勾股定理的研究范文

導語：如何才能寫好一篇勾股定理的研究，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

關鍵詞：框剪結構；抗震鑒定；加固

中圖分類號： TU398文獻標識碼：A

框架剪力墻結構的概述

所謂的框架剪力墻結構也稱框剪結構，這種結構是在框架結構中布置一定數量的剪力墻，構成靈活自由的使用空間，滿足不同建筑功能的要求，同樣又有足夠的剪力墻，有相當大的側向剛度。對于框剪結構的受力特點，是由框架和剪力墻結構兩種不同的抗側力結構組成的新的受力形式，所以它的框架不同于純框架結構中的框架，剪力墻在框剪結構中也不同于剪力墻結構中的剪力墻。而剪力墻結構是用鋼筋混凝土墻板來代替框架結構中的梁柱，能承擔各類荷載引起的內力，并能有效控制結構的水平力。鋼筋混凝土墻板能承受豎向和水平力，它的剛度很大，空間整體性好，房間內不外露梁、柱棱角，便于室內布置，方便使用。剪力墻結構形式是高層住宅采用最為廣泛的一種結構形式。

某工程概況

某辦公樓建筑面積為2800m2，地下一層，地上二十七層，裙房2層，屋面標高87.900m各層樓板均采用鋼筋混凝土現澆板，抗震設防烈度為7度，剪力墻抗震等級二級，框架抗震等級二級，場地類別Ⅱ類。底層為框架結構，柱截面尺寸為800mm ×800mm，框架梁截面為350mm x1000mm，地下一層抗震墻厚320mm，一~二層抗震墻厚300mm，三~四層抗震墻厚度為250mm,五層以上抗震墻厚度為200mm.屋面為上人屋面，柔性防水做法，有組織排水?；A形式為平板式筏形基礎。因種種原因，現需要對結構進行抗震鑒定與加固設計。

結構抗震鑒定

3.1、抗震鑒定主要流程，見圖1：

3.2、抗震鑒定方法。根據框架剪力墻結構的特點、結構布置、構造和抗震承載能力等因素，采用相應的逐級鑒定方法?？拐痂b定的方法分為兩級，是篩選法的具體應用。第一是以宏觀控制和構造鑒定為主進行綜合評價。第一級鑒定的內容較少，容易掌握又確保安全；第二是在第一級鑒定的基礎上進行的，以抗震驗算為主，結合構造影響進行綜合評價。當結構的承載力較高時，可適當放寬某些構造要求;或者，當抗震構造良好時，承載力的要求可酌情降低。當標準未給出具體鑒定標準時，可采用抗震設計規范規定的方法，按下式進行結構構件抗震驗算:

≦（式 1）

式1中，S—結構構件內力組合的設計值；R—結構構件承載力設計值；—抗震鑒定的承載力調整系數。這種鑒定方法，將抗震構造要求和抗震承載力驗算要求更緊密得聯合在一起，具體體現了結構抗震能力是承載能力和變形能力兩個因素的有機結合。

3.3、抗震鑒定在本工程中的應用

首先對砌筑用磚和混凝土強度采用回彈法、對砂漿采用回彈法和貫人法進行檢測。檢測結果表明:結構 1~3 層混凝土強度為 47MPa，結構四層至頂層混凝土強度實測為 43MPa，均略高于平均值29.5MPa，綜合評定其抗壓強度符合規范要求；其次采用采用經緯儀棱線投射法對房屋外墻棱線傾斜進行測量，測定建筑物外墻頂點相對底部的偏移值，結果顯示，該房屋最大傾斜率為 1.1‰，在規范限值范圍內；第三是抗震承載力分析。第四是抗震驗算。在鑒定驗算的過程中，結構按丙類建筑考慮，屬于A 級高度的框架剪力墻結構。結構的抗震設防列度為七度，Ⅱ類場地，設計地震分組為第一組，多遇地震時場地設計特征周期取為 0.35s，設計基本加速度取為 0.10g。該房屋的框架抗震等級為二級，剪力墻抗震等級為二級。對該結構按現行規范進行抗震驗算，計算軟件采用 10 版 SATWE 軟件和 ETABS，將兩款計算軟件的計算結果進行相互校核，以保證計算結果的準確性，建立結構的整體模型。結構整體計算采用振型分解反應譜分析法，計算振型個數取 21，考慮扭轉耦聯，振型組合采用 CQC 振型組合方法。如果按7度抗震設防進行了多遇地震作用下的彈性分析。結構的動力特性見表1：

通過計算，SATWE 與 ETABS 計算得到的結構位移信息相差較小，說明計算結果比較可信。SATWE 的計算結果如下：結構 X、Y 方向最大層間位移角分別為 1/1024 和 1/838，X、Y 方向最大層間位移與層間平均層間位移的比值分別為 1.22 和 1.27，滿足規范相關限值的要求。

4、抗震加固方案

4.1、房屋的抗震承載力加固措施。為增強房屋底層的抗震承載力，提高房屋的整體剛度，采用鋼筋網水泥砂漿對底層磚墻雙面加固。材料選用水泥砂漿，砂漿強度等級為M10，厚度為40mm。

4.2、局部構件承載力加固措施。首先采用單榀框架計算，縱向連接依據構造措施設計。計算發現，底層軸、橫向連系梁截面、配筋均不足，采用擴大截面加固法；其次是框架梁梁底配筋不足的問題，可采用碳纖維加固法，有效提高框架梁強度且不影響使用空間；第三是針對2,3層部分墻體被拆除，可采用雙拼槽鋼加固，為防止局部墻肢破壞、使結構受力傳播合理，對剩余磚墻及槽鋼梁進行擴大截面加固，磚墻采用截面擴大加固，應延伸至1層。

4.3、構造柱設計加固措施。 如果是房屋由于抗震性能和整體性不足，可以采用增加構造柱的加固方法。構造柱按照規范要求整體布置，根據布置位置的不同，采用不同的做法。同時，新增構造柱應同原有墻體及圈梁可靠連接。

4.4、新增隔墻的加固措施。新增隔墻有利于結構傳力，采用承重墻的做法。在一般情況下，可以采用兩根8沿墻體全長拉通，間隔500mm設置，與框架柱可靠連接。

4.5、抗震加固在本工程中的方案應用

由上文的抗震鑒定驗算可知，對于計算結果中配筋不足的梁、柱，本工程采用粘貼碳纖維的方案對本工程進行加固。對于七層的超筋柱采用增大截面法進行加固，新增混凝土的厚度不小于 60mm，考慮到施工的可行性，將原截面直徑為 800mm 的混凝土柱加大截面至 1000mm，新增混凝土采用細石混凝土，強度不低于 C40，新老混凝土交界面需鑿毛處理，并在增大的混凝土中配一定量的受力鋼筋與箍筋，并與原結構構件間用植筋的方法增加拉結筋進行連接。該房屋三層高為 6.4m，在三層 3.2m 高度處增設隔墻。隔墻采用鋼梁，帶肋花紋鋼板作樓面。夾層樓面梁布置與原結構三層樓面梁布置類似。鋼梁為焊接工字形截面梁，鋼梁通過焊接型環形箍板固定于原混凝土柱。環形箍板由化學錨栓固定于原混凝土柱?；y鋼板及加勁肋厚度均取為 8mm。采用以上措施加固后，按砌體結構再次進行抗震驗算。

本次采用 SATWE 軟件對增加隔墻后的整體結構重新分析，其中隔墻部分主梁與柱之間連接為剛接，主梁與剪力墻之間連接為鉸接，次梁與主梁之間連接為鉸接；由于花紋鋼板樓面的剛度較弱，分析時將此層樓板設為彈性膜；結構七層計算超筋柱按增大截面后的截面輸入。計算結果見表 2 所示：

結構 X、Y 方向最大層間位移角分別為 1/998 和 1/815，X、Y 方向最大層間位移與層間平均層間位移的比值分別為 1.24 和 1.30，滿足規范要求；原七層超筋柱經加固后的計算配筋率為 3.6%，能滿足抗震規范中規定的柱縱筋配筋率的要求，證明采用增大截面法對于加固結構超筋構件的有效性。

結束語

總之，加固設計應根據結構的布置情況，合理的布置剪力墻、鋼支撐的位置、數量，保證加固后結構體形、平、立面剛度的均勻性，避免出現加固后出現新的薄弱環節，同時在進行加固設施工時，應采用有效的施工措施，保證新增構件與原構件應有可靠錨固與連接，同時避免對原結構構件造成損傷。使新舊構件協同工作，達到預期的加固效果。并且由于地震作用的復雜性，如何選用更加合理的方法對鋼筋混凝土框架結構進行地震反應分析，以達到較為精確的計算結構彈塑性變形，依然需要做進一步研究。

參考文獻：

[1]任鳳鳴.鋼管混凝土框架—核心筒減震結構的抗震性能研究[D].廣州大學,2012.

