二元一次方程范文

導(dǎo)語：如何才能寫好一篇二元一次方程，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

一、教學(xué)目標(biāo)

1．使學(xué)生掌握由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)可以分解為兩個(gè)二元一次方程組成的方程組的解法.

2.通過例題的分析講解，進(jìn)一步提高學(xué)生的分析問題和解決問題的能力；

3.通過一個(gè)二元二次方程解法的分析，使學(xué)生進(jìn)一步體會“消元”和“降次”的數(shù)學(xué)思想方法，繼續(xù)向?qū)W生滲透“轉(zhuǎn)化”的辨證唯物主義觀點(diǎn).

二、重點(diǎn)·難點(diǎn)·疑點(diǎn)及解決辦法

1．教學(xué)重點(diǎn)：通過把一個(gè)二元二次方程分解為兩個(gè)二元一次方程來解由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組.

2．教學(xué)難點(diǎn)：正確地判斷出可以分解的二元二次方程.

3．教學(xué)疑點(diǎn)：降次后的二元一次方程與哪個(gè)方程重新組成方程組，一定要分清楚.

4．解決辦法：（1）看好哪個(gè)二元二次方程能分成兩個(gè)二元一次方程，它們之間是“或”的關(guān)系，不能聯(lián)立成方程組.（2）分解好的二元一次方程應(yīng)與另一個(gè)二元二次方程組成兩個(gè)二元二次方程組.

三、教學(xué)過程

1．復(fù)習(xí)提問

（1）我們所學(xué)習(xí)的二元二次方程組有哪幾種類型？

（2）解二元二次方程組的基本思想是什么？

（3）解由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組的基本方法是什么？其主要步驟是什么？

（4）解方程組：.

（5）把下列各式分解因式：

①；②；③.

關(guān)于問題設(shè)計(jì)的說明：

由于二元二次方程組的第一節(jié)課已經(jīng)向?qū)W生闡明了我們所研究的二元二次方程組有兩種類型．其一是由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的二元二次方程組；其二是由

兩個(gè)二元二次方程所組成的方程組．由于第一種類型我們已經(jīng)研究完，使學(xué)生自然而然地接

受了第二種類型研究的要求．關(guān)于問題（2）的提出，由于兩種類型的二元二次方程組的解題思想均為“消元”和“降次”，所以問題（2）讓學(xué)生懂得“消元”和“降次”的數(shù)學(xué)思想，貫穿于解二元二次方程組的始終．問題（3）、（4）是對上兩節(jié)課內(nèi)容的復(fù)習(xí)，以便學(xué)生對已學(xué)過的知識得到進(jìn)一步的鞏固．由于本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容是由兩個(gè)二元二次方程組成的二元二次方程組的解法，其中有一個(gè)二元二次方程可以分解，因此，問題（5）的設(shè)計(jì)是為本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容做準(zhǔn)備的.

2．例題講解

例1解方程組

分析：這是一個(gè)由兩個(gè)二元二次方程組成的二元二次方程組，其解題的基本思路仍為“消元”、“降次”，使之轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)學(xué)過的方程組或方程的解法．那么如何轉(zhuǎn)化呢？關(guān)于轉(zhuǎn)

化的形式有兩種，要么降二次為一次，要么化二元為一元我們通過觀察方程組中的兩個(gè)方程有什么特點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)：方程組（2）的右邊是0，左邊是一個(gè)二次齊次式，并且可以分解為，因此方程（2）可轉(zhuǎn)化為，即或，從而可分別和方程（1）組成兩個(gè)由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的二元二次方程組，從而解出這兩個(gè)方程組，得到原方程組的解．

解：由（2）得

因此，原方程組可化為兩個(gè)方程組

解方程組，得原方程組的解為

說明：本題可由教師引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立完成，教師應(yīng)對學(xué)生的解題格式給予強(qiáng)調(diào)．

例2解方程組

分析：這個(gè)方程組也是由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組，通過認(rèn)真的觀察與分析可以

發(fā)現(xiàn)方程（2）的左邊是一個(gè)完全平方式，而右邊是完全平方米，因此將右邊16移到左邊后可利用平方差公式進(jìn)行分解，，即或，從而可仿例1的解法進(jìn)行.

解：由（2）得

.

即，或.

因此，原方程組可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)方程組

解這兩個(gè)方程組，得原方程組的解為

鞏固練習(xí)：

1．教材P60中1.此練習(xí)可讓學(xué)生口答.

2．教材P60中2.此題讓學(xué)生獨(dú)立完成.

四、總結(jié)擴(kuò)展

本節(jié)小結(jié)，內(nèi)容較為集中并且比較簡單，可引導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)方面進(jìn)行總結(jié)：（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪種類型的方程組的解法；（2）這種類型的方程組的解題步驟如何？

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了由兩個(gè)二元二次方程組成的并且有一個(gè)方程是可以分解成兩個(gè)二元一次方程的方程組的解法，解這種類型的方程組的步驟是將原二元二次方程組轉(zhuǎn)化為兩個(gè)已學(xué)習(xí)過的二元二次方程組，從而求出原方程組的解.

關(guān)于比較特殊的二元二次方程組的解法，教師可以利用輔導(dǎo)課的時(shí)間補(bǔ)充兩個(gè)二元二次方程都可以分解的二元二次方程組的解法.

五、布置作業(yè)

1．教材P61A1，2，3.

六、板書設(shè)計(jì)

探究活動

若關(guān)于的方程只有一個(gè)解，試求出值與方程的解．

解：化簡原方程，得（1）

當(dāng)時(shí)，原方程有惟一解，符合題意．

當(dāng)時(shí)，方程（1）根據(jù)的判別式

，故方程（1）總有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，按題意其中必有一根是原方程的增根，原方程可能產(chǎn)生的增根只是0或1．

篇2

本節(jié)是在二元一次方程組的基礎(chǔ)上進(jìn)一步探究其解法，讓學(xué)生通過解二元一次方程組了解其關(guān)鍵在于消元，即將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”，不論是通過等量代換的方法，消去一個(gè)未知數(shù)，從而求得原方程組的解；還是將兩個(gè)方程相加消元，變成一元一次方程，從而求得原方程組的解，都是學(xué)生必須掌握的基本方法。二元一次方程組是方程組的基礎(chǔ)，是學(xué)習(xí)一次函數(shù)的基礎(chǔ)，也是中考和競賽的常見題目。

