勾股定理證明范文
時(shí)間：2023-03-17 03:42:09
導(dǎo)語(yǔ)：如何才能寫(xiě)好一篇勾股定理證明，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。
篇1
關(guān)鍵詞：勾股定理；定理證明；推廣應(yīng)用
1引言
自我國(guó)改革開(kāi)放以來(lái)，國(guó)內(nèi)政治、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、文化等諸多環(huán)境得以完善，從而吸引了大量外國(guó)企業(yè)、居民進(jìn)入國(guó)內(nèi)，給中國(guó)當(dāng)代文化氛圍、科學(xué)技術(shù)發(fā)展帶來(lái)了較為深刻的影響。中外文化的交流，在一定程度上給整個(gè)世界學(xué)術(shù)界、實(shí)務(wù)界的發(fā)展提供更加鮮活的血液與動(dòng)力。（刪除）勾股定理作為世界范圍內(nèi)數(shù)學(xué)界最為偉大的發(fā)明之一，其是一個(gè)十分偉大的數(shù)學(xué)定理。迄今為止，勾股定理已經(jīng)被利用多種方法給予證明，并在較多領(lǐng)域中得以推廣。作為一個(gè)具有歷史厚重感的數(shù)學(xué)定理，在當(dāng)前中學(xué)教課書(shū)中也是僅僅列舉了一種證明方法，而對(duì)其他方法的證明及其推廣應(yīng)用的介紹十分之少。為此，作者將在本文中針對(duì)勾股定理的證明方法進(jìn)行研究，作者謹(jǐn)此希望能夠利用本文的研究豐富當(dāng)代中學(xué)生的視野，使他們能夠利用對(duì)定理背后歷史的探究，更好的掌握數(shù)學(xué)應(yīng)用方法，為步入大學(xué)校園繼續(xù)深造奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，為社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)需求人才素質(zhì)的提升做出自身貢獻(xiàn)（刪除）。
2勾股定理的證明方法研究
勾股定理作為一種舉世聞名的數(shù)學(xué)定理，其（刪除）現(xiàn)存的證明方法繁復(fù)多樣，可根據(jù)主流的分類方法將其歸為三類。在下文當(dāng)中，作者將對(duì)前兩種方法分別進(jìn)行一種證明方法的研究。
第一，面積法。該種證明方法是由畢達(dá)哥拉斯所發(fā)明的，其當(dāng)初所使用的面積法證明采用了分解的思路，具體如下圖所示：
在兩個(gè)繪制的圖形當(dāng)中，可以發(fā)現(xiàn)，畢達(dá)哥拉斯共設(shè)計(jì)出了八個(gè)大小完全相等的直角三角形。并對(duì)每個(gè)直角三角形的邊進(jìn)行了賦值，其中直角邊的賦值分別為a與b、斜邊的賦值為c。接下來(lái)，在上述八個(gè)直角三角形的位置周圍繪制出了三個(gè)等邊正方形。最終就形成了如上兩個(gè)圖形。在做好上述準(zhǔn)備工作之后，就可開(kāi)始對(duì)勾股定理進(jìn)行了證明，其證明思路主要為利用正方形所具有的面積對(duì)定理進(jìn)行證明。可以發(fā)現(xiàn)，左圖當(dāng)中將所有小矩形的面積進(jìn)行相加，就等于整個(gè)大正方形的面積。并可得出如下公式：
（a+b）2=a2+b2+4×1/2×ab
在得出上述等式基礎(chǔ)上，再將面積相等的方法應(yīng)用于右圖當(dāng)中，也可以得出另一等式：
（a+b）2=c2+4×1/2×ab=c2+2ab
通過(guò)上述兩個(gè)公式之間的合并，最終可以得到勾股定理的公式：a2+b2=c2
第二，拼接法。拼接法證明與面積法證明之間存在著較大差異。為此，可以先繪制以下圖形，以便于利用拼接法進(jìn)行更為準(zhǔn)確的證明：
其通常所采用的方法之一具體由上圖列示。該圖形主要由四個(gè)大小相同的直角三角形所構(gòu)成。并對(duì)每個(gè)直角三角形的邊進(jìn)行賦值，賦值方法與面積法基本相同。在此基礎(chǔ)上，可利用上述拼接圖形進(jìn)行勾股定理的證明。由上圖可以發(fā)現(xiàn)，DE=AF=HE=b，且角GDE為90度，也存在有FB=FG=BC=a，且角BCG為90度。因此，上圖當(dāng)中的兩個(gè)四邊形就可以利用已經(jīng)為直角三角形的賦值進(jìn)行替代表示。從而又可將上圖分解為兩個(gè)圖形，并實(shí)現(xiàn)勾股定理的證明。
3勾股定理的推廣應(yīng)用研究
勾股定理不但可以在平面圖形當(dāng)中得以應(yīng)用，更加可以在三維圖形，乃至n維圖形當(dāng)中得以應(yīng)用，并給解決諸多較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題提供重要幫助。例如：假設(shè)ABC為等邊三角形，D是該三角形內(nèi)部的一點(diǎn)。如果假設(shè)角BDC為150度，并假設(shè)BD長(zhǎng)度為2，CD長(zhǎng)度為1。那么，AD的長(zhǎng)度應(yīng)當(dāng)是多少。在上述旋轉(zhuǎn)三角形邊長(zhǎng)求解的運(yùn)算當(dāng)中，就可以借助勾股定理的方法實(shí)現(xiàn)對(duì)最終答案的求解。該求解的主要利用圖形的旋轉(zhuǎn)將現(xiàn)有三角形ABC等位移動(dòng)至三角形AEC處，從而構(gòu)造出了一個(gè)新的等邊三角形ADC。那么，依據(jù)這一思路之后，就可以利用對(duì)現(xiàn)有容易求解的方法對(duì)ED求解，并利用兩者之間相等的思想，實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)邊AD長(zhǎng)度的求解。其中針對(duì)EC的求解就可以應(yīng)用到勾股定理，并構(gòu)造如下等式：DE=（DC2+CE2）1/2=51/2。進(jìn)而也就求得了邊AD的長(zhǎng)度。通過(guò)這則案例可以得出結(jié)論，勾股定理在平面圖形之外的立體多位圖形當(dāng)中可以實(shí)現(xiàn)推廣與應(yīng)用。
4結(jié)論
通過(guò)本文的研究，可以發(fā)現(xiàn)，勾股定理作為一個(gè)舉世聞名的數(shù)學(xué)定理，其現(xiàn)存的證明方法繁復(fù)多樣，可根據(jù)主流的分類方法將其歸為三類：其一為面積法；其次為拼接法；另外一種為定理法。通過(guò)對(duì)不同方法的探究，作者以案例的方式對(duì)其中兩種方法的大致證明思路提出了思考，并在此基礎(chǔ)上對(duì)不同方法的推廣應(yīng)用進(jìn)行了研究。作者謹(jǐn)此希望，能夠利用本文的研究，給數(shù)學(xué)界勾股定理應(yīng)用范圍及深度的提升帶來(lái)促進(jìn)作用，也希望能夠在未來(lái)求學(xué)過(guò)程中繼續(xù)深入思考研究數(shù)學(xué)理論的相關(guān)問(wèn)題。
篇2
一、邏輯推理與實(shí)際應(yīng)用是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)
數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史包括兩種典型的數(shù)學(xué)文化:一種是重視邏輯推理的希臘數(shù)學(xué)文化,一種是重視實(shí)際應(yīng)用的中國(guó)數(shù)學(xué)文化.
數(shù)學(xué)史家將古希臘數(shù)學(xué)按時(shí)間分期:第一期從公元前600年到前323年;第二期從公元前323年到前30年,也稱亞歷山大前期;第三期從公元前30年到公元600年,也稱亞歷山大后期[3].前兩個(gè)時(shí)期,希臘數(shù)學(xué)文化認(rèn)為,數(shù)學(xué)命題只有通過(guò)幾何形式的邏輯推理論證才能說(shuō)明其正確性,論證數(shù)學(xué)成為數(shù)學(xué)研究的主流,幾何形式的邏輯推理證明成為數(shù)學(xué)成果正確與否的衡量標(biāo)準(zhǔn).這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)逐漸發(fā)展成為對(duì)數(shù)學(xué)研究的期望或理想,即期望數(shù)學(xué)成果能夠通過(guò)幾何形式的邏輯推理來(lái)論證.在“亞歷山大后期”,古希臘數(shù)學(xué)突破了之前以幾何為中心的傳統(tǒng),算術(shù)、數(shù)論和代數(shù)逐漸脫離了幾何的束縛.這一時(shí)期受羅馬實(shí)用思想的影響,論證數(shù)學(xué)不再盛行,如海倫的《量度》中有不少命題沒(méi)有證明.但論證數(shù)學(xué)中的邏輯推理在數(shù)學(xué)研究中仍占有重要位置,如丟番圖《算術(shù)》書(shū)中采用純分析的途徑處理數(shù)論與代數(shù)問(wèn)題[4].邏輯推理從幾何論證中脫離出來(lái),邏輯推理解決問(wèn)題的思想發(fā)展成為數(shù)學(xué)研究的新理想,即希望數(shù)學(xué)問(wèn)題可以通過(guò)純邏輯推理的方法解決.縱觀整個(gè)希臘數(shù)學(xué)文化,數(shù)學(xué)研究成為滿足上述兩種理想而付出的勞動(dòng),成為實(shí)現(xiàn)個(gè)人價(jià)值、滿足求知欲的社會(huì)需求而付出的勞動(dòng).究其本質(zhì),邏輯推理思想是幾何論證與分析法解決問(wèn)題的根本,是上述兩種理想中最本質(zhì)的思想,并且滿足動(dòng)機(jī)的定義.因此它是古希臘數(shù)學(xué)研究的一個(gè)動(dòng)機(jī),也是人類進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的一個(gè)動(dòng)機(jī).