篇2

    一、注意分清直角邊和斜邊

    例1 在Rt 中,a=8㎝,b=10㎝, ,求第三邊長c.

    錯解:由勾股定理,得 ,  .所以第三邊長為 ㎝.

    分析:本題解法中錯在沒有正確運用題中所給的條件,忽視了 ,由于 ,所以b應為斜邊,而不是c.

    正解:因為 , , ,

    ,故第三邊長為 6㎝.

    二、注意定理的應用條件

    例2 已知 中,三邊長a、b、c為整數,其中a=3㎝,b=4㎝,求第三邊c的長.

    錯解: 由勾股定理,得 ,  , (㎝).

    分析: 勾股定理使的條件必須是在直角三角形中,本題解法是受"勾3股4弦5 "的影響,錯把 當成直角三角形,導致錯誤的使用勾股定理.

    正解: 由三角形三邊關系可得 , ,又c為整數, C的長應為2㎝、3㎝、4㎝、5㎝或6㎝.

    三、注意定理和逆定理的區別

    例3 判斷下列三條線斷能否構成直角三角形:a=3、b=4、c=5.

    錯解: ,即 ,所以根據勾股定理可知,a、b、c能構成直角三角形.

    分析: 本題錯在在解題依據上混淆了定理和逆定理的條件結論,勾股定理是由"形"推得"數",而逆定理則是由"數"推得"形".因此不可混用.

    正解:  ,即 ,由勾股定理逆定理可知,三條線段能構成直角三角形.

    四、注意解題語言敘述

    例4 已知三角形的三邊長為5、12、13,試說明三角形是直角三角形.

    錯解:因為直角邊是5和12,斜邊是13 ,所以 ,故三角形是直角三角形.

    分析:解法中錯在一開始就明示了"直角邊"和"斜邊",事實上只有在三角形是直角三角形的條件下才能稱其為"直角邊"、"斜邊".

    正解: ,滿足 ,由由勾股定理逆定理可知, 三角形是直角三角形.

    五、注意分類討論

    例5  在Rt 中,已知兩邊長為3、4,求第三邊的長.

    錯解: 因為 是直角三角形,  的第三邊長為 .

    分析: 本題錯在只考慮3、4為直角邊的可能,而忽視了4也可以作為斜邊的情況,因此須分類討論.

    正解:(1)若4為直角邊,則第三邊的長為 ;(2) 若4為斜邊, 則第三邊的長為 .故第三邊長為5或 .

    例6已知在 中,AB=4,AC=3,BC邊上的高等于2.4,求 的周長.

    錯解:如圖1所示,

    由勾股定理,得 ,

    , .

    的周長為 .

    分析:上面解法中,只考慮了三角形的高在三角形內部的情況,忽視了高在形外的情況,即當 是鈍角三角形時.因此須分類討論.

    正解: 由勾股定理,得 , .

    (1)若 是銳角(如圖1),則 ,這時 的周長為

    ;

    (2) 若 是鈍角(如圖2),

    則 ,這時 的周長為 .所以 的周長為12或 .

    例7已知在Rt 中,兩直角邊的長為20和15, ,求BD的長.

    錯解: 如圖3所示,

    由題意根據勾股定理,得 ,又由面積法可得

    , ,在Rt 中,由勾股定理得BD= .

    分析:本題錯在只考慮了AB的長是20的可能,忽視了AC的長也可能為20的情況.因此須分兩種情況求解.

    正解: 由題意根據勾股定理,得 ,又由面積法可得 , .

    (1)當AB=20時,如圖3,BD= .

    (2) 當AC=20時,如圖4,

    BD= .

篇3

關鍵詞：勾股定理；歷史；證明

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）10-0106-02

在我國最古老的數學著作——《周髀算經》的開頭，記載著一段周公（西周著名的政治家，公元前1100年左右）向商高（周時的賢大夫）請教數學知識的對話，昔者周公問商高曰：“竊聞乎大夫善數也，請問昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請問數安從出？”商高曰：“數之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，……以為勾廣三，股修四，徑偶五。既方之……”譯文：從前周公問商高：“我私下聽說你善于演算，請問遠古者包犧氏（傳說中的人物）對整個天空逐于量度之事是如何完成的，那天不能由臺階而上，地不能用尺寸來量，請問相關的數據是怎樣產生的？”商高說：“……在對矩形（長方形）沿對角線對折時，會產生短邊（勾）長為3，長邊（股）長為4，斜長（弦）為5的直角三角形的比率?！惫视腥朔Q之為“商高定理”。

篇4

關鍵詞：數學教學；《探索勾股定理》；拓展性課程

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）02-0087

眾所周知，勾股定理的內容非常豐富，但現行的教材（以浙教版為例）只安排兩個課時，教學受課時的限制，不能充分利用勾股定理發展學生的問題解決、人文積淀、理性思維等核心素養。本文以開發《探索勾股定理》的拓展性課程為例，展示以學校教研組為團隊如何依托數學課本開發拓展性課程，以期拋磚引玉。中國學生發展六大核心素養中有十八個基本要點，其中三個是問題解決、人文積淀、理性思維，《數學課程標準》的前言中也有類似的表述。對應三個基本要點確定三個課時的拓展性課程，在上完基礎性課程的兩個課時后進行。因篇幅所限，只展示每個課時的教學目標、學習內容及要求、課外作業。

第一課時：勾股定理在生活中的應用

設置緣由：數學課最缺的是實踐課，學生非常喜歡實踐課，開發團隊成員一致同意每學期開發一節實踐課。

教學目標：引導學生觀察生活，體驗生活中的數學，體驗用數學模型刻畫現實世界。

活動內容及要求：（1）帶學生參觀有人字梁結構的農村老宅，請當地手藝比較好的手藝人，一個木匠，一個泥水匠當講解員。（2）泥水匠展示方地基的方法。造房子時要先奠基，在一百多平方米的地上要設置很多個直角，選好位置打下木樁，固定好線，沿線做墻腳。怎樣使墻角正好是直角呢？先沿房子的朝向打下兩個木樁，兩個木樁之間的距離為三尺，調整第三個木樁的位置，使它與前兩個木樁的距離分別為四尺與五尺。拉上線，再微調。泥水匠師傅說，這種方地基的方法是師傅們口耳相傳的好方法，若是正式造房子開工方地基的日子，儀式很隆重。（3）木匠師傅主要舉了兩個例子。一個例子是如何預算建造斜屋頂結構的房子用到的木料，特別是人字梁結構中斜線部分的木料長度的計算方法。第二個例子是如何在大塊的板材中確定直角。（4）教師作為主持人、主持師傅與學生的互動，讓學生嘗試用數學模型解釋實際應用問題。

課外作業：找一個生活中實際用到勾股定理的例子，寫心得體會交流。

第二課時：勾股定理的歷史文化

收集方法：這部分內容多而雜。動員團隊所有成員參與，從網上和書本中搜集并整理。

教學目標：在對勾股定理歷史了解的過程中，感受數學文化，感受歷代世界人民的智慧和探索精神，感受數學知識源遠流長和數學價值的偉大。

學習內容及要求：

（1）勾股定理的發現：公元前1100多年的《周髀算經》中，就有勾股定理的記載，相傳是商代商高發現的。三國時的趙爽給出了證明，2002年北京國際數學大會的徽標就是趙爽證明勾股定理用的弦圖。勾股定理被西方人稱為畢達哥拉斯定理，是古希臘數學家畢達哥拉斯于公元前550年發現的。相傳畢達哥拉斯花了很多的精力才證明了這個定理，他很高興，于是宰了百頭牛慶賀一番，不過畢達哥拉斯對勾股定理的證明方法已經失傳。這個定理有流傳很廣，印度、希臘、巴比倫、中國、埃及等文明古國對此定理都有所研究。要求學生課前和課后整理出趙爽和畢達哥拉斯的相關成果，了解《周髀算經》等中國古代經典數學著作。

（2）勾股定理巨大輻射能力：①勾股定理是數與形結合的典范，啟發后人對函數的研究；②畢達哥拉斯學派的希帕索斯利用勾股定理導發現了根號2，引發了第一次數學危機，數從有理數擴展到實數；③勾股定理使數學在追求邏輯體系和數學美的過程中發展了現代數學；④勾股定理中的公式是一個最早的不定方程，引發了包括著名的費馬大定理。⑤勾股樹的拓展，勾股樹中的正方形可以變換為正三角形、半圓、月亮形等許多圖形。要求學生例舉數形結合的例子；能描述三次數學危機；能舉例一些現代數學；了解費馬大定理的內容及費馬的成就。