二、二元一次方程組解法的教材分析

（一）本節(jié)的主要內(nèi)容

本節(jié)采用了兩種教學(xué)方式進(jìn)行講解。一是在于靈活運(yùn)用代入法，并且在求出一個(gè)未知數(shù)的值后，應(yīng)將它代入到哪一個(gè)方程求另一個(gè)未知數(shù)的值比較簡便；二是在于靈活運(yùn)用加減法的技巧，以便將方程變形為比較簡單和計(jì)算比較簡便。不論是哪種方法，學(xué)生們都要了解解二元一次方程組的關(guān)鍵在于消元，即將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”，把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”。

（二）本節(jié)的教學(xué)要求

使學(xué)生會分析二元一次方程組中的兩個(gè)方程，分析同一個(gè)未知數(shù)系數(shù)的關(guān)聯(lián)，從而決定用哪種方法比較簡便，再進(jìn)行解答。

（三）二元一次方程組的解法

它的解法有很多種，但是常見的只有兩種，即代入法和加減法。它們雖是兩種不同的方法，但其目的相同---“消元”，都是把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”，進(jìn)而求解方程組。不同點(diǎn)是消元的方法不同，或通過“代入”或通過“加減”。對于一個(gè)方程組用哪種消元方法解都是可以的，但應(yīng)根據(jù)方程組的具體形式選擇比較簡便的方法，對應(yīng)不同的題目在解題時(shí)可采用不同的消元方法。

（1）代入法

用這種方法求解關(guān)鍵是選擇哪一個(gè)方程變形，消什么元。選取的方法是：①選擇未知數(shù)的系數(shù)是1或-1的方程；②若未知數(shù)的系數(shù)不是1或-1，選系數(shù)的絕對值較小的方程，將要消的元用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示，再把它代入到?jīng)]有變形的方程中去。

（2）加減法

用這種方法求解關(guān)鍵是相加減哪個(gè)元。選取的方法是：①某個(gè)未知數(shù)系數(shù)的絕對值相等時(shí)，可直接加減消元；②若同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)絕對值不等時(shí)，則應(yīng)選一個(gè)或兩個(gè)方程變形，使一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等，然后再直接用加減法求解，若方程組比較復(fù)雜，應(yīng)先化簡整理。

（四）本節(jié)應(yīng)注意的問題

（1）“系數(shù)變形”時(shí)，應(yīng)注意同一個(gè)方程的左、右兩邊每一項(xiàng)均應(yīng)乘同一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)，防止漏乘。

（2）“加減消元”時(shí)，由于是兩個(gè)方程的左、右兩邊分別相加或相減，特別易出現(xiàn)漏項(xiàng)、變號（相減時(shí)）等錯(cuò)誤。

（3）“回代求解”時(shí)，應(yīng)代入系數(shù)相對較簡單的一個(gè)方程。

（4）“加減消元”時(shí)，若同一個(gè)未知數(shù)系數(shù)的絕對值都不相等，則選取一組系數(shù)（選最小公倍數(shù)較小的一組系數(shù)），求出它們的最小公倍數(shù)（如果一個(gè)系數(shù)是另一個(gè)系數(shù)的整數(shù)倍，該系數(shù)即為最小公倍數(shù)），然后將原方程組變形，從而進(jìn)行加減消元。

（5）對于比較復(fù)雜的二元一次方程組，應(yīng)先化簡（去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等），再進(jìn)行消元。

（五）典型例題

例1.已知方程組 2x-y=7 ①和 x+by=a ③有相同的解，求a，b的值。

ax+y=b ② 3x+y=8 ④

[分析]由已知兩個(gè)方程組有相同的解，可知方程2x-y=7和3x+y=8有相同的解，故將此兩方程聯(lián)立得二元一次方程組，其解又應(yīng)滿足由ax+y=b和x+by=a組成的方程組，進(jìn)而求解。

解：依題意得 2x-y=7，解之，得 x=3，

3x+y=8， y=-1.

將它分別代入兩個(gè)方程組的另兩個(gè)方程，得到關(guān)天a、b的方程組 3a-b=1，

a+b=3.

解之，得 a=1，即為所求。

b=2

說明：此例須找每個(gè)方程組中都是已知數(shù)的方程組成新的方程組，得到的解，即是相同的解，再代入另一個(gè)方程一，從而求出參數(shù)的解。

例2. m取什么整數(shù)時(shí)，方程組 2x-my=6 ①的解是正整數(shù)？

x-3y=0 ②

[分析]將m看成已知數(shù)，求出含字母的x、y的值，再由解為正整數(shù)來決定m的取值。

解：由②得 x=3y

將它代入①中 2×3y-my=6

得 y=6/（6-m）.

x、y都是正整數(shù)

6-m的值為1、2、3、6；

即m的值為0、3、4、5.

說明：此例是把參數(shù)當(dāng)作已知數(shù)求出方程的解，再依據(jù)已知條件求出參數(shù)的值。

三、結(jié)束語

篇3

一、在圖形中的應(yīng)用

例1一副三角板按如圖1所示的方式擺放，且∠1的度數(shù)比∠2的度數(shù)大50°，若設(shè)∠1＝x°，∠2＝y(tǒng)°，則可得到方程組為（ ）.

A.x＝y(tǒng)－50x＋y＝180B.x＝y(tǒng)＋50x＋y＝180

C.x＝y(tǒng)－50x＋y＝90 D.x＝y(tǒng)＋50x＋y＝90

解析：本題以一副三角板的擺放方式為背景，通過三角板中隱藏的直角條件，挖掘出∠1與∠2互余的關(guān)系，故容易得到答案為D.同時(shí)，同學(xué)們可以從中體會到用代數(shù)方法（如列方程組）解答幾何問題的思路.

二、在對話情景中的應(yīng)用

例2第41屆世界博覽會“中國2010年上海世界博覽會”5月1日舉辦，小亮計(jì)劃在暑假期間為他們?nèi)?人預(yù)訂世博會門票，根據(jù)圖中的對話內(nèi)容請你求出甲、乙兩種門票的價(jià)格各是多少元？

解：設(shè)每張甲種門票的價(jià)格為x元，每張乙種門票的價(jià)格為y元.依題意，得

x－y＝70，2x＋3y＝590.解得x＝160，y＝90.

