過平移，對應點所連的線段平行也相等;對應線段平行且相等，對應角相等。

在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉，這個定點稱旋轉中心，轉動的角稱為旋轉角。旋轉不改變圖形的大小和形狀。

任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等。

第四章、三角形一、知識框架：

二、知識概念：

1.三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。

2.三邊關系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊。

3.高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高。

4.中線：在三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段叫做三角形的中線。

5.角平分線：三角形的一個內角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。

6.三角形的穩定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫三角形的穩定性。

7.多邊形：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。

8.多邊形的內角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內角。

9.多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。

10.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。

11.正多邊形：在平面內，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫正多邊形。

12.平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做多邊形覆蓋平面(平面鑲嵌)。

鑲嵌的條件：當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內角加在一起恰好組成一個時，就能拼成一個平面圖形。

13.公式與性質：

⑴三角形的內角和：三角形的內角和為180°

⑵三角形外角的性質：

性質1：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和。

性質2：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。

⑶多邊形內角和公式：邊形的內角和等于·180°

⑷多邊形的外角和：多邊形的外角和為360°。

⑸多邊形對角線的條數：①從邊形的一個頂點出發可以引條對角線，把多邊形分成個三角形.②邊形共有條對角線。

第五章：軸對稱1.基本概念：

⑴軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形。

⑵兩個圖形成軸對稱：把一個圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱。

⑶線段的垂直平分線：經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。

⑷等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角。

⑸等邊三角形：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形。

2.基本性質：

⑴對稱的性質：

①不管是軸對稱圖形還是兩個圖形關于某條直線對稱，對稱軸都是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。

②對稱的圖形都全等。

⑵線段垂直平分線的性質：

①線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。

②與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。

⑶關于坐標軸對稱的點的坐標性質

。

⑷等腰三角形的性質：

①等腰三角形兩腰相等。

②等腰三角形兩底角相等(等邊對等角)。

③等腰三角形的頂角角平分線、底邊上的中線，底邊上的高相互重合。

④等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是三線合一(1條)。

⑸等邊三角形的性質：

①等邊三角形三邊都相等。

②等邊三角形三個內角都相等，都等于60°

③等邊三角形每條邊上都存在三線合一。

④等邊三角形是軸對稱圖形，對稱軸是三線合一(3條)。

3.基本判定：

⑴等腰三角形的判定：

①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。

②如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)。

⑵等邊三角形的判定：

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形。

②三個角都相等的三角形是等邊三角形。

③有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

4.基本方法：

⑴做已知直線的垂線：

⑵做已知線段的垂直平分線：

⑶作對稱軸：連接兩個對應點，作所連線段的垂直平分線。

⑷作已知圖形關于某直線的對稱圖形：

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[關鍵詞]正多邊形；凸包圍；自洽

[DOI]10.13939/ki.zgsc.2015.07.135

1 引 言

2013高教社杯數學建模[1， 2]競賽C題中，有一個問題是，根據古塔每層的八個數據點，確定各層的中心位置。參賽隊大多數的做法是牽強地假設古塔為八角塔，且數據點位于古塔的棱角上，這些假設顯然是不合適的。

利用本文的方法，可確定該題中所給八個數據點在地面上的投影點不在正四、六邊形上，并計算出了投影點所在的正八邊形的頂點。另外，給出了一組五個數據點，用該法計算出了它們所在的正五邊形的頂點。

2 相關概念

（1）正多邊形內角角度：每個內角的角度為[SX（]（M-2）π[]M[SX）]。

（2）自洽：如果穿過1點的多邊形的邊（稱為邊1）方向已知，則穿過2點的邊（稱為邊2）的方向也將“幾乎已知”：兩條邊要么是同一條邊，要么所成的角為內角[SX（]（M-2）π[]M[SX）]；若邊2的方向已知，則依同樣的方法能確定邊3；依次類推，如果邊M的方向與邊1也滿足以上要求，那么這個直線方向序列就能夠圍成一個正多邊形（稱這一系列方向自洽）。

3 算法的詳細步驟及計算過程

3.1 對輸入n點進行順時針排序

使得輸入點按照順時針方向存入結果數組R中。

3.2 計算穿過每個點的直線方向的取值范圍

給定第1個節點的斜率，遞推地，可得所有節點的斜率，相應得到各個直線與x軸所成角，形成AngleBiTree。

根據AngleBiTree每個節點對應的角、斜率范圍Rk，可判斷AngleBiTree中該節點對應的直線角是否合法，若合法，將IsOkBiTree的相應節點置為1，否則置0。