中國(guó)古代數(shù)學(xué)在整體發(fā)展上表現(xiàn)為算法的建構(gòu)和改進(jìn)[5].所謂“算法”不只是單純的計(jì)算,而是為了解決一整類實(shí)際或科學(xué)問(wèn)題而概括出來(lái)的、帶有一般性的計(jì)算方法[4].算學(xué)的目的在于解決實(shí)際問(wèn)題,而實(shí)際問(wèn)題是層出不窮的,因此中國(guó)古代數(shù)學(xué)不僅經(jīng)受住了統(tǒng)治者廢除“明算”科的考驗(yàn),甚至還有所發(fā)展,如元末明初珠算的普及.隨著中國(guó)數(shù)學(xué)文化的形成,用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題成為算學(xué)的理想,即期望數(shù)學(xué)成果能夠被實(shí)際應(yīng)用.中國(guó)古代數(shù)學(xué)研究成為受這個(gè)理想而支配的勞動(dòng),成為實(shí)現(xiàn)個(gè)人價(jià)值、滿足求知欲的社會(huì)需求而付出的勞動(dòng).實(shí)際應(yīng)用滿足動(dòng)機(jī)的定義,因此它是中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)動(dòng)機(jī),也是人類進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的一個(gè)動(dòng)機(jī).
所以邏輯推理與實(shí)際應(yīng)用是人類進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)動(dòng)機(jī),按動(dòng)機(jī)的分類它們屬于驅(qū)力,是從生理需要出發(fā)的內(nèi)在動(dòng)機(jī).數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以認(rèn)為是有方向性的對(duì)已有數(shù)學(xué)成果的再次研究過(guò)程,可以看作是數(shù)學(xué)研究的特例形式.依據(jù)歷史發(fā)生原理綜合分析得出:人類進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的內(nèi)在動(dòng)機(jī)一定會(huì)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出來(lái),即激勵(lì)人類研究數(shù)學(xué)的內(nèi)在動(dòng)機(jī)與激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)機(jī)是一致的.
從實(shí)際情況出發(fā),邏輯推理可以作為生活中一種娛樂(lè)形式,如邏輯推理游戲、邏輯推理小說(shuō)、邏輯推理電影等都深受公眾喜歡;而實(shí)際應(yīng)用也是大家十分感興趣的,如通過(guò)應(yīng)用基本的空氣動(dòng)力學(xué)知識(shí)制作航模.
綜上所述,邏輯推理與實(shí)際應(yīng)用是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī),且這兩個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)是學(xué)生共有的、內(nèi)在的,也是在實(shí)際教學(xué)中易于對(duì)學(xué)生進(jìn)行培養(yǎng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).
古希臘數(shù)學(xué)中的公理化思想是希臘數(shù)學(xué)文化的重要特點(diǎn)之一.公理化思想出現(xiàn)的標(biāo)志是歐幾里得的《幾何原本》.在數(shù)學(xué)中引入邏輯因素,對(duì)命題加以證明,一般認(rèn)為是從伊奧尼亞學(xué)派開(kāi)始的,但畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在這一方面作了重大的推進(jìn),他們的工作可以說(shuō)是歐幾里得公理化體系的前驅(qū)[3].因此公理化思想的提出要晚于邏輯推理思想,公理化思想是邏輯推理思想的發(fā)展.
算法程序化思想是中國(guó)數(shù)學(xué)文化的另一個(gè)重要特點(diǎn).算法程序化思想出現(xiàn)的標(biāo)志是成書(shū)于公元前后的《九章算術(shù)》.實(shí)際應(yīng)用思想雖沒(méi)有明確的出現(xiàn)標(biāo)志,但在《九章算術(shù)》成書(shū)前的《周髀算經(jīng)》、《算數(shù)書(shū)》等書(shū)中涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)都蘊(yùn)含著明確的實(shí)際應(yīng)用思想.算法的提出是為了解決一類實(shí)際問(wèn)題,算法程序化為了使算法嚴(yán)謹(jǐn)、簡(jiǎn)明、更富一般性.因此算法程序化思想的提出要晚于實(shí)際應(yīng)用思想,且算法程序化思想是實(shí)際應(yīng)用思想的發(fā)展.
隨著數(shù)學(xué)發(fā)展,公理化思想與算法程序化思想已應(yīng)用到現(xiàn)代數(shù)學(xué)中,成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特點(diǎn).但它們不是貫穿整個(gè)古希臘數(shù)學(xué)與中國(guó)古代數(shù)學(xué)研究的內(nèi)在因素,而是邏輯推理與實(shí)際應(yīng)用數(shù)學(xué)思想發(fā)展的衍生物.公理化思想與算法程序化思想也可作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī),但適宜群體明顯要少得多.數(shù)學(xué)發(fā)展至今,數(shù)學(xué)本身的文化區(qū)域性特點(diǎn)淡薄了,希臘數(shù)學(xué)文化與中國(guó)數(shù)學(xué)文化背后的驅(qū)力——邏輯推理與實(shí)際應(yīng)用思想,早已相互融合.近代微積分的應(yīng)用及理論的嚴(yán)密化過(guò)程就是一例.
二、比較古今數(shù)學(xué)教材以研究初中教材兩個(gè)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的培養(yǎng)
教材是教學(xué)中最重要的用書(shū)之一,是教師教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)的主要依據(jù).《幾何原本》、《九章算術(shù)》作為西方與中國(guó)的數(shù)學(xué)教科書(shū)都有千年之久.兩本著作都反映了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)文化背景.重視邏輯推理與重視實(shí)際應(yīng)用分別成為教學(xué)思想包含在這兩本書(shū)中.
因?yàn)椤毒耪滤阈g(shù)》作為教材多將劉徽注釋加入其中,所以將現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材與《幾何原本》、《九章算術(shù)及劉徽注》進(jìn)行比較研究.為增加3者的可比性,選擇它們共有的內(nèi)容,且知識(shí)體系完備,預(yù)備知識(shí)基本一致,學(xué)生認(rèn)知水平大抵相同的勾股定理部分作為比較對(duì)象.這種比較雖不能以點(diǎn)代面,但仍有較強(qiáng)的代表性與啟發(fā)性.現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材采用經(jīng)全國(guó)中小學(xué)教材審定委員會(huì)2004年初審?fù)ㄟ^(guò)的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)[6],以第18章第1節(jié)勾股定理內(nèi)容為標(biāo)準(zhǔn),選擇《幾何原本》、《九章算術(shù)及劉徽注》部分內(nèi)容進(jìn)行比較.因《幾何原本》的成書(shū)結(jié)構(gòu)是公理化體系,利用已知命題證明未知命題,且命題后沒(méi)有輔助理解該命題的習(xí)題,所以選擇其中與勾股定理有關(guān)或利用勾股定理證明的命題作為比較對(duì)象.由于初中教材在講解勾股定理時(shí),預(yù)備知識(shí)中未包含圓、無(wú)理量及立體幾何內(nèi)容,故選擇《幾何原本》[7]第Ⅰ卷命題47、48,第Ⅱ卷命題9、10、11、12、13作為比較對(duì)象.《九章算術(shù)及劉徽注》的勾股章是利用直角三角形性質(zhì)求高深廣遠(yuǎn),因初中教材勾股定理的預(yù)備知識(shí)中沒(méi)有相似三角形及勾股數(shù)組的內(nèi)容,所以選擇《九章算術(shù)及劉徽注》[8]勾股章[一]至[一四]題及[一六]題作為比較對(duì)象.
1.各種教材中勾股定理的內(nèi)容
(1)編寫(xiě)目的
《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(修改稿)》(下簡(jiǎn)稱為《標(biāo)準(zhǔn)》)中勾股定理的教學(xué)要求是:探索勾股定理及其逆定理,并能運(yùn)用它們解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題[9].《幾何原本》與《九章算術(shù)及劉徽注》雖沒(méi)有類似的編寫(xiě)標(biāo)準(zhǔn),但可以從它們的內(nèi)容及成書(shū)體系分析得出.《幾何原本》利用勾股定理轉(zhuǎn)換面積間關(guān)系證明幾何問(wèn)題,即在直角三角形中,兩直角邊上正方形面積和與斜邊上正方形面積可以相互轉(zhuǎn)換.如第Ⅱ卷命題9、10、11、12、13都是利用這種思想.《九章算術(shù)及劉徽注》利用勾股定理數(shù)量關(guān)系求得高深廣遠(yuǎn),解決實(shí)際生活的問(wèn)題.
(2)知識(shí)框架
初中教材通過(guò)生活發(fā)現(xiàn)與幾何直觀探索,建立從實(shí)際到理論再到實(shí)際的知識(shí)體系,并運(yùn)用定理解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.《幾何原本》通過(guò)已知命題推導(dǎo)勾股定理,建立從理論到理論純幾何形式的知識(shí)體系,重在證明未知命題.《九章算術(shù)及劉徽注》通過(guò)給出3個(gè)簡(jiǎn)單幾何問(wèn)題“術(shù)”,建立從理論到實(shí)際的應(yīng)用知識(shí)體系,旨在解決實(shí)際問(wèn)題.3者建構(gòu)的知識(shí)框架各不相同.
(3)定理引入
初中教材的導(dǎo)入分為兩部分,分析畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的定理特例與探究定理的一般形式.《幾何原本》受公理化體系的影響,它的導(dǎo)入可以認(rèn)為是定義、公理、公設(shè)及已知命題.《九章算術(shù)及劉徽注》的導(dǎo)入是3個(gè)已知兩邊求第三邊的簡(jiǎn)單幾何問(wèn)題.
(4)定理表述
初中教材用特例猜想定理的一般形式給出勾股定理[6]:如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b,斜邊為c,那么《幾何原本》的勾股定理以命題形式給出:在直角三角形中,直角所對(duì)邊上的正方形等于夾直角兩邊上的正方形[10].《九章算術(shù)及劉徽注》中的勾股定理以3個(gè)簡(jiǎn)單幾何問(wèn)題術(shù)的形式給出:勾股各自乘,并,而開(kāi)方除之,即弦[8].3者對(duì)比,初中教材體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的勾股定理且形體現(xiàn)在邊長(zhǎng)上;《幾何原本》中體現(xiàn)形的勾股定理且形體現(xiàn)在面積上;而《九章算術(shù)及劉徽注》體現(xiàn)數(shù)的勾股定理.各自的表述為其內(nèi)容服務(wù),它們之間存在一定差異.