答：每張甲種門票的價(jià)格為160元，每張乙種門票的價(jià)格為90元.

點(diǎn)評：本題以兩人對話的方式給出了相關(guān)的數(shù)學(xué)信息．解題時(shí)，要分析他們的對話，弄清已知量與未知量，找出其中蘊(yùn)涵的等量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，列出方程組．

三、在表格中的應(yīng)用

例3老師布置了一個(gè)探究活動作業(yè)：僅用一架天平和一個(gè)10克的砝碼測量壹元硬幣和伍角硬幣的質(zhì)量．（注：同種類的每枚硬幣質(zhì)量相同）

聰明的孔明同學(xué)找來足夠多的壹元和伍角的硬幣，經(jīng)過探究得到以下記錄：

請你運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識計(jì)算出一枚壹元硬幣重多少克，一枚伍角硬幣重多少克．

分析：題目中待求的未知數(shù)有兩個(gè)，故可以考慮列方程組求解．根據(jù)天平平衡的記錄可以找到兩個(gè)等量關(guān)系：5枚壹元硬幣的質(zhì)量＋10克砝碼的質(zhì)量＝10枚伍角硬幣的質(zhì)量；15枚壹元硬幣的質(zhì)量＝20枚伍角硬幣的質(zhì)量＋10克砝碼的質(zhì)量．

解：設(shè)一枚壹元硬幣重x克，一枚伍角硬幣重y克.依題意，得

5x＋10＝10y，15x＝20y＋10.解得x＝6，y＝4.

答：一枚壹元硬幣重6克，一枚伍角硬幣重4克.

點(diǎn)評：本題從天平著手，建立相應(yīng)的等量關(guān)系，得出二元一次方程組.對于這類圖表型信息應(yīng)用題，我們要善于從圖表中挖掘信息，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，靈活運(yùn)用所學(xué)知識來解決實(shí)際問題．

四、在實(shí)際生活中的應(yīng)用

例4端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗，今年某商場銷售甲廠家生產(chǎn)的高檔、中檔、低檔三個(gè)品種及乙廠家生產(chǎn)的精裝、簡裝兩個(gè)品種的盒裝粽子．現(xiàn)需要在甲、乙兩個(gè)廠家的產(chǎn)品中各選購一個(gè)品種．

（1）寫出所有的選購方案；

（2）現(xiàn)某中學(xué)準(zhǔn)備購買兩個(gè)品種的粽子共32盒(價(jià)格如下表所示)，發(fā)給學(xué)校的留守兒童，讓他們過一個(gè)愉快的端午節(jié).其中指定購買了甲廠家的高檔粽子，再從乙廠家購買一個(gè)品種.若恰好用了1200元，請問購買了甲廠家的高檔粽子多少盒？

解：（1）共有6種選購方案：(高，精)，（高，簡），（中，精），（中，簡），（低，精），（低，簡）．

（2）當(dāng)選用方案(高，精)時(shí)，設(shè)購買高檔粽子、精裝粽子分別為x，y盒.根據(jù)題意，得

x＋y＝32，60x＋50y＝1200.解得x＝－40，y＝72.

經(jīng)檢驗(yàn)，不符合題意，舍去；

當(dāng)選用方案（高，簡）時(shí)，設(shè)購買高檔粽子、簡裝粽子分別為x，y盒.根據(jù)題意，得

x＋y＝32，60x＋20y＝1200.解得x＝14，y＝18.

篇4

1、會用代入法解二元一次方程組

2、會闡述用代入法解二元一次方程組的基本思路——通過“代入”達(dá)到“消元”的目的，從而把解二元一次方程組轉(zhuǎn)化為解一元一次方程。

此外，在用代入法解二元一次方程組的知識發(fā)生過程中，讓學(xué)生從中體會“化未知為已知”的重要的數(shù)學(xué)思想方法。

引導(dǎo)性材料：

本節(jié)課，我們以上節(jié)課討論的求甲、乙騎自行車速度的問題為例，探求二元一次方程組的解法。前面我們根據(jù)問題“甲、乙騎自行車從相距60千米的兩地相向而行，經(jīng)過兩小時(shí)相遇。已知乙的速度是甲的速度的2倍，求甲、乙兩人的速度。”設(shè)甲的速度為X千米／小時(shí)，由題意可得一元一次方程2（X＋2X）＝60；設(shè)甲的速度為X千米／小時(shí)，乙的速度為Y千米／小時(shí)，由題意可得二元一次方程組 2（X＋Y）=60

Y=2X

觀察

2（X＋2X）＝60與　2（X＋Y）=60 ①

Y=2X

②　有沒有內(nèi)在聯(lián)系？有什么內(nèi)在聯(lián)系？

（通過較短時(shí)間的觀察，學(xué)生通常都能說出上面的二元一次方程組與一元一次方程的內(nèi)在聯(lián)系——把方程①中的“Y”用“2X”去替換就可得到一元一次方程。）

知識產(chǎn)生和發(fā)展過程的教學(xué)設(shè)計(jì)

問題1：從上面的二元一次方程組與一元一次方程的內(nèi)在聯(lián)系的研究中，我們可以得到什么啟發(fā)？把方程①中的“Y”用“2X”去替換，就是把方程②代入方程①，于是我們就把一個(gè)新問題（解二元一次方程組）轉(zhuǎn)化為熟悉的問題（解一元一次方程）。

解方程組　2（X＋Y）=60 ①

Y=2X

②

解：把②代入①得：

2（X＋2X）＝60，

6X＝60，

X＝10

把X＝10代入②，得

Y＝20

因此：　X＝10

Y＝20

問題2：你認(rèn)為解方程組　2（X＋Y）=60 ①

Y=2X

②　的關(guān)鍵是什么？那么解方程組

X＝2Y＋1

2X—3Y＝4　的關(guān)鍵是什么？求出這個(gè)方程組的解。

上面兩個(gè)二元一次方程組求解的基本思路是：通過“代入”，達(dá)到消去一個(gè)未知數(shù)（即消元）的目的，從而把解二元一次方程組轉(zhuǎn)化為解一元一次方程，這種解二元一次方程組的方法叫“代入消元法”，簡稱“代入法”。