3.4 遍歷IsOkBiTree，尋找一條節點值都是1的路徑

3.5 在第一條直線方向角取值范圍內采樣，對每個采樣，執行4，并判斷各方向角是否自洽

若自洽，則4中路徑對應的各方向角為正多邊形各邊的方向角，否則用下一個采樣點執行4。若最終找不到自洽的直線序列，則需要更改邊數M。

4 實驗結果

5 結 論

實驗和理論均表明，本文給出的算法能夠找到給定的一些點所在的正多邊形，但很顯然，這樣的多邊形有時不唯一，若想找到這些點能夠確定的所有多邊形，可窮舉邊1的角度初值，找到所有自洽的多邊形。而實際應用中，這種方式是不必要的。例如，可選擇靠近多邊形頂點的一些點作為給定點，此時能夠找到符合實際要求的多邊形。

參考文獻：

[1]趙靜，但琦.數學建模與數學實驗[M].北京：高等教育出版社，2003.

篇8

多邊形的一個內角的鄰補角叫做多邊形的外角。

對多邊形的每一個內角，從與它相鄰的兩個外角中取一個，這樣取得的所有外角的和叫做多邊形的外角和。

任意邊形的外角和都是360度。

（來源：文章屋網 ）

篇9

人教版七年級數學下冊主要包括相交線與平行線、平面直角坐標系、三角形、二元一次方程組、不等式與不等式組和數據的收集、整理與表述六章內容。下面小編給大家分享一些七年級下數學知識點，希望能夠幫助大家，歡迎閱讀!

七年級下數學知識點1第一章 相交線與平行線

一、知識框架

二、知識概念

1.鄰補角：兩條直線相交所構成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角是鄰補角。

2.對頂角：一個角的兩邊分別是另一個叫的兩邊的反向延長線，像這樣的兩個角互為對頂角。

3.垂線：兩條直線相交成直角時，叫做互相垂直，其中一條叫做另一條的垂線。

4.平行線：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。

5.同位角、內錯角、同旁內角：

同位角：∠1與∠5像這樣具有相同位置關系的一對角叫做同位角。

內錯角：∠2與∠6像這樣的一對角叫做內錯角。

同旁內角：∠2與∠5像這樣的一對角叫做同旁內角。

6.命題：判斷一件事情的語句叫命題。

7.平移：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移平移變換，簡稱平移。

8.對應點：平移后得到的新圖形中每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這樣的兩個點叫做對應點。

9.定理與性質

對頂角的性質：對頂角相等。

10垂線的性質：

性質1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

性質2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。

11.平行公理：經過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。

平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

12.平行線的性質：

性質1：兩直線平行，同位角相等。

性質2：兩直線平行，內錯角相等。

性質3：兩直線平行，同旁內角互補。

13.平行線的判定：

判定1：同位角相等，兩直線平行。

判定2：內錯角相等，兩直線平行。

判定3：同旁內角相等，兩直線平行。

本章使學生了解在平面內不重合的兩條直線相交與平行的兩種位置關系,研究了兩條直線相交時的形成的角的特征,兩條直線互相垂直所具有的特性,兩條直線平行的條件和它所有的特征以及有關圖形平移變換的性質,利用平移設計一些優美的圖案.重點:垂線和它的性質,平行線的判定方法和它的性質,平移和它的性質,以及這些的組織運用.難點:探索平行線的條件和特征,平行線條件與特征的區別,運用平移性質探索圖形之間的平移關系,以及進行圖案設計。

七年級下數學知識點2第一章 平面直角坐標系

一.知識框架

二.知識概念

1.有序數對：有順序的兩個數a與b組成的數對叫做有序數對，記做(a,b)

2.平面直角坐標系：在平面內，兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成平面直角坐標系。

3.橫軸、縱軸、原點：水平的數軸稱為x軸或橫軸;

豎直的數軸稱為y軸或縱軸;兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點。

4.坐標：對于平面內任一點P，過P分別向x軸，y軸作垂線，垂足分別在x軸，y軸上，對應的數a,b分別叫點P的橫坐標和縱坐標。

5.象限：兩條坐標軸把平面分成四個部分，右上部分叫第一象限，按逆時針方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。