(5)定理證明
初中教材利用我國(guó)古代趙爽的弦圖(如圖1、圖2、圖3),通過(guò)圖形旋轉(zhuǎn)證明定理猜想.這種證明方法是近年來(lái)學(xué)者們傾向于“古證復(fù)原”思想提出的.初中教材對(duì)定理證明如下[6]:
趙爽注釋的《周髀算經(jīng)》對(duì)勾股定理的證明如下:案弦圖又可以勾、股相乘為朱實(shí)二,倍之為朱實(shí)四.以勾股之差自相乘為中黃實(shí).加差實(shí)一亦成弦實(shí)[8].
兩種解釋代表兩種證明思想,趙爽弦圖及其證明方法未成最終定論.初中教材選擇歷史上的數(shù)學(xué)作為定理證明既應(yīng)符合歷史,又應(yīng)符合學(xué)生認(rèn)知習(xí)慣.圖形旋轉(zhuǎn)是否是趙爽的弦圖思想,是否符合學(xué)生對(duì)一般幾何問(wèn)題證明的思維形式,仍需再斟酌.
篇3
摘要：勾股定理及其逆定理的證法很多. 筆者運(yùn)用平面幾何中著名的托勒密定理，構(gòu)造出托勒密定理滿足的基本條件，再借助初中幾何的圓及四邊形等綜合知識(shí)，對(duì)兩個(gè)定理加以證明. 利用構(gòu)造的方法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維具有拋磚引玉的功效.
關(guān)鍵詞：勾股定理；逆定理；另證；方法
勾股定理的證明方法多達(dá)四百余種，而它的逆定理的證法卻沒(méi)有那么多，筆者曾用同一法證過(guò)其逆定理. 大多數(shù)方法都是運(yùn)用中學(xué)數(shù)學(xué)中常規(guī)的數(shù)學(xué)思想方法加以證明的. 筆者結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐研究，運(yùn)用高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽綱要中所要求的一個(gè)重要的著名定理――托勒密定理，對(duì)勾股定理及其逆定理加以了證明，讓人耳目一新，既拓寬了學(xué)生的視野，啟迪了學(xué)生的思維，又引導(dǎo)了學(xué)生如何去拓展書(shū)本中的知識(shí)，豐富了學(xué)生的課外生活，激發(fā)了學(xué)生課外探究數(shù)學(xué)的熱情，增強(qiáng)了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力. 下面，筆者將托勒密定理的證明及如何運(yùn)用它來(lái)證明勾股定理及其逆定理提供給同行們.
[⇩]托勒密定理：圓的內(nèi)接四邊形中，四邊形的兩組對(duì)邊的乘積之和等于對(duì)角線的積
已知：如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于O.
[D][A][B][O][G][C][3][4][2][1]
圖1
求證：AB?CD+BC?AD=AC?BD.
證明作∠BAG=∠CAD. 因?yàn)?，所以∠3=∠4. 因?yàn)椤螧AG=∠CAD，所以ABG∽ACD. 所以=.
所以AB?CD=AC?BG.①
因?yàn)椤?+∠CAG=∠2+∠CAG，所以∠DAG=∠CAB. 因?yàn)?，所以∠ADG=∠ACB. 所以ADG∽ACB. 所以=.
所以BC?AD=AC?DG. ②
①+②得AB?CD+BC?AD=AC?（BG+DG）=AC?BD.
[⇩]運(yùn)用托勒密定理證明勾股定理及其逆定理
1. 勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2.
已知：如圖2，在直角三角形ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，∠C=90°.
求證：a2+b2=c2.
[B][C][O][A][D]
圖2
分析直角三角形ABC有且僅有一個(gè)以AB中點(diǎn)O為圓心，為半徑的外接圓. 如果再在圓O上找一點(diǎn)D，就可以構(gòu)造一個(gè)圓內(nèi)接四邊形，便可以運(yùn)用托勒密定理得線段間的關(guān)系，從而得到勾股定理.
證明作出直角三角形ABC的外接圓O，連結(jié)OC并延長(zhǎng)CO交圓O于點(diǎn)D，再連結(jié)BD，AD. 因?yàn)镃D為直徑，所以∠CBD=∠CAD=90°. 因?yàn)椤螩=90°，所以四邊形ADBC是矩形. 所以AD=BC=a，AC=BD= b，AB=CD=c.
由托勒密定理可得BC?AD+AC?BD=AB?CD，所以a2+b2=c2.
2 . 勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.
已知：如圖3，在三角形ABC中，AB=c，BC=a，CA=b且a2+b2=c2.
求證：∠C=90°.
[B][C][O][A][D]
圖3
分析三角形ABC有且僅有一個(gè)外接圓O，可將∠C放在圓中，得到一個(gè)圓周角. 要證明它為直角，只需要證明它所對(duì)的弦AB為直徑即可. 要證AB為直徑僅由a2+b2=c2得出談何容易？此路不通另尋他途，不妨在圓O上再找一點(diǎn)D，構(gòu)造出一個(gè)圓內(nèi)接四邊形看能否利用托勒密定理得出線段間的關(guān)系再結(jié)合已知條件a2+b2=c2來(lái)進(jìn)行證明. 那么D點(diǎn)如何找呢？過(guò)B點(diǎn)作BD∥AC交圓O于點(diǎn)D，連結(jié)AD，CD，運(yùn)用托勒密定理即可達(dá)到目的.
證明作出三角形ABC的外接圓O，過(guò)B作BD∥AC交圓O于點(diǎn)D，連結(jié)AD，CD. 因?yàn)锽D∥AC，所以∠BDC=∠DCA. 所以=.
所以BC=AD=a . 因?yàn)?，所以∠BCD=∠BAD. 因?yàn)锽D=BD，所以ABD≌CDB. 所以AB=CD=c. 因?yàn)樗倪呅蜛CBD是圓O的內(nèi)接四邊形，
由托勒密定理可得BC?AD+AC?BD=AB?CD，
所以a2+b?BD=c2. 因?yàn)閍2+b2=c2，所以BD=b. 所以BD=AC. 所以平行四邊形ACBD是矩形，所以∠ACB=90°，從而命題得證.
篇4
關(guān)鍵詞:勾股定理 故事 自學(xué) 引導(dǎo) 鞏固
時(shí)鐘隨著指針的移動(dòng)嘀嗒在響:“秒”是雄赳赳氣昂昂列隊(duì)行進(jìn)的兵士，“分”是士官，“小時(shí)”是帶隊(duì)沖鋒陷陣的驍勇的軍官。所以當(dāng)你百無(wú)聊賴、胡思亂想的時(shí)候，請(qǐng)記住你掌上有千軍萬(wàn)馬;你是他們的統(tǒng)帥。檢閱他們時(shí)，你不妨問(wèn)問(wèn)自己——他們是否在戰(zhàn)斗中發(fā)揮了最大的作用?
——菲·蔡·約翰遜
數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)質(zhì)上是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主體作用，注重教學(xué)過(guò)程，改變被動(dòng)接受知識(shí)的局面，實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)素質(zhì)化，才能真正提高課堂教學(xué)質(zhì)量和效率。下面說(shuō)說(shuō)我在教學(xué)中的做法，通過(guò)這個(gè)例子來(lái)具體地說(shuō)明數(shù)學(xué)課上如何提高課堂效率。
課例:《勾股定理的證明》
教學(xué)目標(biāo):勾股定理是學(xué)生在已經(jīng)掌握了直角三角形的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的。它是直角三角形的一條非常重要的性質(zhì)，是幾何中最重要的定理之一;它揭示了一個(gè)直角三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系;它可以解決直角三角形中關(guān)于邊的計(jì)算問(wèn)題，是解直角三角形的主要根據(jù)之一，在實(shí)際生活中用途很大。教材在編寫(xiě)時(shí)注意培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力和分析問(wèn)題的能力，通過(guò)實(shí)際分析、拼圖等活動(dòng)，使學(xué)生獲得較為直觀的印象;通過(guò)聯(lián)系和比較，理解勾股定理，以便正確地進(jìn)行運(yùn)用。
例如，勾股定理證明教學(xué)過(guò)程中，教師可這樣實(shí)施:
一、故事引入，激發(fā)興趣
為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)勾股定理的興趣，可以由下列故事引入:三千多年前有個(gè)叫商高的人對(duì)周公說(shuō):把一根直尺折成直角，兩端連接得到一個(gè)直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦等于5。
這樣引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲。
教師緊接著問(wèn):是不是所有的直角三角形都有這個(gè)性質(zhì)呢?
教師要善于激疑，使學(xué)生進(jìn)入樂(lè)學(xué)狀態(tài)。這樣做將學(xué)生的注意力吸引到課堂上來(lái)，學(xué)生全神貫注地聽(tīng)課，課堂效率得到提高。
二、自學(xué)教材，主動(dòng)探究
教師將教材知識(shí)整合，制作成幻燈片，以此指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)教材。通過(guò)自學(xué)感悟、理解新知，體現(xiàn)了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識(shí)，鍛煉了學(xué)生主動(dòng)探究知識(shí)的能力，養(yǎng)成了學(xué)生良好的自學(xué)習(xí)慣。
1.通過(guò)自主學(xué)習(xí)，教師設(shè)疑或?qū)W生提疑。如:怎樣證明勾股定理?通過(guò)自學(xué)，中等以上的學(xué)生基本都能掌握，這時(shí)能激發(fā)學(xué)生的表現(xiàn)欲。
2.通過(guò)合作探究，引導(dǎo)學(xué)生擺脫網(wǎng)格的限制，研究任意直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系。滲透由特殊到一般的思想方法。
3.教師引導(dǎo)學(xué)生按照要求進(jìn)行拼圖，觀察并分析;(學(xué)生每人準(zhǔn)備四個(gè)大小一樣的直角三角形)(1)這兩個(gè)圖形有什么特點(diǎn)?(2)你能寫(xiě)出這兩個(gè)圖形桔黃色部分的面積嗎?(3)你得到什么結(jié)論?