問題3：對于方程組　2X＋5Y＝－21　①

X＋3Y＝8

②　能否像上述兩個(gè)二元一次方程組一樣，把方程組中的一個(gè)方程直接代入另一個(gè)方程從而消去一個(gè)未知數(shù)呢？

（說明：從學(xué)生熟悉的列一元一次方程求解兩個(gè)未知數(shù)的問題入手來研究二元一次方程組的解法，有利于學(xué)生建立新舊知識的聯(lián)系和培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生逐步學(xué)會把一個(gè)還不會解決的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)已經(jīng)會解決的問題的思想方法，對后續(xù)的解三無一次方程組、一元二次方程、分式方程等，學(xué)生就有了求解的策略。）

例題解析

例：用代入法將下列解二元一次方程組轉(zhuǎn)化為解一元一次方程：

（1）X＝1－Y

①

3X＋2Y＝5

②

將①代入②（消去X）得：

3（1－Y）＋2Y＝5

（2）5X＋2Y－25.2＝0　①

3X－5＝Y(jié)

②

將②代入①（消去Y）得：

5X＋2（3X－5）－25.2＝0

（3）2X＋Y＝5

①

3X＋4Y＝2　②

由①得Y＝5－2X，將Y＝5－2X代入②消去Y得：

3X＋4（5－2X）＝2

（4）2S－T＝3

①

3S＋2T＝8

②

由①得T＝2S－3，將T＝2S－3代入②消去T得：

3S＋2（2S－3）＝8

課內(nèi)練習(xí)：

解下列方程組。

（1）2X＋5Y＝－21

（2）3X－Y＝2

X＋3Y＝8

3X＝11－2Y

小結(jié)：

1、用代入法解二元一次方程組的關(guān)鍵是“消元”，把新問題（解二元一次方程組）轉(zhuǎn)化為舊知識（解一元一次方程）來解決。

2、用代入法解二元一次方程組，常常選用系數(shù)較簡單的方程變形，這用利于正確、簡捷的消元。

3、用代入法解二元一次方程組，實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)中常用的重要的“換元”，比如在求解例（1）中，把①代入②，就是把方程②中的元“X”用“1－Y”去替換，使方程②中只含有一個(gè)未知數(shù)Y。

篇5

每個(gè)人都有這樣的體驗(yàn)：每當(dāng)遇到一道難題，一籌莫展，山窮水盡之時(shí)，如果采用一些恰當(dāng)?shù)霓k法，簡化條件或明確目標(biāo)，或轉(zhuǎn)換思維角度，或改變解題手段之后，眼前便出現(xiàn)了一片新天地，出現(xiàn)了柳暗花明的新局面，使問題得以解決.這種體驗(yàn)，就是在運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，實(shí)施轉(zhuǎn)化的策略.

分析 本題是用待寫系數(shù)法，首先還原方程，解本題的關(guān)鍵是緊扣方程的解的意義，甲沒有看錯(cuò)方程 ②，故甲的解滿足方程 ②；乙沒有看錯(cuò)方程 ①，故乙的解滿足方程 ①.

二、換元法

用換元法解方程組，可以使復(fù)雜的問題簡單化，但只能解一些較特殊的方程組.用換元法解方程組的基本步驟：（1） 換元（設(shè)換元未知數(shù)）；（2） 解換元未知數(shù)的二元一次方程組，求出換元未知數(shù)的值；（3） 還原；（4） 求出原方程組的解.

分析 本題有多種解法，換元法是其中的一種，換元法可以把復(fù)雜的問題簡單化，使人們的思維更清楚一些.

三、分類思想

分類討論的思想是解決問題尤其是解決復(fù)雜問題的重要手段.分類討論的過程，是同中求異與異中求同兩種思維方式的有機(jī)結(jié)合，即先抓住問題涉及的對象的不同特點(diǎn)，分為若干既不重復(fù)，又無遺漏的幾類，分別討論是同中求異的過程；然后將各類情形的共同特征加以綜合，得出結(jié)論，這是異中求同的過程.

分析 本題主要考查二元一次方程解的表達(dá)式及尋找正整數(shù)解的方法——簡單枚舉法.

例5 世界杯足球賽德國組委會公布的四分之一決賽門票價(jià)格是：一等席300美元，二等席200美元，三等席125美元，某公司在促銷活動中，組織獲得特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)的36名顧客到德國看2006年世界杯足球賽四分之一決賽，除去其他費(fèi)用后計(jì)劃買兩種門票，用完5025美元.你能設(shè)計(jì)幾種購票方案供該公司選擇？并說明理由.

分析 購票要分三種情況：購一等席、二等席兩種門票；購二等席、三等席兩種門票；購一等席、三等席兩種門票.

點(diǎn)撥 本題設(shè)計(jì)新穎，與生活緊密相連，首先考慮幾種可能出現(xiàn)的情形，再依據(jù)整數(shù)性質(zhì)及方程組知識討論取舍.

四、整體思想

解決一個(gè)問題，人們經(jīng)常習(xí)慣于把這件事分成若干個(gè)小問題，或者分解為若干步驟逐一解決.這體現(xiàn)了化繁為簡，化難為易，分而治之，各個(gè)擊破的策略. 但是有些時(shí)候，這么做費(fèi)工費(fèi)時(shí)，或者根本行不通.倘若從整體的角度觀察思考，變換重組，常常能出奇制勝，得出絕妙的解法，體現(xiàn)了胸懷全局、高屋建瓴的雄才大略.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題中，如果能增強(qiáng)整體意識，培養(yǎng)整體思維能力，對提高我們的數(shù)學(xué)水平和解題能力是大有幫助的.