坐標軸上的點不在任何一個象限內。

平面直角坐標系是數軸由一維到二維的過渡，同時它又是學習函數的基礎，起到承上啟下的作用。另外，平面直角坐標系將平面內的點與數結合起來，體現了數形結合的思想。掌握本節內容對以后學習和生活有著積極的意義。教師在講授本章內容時應多從實際情形出發，通過對平面上的點的位置確定發展學生創新能力和應用意識。

七年級下數學知識點3第一章 三角形

一.知識框架

二.知識概念

1.三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。

2.三邊關系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊。

3.高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高。

4.中線：在三角形中，連接一個頂點和它的對邊中點的線段叫做三角形的中線。

5.角平分線：三角形的一個內角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。

6.三角形的穩定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫三角形的穩定性。

6.多邊形：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。

7.多邊形的內角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內角。

8.多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。

9.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。

10.正多邊形：在平面內，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。

11.平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面。

12.公式與性質

三角形的內角和：三角形的內角和為180°

三角形外角的性質：

性質1：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和。

性質2：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。

多邊形內角和公式：n邊形的內角和等于(n-2)·180°

多邊形的外角和：多邊形的內角和為360°。

多邊形對角線的條數：

(1)從n邊形的一個頂點出發可以引(n-3)條對角線，把多邊形分詞(n-2)個三角形。

三角形是初中數學中幾何部分的基礎圖形，在學習過程中，教師應該多鼓勵學生動腦動手，發現和探索其中的知識奧秘。注重培養學生正確的數學情操和幾何思維能力。

第八章 二元一次方程組

一.知識結構圖

二、知識概念

1.二元一次方程：含有兩個未知數，并且未知數的指數都是1，像這樣的方程叫做二元一次。

方程，一般形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。

2.二元一次方程組：把兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。

3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的未知數的值叫做二元一次方程組的解。

4.二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解叫做二元一次方程組。

5.消元：將未知數的個數由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。

6.代入消元：將一個未知數用含有另一個未知數的式子表示出來，再代入另一個方程，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。

7.加減消元法：當兩個方程中同一未知數的系數相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。

本章通過實例引入二元一次方程,二元一次方程組以及二元一次方程組的概念,培養學生對概念的理解和完整性和深刻性,使學生掌握好二元一次方程組的兩種解法.重點:二元一次方程組的解法,列二元一次方程組解決實際問題.難點:二元一次方程組解決實際問題

七年級下數學知識點4第九章 不等式與不等式組

一.知識框架

二、知識概念

1.用符號“”“≤ ”“≥”表示大小關系的式子叫做不等式。

2.不等式的解：使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解。

3.不等式的解集：一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。

4.一元一次不等式：不等式的左、右兩邊都是整式，只有一個未知數，并且未知數的最高次數是1，像這樣的不等式，叫做一元一次不等式。

5.一元一次不等式組：一般地，關于同一未知數的幾個一元一次不等式合在一起，就組成6.了一個一元一次不等式組。

7.定理與性質

不等式的性質：

不等式的基本性質1：不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(或式子)，不等號的方向不變。

不等式的基本性質2：不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數，不等號的方向不變。

不等式的基本性質3：不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數，不等號的方向改變。

本章內容要求學生經歷建立一元一次不等式(組)這樣的數學模型并應用它解決實際問題的過程，體會不等式(組)的特點和作用，掌握運用它們解決問題的一般方法，提高分析問題、解決問題的能力，增強創新精神和應用數學的意識。

七年級下數學知識點5第十章 數據的收集、整理與描述

一.知識框架

二.知識概念

1.全面調查：考察全體對象的調查方式叫做全面調查。

2.抽樣調查：調查部分數據，根據部分來估計總體的調查方式稱為抽樣調查。

3.總體：要考察的全體對象稱為總體。

4.個體：組成總體的每一個考察對象稱為個體。

5.樣本：被抽取的所有個體組成一個樣本。

6.樣本容量：樣本中個體的數目稱為樣本容量。

7.頻數：一般地，我們稱落在不同小組中的數據個數為該組的頻數。

8.頻率：頻數與數據總數的比為頻率。

篇10

在初中數學課堂教學中，小結一般作為總結本課，開啟下一課的鑰匙。但是在具體執行過程中，受到時間、學生心態、教師課堂設計水平等因素的限制，初中數學課堂小結在運用的過程中呈現出多種問題。究其原因是多方面的，而其最主要的原因則來源于教師對學生心理的把握力度不夠。心理學專家在當代少年兒童的大腦結構分析基礎上所做出的研究表明，在初中階段的學生對課程的關注度主要集中在前15分鐘，個別注意力比較好的學生能堅持到15～25分鐘，隨著時間的推移，從25分鐘到45分鐘之間學生的記憶力和注意力則出現了逐漸下滑的趨勢。由此可見，教師在做初中數學課程設計時，僅僅按照傳統習慣將課堂小結作為課末總結的方式并不科學，對學生的課堂學習和課下探索延伸起不到推動作用。