這時(shí)教師組織學(xué)生分組討論，調(diào)動(dòng)全體學(xué)生的積極性，達(dá)到人人參與的效果，接著全班交流。先由某一組代表發(fā)言，說(shuō)明本組對(duì)問(wèn)題的理解程度，其他各組作評(píng)價(jià)和補(bǔ)充。教師及時(shí)進(jìn)行富有啟發(fā)性的點(diǎn)撥，最后，師生共同歸納，形成一致意見(jiàn)，最終解決疑難。
三、鞏固練習(xí)，強(qiáng)化提高
1.出示練習(xí)，學(xué)生分組解答，并由學(xué)生總結(jié)解題規(guī)律。課堂教學(xué)中動(dòng)靜結(jié)合，以免引起學(xué)生思維疲勞。
例1.某樓房三樓失火，消防員趕來(lái)救火，了解到每層樓高3米，消防員取來(lái)6.5米長(zhǎng)的梯子，梯子的底部離墻基2.5米，請(qǐng)問(wèn)消防員能否進(jìn)入三樓滅火?
2.出示例1:學(xué)生試解，師生共同評(píng)價(jià)，以加深對(duì)例題的理解與運(yùn)用。針對(duì)例題再次進(jìn)行鞏固練習(xí)，進(jìn)一步提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的能力，對(duì)練習(xí)中出現(xiàn)的情況可采取互評(píng)、互議的形式，在互評(píng)互議中出現(xiàn)的具有代表性的問(wèn)題，教師可以采取全班討論的形式予以解決，以此突出教學(xué)重點(diǎn)。
四、歸納總結(jié)，練習(xí)反饋
引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)要點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)，梳理學(xué)習(xí)思路。分發(fā)自我反饋練習(xí)，學(xué)生獨(dú)立完成。
五、課后作業(yè)
1.課本第81頁(yè)1、2、3題。
2.通過(guò)報(bào)刊、資料或上網(wǎng)查閱中外名人對(duì)勾股定理的證明方法以及勾股定理的發(fā)展史。
教學(xué)反思:本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)明確，重點(diǎn)突出，注重對(duì)知識(shí)形成過(guò)程的教學(xué)。但是在準(zhǔn)備這節(jié)課時(shí)還是不夠充分，比如引例比較簡(jiǎn)單，可以適當(dāng)增加。在本節(jié)課后，我又搜集了一些關(guān)于勾股定理的典故，充實(shí)本節(jié)課的內(nèi)容。
勾股定理的典故:
1.5000年前的埃及人，也知道這一定理的特例，也就是勾3、股4、弦5，并用它來(lái)測(cè)定直角，之后才漸漸推廣。
2.金字塔的底部，四正四方，正對(duì)準(zhǔn)東西南北，可見(jiàn)方向測(cè)得很準(zhǔn)，四角又是嚴(yán)格的直角。而要量得直角，當(dāng)然可以采用作垂直線的方法，但是如果將勾股定理反過(guò)來(lái)用，也就是說(shuō):只要三角形的三邊是3、4、5，或者符合的公式，那么弦邊對(duì)面的角一定是直角。
3.到了公元前540年，希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯注意到了直角三角形三邊是3、4、5，或者是5、12、13，他想:是不是所有直角三角形的三邊都符合這個(gè)規(guī)律?反過(guò)來(lái)，三邊符合這個(gè)規(guī)律的，是不是都是直角三角形?他搜集了許多例子，結(jié)果都對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題作了肯定的回答。他非常高興，殺了一百頭牛來(lái)祝賀。以后，西方人就將這個(gè)定理稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”。
另外，合作探究和拼圖部分給學(xué)生留的時(shí)間太少，應(yīng)該給學(xué)生足夠的時(shí)間進(jìn)行思考，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并解決問(wèn)題。
篇5
【關(guān)鍵詞】勾股定理；文獻(xiàn)資料；教學(xué)設(shè)計(jì)；實(shí)驗(yàn)操作
在“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”的基礎(chǔ)上備好一節(jié)課本是最好的備課方式，但由于教師理解能力的差異，以及對(duì)“三個(gè)理解”的認(rèn)識(shí)程度不同，備課效果自然不可同日而語(yǔ).那么，怎樣才能備出一節(jié)好課呢？筆者認(rèn)為，通過(guò)比對(duì)同一課時(shí)的文獻(xiàn)資料，分析不同教案的優(yōu)缺點(diǎn)，博采眾長(zhǎng)，巧妙融合，自然會(huì)備出一節(jié)好課.下面以“勾股定理”起始課為例，談?wù)勅绾卫梦墨I(xiàn)資料進(jìn)行備課.供參考.
1常見(jiàn)教學(xué)設(shè)計(jì)
查閱近幾年的文獻(xiàn)資料，發(fā)現(xiàn)勾股定理起始課教學(xué)設(shè)計(jì)大致分為三類：以證明定理為主的教學(xué)設(shè)計(jì)、以探究發(fā)現(xiàn)定理為主的教學(xué)設(shè)計(jì)、以實(shí)驗(yàn)操作來(lái)發(fā)現(xiàn)定理的教學(xué)設(shè)計(jì).現(xiàn)對(duì)這三種教學(xué)設(shè)計(jì)做客觀分析.
1.1以證明定理為主的教學(xué)設(shè)計(jì)
章建躍博士在談到勾股定理教數(shù)學(xué)時(shí)指出：“其一，勾股定理的發(fā)現(xiàn)具備偶然性；其二，畢達(dá)哥拉斯是大數(shù)學(xué)家，對(duì)數(shù)極其敏感，對(duì)“形”非常自動(dòng)化地想到“數(shù)”，這是一般人做不到的……我覺(jué)得，不應(yīng)該讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，重點(diǎn)應(yīng)該放在讓學(xué)生去證明這個(gè)定理.”[1]在這一觀點(diǎn)的支撐下，一線教師中的許多實(shí)踐者也取得了良好的教學(xué)效果.
課例1劉東升[2]先從一段BBC紀(jì)錄片《數(shù)學(xué)的故事》展示古埃及人結(jié)繩繃成直角三角形導(dǎo)入新課，隨即導(dǎo)入勾股定理的特例“如果作一個(gè)直角三角形，使得兩直角邊分別為3和4，你能否求出斜邊的長(zhǎng)？”在學(xué)生嘗試無(wú)果后，教師指出有人曾經(jīng)用拼圖的方法求出該三角形的斜邊長(zhǎng)為5，接下來(lái)用拼圖的方法予以計(jì)算.最后從特殊到一般用面積法（割補(bǔ)法）證明勾股定理.
分析教師設(shè)計(jì)以證明為主的教學(xué)思路，大致是基于以下幾點(diǎn)思考：一是恰當(dāng)安排講授法，節(jié)約時(shí)間，采用教師講授證明思路，學(xué)生跟進(jìn)理解，是基于對(duì)學(xué)情的理解；二是勾股定理的發(fā)現(xiàn)具有偶然性，只有畢達(dá)哥拉斯這樣的大數(shù)學(xué)家，才能從“形”非常自動(dòng)地想到“數(shù)”，這是一般人做不到的，在課堂上有限的時(shí)間里讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)該定理是不現(xiàn)實(shí)的，也是無(wú)法完成的任務(wù).所以，該設(shè)計(jì)把時(shí)間重點(diǎn)分配在證明勾股定理和欣賞勾股定理文化上.從學(xué)習(xí)的角度看，這樣的安排是有效的，是基于學(xué)情來(lái)考慮的，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生演繹推理的能力.
《義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》[3]（以下簡(jiǎn)稱標(biāo)準(zhǔn)）在課程基本理念中指出：學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程.除接受學(xué)習(xí)外，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流同樣是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程.顯然，上述過(guò)程少了學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想的過(guò)程，而這卻是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要功能所在.事實(shí)上，發(fā)現(xiàn)一個(gè)定理的價(jià)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于證明這個(gè)定理，從這個(gè)角度看，上述安排是不完美的.
1.2以探究發(fā)現(xiàn)定理為主的教學(xué)設(shè)計(jì)
特級(jí)教師卜以樓認(rèn)為：研究一個(gè)定理，一般要從猜想――驗(yàn)證――證明這三個(gè)方面去把握，如果離開(kāi)了猜想、發(fā)現(xiàn)定理這兩個(gè)環(huán)節(jié)，那么培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意R和實(shí)踐能力就會(huì)在教學(xué)中打折.事實(shí)上，發(fā)現(xiàn)一個(gè)定理的價(jià)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于證明這個(gè)定理.卜老師同時(shí)給出了基于上述思考的教學(xué)設(shè)計(jì).
課例2卜以樓首先通過(guò)畫(huà)兩個(gè)直角三角形，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊間有關(guān)系，然后順勢(shì)提出問(wèn)題：既然直角三角形三邊數(shù)量之間有一個(gè)等量關(guān)系，這個(gè)等量關(guān)系是什么呢[4]？接著，引導(dǎo)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生在單位長(zhǎng)度為1 cm的坐標(biāo)紙上，理性地選擇幾個(gè)直角三角形去畫(huà)一畫(huà)、量一量，觀察量出的數(shù)值，估計(jì)、猜想三邊間的關(guān)系；引導(dǎo)基礎(chǔ)較好的學(xué)生理性分析三邊間的關(guān)系：a、b、c三邊間關(guān)系可以是一次等量關(guān)系、二次等量關(guān)系，甚至是高次等量關(guān)系，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊否定三邊間存在一次關(guān)系，然后探討三邊間的二次等量關(guān)系，先從特殊形式入手，首先猜想a2+b2=c2，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)猜想成立，再用“證偽”否定其它的二次關(guān)系，最后引導(dǎo)學(xué)生從a2、b2、c2這些“式結(jié)構(gòu)”想到“邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形面積”這個(gè)“形結(jié)構(gòu)”，然后利用圖形面積（割補(bǔ)法）來(lái)分析和解決問(wèn)題.