（3）勾股定理的證明方法多樣化。由于勾股定理的證明起點很低，所以千百年來下至業余數學愛好者、普通的老百姓，上至著名的數學家、國家總統都參與了勾股定理的證明。勾股定理有四百多種證明方法，目前還找不到一個定理的證明方法之多能超過勾股定理。

“總統”證法的故事：1876年一天的傍晚，美國的議員伽菲爾德由于受到了兩個小孩的追問，開始對勾股定理證明進行思考……后來他在繼承的基礎上反復思考終于找到了獨特的證法。1876年，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發表了他的證法。由于在1881年伽菲爾德就任美國第二十任總統，人們就把這一證法稱為“總統”證法。要求學生課前和課后搜集有趣的勾股定理證明故事并交流。

第三課時：勾股定理的證明方法

證明方法選擇的標準：證法有四百多種，但不能窮盡，要選擇重要的、典型的、適合初中學生的證法。

教學目標：在勾股定理的探索過程中培養學生的理性思維和創新能力，體會深層次的數形結合；發展形象思維，體驗解決問題方法的多樣性，培養探索精神。

學習內容及要求：

（1）趙爽證法。最早對勾股定理進行證明的，是三國時期的數學家趙爽。如圖1，就是趙爽創造的弦圖。以a、b（b>a）為直角邊，c為斜邊作四個全等的直角三角形拼成所示形狀，4×（1/2）ab+（b-a）2=c2，a2+b2=c2這是課本上的證法，不必細講。應讓學生認識到本題的證法并非嚴密的演繹推理，如圖形中的內外兩個正方形就沒有證明。

（2）鄒元治證法。如圖2，也是用面積法，證明方法略。

（3）總統證法。如圖 3， 這個證明方法是趙爽證明方法的變形，也是用面積法，證明方法略。

（4）歐幾里德證法。如圖4，以a、b、c分別為直角邊斜邊RtABC，再分別以a、b、c為邊，在直角三角形外部作正方形ABED、CBKG、ACHF，連結BF、CD，過C作CLDE，交AB于點M，交DE于點L.AF=AC，∠FAB=∠CAD，AB=AD，FAB≌CAD.SFAB=（1/2）a2，而SCAD等=（1/2）S矩形ADLM，S矩形ADLM=a2。同理可證，S矩形MLEB=b2.S正方形ADEB=S矩形ADLM+S矩形MLEB，c2=a2+b2，即a2+b2=c2。應讓學生認識到本題的證法是典型演繹推理，是歐氏幾何，后面兩種證法也是如此。

（5）相似三角形性質證法。如圖5，RtABC中，a、b、c分別為直角邊斜邊，過點C作CD AB，垂足為D.可證得CAD∽BAC， AD/AC=AC/AB，AC2=AD× AB.同理BC2=BD× AB，AC2 +BC2=AB（AD+ BD）= AB2，即a2+b2=c2。

（6）切割定理證法。如圖6，RtABC中，a、b、c分別為直角邊斜邊，以B為圓心、a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于D、E，則BD=BE=BC=a，因為∠BCA=90°，點C在B上，所以AC是B的切線。由切割線定理得AC2=AD×AE=（AB-BD）（AB+ BE） =（c-a）（c+a）=c2-a2， 即b2=c2-a2，所以a2+b2=c2。

（7）證法評析。中國證法的獨到之處是善用面積法，巧妙地避開了角的性質及平行線性質的繁瑣理論，簡潔明了，吳文俊、張景中等發展的數學機械化方法深受中國古代數學思想的影響。后三個證法追求嚴謹的邏輯體系，對提升人們的理性精神，注重演繹推理的科學精神具有不可替代的地位。

篇5

關鍵詞：初中數學；勾股定理；人教版教材；編排；商榷

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2015）06-0071-03

一、人教版教材勾股定理內容編排

勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數量關系，是數形結合的一座橋梁，是人類早期發現、證明、運用的重要數學定理之一，對現代數學的發展也產生了重要而深遠的影響。為了使學生較好地掌握這一定理，人教版數學教材在八年級（初二）下冊安排了這一內容。教材通過引導學生觀察、猜想、計算、證明等活動學習并掌握勾股定理，還介紹了中國古代對勾股定理的研究成果，旨在培養學生的民族自豪感。這符合學生的認知規律，是很用心的編排?？晌覀儚膶W生學習效果的反饋中發現：學生離課標的要求有較大差距，原因何在呢？為此，我們用問卷和訪談兩種方式進行了調查。問卷結果顯示：有81%的同學認為勾股定理很重要。有49%的同學認為勾股定理很難學。在調查勾股定理的證法時，發現有58%的同學能畫出證法的圖，其中34%的同學畫出的是趙爽弦圖，8%的同學畫出的是加菲爾德圖，2%的同學畫出的是“傳說中的畢達哥拉斯圖”。 但只有27%的同學正確寫出了證法，只有1%的同學用的是趙爽的出入相補法。訪談中我們還發現很多學生認為畢達哥拉斯對勾股定理的貢獻比趙爽大。大部分學生不清楚中國是什么時候開始使用勾股定理的。

這種狀況的出現顯然不能排除教師的教和學生的學這兩方面造成的原因。但通過進一步的分析，我們發現教材在編排方面有值得商榷的地方。

（一）內容呈現的邏輯順序易誤導學生

教材在這一章引言介紹了我國古代對勾股定理的研究成果，而正文卻從畢達哥拉斯觀察地板格子發現等腰直角三角形三邊數量關系引入，再引申到一般直角三角形，然后是趙爽的證明。旁邊又注明“在西方，人們稱勾股定理為畢達哥拉斯定理”。在后面的閱讀思考中又有“傳說中的畢達哥拉斯的”證法。引言部分容易被學生忽視掉，而從第一節讀起來讓人感覺勾股定理的發現到證明都是畢達哥拉斯，趙爽只是給出了一種證法而已。學生的這種印象先入為主，會成為最深刻的印記――提起勾股定理就會想到畢達哥拉斯。而中國人對勾股定理的發現和證明都比畢達哥拉斯早很多。這種誤導對中國學生尤其不公平。

（二）難度較大的地方有兩處

1.探究活動中給出的提示忽視了學生原有知識基礎，超出了學生能力。解決等腰直角三角形三邊關系的問題時，教材引導學生運用數格子的方法通過計算面積相等，進而發現等腰直角三角形三邊的關系。而在解決一般直角三角形三邊關系的問題時，教材給出了一個提示：以斜邊為邊長的正方形面積等于某個正方形面積減去4個直角三角形的面積。應該說這種方法和中國流傳最廣的那張弦圖的證法如出一轍，是很經典的一種證法。可它在此時出現，卻給絕大多數的學生搭建了一個無法爬上的梯子。教材的提示直接給了方法，而這種方法需要的能力，學生并不具備，于是學生就不會做。即使在老師的引導下做了也很難留下深刻的記憶。這個地方卡住了，下面就很難學會了。怎樣讓學生比較容易地學會呢？學生們此時仍需用數格子的方法解決這一問題。而新的問題是出現了形狀不統一、面積不相等的不完整的格子，把這些格子數清成為關鍵！不論大小，不管形狀，每一個不滿的格子都按半格數是一種簡便的方法。學生會做，但不知為什么要這樣做。而給出下圖的提示有助于學生數清這些格子，并從原理上弄明白三角形與矩形的面積關系，從而弄明白教材提示的“某個正方形”是個在什么位置的正方形。學生弄懂了這些，下文趙爽的證法就不顯得那么難懂了。

2.教材為了弘揚我國古代成就介紹了趙爽的證法，包括趙爽弦圖和利用弦圖證明勾股定理的基本思路。把兩個靠在一起的正方形拼成一個大正方形是一個圖形變化過程，它是動態的?？繒蠋追o止的圖和一段邏輯嚴密的文字來表述，不容易讓學生看懂。好多學生費了半天勁兒看懂了，也無法像其他證明題一樣用“因為、所以”把證明過程清晰地寫出來。這就讓原本簡單明了的證法變得繁雜難懂了。而趙爽弦圖下的知識鏈接――“趙爽指出：按弦圖，又可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四。以勾股之差自相乘為中黃實。加差實，亦成弦實?！焙苊黠@也是勾股定理的證法，而且是學生可以用代數式寫出來的證法。相比之下，這一證法反而顯得簡單且易被學生接受。但是只引用了古文，沒有把古文翻譯成現代漢語。以初二學生應有的水平去讀，學生看不懂。