例6 有甲、乙、丙三種鉛筆，若購買甲3支、乙7支、丙1支，共需3.15元；若購買甲4支、乙10支、丙1支，共需4.20元.問：購買甲、乙、丙三種鉛筆各1支，需要多少元？

篇6

一、整體思想

當(dāng)一個(gè)問題中未知數(shù)較多,一個(gè)一個(gè)地求解比較復(fù)雜,或有時(shí)不能求解時(shí),可將其中滿足某一共同特性的固定代數(shù)式看作一個(gè)整體,這樣有時(shí)可使運(yùn)算簡捷。

例1:甲騎自行車從A到B地,乙騎自行車從B地到A地,兩人均勻速前進(jìn),已知兩人在上午8時(shí)同時(shí)出發(fā),到上午10時(shí),兩人還相距36千米,到中午12時(shí),兩人又相距36千米,求A、B兩地間的距離。

分析:題目中甲、乙的速度,A、B兩地的距離均不知道,可分別設(shè)x、y、z。相等關(guān)系有兩個(gè):上午10時(shí)相距36千米(未相遇),中午12時(shí),又相距36千米(已相遇,后又相離)。

解:設(shè)甲騎自行車的速度為x千米/時(shí),乙騎自行車的速度為y千米/時(shí),A、B兩地相距z千米,根據(jù)題意,得:

2(x+y)+36=z①4(x+y)-36=②

將(x+y)看作一個(gè)整體,②-①,得2(x+y)-72=0。

所以x+y=36。

將x+y=36代入①,得z=108。

答:A、B兩地相距108千米。

二、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是把圖形與蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系巧妙的結(jié)合起來,使問題更直觀,更容易解決。

例2:中央電視臺2套“開心辭典”欄目中,有一期的題目如圖1所示,2個(gè)天平都平衡,則與2個(gè)球體的質(zhì)量相當(dāng)?shù)恼襟w個(gè)數(shù)為

分析:本題有三個(gè)未知量―球體、圓柱體、正方體的質(zhì)量,觀察圖形可得到兩個(gè)等量關(guān)系:2個(gè)球體的質(zhì)量=5個(gè)圓柱體的質(zhì)量;2個(gè)正方體的質(zhì)量等于2個(gè)圓柱體的質(zhì)量。

解:設(shè)一個(gè)球體、圓柱體與正方體的質(zhì)量分別為x、y、z,根據(jù)題意,得:

2x=5y①2z=②

①×2-②×5,得2x=5z。

所以與2個(gè)球體相等質(zhì)量的正方體的個(gè)數(shù)為5,故選A。

三、方程思想

將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程(組)的形式,通過解方程(組)使問題得以解決的思維方式就是方程思想,用方程的思想解決往往比用其它方法簡捷、方便得多。

例3:《一千零一夜》中有這樣的一段文字:有一群鴿子,其中部分在樹上歡歌,另一部分在地上覓食,樹上的一只鴿子對地上覓食的鴿子說:“若從你們中飛上來一只,則樹下的鴿子就是整個(gè)鴿群的;若從樹上飛下去一只,則樹上、樹下的鴿子就一樣多了。”你知道樹上、樹下各有多少只鴿子嗎?

分析:此題有兩個(gè)未知量――樹上的鴿子數(shù)與樹下的鴿子數(shù)。

問題中有兩上等量關(guān)系:

(1)樹下的鴿子數(shù)-1=×(樹上的鴿子數(shù)+樹下的鴿子數(shù));

(2)樹上的鴿子數(shù)-1=樹下的鴿子數(shù)+1。

解:設(shè)樹上的鴿子為x只,樹下的鴿子為y只,根據(jù)題意得:

y-1(x+y)x-1=y+1,解得x=7x=5。

答:樹上有7只鴿子,樹下有5只鴿子。

四、分類思想

分類討論思想就是把二元一次方程組在應(yīng)用題中包含各種可能情況,按某一標(biāo)準(zhǔn)分成若干類,然后對每一類分別進(jìn)行解決,從而達(dá)到解決整個(gè)問題的目的。

例4:“七星”體育彩票經(jīng)銷商計(jì)劃用45000元從省體彩中心購進(jìn)彩票20扎,每扎1000張。已知體彩中心有A,B,C三種不同價(jià)格的彩票,進(jìn)價(jià)分別為A種彩票每張1.5元,B種彩票每張2元,C種彩票每2.5元。若經(jīng)銷商同時(shí)購進(jìn)兩種不同型號的彩票20扎,用去45000元,請你設(shè)計(jì)購票方案。

分析:本題從A、B、C三種彩票中選出兩種彩票購買,故有3種情況可能發(fā)生,即購進(jìn)A與B彩票、A與C彩票或B與C彩票。

解:設(shè)購進(jìn)A種彩票x張,B種彩票y張,則:

x+y=1000×201.5x+2y=45000,解得因x=-10000y=30000,因x

設(shè)購進(jìn)A種彩票x張,C種彩票z張,則:

x+z=1000×201.5x+2z=45000,解得因x=5000z=15000。

設(shè)購進(jìn)B種彩票y張,C種彩票z張,則:

y+z=1000×202y+2.5z=45000,解得因y=10000z=10000。

篇7

數(shù)學(xué)

年級/冊

七年級（

下）

教材版本

九年義務(wù)教育人教版

課題名稱

8．3

實(shí)際問題與二元一次方程組

難點(diǎn)名稱

列二元一次方程組解決幾何圖形問題

難點(diǎn)分析

從知識角度分析為什么難

列二元一次方程組解決幾何圖形問題，就是建立方程的模型，學(xué)生難點(diǎn)在于找不到等量關(guān)系。

從學(xué)生角度分析為什么難

1.

從文字信息中找到數(shù)學(xué)信息能力弱。關(guān)鍵是閱讀理解能力有待提高。

2.

不愿意動手嘗試，欠缺實(shí)踐意識。

難點(diǎn)教學(xué)方法

1.細(xì)致讀題，培養(yǎng)閱讀理解能力，學(xué)會把文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言。

2.啟發(fā)學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生動手去標(biāo)注條件，參與到探究中去，體會數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想。

教學(xué)環(huán)節(jié)

教學(xué)過程

導(dǎo)入

回憶上節(jié)課內(nèi)容，利用“二元一次方程組”解決實(shí)際問題的一般步驟：

1審：認(rèn)真仔細(xì)讀題目，根據(jù)關(guān)鍵的字眼，尋找等量關(guān)系式。

2設(shè)：考慮設(shè)直接未知數(shù)還是間接未知數(shù)。

3列：根據(jù)等量關(guān)系式列出方程組。

4解：用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠探M。

5答：寫出問題的答案，記得滿足實(shí)際問題。

知識講解

（難點(diǎn)突破）

1、如圖，用12塊相同的小長方形瓷磚拼成一個(gè)大的長方形，設(shè)小長方形的長和寬分別為xcm和ycm，可列出方程組為：__________.