由此，在新的知識環節講解和學習的過程中，對課堂小結的設計，教師應該通過巧妙的規劃，實現溫故知新，而這又是對本堂課程的總結和反思的過程，具有極強的邏輯性和漸進性，環環相扣，同時要為學生的思考和課下探索的延伸留出獨立的空間。因此，按照具體的操作，本文以浙教版初中數學“探索多邊形的內角和”的課堂學習為例，對課堂小結的運用從以下兩個方面進行闡述。

一、撥迷梳“理”，溫故知新

七年級“探索多邊形的內角和”一課的教學重點是讓學生了解什么是多邊形、什么是內角、如何求內角和、如何在現實生活中利用此種計算方法。新課標要求，學生作為教學主體，對課程重點內容的了解和領悟主要是以他們自身的動手操作為主，這也是教師在教案設計時的主要切入點之一。在明確本堂課的教學重點之后，教師需要對以往學習過的知識點進行梳理，并找出與本堂課有關聯性的知識點，在課程初始時作為引導，通過對以往知識點的回顧，如三角形、相交線等已學知識點引出本堂課的重點。而后面即將學習的課程，如“多姿多彩幾何圖形”等的相應測試，也可以作為學生課堂及課后的延伸知識點，在教師的課程講解過程中予以貫穿。當然，在課程設計初期，教師要尤為注意的是，應根據本堂課知識點的重點排序，由主到輔、由簡入深地安排好具有節奏感的講解內容及小結，而作為延伸思考的知識點在每個小結部分可以按照其相關性和重要性進行穿插安排。

二、動手操作，注重反思

“探索多邊形的內角和”中，多邊形的概念是本課各個難點展開的基礎，按照多邊形的概念，教師可以讓學生用線、卡紙、鐵絲等工具自行制作凹多邊形或凸多變形，以體驗多邊形的曲線美。引導學生嘗試以拉伸和縮小的方式構架出凹多邊形和凸多變形后，教師可以讓學生按照體驗來描述二者的區別和相同點，并以此作為小結。當學生做完歸納后，根據本課“多邊形的內角和主要以凸多邊形為主”的教學目標要求，教師可提問：“同學們目前已經了解了二者的區別，本堂課要講解的‘多邊形內角和’主要以凸多邊形為基礎，但是為什么我們不以凹多邊形為基礎呢？請同學們仔細想想原因。”教師的這種講解模式既可以為下面對“內角和”的重點講解作鋪墊，又可以讓學生深入思考之前對凹凸多邊形的描述是否恰當，是否符合多邊形的數學性規律。

在此種引導方法下，學生會按照下一個知識點的內容來反思之前的小結是否具有全面性。在反復的思考和對比過程中，學生的邏輯思維可以得到充分的訓練。這對培養學生的數學思維，以及對知識點的重復性推敲和反思能力的提升具有促進作用。一旦學生在思考和探討的過程中，摸索到數學本身的規律，并從復雜多樣的數學知識點中找到其原本的架構，自然會在頭腦中建立起一個符合自身記憶和領悟需要的數學知識體系。

三、大道從簡，循環漸進

大道從簡，按照初中數學的知識點架構來看，每堂課的每個知識點都可以在被重點提煉之后作為節點來布置課堂小結。以數學的邏輯思維傳承性為基礎，課堂上的下一個知識點就可以作為反思和推敲上一個小結的試金石，如此循環往復后，課末的最終知識點總結則對本課所有知識點小結進行有效的補充和完善，進而延伸出下堂課以及與本堂課重點內容相關的其他數學知識點的探索和思考。

當然，這種教學方法也同樣可以運用到其他學科的教學中。借助教師的漸進式誘導，學生會自主加入到課堂探索中，通過由簡到難、由淺入深的逐層遞進式反思和討論提升在課堂中的興趣度和專注度。