趙爽的證法夠簡單，但不是最簡單的。學生更容易看懂教材30頁上標注的“傳說中的畢達哥拉斯的”證法。在兩張全等的正方形紙上用八個全等的直角三角形拼出下面的圖形。學生很容易就弄懂了左圖的以斜邊為邊長的正方形的面積等于右圖的兩個小正方形的面積的和。計算面積就證出了勾股定理。學生說這種證明小學生也能看懂。學生是學習的主人。我們的教材不應該只是寫給老師看的，更應該是寫給學生看的。學生看得懂的教材才是最好的教材。

（三）教材在史料表述上有不嚴謹之處

1.有關畢達哥拉斯的部分相傳、傳說各出現一次?！跋鄠?、傳說”這一類詞似不宜在數學書中出現，因為缺乏充分證據。中國流傳最廣的證法是在有格子的圖上進行的。而畢達哥拉斯學派的歐幾里德通過證明三角形全等來證明面積相等進而證明直角三角形三邊關系，與格子無關。

2.趙爽的生存年代在教材上注為漢代，在教師用書上又多次注為三國。雖然漢代和三國時間緊連，但還是統一說法為好。

3.中國人在公元前1100年發現勾股定理，畢達哥拉斯在2500多年前發現。乍一看好像畢達哥拉斯比中國人早，而實際上2500多年前是公元前500年前，比公元前1100年晚了600年。這兩個數據應該使用統一的標準。

4.公元前1100年這一數據是采用了周公的年代。周公是周武王的弟弟，是商末周初杰出的政治家和軍事家，被尊為儒學奠基人，也是孔子一生最崇敬的古代圣人之一?！吨荀滤憬洝返牡谝徊糠志褪侵芄c商高的對話。而根據《周髀算經》的記載大禹時期已開始使用勾股定理了。大禹在他的兒子啟建立夏朝之前，即大約公元前2070年之前。所以英國皇家學會會員、劍橋大學岡維爾和凱厄斯學院院長李約瑟認為“我們現在不能像畢甌那樣肯定地說它比畢達哥拉斯（公元前530年著稱）早五、六個世紀，但也沒有很多理由把它推遲，而且它也很可能還要更早的?！?/p>

5.教材上把那個小學生都能看得懂的證明歸在了畢達哥拉斯的名下。而美國的謝爾曼?克?斯坦因在《數字的力量》一書中注明這種證法是中國人的。同一種證法總得有足夠的證據才能定下歸屬。中國古書留傳不多，畢達哥拉斯也沒有著作流傳下來。歐幾里德《幾何原本》的證法和上面的證法沒有關聯。趙爽的證法和上面的證法也聯系不大。那么商高的證法呢？商高的那段話“數之法出于圓方，圓出于方，方出于矩。矩出于九九八十一。故折矩以為勾廣三、股修四、徑隅五。既方其外，半之一矩，環而共盤。得成三四五，兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數之所生也?！笔遣皇枪垂啥ɡ淼淖C法？我們一般人確實很難懂。好在中國有人讀懂了，并復原了證法的圖。

從這些圖中我們挑出中間的和右側的兩幅，把中間的那幅補成正方形――這不就是那種最簡單的證法嘛！或者說商高的證法和這種證法有明顯的傳承關系――那種最簡單的證法脫胎于商高的證法。商高的年代比畢達哥拉斯早很多，即使畢達哥拉斯也有同樣的證法，我們也可以理直氣壯地說這種證法是中國人先發現的。我們的教材可以把這種證法放在最顯著的位置上，明確地標注這種證法起源于中國。國際上對勾股定理的命名我們可能改不了，可我們有義務讓學生知道中國古代的科學技術領先其他國家很多年，屬于中國的知識產權我們不能拱手讓人。

二、對內容編排的建議

篇6

[關鍵詞] 數學史；勾股定理；教育價值

數學史對于數學教育的價值已不僅僅停留在理論層面的討論. 翻閱近兩年的數學教育類雜志可以發現，越來越多的中小學數學教師也在撰文闡述自己在教學中使用數學史的一些體會和教學案例. 在課程改革不斷深入的當下，數學史融入數學教學對于踐行課改的理念，培養全面發展有理想、有道德的高素質數學人才等方面確實有著積極的推進作用. 本文將給出一個基于數學史的勾股定理教學設計思路，旨在拋磚引玉，期待一線教師在不斷加強自身數學史修養的同時，開發出更多基于數學史的優秀教學案例.

提出問題

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 此定理在西方叫做畢達哥拉斯定理，相傳，這是由古希臘數學家畢達哥拉斯及其徒眾發現的，后人更渲染其事，說畢達哥拉斯諸人十分重視這項發現，特地宰了一百頭牛向天神奉獻答謝，所以中世紀時這條定理被稱作“百牛定理”. 在歷史上，這條定理的名稱特別多，在不同時代、不同地區都有不同的名稱，包括“木匠定理”“新娘之椅”等. 古希臘數學家歐幾里得在公元前300年左右編寫了著名的經典之作《幾何原本》，其中一個定理就是畢達哥拉斯定理：

“在直角三角形中，直角所對的邊上的正方形等于夾直角兩邊上正方形的和.”

接下來的這個定理是畢達哥拉斯定理的逆定理：

“如果在一個三角形中，一邊上的正方形等于這個三角形另外兩邊上正方形的和，則夾在后兩邊之間的角是直角.”

這兩個定理合起來說明了直角三角形a，b，c三邊的平方和關系：a2+b2=c2，界定了直角三角形.

我國是最早發現勾股定理的國家，據《周髀算經》記載，我國數學家早在公元前1120年就對勾股定理有了明確認識. 勾股定理從發現到現在已有五千年的歷史，在西方，它被稱為畢達哥拉斯定理，但它的發現時間卻比中國人晚了幾百年. 勾股定理是把直角三角形與三邊長的數量關系聯系在一起，體現了數形結合思想.

定理的證明

在新課程人教版教材（八年級下冊）中，先是引用畢達哥拉斯的故事引出勾股定理，然后利用中國古代數學家趙爽的“弦圖”證明了勾股定理. “弦圖”是以弦為邊長的正方形，在“弦圖”內作四個相等的勾股形，各以正方形的邊長為弦. “弦圖證法”是依據“出入相補原理”，根據“以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積與四個三角形的面積之和等于外正方形的面積”來證明勾股定理的. 趙爽的“弦圖證法”表現了我國古人對數學的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數學的驕傲，正因如此，這個圖案被選為2002年北京召開的國際數學家大會會徽.

[圖1]

引導學生探索其他解法

上述是我國古代數學家趙爽的“弦圖”證法，即利用“以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積與四個三角形的面積之和等于外正方形的面積”來證明勾股定理. 這一方法給我們一定的啟示，即圍繞面積相等這一條，把原圖形拆成幾部分，然后根據面積相等實現定理的證明. 教師可以提示學生圍繞這一觀點，探索其他證明方法，學生提供的證法有可能和歷史上大數學家的證法一致.

歷史上的經典證明方法展示

發現勾股定理迄今已有五千年，五千多年來，世界上幾個文明古國都相繼發現和研究過這個定理，幾千年來，人們給出了勾股定理的許多證法，有人統計，現在世界上已找到四百多種證法，下面列舉其中具有數學思想的一些代表性證明方法. 如（1）歐幾里得《幾何原本》的證法；（2）比例證法；（3）另一種弦圖證法；（4）總統證法；（5）帕斯卡拉二世的證明；（6）畢達哥拉斯的證法；（7）旋轉證法. 限于篇幅，這些證明方法的證明過程在本文中省略不寫.

基于上述分析，不難發現，歷史上的勾股定理證明方法很多，據統計，有400多種，向學生展示不同的證明方法有很多益處，具體表現在：首先，給出勾股定理的多種證法，并非是比較證法之優劣，而是為了豐富教與學的內容知識，這也是數學史融入數學教學重要的功能之一. 其次，通過比較、分析各種證法的特色，可以讓教師和學生在教與學上有所比較，以達到取長補短. 通過分析各種證法之不同，可以發現他們各自對于圖形的依賴程度也不相同. 當我們試圖理解某個版本的證法時，就好比與這位數學家進行對話，從而產生自我“歷史詮釋”. 再次，歷史上的勾股定理證法還使我們認識到該如何呈現定理及其證明，以便可以兼顧到各個面向. 在教學中，若以歷史文本為師，適時引入古人的原始想法，擷取前人的智慧，乃至前人所犯的錯誤，相信對于數學思想的發展與學生的學習過程能有更貼近的牟合，也能讓學生對數學有更全面的觀照. 最后，基于數學史數學教學所追求的目標之一，正是讓學生在通過歷史文本解決問題的過程中獲得學習的樂趣，因此，數學歷史文本中的任何地方可能都有意想不到的金礦等待挖掘，唯有辛勤發掘才可能使我們滿載而歸.