分析：

本題不光有文字?jǐn)⑹觯溆袔缀螆D形，就是我們今天要研究的“幾何圖形問題”。

問：大長方形在哪里？（紅色凸顯出來）

題中主角是小長方形，拼成一個(gè)長方形，根據(jù)長方形的長相等，一條長是3個(gè)小長方形的長，一條是小長方形的2長和3寬，大長方形的寬是小長方形的長和寬之和。

問:本題的未知量是什么？可以怎樣設(shè)元？你能找到哪些和未知量有關(guān)的等量關(guān)系？

所以，不難得出兩個(gè)方程：x+y=40,x=3y組成方程組。

得出答案。

2、如圖，一個(gè)周長為34cm的大長方形，由7個(gè)大小相等的小長方形拼成，求小長方形的長和寬。

分析：觀察圖形，用字母標(biāo)注圖形。（采取與第一道例題不一樣的方式，目的讓學(xué)生掌握多種方法。）

重點(diǎn)分析根據(jù)“大長方形的性質(zhì)—--兩條對邊長相等，周長等于34厘米”找出等量關(guān)系。先設(shè)“小長方形”的邊長，用x、y表示圖中的“長”得到方程1，再表示“寬”，發(fā)現(xiàn)方程不成立，接著根據(jù)“周長”等量關(guān)系式得到方程2，組合成方程組。（設(shè)計(jì)“不成立的方程”意圖：為后期例題中分析做準(zhǔn)備，可以少走彎路，節(jié)約時(shí)間。）

解:設(shè)小長方形的長為xcm,

寬為ycm,由題意得:

答：小長方形的長是5cm、寬是2cm。

3、小華在拼圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)8個(gè)一樣大的小長方形，恰好可以拼成一個(gè)大長方形如圖甲。陳宇看見了說“我來試一試”，結(jié)果他七拼八湊，拼成一個(gè)如圖乙的正方形，中間留下一個(gè)洞，恰好是邊長2mm的小正方形，你能算出小長方形的長和寬嗎？

甲

乙

分析：這是一道特別經(jīng)典例題。圖形甲、乙都是由小長方形拼出的，所以等量關(guān)系依然在圖形的邊上。

甲圖的重點(diǎn)類比之前

“大長方形的長”

，快速得出：3x=5y。乙圖在“邊長2mm的小正方形”多觀察。

其中

類似的設(shè)小長方形的長和寬，標(biāo)識在圖形上，演示給學(xué)生看，讓學(xué)生會標(biāo)注，會畫圖示。找到x+2=2y,聯(lián)立方程組，問題得以解決。

解：設(shè)小長方形的長為xmm，寬為ymm，依題意，得

答：小長方形的長為10mm，寬為6mm。

課堂練習(xí)

（難點(diǎn)鞏固）

4、用8塊相同的小長方形地磚拼成一個(gè)大長方形，每塊小長方形地磚的長和寬分別是多少?（單位cm）

60cmcm

解:設(shè)小長方形地磚的長為x

cm,

寬為y

cm,由題意,得

解此方程組得：

答:小長方形地磚的長為45cm,

寬為15cm.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生當(dāng)堂獨(dú)立完成，檢測知識點(diǎn)的掌握情況。再出示答案，讓學(xué)生自己了解學(xué)習(xí)效果。

小結(jié)

這節(jié)課我們主要探究了用二元一次方程組解決幾何圖形問題，并且體會到圖形的簡潔美。

篇8

一元二次方程這一章容量遠(yuǎn)大于一元一次方程和二元一次方程組，學(xué)習(xí)的要求遠(yuǎn)高于一元一次方程和二元一次方程組，既是第三學(xué)段數(shù)與代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容，更是繼續(xù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》規(guī)定：理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。能用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)根和兩個(gè)實(shí)根是否相等。能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程的解是否合理。

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，我安排了授課內(nèi)容，在第一環(huán)節(jié)中我選取的題目是常見的但卻容易出錯(cuò)的，比如，解方程中的（1）2（x+3）2=x（x+3），學(xué)生會兩邊約去（x+3），從而導(dǎo)致丟根。接下來的解答題和應(yīng)用題都是易錯(cuò)題型，比如，（2）若關(guān)于x的一元二次方程 （m-1）x2+x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍。（3）某校去年對實(shí)驗(yàn)器材的投資為4萬元，預(yù)計(jì)今明兩年的投資總額為9.24萬元，若該校今明兩年在實(shí)驗(yàn)器材投資上的平均增長率相同，求這個(gè)增長率？學(xué)生作業(yè)都能完成，但出現(xiàn)的問題不少，甚至第二小題多半學(xué)生都做得不完整，第三小題也因?yàn)樽x題不清做錯(cuò)得較多。

在第二環(huán)節(jié)中，由學(xué)生講解復(fù)習(xí)作業(yè)中的題目，其中第一題解方程的第一個(gè)小題，請一位學(xué)生將自己的解題過程展示給大家，其余小題請一位學(xué)生與大家對答案即可。剩余的2、3、4題分別請學(xué)生展示自己的解題過程并且講述自己的解題思路，再由其他學(xué)生進(jìn)行補(bǔ)充說明或者糾錯(cuò)。對于第一題，學(xué)生普遍完成比較好。第二題較多學(xué)生在做題時(shí)只考慮了方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，令根的判別式大于等于0就求解了，而實(shí)際上還應(yīng)該考慮二次項(xiàng)的系數(shù)不能為0。第三題學(xué)生在完成時(shí)大部分做錯(cuò)了，都說沒有看清題目條件，其實(shí)也反映出學(xué)生在找這道題的等量關(guān)系時(shí)出錯(cuò)了，他們就按照一般情況下求第三次的量列出了方程，也提醒學(xué)生常見題型在做時(shí)也要認(rèn)真審題，找準(zhǔn)題目的等量關(guān)系是做對應(yīng)用題的關(guān)鍵。第四題上黑板展示的學(xué)生講解得很好，其余學(xué)生也完成得很好。請做錯(cuò)的學(xué)生自己給自己找錯(cuò)，我覺得這種形式的教學(xué)可能教學(xué)效果會很顯著，因?yàn)檫@種強(qiáng)化勢必會讓這些曾經(jīng)犯過一些錯(cuò)誤的學(xué)生記憶非常深刻。