分析首先，本課例關(guān)注學(xué)生四能培養(yǎng)，教學(xué)過(guò)程就是基于發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，分析和解決問(wèn)題的思路來(lái)設(shè)計(jì)的，教學(xué)過(guò)程就是引導(dǎo)學(xué)生思維的過(guò)程；其次，符合“猜想――驗(yàn)證――證明”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律，過(guò)程嚴(yán)謹(jǐn)，絲絲入扣，數(shù)學(xué)味濃，注重學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng).
但仔細(xì)分析其教學(xué)設(shè)計(jì)后發(fā)現(xiàn)，其課堂教學(xué)過(guò)于理想化，既要啟發(fā)基礎(chǔ)較差的學(xué)生畫(huà)一畫(huà)、量一量，觀察量出的數(shù)值，估計(jì)、猜想三邊間的關(guān)系，又要引導(dǎo)基礎(chǔ)較好的學(xué)生理性分析三邊間的關(guān)系，直至發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊的平方關(guān)系，還要引導(dǎo)學(xué)生證明勾股定理，復(fù)雜的教學(xué)過(guò)程可能會(huì)導(dǎo)致教學(xué)時(shí)間不夠，文章展示的探究過(guò)程很難在現(xiàn)實(shí)的課堂中得以實(shí)現(xiàn).另外，在引導(dǎo)基礎(chǔ)較好的學(xué)生理性分析三邊間關(guān)系的過(guò)程中，作者根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊就可以否定三邊間存在一次關(guān)系，這句話是有問(wèn)題的，比如，邊長(zhǎng)分別為a=3、b=4、c=5的關(guān)系可以表述為a+b=75c這樣的等量關(guān)系.對(duì)于a、b、c之間二次關(guān)系的三種形式的分類是可行的，但直接從特殊情況a2+b2=c2入手，是執(zhí)果索因的結(jié)果，這和直接告知結(jié)論是一樣的效果.
1.3以實(shí)驗(yàn)操作來(lái)發(fā)現(xiàn)定理的教學(xué)設(shè)計(jì)
蘇科版數(shù)學(xué)教材主編董林偉先生指出：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不是學(xué)生被動(dòng)地接受課本上的或老師敘述的現(xiàn)成結(jié)論，而是學(xué)生從自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)，通過(guò)自己動(dòng)手、動(dòng)腦，用觀察、模仿、實(shí)驗(yàn)、猜想等手段獲得經(jīng)驗(yàn)，逐步建構(gòu)并發(fā)展自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的活動(dòng)過(guò)程[5].數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)已成為數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要方式.關(guān)于勾股定理的教學(xué)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)大致有兩種方法：測(cè)量法和計(jì)算法.
課例3測(cè)量法[6]：任黨華引導(dǎo)學(xué)生從“直角三角形的角度特殊，會(huì)不會(huì)它的邊在數(shù)量上也有特殊的關(guān)系呢？”開(kāi)始思考，然后讓學(xué)生動(dòng)手畫(huà)一個(gè)任意直角三角形，測(cè)量其三邊長(zhǎng)度，計(jì)算交流，接著學(xué)生展示所得數(shù)據(jù)及本組猜想，師生用幾何畫(huà)板演示，發(fā)現(xiàn)a2+b2=c2這一結(jié)論成立，再用拼圖法證明結(jié)論，最后介紹有關(guān)勾股定理的數(shù)學(xué)史.
課例4計(jì)算法[7]：萬(wàn)廣磊從展示2002年的數(shù)學(xué)大會(huì)的弦圖開(kāi)始，然后直接給出直角三角形和以該三角形三邊向形外作三個(gè)正方形，通過(guò)填空的方式來(lái)計(jì)算三個(gè)正方形的面積，學(xué)生通過(guò)畫(huà)一畫(huà)、想一想、試一試、辨一辨來(lái)發(fā)現(xiàn)a2+b2=c2，再用實(shí)驗(yàn)的方法驗(yàn)證鈍角三角形和銳角三角形不具備兩短邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方，然后用拼圖法證明勾股定理，最后介紹有關(guān)勾股定理的數(shù)學(xué)史.
分析這兩個(gè)課例都是通過(guò)畫(huà)一畫(huà)、想一想、算一算來(lái)發(fā)現(xiàn)勾股定理的，動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的過(guò)程有利于培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，獲得研究問(wèn)題的方法，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).但課例3存在兩點(diǎn)不足，一是學(xué)生畫(huà)圖、測(cè)量過(guò)程中無(wú)法保證圖形的準(zhǔn)確和數(shù)據(jù)的精確，不能為發(fā)現(xiàn)規(guī)律提供保證；二是學(xué)生從測(cè)量出的三邊數(shù)據(jù)中，怎么會(huì)輕易發(fā)現(xiàn)三邊的平方關(guān)系？課例4教師通過(guò)填空計(jì)算面積的方式已經(jīng)把解題思路和盤托出，難點(diǎn)化為烏有，就像幾何題中老師提前告知輔助線一樣，是避開(kāi)難點(diǎn)，而不是突破難點(diǎn).羅增儒教授稱以上教學(xué)為“虛假性情境發(fā)現(xiàn)”和“淺層次的情境發(fā)現(xiàn)”.
2勾股定理教學(xué)中需要突破的難點(diǎn)
通過(guò)上述課例的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)在勾股定理的教學(xué)中回避不了幾個(gè)難點(diǎn)：一是如何創(chuàng)設(shè)合適的情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊間的平方關(guān)系？二是怎樣引導(dǎo)學(xué)生從a2、b2、c2這些“式結(jié)構(gòu)”想到“邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形面積”這個(gè)“形結(jié)構(gòu)”？三是選擇探究教學(xué)，探究的時(shí)間較長(zhǎng)，有時(shí)甚至不可控，需要時(shí)間成本；四是數(shù)學(xué)定理的呈現(xiàn)雖是美麗的，但發(fā)現(xiàn)的過(guò)程確是漫長(zhǎng)和痛苦的，所以，課堂上定理的發(fā)現(xiàn)不能過(guò)于理想化，所謂還原數(shù)學(xué)家火熱的思考，實(shí)在過(guò)于理想化，在短短的一節(jié)課內(nèi)要完成一個(gè)定理的發(fā)現(xiàn)，必然要降低發(fā)現(xiàn)坡度，縮短發(fā)現(xiàn)時(shí)間，中間教師的引導(dǎo)甚至干預(yù)就必不可少.3吸收精華，改進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì)
上述四個(gè)課例均有可取之處，在認(rèn)真學(xué)習(xí)比對(duì)優(yōu)劣的基礎(chǔ)上，多方吸收各種教法中的精華，充分考慮勾股定理教學(xué)中需要突破的四大難點(diǎn)，經(jīng)過(guò)認(rèn)真整合，確定“從特殊到一般，經(jīng)歷猜想――驗(yàn)證――證明”這樣的探究教學(xué)設(shè)計(jì)，在實(shí)際教學(xué)中取得了較好的效果.
3.1情境入
在一個(gè)確定的三角形中，有確定的角的關(guān)系：①三角形內(nèi)角和等于180°；②三角形外角和等于360°，那么，三角形三邊間有確定的關(guān)系嗎？
3.2探究發(fā)現(xiàn)
（1）從最特殊的三角形研究起，猜想直角三角形三邊間關(guān)系
直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形的面積是多少？如果斜邊用字母c表示，請(qǐng)用c表示三角形的面積.（SABC=12×1×1=12，SABC=12×c×12c=14c2，所以c2=2）
用同樣的方法研究直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，有什么發(fā)現(xiàn)？
（SABC=12×2×2=2，SABC=12×c×12c=14c2，所以c2=8）.
依次研究直角邊長(zhǎng)分別為3、4的等腰直角三角形，會(huì)發(fā)現(xiàn)下面結(jié)論.
12+12=2=c2；22+22=8=c2；32+32=18=c2；42+42=32=c2（這里是需要教師干預(yù)和引導(dǎo)的）
（2）在網(wǎng)格中研究直角邊不等的特殊直角三角形圖1
如果兩直角邊不等，上述猜想還成立嗎？老師在黑板空白處畫(huà)圖分析，指出上面的方法行不通，能否借助格點(diǎn)正方形來(lái)發(fā)現(xiàn)呢？分析“式結(jié)構(gòu)”，在上圖（圖1）中22=4，用四個(gè)正方形表示，12=1，用一個(gè)正方形表示，那么以斜邊為邊的正方形的面積是等于5嗎？引導(dǎo)利用割補(bǔ)法研究（小學(xué)已經(jīng)學(xué)過(guò)）.
（3）幾何畫(huà)板驗(yàn)證猜想的結(jié)論
（4）不完全歸納法得出勾股定理
3.3定理證明與介紹
證明過(guò)程略.（圖形割補(bǔ)見(jiàn)圖2，證明思路見(jiàn)上面分析）
本設(shè)計(jì)在研究最簡(jiǎn)單的三角形時(shí)，學(xué)生是不可能想到運(yùn)用面積來(lái)發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形的三邊關(guān)系的，這時(shí)教師直接引導(dǎo)先用兩直角邊求面積，再啟發(fā)用斜邊求面積，這個(gè)過(guò)程不自然，但確實(shí)沒(méi)有更好的辦法.所以，發(fā)現(xiàn)式教學(xué)不能不加干預(yù)，任由學(xué)生自由思考，正如佛賴登塔爾所說(shuō)：“強(qiáng)調(diào)用發(fā)生的方法來(lái)教各種思想，并不意味著應(yīng)該從它們產(chǎn)生的順序來(lái)呈現(xiàn)它們，甚至不關(guān)閉所有的僵局，刪除所有的彎路.”顯然，這就是教師主導(dǎo)作用的意義所在.