問題的推廣

下面我們換個角度看勾股定理，定理會變成什么樣呢？

推廣一：勾股定理的不同表述方式

（1）直角三角形斜邊長度的平方等于兩個直角邊長度的平方之和.

（2）直角三角形斜邊上的正方形等于直角邊上的兩個正方形.

（3）直角三角形直角邊上兩個正方形的面積之和等于斜邊上正方形的面積.

推廣二：“出入相補”原理的應用

所謂“出入相補”原理，是指一個幾何圖形（平面的或立體的）被分割成若干部分后，面積或體積的總和保持不變. 綜觀歷史上有關勾股定理的證明方法，許多證法都是利用這一原理進行的，只是圖形的分合移補略有不同而已. “出入相補”原理是我國古代數學家發明的一個證明幾何圖形面積和體積的非常重要的方法，下面，我們通過比較兩個證明來說明某些問題.

趙爽和達?芬奇的證明方法（如圖2所示）：

[圖2：勾股定理的兩種幾何證明]

問題：這兩種方法的聯系是什么？

解答：如圖3所示.

[圖3：兩種證明的聯系]

可以看出，趙爽和達?芬奇對勾股定理的證明都使用了“出入相補”原理. 這兩種來自不同時期、不同地域的方法背后有著更本質的聯系，正因為這種本質聯系，讓我們找到了更多類似的證明方法. 它也展示了數學內部的一種聯系. 正如韋爾斯在《數學與聯想》一書中所說的：“這就是為什么數學強有力的一個理由. 數學家發現，兩個表面不同的問題實際上是相同的，因此他只要解決一個也就解決了另一個. 認識到一百萬個問題‘實質上’都是相同的，因此，你只要解決一個就解決了一百萬個. 事實上，這就是力量！”我們的數學讀本，應該多多向學生介紹這方面的內容，讓學生感受這種力量，去認識事物之間的聯系.

推廣三：把直角三角形三邊上的正方形改為一般的直線形

若把以直角三角形為邊長的正方形改為一般的直線形，勾股定理就推廣為：直角三角形斜邊上的直線形（任何形狀）的面積，等于兩條直角邊上與它相對應的兩個相似的直線形的面積之和（如圖4所示）.

[圖4]

推廣四：把直角三角形三邊上的直線形改為曲邊形

若把直角三角形三邊上的相似直線形改為三個半圓，勾股定理就推廣為：以斜邊為直徑的半圓，其面積等于分別以兩條直角邊為直徑所作半圓的面積和. 新課程（人教版八年級下冊）在習題中體現了這一推廣：（習題18.1“拓展探索”問題11）：如圖5所示，直角三角形三條邊上的三個半圓之間有什么關系？

[圖5][2][1]

若把上述斜邊上的半圓沿斜邊翻一個身，此時顯然有“1和2的面積之和等于直角三角形的面積”. 其實這個結論早在公元前479年就已經由古希臘數學家希波克拉底得到，因1和2部分狀如弦月，故稱“希波克拉底月形”. 新課程（人教版八年級下冊）在習題中體現了這一推廣（習題18.1“拓展探索”問題12）：如圖5所示，直角三角形的面積是20，求圖中1和2的面積之和.

推廣五：勾股定理與費馬大定理

勾股定理是直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，寫出公式就是a2+b2=c2. 丟番圖的名作《算術》（第2卷問題8）中有一個與勾股定理類似的問題：將一個已知的平方數分為兩個平方數. 丟番圖在《算術》中以實例形式給出了這一問題的解答. 之所以在此獨獨提到丟番圖的這一問題，是因為，大約16個世紀以后，正是在這一問題的啟發下，費馬在其旁白處寫下了一段邊注，從而誕生了一個讓整個數學界為之苦思冥想了三百多年的問題. 費馬在閱讀巴歇校訂的丟番圖《算術》時，做了如下批注：“不可能將一個立方數寫成兩個立方數之和；或者將一個四次冪寫成兩個四次冪之和；或者，一般地，不可能將一個高于2次的冪寫成兩個同樣次冪的和. 我已找到了一個奇妙的證明，但書邊太窄，寫不下. ”1670年，費馬之子薩謬爾連同其父的批注一起出版了巴歇校訂的書的第二版，遂使費馬這一猜想公之于世. 費馬究竟有沒有找到證明已成為數學史上的千古之謎. 從那時起，為了“補出”這條定理的證明，數學家們花費了三個多世紀的心血，直到1994年才由維爾斯給出證明.

推廣六：勾股數

不言而喻，所謂勾股數，是指能夠構成直角三角形三條邊的三個正整數（a，b，c），它們滿足a2+b2=c2. 那么如何尋找更多的勾股數呢，方法如下.

1. 任取兩個正整數m，n（m>n），那么，a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2構成一組勾股數.

2. 若勾股數組中的某一個數已經確定，可用如下方法確定另兩個數：首先觀察已知數是奇數還是偶數.

（1）若已知數是大于1的奇數，把它平方后拆成相鄰的兩個整數，那么奇數與這兩個整數構成一組勾股數.

（2）若已知數是大于2的偶數，把它除以2后再平方，然后把這個平方數分別減1和加1所得的兩個整數與這個偶數構成一組勾股數.

練習題：限于篇幅，僅列一題.

練習題 今有立木，系索其末委地三尺，引索卻行去本八尺而索盡，問索長幾何？（該題出自南宋楊輝《詳解九章算法》，公元1261年）

現代文翻譯：有一根直立的木頭，一條繩索系在它的頂端. 已知這條繩索比木頭長3尺，現在向后緊拉繩索，使它的另一端著地，這時繩索與木的距離為8尺，問這條繩索的長為多少？

原書“術”曰：“以去本自乘，另如委數兒一，所得加委地數而半之，即索長.”

篇7

在數學教學過程中，而是通過數學活動，讓學生渴望新知識，經歷知識的形成過程，體驗應用知識的快樂，從而使學生變被動接受為主動探究，增強學好數學的愿望和信心。為此，本節課主要設計了三個活動。活動一：喚起學生對新知識的渴望。學生為了解決現實生活中的一個樸實、可親、有趣的問題，不斷碰到困難，并不斷在發現中解決，思維探究活躍，好奇心和探索欲望被激起?；顒佣簩W生在探索中體驗快樂。探索“勾股定理”是本節課的重點和難點。在整個探索過程中教師只是一個引導者、啟發者，引導學生動手、觀察、思考、實驗、探索與交流；學生在整個活動中切身體驗到發現“勾股定理”的快樂。從而培養了學生的探索精神和合作交流能力?；顒尤簩W生在問題設計中鞏固勾股定理。本節課是勾股定理的第一課，知識的應用比較簡單，學生設計問題有一定的可行性。引導學生在掌握勾股定理的基礎上自己設計問題，完善問題，并從老師的高度進行變題，學生的主體性得到了充分的體現。整個教學設計遵循“重視預設、期待生成”的原則。