接下來第三環(huán)節(jié)中考鏈接中，要選擇了具有代表性的兩個(gè)題目，一個(gè)是動點(diǎn)問題，一個(gè)是增長率與不等式應(yīng)用結(jié)合的題，這兩個(gè)題都是近年的中考題，選擇讓學(xué)生自主探究與小組探究結(jié)合的方式去完成。第一題學(xué)生在自主探究時(shí)就有大半能找到等量關(guān)系列出方程，在相互交流時(shí)就已經(jīng)很多人會做了，最后由一位學(xué)生給大家講解了完整過程。第二題的第一問因?yàn)橐呀?jīng)有了前車之鑒，大家找等量關(guān)系都沒費(fèi)時(shí)，順利完成，到這時(shí)本章的基本應(yīng)用學(xué)生已大致掌握，數(shù)學(xué)建模思想初步形成。在第二問的合作學(xué)習(xí)過程中，呈現(xiàn)出不同的思維形式，各組針對“使用新設(shè)備幾個(gè)月后，所得累計(jì)利潤不低于使用舊設(shè)備的累計(jì)利潤”展開了討論，各種想法的提出，真正展現(xiàn)了學(xué)生開闊的思維，真正體現(xiàn)了合作學(xué)習(xí)的優(yōu)勢。通過對這兩個(gè)題目的具體分析，學(xué)生再次經(jīng)歷在實(shí)際問題中抽象出一元二次方程的過程，發(fā)展他們分析問題、解決問題的意識和能力，也為下一章二次函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定一定的基礎(chǔ)，體現(xiàn)了教材螺旋式上升的設(shè)計(jì)意圖。

到此時(shí)學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了由最初的發(fā)現(xiàn)本章中自己易犯的錯(cuò)誤到糾正錯(cuò)誤，再到細(xì)心地解決問題的過程，第四環(huán)節(jié)反思小結(jié)就很有必要了，讓學(xué)生都來說一說這一章中重點(diǎn)是什么，需要注意什么，然后第五環(huán)節(jié)跟上課堂小測，讓每位學(xué)生看看這節(jié)復(fù)習(xí)課到底有沒有收獲。最后環(huán)節(jié)回家的作業(yè)是回歸課本，閱讀本章內(nèi)容。

一節(jié)復(fù)習(xí)課上完之后，學(xué)生的反應(yīng)給了我很多提示，（1）復(fù)習(xí)課就是為了查漏補(bǔ)缺，學(xué)生總覺得我已經(jīng)學(xué)過了而不重視，所以上課時(shí)一定要讓他們動起來，我想在梳理一元二次方程知識點(diǎn)時(shí)可以讓學(xué)生說，學(xué)生總想比一比自己是不是比別人說得多，這樣復(fù)習(xí)課就會活起來。（2）復(fù)習(xí)課時(shí)讓學(xué)生搜集平時(shí)的錯(cuò)題，讓學(xué)生準(zhǔn)備他認(rèn)為這一章大家應(yīng)該掌握的題型帶到課堂上來大家交流。平時(shí)的復(fù)習(xí)課總是老師認(rèn)為這些或那些需要復(fù)習(xí)，其實(shí)學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主人，由他自己準(zhǔn)備他才會認(rèn)真整理全章的知識。（3）復(fù)習(xí)課后是不是可以由學(xué)生出一份單元測試卷并附上標(biāo)準(zhǔn)答案呢？這樣就可以知道他自己是不是已經(jīng)全部掌握了。

總之，復(fù)習(xí)課就要查缺，就要補(bǔ)漏，每位準(zhǔn)備上復(fù)習(xí)課的教師都要事先想好這個(gè)，只有這樣，復(fù)習(xí)課才能起到事半而功倍的效果。

參考文獻(xiàn)：

篇9

1 二次函數(shù)與一元二次方程的建構(gòu)的關(guān)系及其應(yīng)用

1.1 二次函數(shù)與一元二次方程的建構(gòu)的關(guān)系

通過構(gòu)建一元二次方程解決拋物線y=ax2+bx+c相關(guān)問題,是解決二次函數(shù)的問題的常用方法之一。如構(gòu)建一元二次方程ax2+bx+c=0解決拋物線y=ax2+bx+c與 x 軸交點(diǎn)問題;構(gòu)建一元二次方程解決拋物線y=ax2+bx+c與其它函數(shù)的交點(diǎn)問題;構(gòu)建一元二次方程解決其它與二次函數(shù)相關(guān)的的問題等等。

1.2 一元二次方程的建構(gòu)在二次函數(shù)中的應(yīng)用

通常解答二次函數(shù)的問題時(shí),一元二次方程的構(gòu)建及其求解是解決二次函數(shù)的問題不可缺少的工具。

例1 如圖,拋物線y=x2+bx-2交x軸的正半軸于A點(diǎn),交x軸的負(fù)半軸于B點(diǎn),交y軸的負(fù)半軸于C點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),這條拋物線的對稱軸為x=.(1) 求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo),(2) 求證ACO∽CBO

略解:(1)由x=,可求b=故由一元二次方程x2+x-2=0易求B(-4,0),A(1,0)

(2)略。

2 二次函數(shù)與一元二次方程根的判別式的關(guān)系及其應(yīng)用

2.1 二次函數(shù)與一元二次方程根的判別式的關(guān)系

由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式可知,① 當(dāng)Δ>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;② Δ=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;③ 當(dāng)Δ0 時(shí),拋物線與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn);② 當(dāng)Δ=0時(shí),拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn);③ 當(dāng)Δ

2.2 一元二次方程根的判別式在二次函數(shù)中的應(yīng)用

2.2.1 利用一元二次方程根的判別式解決二次函數(shù)與x軸的相交問題

例2 已知拋物線y=x2-(m2+4)x-2m2-12,求證:不論m為何值時(shí),拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn),且其中一交點(diǎn)為(-2、0)

略證:=m4+16m2+64=(m2+8)2>0

拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)

又由求根公式可求x2-(m2+4)x-2m2-12=0的兩根分別為x1=m2+6,x2=-2

因而拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)中的其中一交點(diǎn)為(-2、0)

例4 已知直線y=(m+1)x-2與拋物線y=-(m+1)x2+(m-5)x+6有兩交點(diǎn)