綜上所述，通過(guò)文獻(xiàn)資料的研究，我們可以對(duì)相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)有清楚的認(rèn)識(shí)，并在比較中去粗存精，獲得比較合理的教學(xué)方法，這不失為一種行之有效的備課方式.
參考文獻(xiàn)
[1]章建躍.理解數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)提升思維教學(xué)水平[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2015（6）：14-19.
[2]劉東升.基于HPM視角重構(gòu)“勾股定理”起始課[J].教育研究與評(píng)論：課堂觀察版（南京），2016（1）：45-48.
[3]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.
[4]卜以樓.基于四能的“勾股定理”教學(xué)創(chuàng)新設(shè)計(jì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2016（7）：11-14.
[5]董林偉.初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的理論與實(shí)踐[M].南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2013.
[6]任黨華.勾股定理（第一課時(shí)）[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2015（6）：12-13.
篇6
【關(guān)鍵詞】面積法；證明；幾何定理
Application area method certificate several axioms
Yang Dao-liang
【Abstract】In mathematics teaching material in the high school that everyone be familiar with of hang up an axioms and sine axioms be use an area method certificate of, use an area method certificate several some axioms with try simple clear, this text will use an area method certificate 6 several axioms
【Key words】Area method;Certificate;Several axioms
所謂面積法就是用面積相等的關(guān)系式推導(dǎo)得出所需結(jié)論的方法。大家熟知的中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的勾股定理和正弦定理就是用面積法證明的。用面積法證明某些幾何定理和試題簡(jiǎn)單明了，面積法是解決一部分幾何定理和試題的有效途徑和方法。本文將用面積法推理證明6個(gè)幾何定理。
（1）等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等。
如圖1，已知ABC中，AB＝AC，求證：∠B＝∠C。
證明： 12·AB·BC·Sin∠B
＝12·AC·BC·Sin∠C
Sin∠B＝Sin∠C
∠B＝∠C或者∠B＋∠C＝180°
∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＞0°
∠B＋∠C＝180°不成立，
故∠B＝∠C。
圖1
（2）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。
如圖2，已知AB∥CD∥EF，求證：AC/CE＝BD/DF。
證明：連結(jié)AD、BC、CF和DE，
作DCAE交AE于G，CHBF
交BF于H，則SACD SCDE＝ 12AC·DG12CE·DG
＝ ACCE， SBCD SCDF＝ 12BD·CH12DF·CH＝BDDF ，
又AB∥CD∥EF
SACD＝SBCD，SCDE＝SCDF，
AC/CE＝BD/DF。
圖2
（3）三角形內(nèi)角平分線定理：三角形的內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。
如圖3：已知AD是ABC中∠A的平分線，求證：BD/DC＝AB/AC。
證明：作AEBC于E，
BDDC＝ 12AE·BD12AE·DC＝ SABD SACD
＝12AB·AD·Sin∠BAD12AC·AD·Sin∠DAC＝AB AC，
BD/DC＝AB/AC。
圖3
（4）同理可證明三角形外角平分線定理：如果三角形的外角平分線外分對(duì)邊成兩條線段，則這兩條線段和相鄰的兩邊對(duì)應(yīng)成比例（證法略）。
（5）三角形重心定理：三角形重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對(duì)邊中心點(diǎn)的距離的兩倍。
如圖4，已知G是ABC的重心，求證：AGGD = 21， BGGE = 21， CGGF = 21。
圖4
證明：SADC＝21SABC＝SBCE
SAGE＝SBDG
作CHAD且交AD于H
又SBDG＝SCGD，SAGE＝SCGE
AGGD＝CH ·AG/2CH ·GD/2＝ SAGCSCGD
＝2·SAGESAGE＝21；
同理可證BGGE＝ 21，CGGF＝21 。
（6）四邊形的面積等于二對(duì)角線與其夾角正弦的積的一半。
證明：如圖5
圖5
SABCD＝SABE＋SBCE＋SCDE
＋SADE＝12AE·BE·Sin∠1
＋ 12BE·CE·Sin（180°－∠1）
＋ 12 CE·DE ·Sin∠1＋ 12AE·
DE·Sin（180°－∠1）＝
12AE（BE＋DE）Sin∠1＋ 12CE
（BE＋DE）Sin∠1＝ 12AC·BD·
篇7
一、導(dǎo)入新穎，誘發(fā)興趣
一句巧妙的導(dǎo)語(yǔ)，一個(gè)好的導(dǎo)入活動(dòng)，會(huì)收到“一石激起千層浪”的效果，是學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲望，進(jìn)入最佳學(xué)習(xí)意境。如何在有限的課堂教學(xué)中誘發(fā)學(xué)生產(chǎn)生與學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)活動(dòng)本身相聯(lián)系的直接學(xué)習(xí)興趣，是學(xué)生從一開(kāi)課就產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲望是一堂課成功與否的關(guān)鍵。例如；我在上七年級(jí)不等式的性質(zhì)時(shí)，就先請(qǐng)兩個(gè)身高懸殊較大的學(xué)生站在同一高度的磚頭上，讓其他學(xué)生觀察，通過(guò)這一現(xiàn)象能發(fā)現(xiàn)什么數(shù)學(xué)道理？其他學(xué)生很容易就發(fā)現(xiàn)了不等式的其中兩條性質(zhì)。如此開(kāi)課，不僅形象，直觀地介紹了不等式的性質(zhì)，而且還能引起學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣。
二、明確目的，產(chǎn)生興趣
心理學(xué)研究表明，興趣是在需要的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，通過(guò)人的實(shí)踐活動(dòng)形成和發(fā)展的。當(dāng)一個(gè)人有了某種需要時(shí)，才會(huì)對(duì)相關(guān)的事物引起注意，并產(chǎn)生興趣。因此，教師在導(dǎo)入新課后，應(yīng)明確具體地交待學(xué)習(xí)目標(biāo)，使學(xué)生明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容在知識(shí)體系中以及在實(shí)際應(yīng)用中的地位、作用，以引起學(xué)生的重視，產(chǎn)生心理的需要，引發(fā)學(xué)習(xí)的欲望，使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)責(zé)任感，從而產(chǎn)生濃厚的興趣。明確的學(xué)習(xí)目的，不僅是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的手段，而且也是在學(xué)習(xí)上產(chǎn)生持久動(dòng)力的保證。它更容易讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生毅力和恒心。
三、創(chuàng)設(shè)情境，提高興趣
在教學(xué)中，適時(shí)地創(chuàng)設(shè)和諧、愉悅的求知情景，激發(fā)學(xué)生樂(lè)學(xué)、愛(ài)學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)驅(qū)力，誘發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。如在上圓的定義時(shí)，就有一位老師設(shè)置了這樣一個(gè)情景：“車輪是什么形狀？”同學(xué)們覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題太簡(jiǎn)單，便笑著回答：“圓形！”教師又問(wèn)：“為什么要做成圓形的呢？難道不能做成別的形狀？比如說(shuō)，做成正三角形，正方形等？”同學(xué)們一下子被逗樂(lè)了，紛紛回答：不能！因?yàn)樗鼈儫o(wú)法滾動(dòng)！”教師再問(wèn)：“那就做成這樣的形睿老師隨手在黑板上畫(huà)了一個(gè)橢圓行嗎？”同學(xué)們大笑回答“不行，這樣一來(lái)，車子前進(jìn)時(shí)就會(huì)忽高忽低。”教師再問(wèn)：“為什么做成圓形的就不會(huì)忽高忽低呢？”同學(xué)們一時(shí)找不到答案，教師建議學(xué)生小組探討，最后終于找到了答案：“因?yàn)閳A形車輪邊緣上的點(diǎn)到軸心的距離相等。”由此引出圓的定義，學(xué)生的興趣一下子就提高了
四、動(dòng)手操作，促進(jìn)興趣
篇8
關(guān)鍵詞：素質(zhì)教育；數(shù)學(xué)教學(xué)；提高質(zhì)量
在實(shí)施素質(zhì)教育的今天，面對(duì)每周每天一節(jié)的數(shù)學(xué)課，要想高質(zhì)量、輕負(fù)擔(dān)地完成教學(xué)任務(wù)，使每位學(xué)生既學(xué)知識(shí)又長(zhǎng)智慧，就急需每位教師提高自身業(yè)務(wù)素質(zhì)，在鉆研教材、研究教法的同時(shí)，更應(yīng)注重研究學(xué)法，使每一位學(xué)生參與到課堂教學(xué)中去。
課堂教學(xué)除發(fā)揮好教師的主導(dǎo)作用外，主要就是出色地發(fā)揮每位學(xué)生的主體作用，使每一位學(xué)生積極、直接、主動(dòng)地參與課堂教學(xué)，提高課堂效率，挖掘?qū)W生的潛力，使每位學(xué)生都得到發(fā)展提高，使課堂真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)的樂(lè)園。怎樣才能使學(xué)生積極、直接、主動(dòng)地參與到課堂教學(xué)中來(lái)？下面筆者綜合自己的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)剮c(diǎn)體會(huì)。
一、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的興趣
托爾斯泰說(shuō)，成功的教學(xué)，所需要的不是強(qiáng)制，而是激發(fā)學(xué)生的興趣。學(xué)生興趣是直接推動(dòng)學(xué)生參與學(xué)習(xí)全過(guò)程的動(dòng)力。要讓學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)感興趣，就在于為他們創(chuàng)造一個(gè)生動(dòng)活潑輕松愉快的學(xué)習(xí)環(huán)境。例如：在講等腰三角形性質(zhì)定理時(shí)教師主要是揭示定理證明的思想：證明兩個(gè)角相等轉(zhuǎn)化為證明兩個(gè)三角形全等的化歸思想，在提示了證明的思想、方法后，學(xué)生不難找到證明的途徑，即添輔助線。通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)定理，具體如下：
要求學(xué)生畫(huà)一個(gè)等腰三角形,先觀察圖形三邊關(guān)系、三角關(guān)系，然后用工具測(cè)量?jī)蓚€(gè)底角的大小從而發(fā)現(xiàn)命題：等腰三角形兩底角相等。
已知：在ABC中,AB=AC,求證：∠B=∠C(圖略)。對(duì)于初中年齡的學(xué)生，讓他們看看、畫(huà)畫(huà)、量量是培養(yǎng)興趣的一種手段，當(dāng)量出兩個(gè)底角相等，就有了為什么相等、如何證明的沖動(dòng)，這時(shí)教師再引導(dǎo)、點(diǎn)撥學(xué)生進(jìn)行分析：
證明兩角相等常用什么方法?如此問(wèn)題化歸為證明兩個(gè)三角形全等,如何產(chǎn)生兩個(gè)三角形？添輔助線,如何添輔助線？學(xué)生較快地找到了以下方法：
方法1：取BC中點(diǎn)D,連結(jié)AD,通過(guò)SSS公理證明ABD≌ACD，得∠B＝∠C。
方法2：ABC的角平分線AD，通過(guò)SAS公理證ABD≌ACD，得∠B =∠C。
方法3：作ABC的高AD,通過(guò)HL公理證明ABD≌ACD，得∠B＝∠C。
又問(wèn)：剛才添了不同的輔助線，若畫(huà)在同一個(gè)等腰三角形中，是三條不同的輔助線嗎？為什么？讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中得出推論，又從證明中加深對(duì)推論的認(rèn)識(shí)、理解。像三角形內(nèi)角和定理、角平分線定理、線段的垂直平分線定理都可由學(xué)生先實(shí)驗(yàn)、歸納再研究、探索，尋求達(dá)到目的的方法和手段，學(xué)生始終處于獲取知識(shí)的過(guò)程中，從中體會(huì)到樂(lè)趣，從而積極主動(dòng)地投入到學(xué)習(xí)中。
二、運(yùn)用遷移規(guī)律，在參與學(xué)習(xí)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的能力
學(xué)生參與學(xué)習(xí)過(guò)程，不僅要重視激趣，更重要的是要重視培養(yǎng)能力。在教學(xué)中，如果能巧妙利用遷移規(guī)律，抓住新舊知識(shí)的連接點(diǎn)作為溝通新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，精心安排以學(xué)生的“學(xué)”為軸心的教學(xué)活動(dòng)，給學(xué)生搭建一個(gè)用已學(xué)的知識(shí)解決新知識(shí)的階梯，激發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生自覺(jué)、主動(dòng)地參與課堂教學(xué)，就能達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生能力的目的。如在講分式通分時(shí)：
復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)通分類比分式通分
關(guān)鍵：找2、4、8最小公倍數(shù) 關(guān)鍵：找x,x2,x3的最簡(jiǎn)公分母x3
方法：分?jǐn)?shù)基本性質(zhì) 方法：分式基本性質(zhì)
問(wèn)：為什么最簡(jiǎn)公分母是x3,而不是x4式x5式x3 x2等等?