二、教學過程與反思

1.第一次試上，由我獨立備課，從開始備課到上課結束，始終有兩個疑問沒有得到很好解決。一是如何引出勾股定理。教學過程是讓學生在正方形網格上畫一個兩條直角邊a、b分別是3厘米和4厘米的直角三角形，量一下斜邊長c是多少?緊接著讓學生觀察直角三角形的三條邊在大小上有什么關系。事實上，由于缺乏足夠的材料，而且量得的結果可能不一定是整數，因此很難得出正確的結論。另外，也有學生在探究時，根據兩邊和大于第三邊得出a+b>c這個結論，認為這也是直角三角形三條邊之間的關系，這便偏離了教師預先設定的學習目標。二是勾股定理的證明。解決的方案:采用教材提供的方法，即教參上所說的數形結合的方法。通過恒等變形（a+b）2=4×12ab+c2，在教師的引導下作出聯想，將四個全等的直角三角形拼在邊長為（a+b）的正方形當中，中間又是一個正方形，而它的面積正好是c2，從而得出a2+b2=c2。其中的難點在于，讓學生自己很自然地想到用拼圖證明，對于大多數學生來講，做到這一點幾乎是不可能的。教師只能帶領學生進行變形、聯想、拼圖等一系列的教學活動。教師的講授時間明顯多于學生的探究時間，盡管教師一直在講，但是其中的來龍去脈還是很難交代清楚。第一次反思：（1）教師的講授時間多于學生的探究時間原因在于：憑學生已有的知識尚無能力探究這個問題，學生“一路走來”只能回答“是”“對”，思維屢屢受阻，心智活動暴露在無所依托的危機之中。（2）備課時，教師就發現了難點所在，但直到具體實施時仍束手無策，心有余而力不足，無法引導學生進行有意義的自主探究，這與教師自身的經驗不足有很大關系。（3）教師不僅要抓住教學中的難點，更要找到化解難點的辦法。為學生向既定的探究目標邁進鋪設適當的知識階梯，當憑自己的能力無法做到時，應向專家請教，及時有效地解決教學中存在的問題，使自己在教法上能有所改進。2.第二次上課通過集體備課，大家集思廣益，針對前面兩個難點重點設計，基本上解決了原有的問題。設計方案是:將整個教學過程分成八節，每一節都清晰地展現在學生面前。（1）創設問題情境，設疑鋪墊。情景展示：小強家正在裝修新房，周日，小強家買了一批邊長為2.1米的正方形木板，想搬進寬1.5米，高2米的大門，小強橫著放，豎著放都沒能將木板搬進屋內，你能幫他解決這個問題嗎？（2）以1955年發行的畢達哥拉斯紀念郵票為背景，觀察圖形，你發現了什么？并說說你的理由。圖一圖二（3）以小方格背景，任意畫一個頂點在格點上的直角三角形，并分別以這個直角三角形的各邊為一邊向外作正方形，剛才你發現的結論還成立嗎？其中斜放的正方形面積如何求，由學生探討。（介紹割與補的方法）（圖一）（4）如圖二，任意直角三角形ABC為邊向外作正方形，上面的猜想仍成立嗎？用四個全等的直角三角形拼圖驗證。（5）介紹一些有關勾股定理的史料（趙爽的弦圖、世界數學家大會會標、華羅庚建議用“勾股定理”的圖作為與外星人聯系的信號等），讓學生感受到勾股定理的歷史之悠久，激起學生的民族自豪感。（6）應用新知，解決問題。①解決剛才“門”的問題，前后呼應；②直角三角形兩邊為3和4，則第三邊長是%%。例：一塊長約120步，寬約50步的長方形草地，被不自覺的學生沿對角線踏出了一條斜路，類似的現象時有發生，請問同學們回答：①走“斜路”的客觀原因是什么？為什么？②“斜路”比正路近多少？這么幾步近路，值得用我們的聲譽作為代價換取嗎？（7）設計問題，揭示本質。請學生概括用上述勾股定理解決問題的實質：已知兩邊求第三邊長，并請學生設計能用勾股定理解決的簡單問題。（8）感情收獲，鞏固拓展。①本節課你有哪些收獲？②本節課你最感興趣的是什么地方？③你還想進一步研究什么問題？說明:（1）通過具體的生活情景，激起了學生對本節課的學習興趣，使他們急于想知道直角三角形的三邊到底存在著怎樣的數量關系，激發了他們的好奇心和求知欲。（2）學會了在小方格的背景下，用割補法求出郵票中斜放的正方形R的面積，同時為勾股定理的引出做好了充分的準備，為學生進行有意義的探究做好了鋪墊。（3）證明方法可以說已經擺在這里，但由于前面的教學中計算強調過多，而忽略了計算原理，致使撤去小方格背景時，學生在證明時出現障礙，想不到補4個直角三角形，或割成四個直角三角形和一個正方形計算斜放的正方形面積。為了解決這個問題，本節課在定理證明時有意用拼圖的方法再次驗證勾股定理。（4）由于是勾股定理的第一課，應用較簡單，學生設計具有一定的可行。引導學生在掌握定理的基礎上自己設計問題，完善問題，并從老師的高度變題，學生的主體性得到了最好的發揮。第二次反思：（1）當猜想出直角三角形三邊數量關系時，是不足以讓學生信服的，因為猜想時直角三角形的三邊均為整數，學生可能還存在疑慮：當直角邊的長不是整數時，情況又如何呢？所以讓學生從理性上確信這個猜想是必不可少的環節。為此，設計了任意三邊的直角三角形是否存在這個問題。（2）去掉背景和具體數值，在證明字母為邊的直角三角形的勾股定理時，主要是沒有了正方形網格作背景，學生不能快速產生正確的思維遷移，不易想到用割補法證勾股定理。但是前面有了郵票問題做鋪墊，學生很自然地會聯想到用割或補的方法計算以斜邊為邊長的正方形的面積，從而得出了一般的直角三角形的情況，獲得了勾股定理。如此設計，對于執教者來講，最大的好處在于可以使學生的思維過程顯性化，有利于教師對學生進行過程性評價，有利于及時指導學生在思維過程中存在的細節問題，還有利于教師進行教學過程的改進。（3）在做勾股定理練習時，采用開放式教學法，由學生自己出題自己解決，既鞏固新知識，又提高他們的學習興趣。但由于學生在已知直角三角形的任意兩邊，求第三邊時，不知道一個數開平方這一知識，會出現第三邊不會算的情況。關于這點，我課前早有預料：如果有這種情況出現，就為下堂課做好鋪墊；如果沒出現這種情況，老師上課時也不提。（4）在課堂小結時一改先前一貫做法，三個問題結束本節課。特別是后兩個問題，當時學生是這么回答的：我最感興趣的地方是割補法證明勾股定理；畢達哥拉斯怎么會從地磚上發現勾股定理的，我們平時也要多觀察生活；我想知道勾股定理還有哪些證明方法；我想知道我的這副三角板中，如果已知一條邊，能不能求出另外兩條邊。聽課的老師們深深地被學生的這些問題感染了，情不自禁地給予了贊揚。這樣的總結設計，把所學的知識形成了一個知識鏈，為每位學生都創造了獲得成功體驗的機會，并為不同程度的學生提供了充分展示自己的機會，尊重了學生的個體差異，滿足了學生多樣化的學習需要。特別是最后一個問題，把本課知識從課內延伸到了課外，真正使不同的人得到了不同的發展。（5）學生在學習過程中舊問題解決，而新問題產生，使我真正認識到上好勾股定理這一堂課是不容易的。課改幾年來雖然理念上有所轉變，但要真正在課堂上能運用自如，還需要不斷實踐。幾個問題間的過渡語言，也是不斷地修改，甚至一個問題要怎么問，問了后學生可能會出現哪些想法都做好了預設準備，更制定了應急方案。