求m的取值范圍

略解:由拋物線y=-(m+1)x2+(m-5)x+6可知,m≠-1

由直線y=(m+1)x-2與拋物線y=-(m+1)x2+(m-5)x+6有兩交點(diǎn),易列關(guān)于x的一元二次方程(m+1)x2+6x-8=0中,>0即36+32(m+1)>0,

m>-178

m>-178且m≠-1

2.2.2 利用根的判別式求二次函數(shù)的解析式

例3 已知:p、q為正整數(shù),m≠n,關(guān)于x的一元二次方程-x2+2(p+1)x-(p2+4p-3)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,拋物線y=(m2+n2-3)x2-6px+2mn+q與y軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2,且m2-2m-1=0,n2-2n-1=0,求拋物線的解析式

解:-x2+2(p+1)x-(p2+4p-3)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

>0

p

p=1

m2-2m-1=0,n2-2n-1=0

m、n是x2-2x-1=0的兩根

mn=-1,m2+n2=6

拋物線y=(m2+n2-3)x2-6px+2mn+q與y軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2, q為正整數(shù)

q=4

易求拋物線為:y=3x2-6x+2

3 二次函數(shù)與一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的關(guān)系及其應(yīng)用

3.1 二次函數(shù)與一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的關(guān)系

3.1.1 由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根(設(shè)其兩根為x1、x2)與系數(shù)關(guān)系可知: x1+x2=-ca,x1x2=ca由這兩個(gè)公式可進(jìn)一步探討x1、x2的大小:當(dāng)x1、x2都是正數(shù),則0、-ba0、ca0;當(dāng)x1、x2兩根異號,則0、ca0;當(dāng)x1、x2有一數(shù)為零,則0、ca=0;當(dāng)x1、x2都是負(fù)數(shù),則0、-ba0、ca0;…。進(jìn)一步可知y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交點(diǎn)的一些情況。即① x1+x2=-ba>0且x1x2=ca>0,則y=ax2+bx+c(a≠0)交點(diǎn)都在x軸正半軸;② x1+x2=-ba0且x1x2=ca>0,則y=ax2+bx+c(a≠0)交點(diǎn)都在x軸負(fù)半軸;③ x1x2=ca0且x1x2=ca=0,則y=ax2+bx+c(a≠0)交點(diǎn)在原點(diǎn)及x軸正半軸;⑤ x1+x2=-ba

3.1.2 如果方程x2+bax+ca=0的兩根是x1、x2,那么x1+x2=-ba,x1x2=ca, 易知兩根為x1、x2的一元二次方程x2+bax+ca=0可化為x2-(x1+x2)x+ x1x2=0或者化為(x-x1)(x-x2)=0,也就是說一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可化為a〔x2-(x1+x2)x+ x1x2〕=0或者化為a(x-x1)(x-x2)=0。根據(jù)這一點(diǎn),當(dāng)拋物線經(jīng)過x軸上兩點(diǎn)(如果存在)A(x1、0)、B(x2、0)時(shí),就不必分別將此兩點(diǎn)代入一般式,再與第三個(gè)條件聯(lián)立方程組去求a、b、c,只須令其解析式為:y= a(x-x1)(x-x2),再將第三個(gè)條件代入去求a。這樣求解二次函數(shù)的解析式就顯得簡潔方便.

3.2 一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用

3.2.1 求二次函數(shù)的解析式

例4 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(6,0)、(-2,0),頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。

略解:令該二次函數(shù)的解析式為:y= a(x-6)(x+2),由頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,易求a=-,所以可求出該二次函數(shù)的解析式。

3.2.2 利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系解決二次函數(shù)圖像與x軸的兩交點(diǎn)位置關(guān)系相關(guān)的問題

例5 函數(shù)y=ax2+bx+c,若a>0,b

A. 沒有交點(diǎn);

B. 有兩個(gè)且都在x軸的正半軸;

C. 有兩個(gè)且都在x軸的負(fù)半軸;

D. 有兩個(gè),一個(gè)在x軸的正半軸另一個(gè)在x軸的負(fù)半軸;

分析:(1)=b2-4ac>0可知該函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn);(2)由根與系數(shù)關(guān)系x1+x2=-ba>0,x1x2=ca

篇10

例：某商店將進(jìn)價(jià)為20元/盒的百合，在參考價(jià)28-38元范圍內(nèi)定價(jià)為36元/盒銷售，這樣平均每天可出售40盒。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每盒下調(diào)1元，平均每天就多賣10盒，要使利潤達(dá)到750元，應(yīng)將每盒下調(diào)多少元？

解：設(shè)應(yīng)將每盒售價(jià)下調(diào)x元，由題意得：

（36-x-20）（40+10x）=750

解方程，得：x1=1，x2=11（不合題意，舍去）

答：應(yīng)將每盒售價(jià)下調(diào)1元。

解決“每增每降”問題要抓住“五個(gè)量、兩個(gè)等量關(guān)系式、兩個(gè)變化過程和一個(gè)關(guān)鍵句”，找出五個(gè)量即進(jìn)價(jià)、售價(jià)、單利潤、數(shù)量、總利潤和一個(gè)關(guān)鍵句“每…每…”，根據(jù)“單利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)、總利潤=單利潤×數(shù)量”兩個(gè)等量關(guān)系列出方程。在解出方程后一定要注意是否舍根。

變式1：某商店將進(jìn)價(jià)為20元/盒的百合，在參考價(jià)28-38元范圍內(nèi)定價(jià)為36元/盒銷售，這樣平均每天可出售40盒。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每盒下調(diào)1元，平均每天就多賣10盒，要使利潤達(dá)到750元，應(yīng)將每盒定價(jià)多少元？

這里我們要注意的問題是“每盒定價(jià)多少元？”我們可設(shè)每盒定價(jià)x元，根據(jù)題意，得：（36-x-20）[40+10（36-x）]=750，那么方程復(fù)雜了，解方程增加了難度，如果我們按上面的問題設(shè)應(yīng)將每盒售價(jià)下調(diào)x元就簡單了，因此我們解題時(shí)最好設(shè)變化量來解決問題。

變式2：某商店將進(jìn)價(jià)為20元/盒的百合，在參考價(jià)28-38元范圍內(nèi)定價(jià)為36元/盒銷售，這樣平均每天可出售40盒。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每盒下調(diào)0.5元，平均每天就多賣5盒，要使利潤達(dá)到750元，應(yīng)將每盒下調(diào)多少元？