學(xué)生通過(guò)思考回答體現(xiàn)了“最簡(jiǎn)”,又要體現(xiàn)“公”,在此基礎(chǔ)上變式為通分。
，，
。
。
觀察歸納出如何找最簡(jiǎn)公分母？(求所有因式的最高次冪的積)
又問(wèn):兩個(gè)公式的分母有不同的系數(shù)能通分嗎？如何通分？
再變式為通分：，，。
此時(shí)做一組練習(xí)鞏固所學(xué)內(nèi)容(通分),在初步鞏固基礎(chǔ)上,提出變式題：
,的最簡(jiǎn)公分母是什么?怎樣通分?變式為,又怎樣通分?再做一組練習(xí)使學(xué)生熟練。
后一組題與前一題相比，有一定的變化，所以解題并不單調(diào)，盡管題目在發(fā)展，障礙在增加，但題目之間的坡度不大，能使全班學(xué)生都投入到探究活動(dòng)中，在不知不覺(jué)中學(xué)到了新知識(shí)，體會(huì)到了獲取知識(shí)的樂(lè)趣。在這個(gè)教學(xué)過(guò)程中，教師巧妙創(chuàng)設(shè)合理的情境，組織好遷移條件，使學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)的全過(guò)程。隨著老師的不斷啟發(fā)、引導(dǎo)、點(diǎn)拔，學(xué)生積極主動(dòng)地參與探索、發(fā)現(xiàn)，很快地懂得今天的新知識(shí)“分式的通分”就是“分?jǐn)?shù)的通分”的引申。這個(gè)過(guò)程學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，在正遷移規(guī)律的作用下，正確運(yùn)用所學(xué)的舊知識(shí)，學(xué)習(xí)新知識(shí)，在掌握知識(shí)的同時(shí)，發(fā)展了學(xué)生的智力，培養(yǎng)了學(xué)生的能力，為今后的學(xué)習(xí)中能融會(huì)貫通、舉一反三奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
三、動(dòng)手操作,提高學(xué)生主動(dòng)參與的意識(shí)
動(dòng)手操作，一方面可以培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生主動(dòng)參與的意識(shí)，另一方面利于根據(jù)認(rèn)識(shí)規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生從形象思維為主向抽象思維為主過(guò)渡，從而從操作中豐富、完善認(rèn)知過(guò)程，從感性到理性建立知識(shí)框架。例如，在講《勾股定理》證明時(shí)，我課前布置同桌共同做八個(gè)全等的直角三角形，三個(gè)分別以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的正方形，授課時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手拼圖，拼好后，觀察圖形特點(diǎn)，教師起畫(huà)龍點(diǎn)睛的作用，提出問(wèn)題，學(xué)生借助于自己拼好的圖形，回答問(wèn)題，最后得出“直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方”。之后，再舉一例子讓學(xué)生應(yīng)用勾股定理，加深印象。這樣，通過(guò)教師的啟發(fā)、引導(dǎo)，讓學(xué)生真正理解了勾股定理的證明，并達(dá)到會(huì)應(yīng)用勾股定理，這樣學(xué)生不但學(xué)到了知識(shí)，又培養(yǎng)了動(dòng)手動(dòng)腦能力,促進(jìn)學(xué)生在主動(dòng)參與的學(xué)習(xí)進(jìn)程中準(zhǔn)確地掌握知識(shí)。
四、引導(dǎo)討論，提高學(xué)生參與的積極性
課內(nèi)開(kāi)展小組討論是參與教學(xué)的一種有效方法。教學(xué)中，我們把不同智力層次的學(xué)生搭配成若干小組，在教師的指導(dǎo)下，引導(dǎo)學(xué)生就教學(xué)中的某個(gè)問(wèn)題發(fā)表看法，通過(guò)必要的組織、引導(dǎo)、探討、交流、歸納，得出正確的結(jié)論，從而完成某一教學(xué)任務(wù)的一種教學(xué)組織形式。在協(xié)作學(xué)習(xí)中，學(xué)生展開(kāi)充分的討論和交流，人人積極主動(dòng)地參與教學(xué)過(guò)程，并發(fā)揮集體的智慧，開(kāi)展合作學(xué)習(xí)，形成智慧互補(bǔ)，這對(duì)于提高各層次學(xué)生的學(xué)習(xí)參與能力，大面積提高教學(xué)質(zhì)量有著重要作用。
篇9
一、利用平面幾何知識(shí)證明線線垂直
由于立體幾何中的很多問(wèn)題都可以通過(guò)“化空間為平面”的思想方法來(lái)解決，因此平面幾何中證明線線垂直的方法仍適用.如：勾股定理、菱形或正方形的對(duì)角線互相垂直、等腰三角形的三線合一、直徑所對(duì)的圓周角是直角、三角形全等、過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直于切線，等等.
1.利用等腰三角形中“三線合一”的性質(zhì)證明線線垂直。
例1：已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB和PC的中點(diǎn)（如圖），求證：MNAB.
分析：由于M是AB邊上的中點(diǎn)，因此可以聯(lián)想到利用等腰三角形中“三線合一”性質(zhì)來(lái)證明.不妨先構(gòu)造一個(gè)三角形，然后證明它是等腰三角形.
證明：連接PB、BN、AC、AN，由PA平面ABCD，BCAB且BC?奐平面ABCD。
PBBC
N是PC中點(diǎn)
BN=PC
PAAC
AN=PC
AN=BN，ANB是等腰三角形
M是AB中點(diǎn)
MNAB
點(diǎn)評(píng)：本題是先借助直角三角形的性質(zhì)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得到AN=BN，再利用等腰三角形“三線合一”得出MNAB.
2.利用勾股定理證明線線垂直。
例2：在正方體ABCD-ABCD中，P為棱的中點(diǎn)，O為底面正方形ABCD的中心，求證：BOPA.
分析：要證明BOPA，可以先證BOPA.可以計(jì)算一下BO，PO，BP三邊的長(zhǎng)度，觀察是否滿足BO+PO=PB.
證明：連接PO，PB.
BBAO，BDAO
AO平面BBDD，即PO是AP在平面BBDD內(nèi)的射影.
設(shè)AB=a則BD=BD=a，OB=OD=a.
BO=OB+BB=a，PO=OD+OP=a，PB=BDB+DP=a.
BO+PO=PB，BOPO，PAOB.
點(diǎn)評(píng)：本題的證明過(guò)程，既用到了平面幾何中的勾股定理，又用到了立體幾何中的三垂線定理，兩者有機(jī)地結(jié)合在一起.
3.利用菱形的性質(zhì)、三角形全等證明線線垂直。
例3：已知平行六面體ABCD-ABCD的底面是菱形，且∠CCB=∠CCD，證明：CCBD.
分析：要證CCBD，只要證BD平面OCC，即證BD和平面OCC內(nèi)的兩條直線都垂直，可以利用菱形的性質(zhì)和三角形全等來(lái)證.
證明：連AC交BD于O，連CO、BC、DC.
四邊形ABCD為菱形
AC與BD垂直且平分，即ACBD.
BC=CD，且∠CCB=∠CCD.
CDC≌CBC.
CD=CB即CBD是等腰三角形.
又O是BD的中點(diǎn)，OCBD，又CC∩OC=C，CC、OC?奐平面OCC
BD平面OCC.
CC?奐平面OCC.