三、教學理念的升華

篇8

一、隱性分層教學法的案例

1.教學案例1對蘇教版初中二年級（八年級）上學期第二章第一節：勾股定理的課程進行案例分析.教學目標：了解勾股定理的內容，掌握勾股定理的來源和應用，學會利用勾股定理進行計算與證明.教學難點：運用多種方法證明勾股定理.教學步驟如下所示.（1）設立情景，導入知識.利用多媒體課件，播放我國從東漢開始的勾股定理研究成果，對我國古代數學家趙君卿進行介紹，對古希臘數學家畢達哥拉斯對勾股定理的運用進行介紹，引導學生在畢達哥拉斯對地磚的思考中進行思考，提問學生三角形三邊的關系，再引導學生通過三角形三邊的關系思考直角三角形三邊的關系，建立起勾股定理的概念，即：在直角三角形中，兩條直角邊的長度的平方和等于斜邊長度的平方，并強調“勾”和“股”的概念.案例分析：在隱性分層教學模式中，利用多媒體吸引學生，將知識與生動的故事或者圖片聯系起來，能夠充分調動起學生學習的積極性和主動性.案例中利用故事或者圖片的形式制造了一個積極向上的學習引子，幫助學生進行知識的引導，建立引起學生興趣的問題，把學生引入一種與勾股定理有關的氛圍當中.（2）不同學生，不同學習方法.對勾股定理進行初步掌握之后，教師引導學生對勾股定理的證明進行思考，試著讓學生自己來對勾股定理進行提問，教師選擇中等生與差等生問問題，根據教學進度，可由優等生或者教師自己進行講解.在趙君卿的證明方法中，教師利用多媒體進行習題的證明訓練，如圖1所示，在圖1中，將a、b作為直角邊，c為斜邊，且b＞a，作出四個全等的直角三角形，每個三角形的面積等于ab的一半，這四個直角三角形就如圖1所示.教師此時對優等生進行點撥，同時引導中等生進行勾股定理的證明，并啟發差等生對圖形的觀察，建立勾股定理的概念.在中等生對勾股定理進行證明之后，教師對優等生和中等生進行提問，啟發學生運用更多的證明方法進行證明.案例分析：在本案例中，教師采取了圖形的形式來幫助學生理解勾股定理，學生在圖形的拼接之中親自證明勾股定理，有助于學生加深對勾股定理的認識，而在一開始選擇中等生與差等生問問題，更有普遍意義，不僅使中等生與差等生了解了其不明白的地方，更鞏固了優等生的知識，其實讓差等生提問，提高了其學習的主動性，使其更好地融入課堂，教師可根據差等生的提問控制講課節奏，不至于講課難度過高，而使差等生與中等生跟不上知識點的講解，自我放棄學習.本案例中教師通過重視中等生與差等生的提問，讓學生真正地成為教學的主體.教學的目標是為了增進學生的主體性，教學過程隨學習內部矛盾而展開，是學生的自我教育、自我活動和自我拓潛的過程.（3）定理運用，夯實知識.教師利用多媒體進行習題播放，從難度較為簡單的習題開始練習，教師提問差等生回答較為基礎的勾股定理知識，并對其進行鼓勵與肯定.在習題的解答中演示習題解答的正確書寫方式，糾正學生的錯誤，肯定學生的表現.隨著習題難度的加大，提問中等生，并鼓勵優等生說出自己的看法和理解，形成整個課堂對習題的研究氛圍.教師在課后對學生的表現進行分析，對于差等生的學習狀態更要重視，以鼓勵和激發興趣為主，對于中等生，要以激勵學習熱情、指導學習重點和技巧為主，對于優等生，要進行適當的教學內容拔高，提升其知識掌握水平.案例分析：教師在課堂上對知識進行鞏固訓練，對差等生提問，更能知曉全班學生的知識掌握基礎水平，了解差等生的學習困難所在.中等生、差等生、優等生對課堂知識的總結與討論顯示出了隱性分層教學離不開團隊的合作，在學習知識中自由地結合成小組進行個人想法的匯總與分析，使學生在相互交流分析的基礎上，掌握和了解知識的內涵，或者找到解決問題的方法和途徑.在交流和協作的過程中，不僅將問題解決了，也得到了團隊合作的方式，對別人的發言學會了理解和尊重，學會了合作的意義.

2.教學案例2對蘇教版初中一年級（七年級）上學期第五章第二節：圖形的變化案例分析.教學目標：了解平面圖形如何變化成為立體圖形，了解點線、線面的原理，了解簡單圖形如何拼成復雜的圖形.教學難點：培養學生對圖形空間的想象力.教學步驟如下所示.（1）真實實驗，導入知識.教師在講臺上做實驗，請學生安靜觀看，將教科書圍繞著其中的一條邊旋轉了一周，請學生回答形成了什么圖形.請中等生回答，答曰：圓柱形.接著教師用一枚硬幣進行旋轉，提問學生形成了什么圖形.提問差等生，答曰：球形.教師接著開始宣講課本中“點動成線，線動成面”的原理，學生由于觀察了實驗，印象更加深刻，教師此時鼓勵學生對這種現象進行討論，并鼓勵學生舉出更多的例子證明這個原理，有意識地將優等生、中等生和差等生的問題集中回答，分組時注意每組都有優、中、差等生.案例分析：教師根據教學內容，設計出不同的問題，以完成一個又一個具體的“問題”為教學線索，把教學的內容巧妙地隱藏在每個“問題”之中，學生在教師的指導下提出解決問題的具體思路和方法，然后進行具體的操作，教師引導學生邊學邊完成相應的任務，就是讓學生在一個個典型信息處理“問題”驅動下，開展協作學習活動，由教師引導并幫助學生由簡到繁、從易到難、循序漸進地完成一系列教學任務.（2）巧提問，多互動.教師拿出一張長方形的紙，提問學生：能不能只剪一條線就將長方形的紙變成兩部分，使這兩部分的圖形能拼接成梯形？鼓勵學生分小組討論，每個小組中都有優、中、差三類學生.選擇其中一組的差等生上臺展示自己拼接的梯形，教師予以鼓勵肯定.接著教師再提問有人還能繼續拼接出三角形、平行四邊形嗎？教師鼓勵學生親自動手實驗，并選擇另外一組的中等生上臺回答.教師在學生回答之后，引入課題知識，學生加深理解，教師在學生高漲的熱情中肯定學生們的想象力，并設計更有難度的提問：如何在一張圓形的紙片上，只剪一次，剪出一個四邊形呢？在小組討論中，教師可以根據情況適當提示，之后選擇一組中的優等生回答問題.案例分析：有效性是問題設計的前提條件，因材施教，在設計的過程中既要著重基礎的教學應用，對優秀的學生應當適當地拔高，而對于中等生和差等生可以設置不一樣的問題.對于同一個班的不同的學生，同樣也可以根據知識接受能力的不同而設置不同層次的應用，保證絕大部分學生能夠基本完成學習任務，而對于那些能力稍強的又可以從創新的角度給予其設計應用，這種符合學生特點的應用設計既保證了學習基礎，又發展了學生的個性.

二、結語

篇9

一、數學文化的基本含義和基本特征

數學文化是一種基本的文化形態，屬于科學文化的范疇，而且在科學文化中占有極為重要的地位。數學文化作為人類基本的文化活動之一，與人類文化處于統一的整體之中。數學文化，廣義地講，可以表述為以數學科學為核心，以數學的思想、精神、方法、內容等所輻射的相關文化領域為有機組成部分的一個具有特定功能的動態系統。它的基本要素是數學，以及與數學有關的各種文化對象。其系統內部相互作用的方式是多向的和交叉的，包括數學以其內在力量推動文化的進步和數學從相關文化中汲取動力和養分。數學文化具有很強的綜合性。數學文化涉及的基本文化領域包括哲學、藝術、各門自然科學、經濟學、教育學、思維科學，等等。

數學文化除具有文化的普遍特征外，還有其獨有的特征，這些特征既是數學文化區別于其他文化形態的主要方面，又是對數學文化本質的進一步揭示。（1）數學文化是傳播人類思想的一種基本方式；（2）數學文化包含著人類所創造語言的高級形式；（3）數學文化是自然與社會相互聯系的一個尺度；（4）數學文化具有相對的穩定性和連續性；（5）數學文化具有高度的滲透性和無限的發展可能性。

二、初中數學教學中滲透“數學文化”的幾種方法

1.教學中滲透數學史，感受數學的博大精深。

在數學課堂中適當介紹數學史，既可以增強趣味性，又能提高學生的學習興趣。

例如：在“勾股定理”的教學中可以介紹“勾股定理”的相關背景資料。教師問：勾股定理是“人類最偉大的十個科學發現之一”，是初等幾何中的一個基本定理。那么大家知道多少勾股定理的別稱呢？學生回答：畢達哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驢橋定理和埃及三角形等。所謂勾股定理，就是指“在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方?！边@個定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國（希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等）對此定理都有所研究。勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，相傳是古希臘數學家兼哲學家畢達哥拉斯于公元前550年首先發現的。中國最早的一部數學著作――《周髀算經》對“勾股定理”就有記載。這個原理是大禹在治水的時候就總結出來的，如果說大禹治水因年代久遠而無法確切考證的話，記載中周公與商高的對話則可以確定是在公元前1100年左右的西周時期，比畢達哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個應用特例。所以現在數學界把它稱為“勾股定理”是非常恰當的。通過以上知識的介紹，學生會對“勾股定理”產生濃厚的興趣，從而拉近學生和數學的距離。

2.介紹數學中的美學，以數學美激發學生學習興趣。

“哪里有數，哪里就有美”。數學中充滿著美的因素。數學中的美學包括以下幾方面：對稱性、簡單性、統一性和奇異性。利用數學美進行教學，能促進學生對知識的理解，提高學生的學習的興趣。例如楊輝三角便是一幅美麗的對稱圖案（教師可以展示證明圖形）。又如黃金分割比≈0.618被譽為“人間最巧的比例”，是對稱和諧美典型的例子，許多著名建筑廣泛采用黃金分割的比例。

數學家蒲豐用投針試驗求π的近似值是數學方法奇異性的一個典型例子。1777年某日，蒲豐做了個奇特的試驗，他事先在白紙上畫好了一條條有等距離的平行線，又拿出一些質量均勻，長度為平行線距離之半的小針，請客人一根根把針順便仍到紙上結果共投2212次，其中與平行線相交的有704次，≈3.142，然后宣布這就是π的近似值。這一新穎的計算π的方法，充分顯示了數學的奇異美。

3.各學科相互滲透，使教學內容多元化。

高度抽象的數學只有與其他學科結合，才會顯得生動、具體、形象，學生才會樂學、愛學。數學文化可以通過與其他學科的結合得以應用。例如在“概率”部分，我們可以選擇與生物學科有關聯的例子：“遺傳”方面如何求生兒生女的可能性的大小，子女的血型，等等。這樣既使學生豐富了知識，增長了見識，又極大地提高了學生的學習積極性。

4.聯系實際滲透數學文化，感受數學的應用價值。

數學源于生活，其理論核心都包含在人們的生產、生活之中。但是數學又高于生活，是對現象本質規律的高度抽象概括。這一切都促使我們教師必須把先人們在數學探索歷程中有文化價值的思想方法加以濃縮和加工，并且在課堂中每個關鍵的環節上適時充分地利用直觀具體的實例，喚起學生學習數學的激情，實現認識上的飛躍。因此在應用的切入點處滲透數學文化有利于激發學生學習數學的興趣、增強學生的應用意識。

例如“一元一次方程”的應用題，可選擇生活中熟悉的“換啤酒問題”：小明的父親從商店買回10瓶啤酒，商店規定3個空瓶可換回一瓶啤酒，若小明的父親不再給錢，他一共可喝上多少瓶啤酒？其解法是：10瓶喝完，可換回三瓶；再喝完，則剩余4個空瓶，又換回一瓶，喝后剩下2個空瓶，此時借進1空瓶，則又可換回1瓶，喝完后歸還所借1空瓶，總計可喝15瓶。此過程中“一借”可謂巧，若我們采用代數法，設一共可喝x瓶，則空瓶又可換瓶，由題意得：10+=x，解得x=15。無需“借”，真是妙。其實這里僅采用了“一元一次方程”這一簡單的數學模型，就很方便地解決了我們身邊的現實問題，學生看了無不稱奇。通過文化層面來設計問題情境，將會使數學問題變得富有“人情味”，同時也激發學生探究的熱情，使數學課堂變得妙趣橫生。

以數學應用為切入點的數學文化滲透，將數學問題賦予生活內涵，一方面深化了學生所學的數學知識，另一方面增強了學生關注社會和關注人類發展的意識。在問題解決中，學生能感到數學就在生活中。學生通過對一些既熟悉又陌生的問題的研究，感受到了數學的應用價值，進而增強了應用數學意識。

總之，當數學通過文化層面的滲透進入教材、到達課堂、融入教學時，數學就會更加“平易近人”。當學生不再為了考試而學習，才會真正理解數學、喜歡數學，并逐步形成良好的思維品質。

參考文獻：

［1］張新建.新課程與數學老師.中國教育創新教師論壇，人民日報出報社.

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關鍵詞：數學開放題；實踐；評析

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2013）18-0121-02

適當開展數學開放題的教學不但是平常教學的有效補充，而且也是與當前新課改的要求相適應的，是培養學生實踐、探究與創新能力的重要方式方法，因而對初中數學開放題教學的研究是非常有意義的。

一、適當進行開放題的教學非常有必要

從新課標的內容和要求來看，它加強了數學與學生平時生活的聯系。如：張師傅想造一張長200cm，寬40cm的桌面，但目前身邊的材料是長300cm，寬60cm的木板，問怎樣將木板裁剪，最后能制成長200cm，寬40cm的桌面，請設計出裁剪方案。就與學生平時的生活聯系得很緊密。新課標的內容和要求體現在數學問題中，就是內容和形式逐步開放，不局限于書本，注重學科之間的聯系。筆者對七年級人教版的教材作了統計，其中開放題占了19.5%，其所占比例還是比較大的。這些都為教師開展開放題教學提供了很好的素材，也為培養學生主動參與、積極探究的習慣提供了有利條件。

二、數學開放題的案例剖析

在初中數學教學的內容中，不但有概念的教學，還有公式與定理的教學。因此，應該想辦法將這兩方面的內容與開放題進行有機地融合。開放題的特點決定了其教學過程不可能事先完全清楚，因為學生的思維與創新能力非常強，教師不可能將各種情況都事先想到，而應視具體情況具體分析。因此，為了更好地說明開放題的教學實踐，本文給出了教學案例。

案例：勾股定理的教學

1.教學目標：在學生動手操作，自主探究的基礎上，掌握勾股定理的結構特征，培養學生的動手實踐、合作交流以及數學語言的表達能力。

2.教學過程。

（1）教師提出問題：現在給你4個全等的直角三角形，你能不重疊、沒有縫隙地拼出一個正方形嗎？（開放題①）

（2）學生積極動手操作實踐，自主探究，合作交流，得出以下方法：①以直角三角形的斜邊為拼成的正方形的邊長，如圖1。②以直角三角形兩條直角邊的和為大正方形的邊長，如圖2。

（3）若圖中直角三角形的兩條直角邊為a與b，斜邊為c，可用哪些方式表達幾何圖形的面積：①直接用正方形的面積公式，在圖①中大正方形的面積為C2。在圖②中正方形的面積為（a+b）2。②也可用4個小直角三角形的面積與中間的一個小正方形求和來解。在圖①中大正方形的面積為：4×■ab+（b-a）2。在圖②中大正方形的面積為：4×■ab+c2。

（4）結合圖①與圖②以及剛才所得到關系式，你能發現它們之間的關系嗎？

（5）學生基于剛才的活動得出它們應該相等，有如下等式：（a+b）2=4×■ab+c2或者c2=4×■ab+（b-a）2。

（6）教師：將以上式子進行化簡，你能說出它們的特點嗎？（開放題②）

（7）學生在緊張的思考后得出：a2+b2=c2，它有如下特點：①左邊是兩邊的平方和，右邊是斜邊的平方。

②a、b、c是直角三角形的邊長。③它反映的是直角三角形中所特有的三邊關系。

（8）你能仿照這個等式，再舉出幾個例子，滿足以上關系嗎？（開放題③）

（9）學生很快找出常見勾股數：32+42=52，62+82=102，92+122=152，82+152=172，52+122=132，72+242=252，92+402=412，等等。

（10）教師：對于以上的等式a2+b2=c2（a、b、c為直角三角形的三邊長且C為斜邊），就是幾何中非常著名的定理――勾股定理，你還有別的方法證明它的正確性嗎？

（11）學生提出可用兩個全等的直角三角形拼成一個直角梯形來證明。

（12）教師拿出題板，給出鞏固提高題。

（13）學生在教師的指導下，解完鞏固訓練題后提問：勾股定理的使用條件是什么？（開放題④）

（14）學生回答如下：①只有在直角三角形中才成立；②兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；③對于三邊關系不能用錯。

（15）根據以上回答，教師進一步提問：勾股定理中的a、b還可以表示什么？（開放題⑤）

（16）學生回答：可以代表數字、單個字母、單項式、多項式。

（17）教師提出問題：你能構造出可用勾股定理解決的實際問題嗎？（開放題⑥）

學生各抒己見，發表自己的觀點。

3.教學評析：

（1）本課例用到的開放題有結論開放（開放題②③④⑤），策略開放（開放題①），綜合開放（開放題⑥）

（2）教學過程的（1）～（5）是勾股定理的發現過程，強調關注學生的思維。開放題①的作用是展示給學生耳目一新的問題情境，使其能夠體會到不同的方式方法帶來的不同解題效果，由此既讓學生對勾股定理的形式有所感知，又為下一步問題的深化作了鋪墊。

（3）環節⑥～⑩是對定理的進一步升華，開放題①的作用是引導學生動手實踐，自主探究，從而使學生印象深刻。開放題②③的作用是培養學生的語言表達與概括能力，從而帶動學生積極思考，但此時學生的思考尚處于比較淺的層次，舉出的例子變化少。

（4）環節（11）是定理的再次探索，問題注重對學生舉一反三能力的訓練，為下面的開放題④作準備。

（5）環節（12）～（17）是定理的概括、延伸過程。開放題④⑤引導學生對勾股定理進行回顧，反思定理的本質，形成對勾股定理的完整認識。開放題⑥實際是整節課的回顧與總結，同時避免了乏味的單調練習。

對于以上案例，筆者只是截取了教學實踐中的某個部分來說明概念及定理與公式這兩方面的教學是如何展開的。

三、結論

筆者的教學實踐表明：開放題教學能使學生在自己原有的認知基礎上，實現對學習內容的主動建構，能促使學生獨立思考，大膽質疑，勇于探索，從而培養學生的創新能力，提高其學習興趣。

參考文獻：

[1]劉兼，孫曉天.全日制義務教育數學課程標準解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2002.