BDCC.
點(diǎn)評(píng)：通過(guò)利用菱形的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)證明了線面垂直，最后由此得出線線垂直.
4.利用若兩直線平行，其中一條直線垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線。
例1除了用等腰三角形的性質(zhì)來(lái)證明外，還可以利用平行線的性質(zhì)來(lái)證.
分析：要證明ABMN，可以證明與MN平行的一條直線垂直于AB即可，不妨根據(jù)已知條件添加輔助線，構(gòu)造一個(gè)平行四邊形.
證明：連PD取中點(diǎn)F，連NF，AF.
NF∥CD∥AM，且NF=CD=AB=MA.
四邊形AMNF為平行四邊形.
MN∥AF.
PA平面ABCD.
PAAB.
又ABAD且PA∩AD=A.
AB平面PAD.
ABAF.
MNAB.
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查空間中的垂直關(guān)系，還考查了平面幾何中兩直線平行的判定和性質(zhì)，可見(jiàn)平面幾何知識(shí)在立體幾何中的重要性.
二、利用立體幾何中證明垂直的方法
1.利用線面垂直或面面垂直的性質(zhì)證明線線垂直。
例1的前兩種證明方法都是借助平面幾何的知識(shí)來(lái)完成的，我們也可以用立體幾何的知識(shí)來(lái)證.
分析：要證線與線垂直，可以先證線與面垂直，然后利用線面垂直的性質(zhì)，得出線與線垂直.
證明：取AC中點(diǎn)E，連接ME、EN
M是AB中點(diǎn).
ME∥BC.
ABBC.
MEAB.
EN∥PA，PA平面ABCD.
EN平面MEN.
又AB?奐平面ABCD且ME∩NE=E.
AB平面MEN，而MN?奐平面MEN.
ABMN.
點(diǎn)評(píng)：線線垂直、線面垂直、面面垂直之間可以相互轉(zhuǎn)化.
2.利用三垂線定理及逆定理來(lái)證明線線垂直。
例4：在正方體ABCD-ABCD中，P為棱的中點(diǎn)，O為底面正方形ABCD的中心，求證：BOPB.
分析：要證明BOPA，只要證明PAAM，再證明AM是BO在平面AD中的射影即可.
證明：取AD中點(diǎn)M，連接OM，AM.
O，M均為中點(diǎn).
OM∥AB∥AB.
又AB平面AADD.
OM平面AADD，即AM就是OB在AADD平面上的射影.
又AAM≌ADP.
∠PAD+∠AMA=90°.
PAAAM.
由三垂線定理得PAOB.
點(diǎn)評(píng)：三垂線定理來(lái)證明線線垂直，基本程序?yàn)椤耙淮梗洌C”，即第一步是找平面和垂線，第二步是找射影，第三步是證明垂直.
三、利用向量證明線線垂直
“兩向量垂直的充要條件是它們的數(shù)量積為零”，通過(guò)計(jì)算兩向量的數(shù)量積來(lái)證明兩條直線或線段垂直.
例5：l，l是相互垂直的異面直線，MN是它的公垂線段，點(diǎn)A、B在l上，C在l上，且AM=MB=MN，證明：ACNB.
分析：如果建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系后能算出與的數(shù)量積為零，就能證明ACNB.
證明：建立空間坐標(biāo)系M-XYZ.
令MN=1則A（-1，0，0）B（1，0，0）.
MN是l，l，的公垂線段，且ll.
l平面ABN.
l∥Z軸.
設(shè)C（0，1，m）則（1，1，m），=（1，1，0），•=（1，1，m）•（1，-1，0）=0.
ACNB.
點(diǎn)評(píng)：用向量證明垂直的時(shí)候，要選取合適的坐標(biāo)系，可以使計(jì)算變得非常簡(jiǎn)單，通常可以利用已知的邊或特殊的邊建立坐標(biāo).
篇10
例1 （上海市）如圖1，已知平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E是BD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且ACE是等邊三角形．
（1） 求證：四邊形ABCD是菱形.
（2） 若∠AED=2∠EAD，求證：四邊形ABCD是正方形．
（說(shuō)明：本文所有例題皆選自2008年中考題）
分析： 證四邊形ABCD是菱形的方法有多種：證明四邊形ABCD的四條邊相等；證明平行四邊形ABCD有一組鄰邊相等（如，通過(guò)EAD≌ECD證AD=CD）；證明平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線互相垂直.
若從AC既是平行四邊形ABCD的對(duì)角線，又是等邊ACE的一條邊的角度展開(kāi)思考，可優(yōu)先考慮對(duì)角線，利用等腰三角形的三線合一，證ACBD.事實(shí)上，有相當(dāng)一部分題目，在從邊、角、對(duì)角線三個(gè)方向上構(gòu)思解題策略時(shí)，可優(yōu)先考慮對(duì)角線.
證明：（1） 由四邊形ABCD是平行四邊形，得OA=OC.
由EAC是等邊三角形，且OA=OC，得EOAC.
四邊形ABCD是平行四邊形，ACBD，
平行四邊形ABCD是菱形.
（2） 由EAC是等邊三角形，得∠AED= ∠AEC=30°.
由∠AED=2∠EAD，可得∠EAD=15°，∠OAD=60°-15°=45°.
因?yàn)椤螼DA=30°+15°=45°，所以∠OAD=∠ODA，OA=OD.
因?yàn)镺A=OC，OB=OD，所以AC=BD.所以菱形ABCD是正方形.
注：也可以這樣證明：因平行四邊形ABCD是菱形，故∠BAC=∠DAC，∠BAD=90°.所以四邊形ABCD是正方形.
策略2若直覺(jué)無(wú)效，則不妨從最原始的地方思考
例2 （重慶市）如圖2，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)E.
求證：（1） BFC≌DFC；（2） AD=DE.
分析： （1） 由BC=DC，CF平分∠BCD，CF=CF，易得BFC≌DFC.
（2） 證明AD=DE，估計(jì)同學(xué)們憑借直覺(jué)在較短時(shí)間內(nèi)無(wú)法找到證明方法.這時(shí)不妨從最原始的地方展開(kāi)思考：利用全等三角形證明AD=DE.連接BD，得ADB、EDB.不難發(fā)現(xiàn)，BD=BD，∠ADB=∠DBC=∠CDB.欲證明ADB≌EDB，尚需∠ABD=∠EBD或∠A=∠DEB（提醒：不要考慮待證線段AD=DE）.從運(yùn)用DF∥AB的角度思考，可考慮證∠ABD=∠EBD.
由BFC≌DFC，得FB=FD，所以∠FBD=∠FDB.
又因DF∥AB，故∠FDB=∠ABD.
∠ABD=∠EBD.
證明：略.
注：本題也可以延長(zhǎng)DF交BC于點(diǎn)H，利用BHF≌DEF證BH=DE，利用平行四邊形ABHD的對(duì)邊相等，得AD=BH，從而完成證明.
策略3構(gòu)造基本圖形
例3 （山東省）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD的中點(diǎn).求證：CEBE.
分析： 延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F（如圖3）.
由DCE≌AFE，得CE=FE，CD=FA.
因BF=AB+AF=2+1=3，BC=3，故BF=BC.
BCF是等腰三角形三線合一的基本圖形.
證明：略.
注：本題也可通過(guò)具體計(jì)算的方法，借助勾股定理的逆定理證明兩條直線互相垂直.
策略4計(jì)算證明法
例3再證：如圖4，過(guò)點(diǎn)C作CFAB，垂足為F，得矩形AFCD，AF=CD=1，BF=2-1=1.
在RtBCF中，AD=CF= =2 .
在RtCDE中，CE 2=DE 2+CD 2=2+1=3.
在RtBAE中，BE 2=AE 2+AB 2=2+4=6.
CE 2+BE 2=3+6=9=BC 2.
∠CEB=90°.
注：本題還可通過(guò)過(guò)E作中位線進(jìn)行計(jì)算證明.
策略5化歸策略
例4 （莆田市）如圖5，已知矩形ABCD，點(diǎn)P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
（1） 求證：PA2+PC 2=PB 2+PD 2.
（2） 請(qǐng)你探究：當(dāng)點(diǎn)P在矩形ABCD的內(nèi)部（如圖6）時(shí)，PA2+PC 2=PB 2+PD 2是否成立？若成立，請(qǐng)給出簡(jiǎn)單的證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由.
（3） 當(dāng)點(diǎn)P在矩形ABCD的外部（如圖7）時(shí)，PA2+PC 2=PB 2+PD 2是否成立？若成立，請(qǐng)給出簡(jiǎn)單的證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由.
分析： （1） 因線段PA，PB位于RtPAB中，PC，PD位于RtPCD中，所以從運(yùn)用勾股定理的角度可以將待證結(jié)論P(yáng)A2+PC 2=PB 2+PD 2化為PA2-PB 2=PD 2-PC 2.
在RtABP中，PA2-PB 2=AB 2；在RtCDP中，PD 2-PC 2=CD 2.
由AB=CD，可得PA2-PB 2=PD 2-PC 2.
（2） 如圖6，過(guò)點(diǎn)P作EF∥BC，分別交AB，CD于E，F(xiàn)，則問(wèn)題（2）即可以化歸成問(wèn)題（1）.
運(yùn)用（1）中的結(jié)論，得PA2-PE 2=PD 2-PF 2，PB 2-PE 2=PC 2-PF 2 .兩式相減，得PA2-PB 2=PD 2-PC 2，即PA2+PC 2=PB 2+PD 2.
（3） 仿第（2）題，在圖7中，過(guò)點(diǎn)P作EF∥BC，分別交BA，CD的延長(zhǎng)線于E，F(xiàn)，即可將問(wèn)題化歸為問(wèn)題（1），仿第（2）題的方法可獲解.
證明：略.
策略6整體考察法
例5 （廣州市）如圖8，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，把陰影部分剪下來(lái)，用剪下來(lái)的陰影部分拼成一個(gè)正方形，那么新正方形的邊長(zhǎng)是（）.
A. B. 2 C. D.