勾股定理應用教學設計分析

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一、提出問題

勾股定理是一個應用性很強的數學原理，它兼具很強的代數性質和幾何味道，在實際應用時，需要學生充分發揮數形結合、數學建模、方程等思想，積極發現并構建直角三角形，并從中努力發掘各邊的具體特點，最終完成相關問題的解決.由此可見，“勾股定理的應用”一節的教學，不僅強調學生對知識的理解，更強調學生靈活運用數學思想和基本方法.從實際問題中提煉出直角三角形的模型，并展開問題探究，是本節課的重點所在，因此筆者認為，教師應該充分研究學生的生活經驗，并由此設計問題情境，指導學生展開探索，讓學生在問題研究的過程中提升認識水平，發展相關的數學研究能力.

二、教學片段展示

1.依托學生的校園生活實施導入教學過程中，教師要善于從學生的校園生活出發創設問題情境，引導學生展開思考.師：每周一我們都有例行的升旗儀式，你知道我們學校的旗桿高度是多少嗎？有什么方法來對它進行測量呢？通過今天有關勾股定理應用的學習，你們將能很輕松地解決這個問題.（教師通過ppt展示升旗儀式的場景）師：之前我們已經學習過勾股定理，請回顧一下它的基本內容.生：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.師：不錯，勾股定理說明的是直角三角形中三條邊的長度關系，也就是說，結合這個原理，若已知兩條邊可以確定第三條邊的長度.在使用這個原理進行問題分析之前，我們要明確兩個問題：（1）對應三角形是直角三角形嗎？（2）這個直角三角形的哪條邊是斜邊？實際上，勾股定理不但能夠用于數學問題的分析，在生活中也有著非常廣泛的應用.2.結合典型生活實例展開探究在指導學生運用數學原理進行應用研究時，教師要善于結合典型的生活實例創設問題情境，引導學生展開探索，并讓學生在探索過程中進一步熟悉數學原理，提升問題分析能力.片段1：初步應用.問題情境（1）：如圖1所示為一個太陽能熱水器，已知其支架AB與BC垂直，且兩邊的長度分別為90cm和120cm，請分析真空管AC的長度.學生結合題意展開分析，從題目情境中提煉出直角三角形模型，由此將一個生活化的問題轉換為數學問題，這其實正是建模思想的訓練.學生直接根據勾股定理，即可完成這個問題的求解.問題情境（2）：如圖2所示為學校的一個花圃，它是一個長方形，長和寬分別為4m和3m，但是由于部分學生調皮，喜歡避開拐角走捷徑，因此就讓其中間形成了一條路，請分析：這樣走其實只少走了多少路？師：通過題意的分析，你們看到了什么圖形？生：一個直角三角形.師：哪來的直角？生：因為花圃是長方形的，四個角都是直角.師：不錯，你能求解這個問題嗎？學生經過思考后，給出問題的解決思路和結果.教師則順勢指出：實際上，踩踏草坪也沒有少走多少路，這是一種非常不道德的行為，應堅決予以制止.片段2：逐步提升.問題情境（3）：校園中的荷花池是一道美麗的風景，如圖3所示，微風拂過，荷花搖曳，煞是動人.在數學史上，曾經有一個數學家通過一首小詩提出問題：平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強風吹一邊；漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠；能算諸君請解題，湖水如何知深淺？教師讓學生閱讀問題，要求學生提煉其中的數學信息，并給予一定的時間讓學生進行深入思考.師：請同學們結合詩的內容，將幾何圖形畫在紙面上，并將已知條件和所求量標記在圖形的邊側.當學生完成任務后，教師將部分學生繪制的圖形通過實物展臺投影出來，讓學生相互比對，并校準認識.師：在上述圖形中，貌似只是已知一條邊，我們怎么確定其他邊呢？生：利用方程處理，設一條邊為x，則另外一條邊可以表示為x+0.5.師：很好，方程思想是處理數學問題的關鍵性思路，請大家繼續完善思路，并求得結果.學生完成問題的分析，教師則要求學生進一步總結解題的思路和基本步驟.片段3：能力升華.問題情境（4）：我們還是回歸導入階段的問題，你能設法測定學校操場上旗桿的高度嗎？為你提供的工具包括旗桿、升旗繩子和皮尺，請設計方案，并結合數學知識說明相關計算過程.教師引導學生從荷花的問題中尋找啟發和靈感，并安排學生進行合作探究.師：大家的討論是否已經有結果了？請進行展示.生：將繩子拉直，然后可以構建出一個直角三角形.師：說得不夠形象，你能到黑板上畫出圖形，并進行說明嗎？生：（板演繪圖）將繩子向著側邊拉，這樣就可以形成如圖4所示的直角三角形.師：的確形成了一個直角三角形，可是這個三角形中只能直接測定地面上的那條邊，其他的邊（旗桿長和繩子長）都無法測定，怎么解決問題呢？生：可以利用方程思想，先將繩子豎直著拉，這樣可以確定繩子比旗桿長多少，后邊的問題處理與荷花的問題處理相似.師：大家同意他的做法嗎？其他學生紛紛表示贊同.3.課堂小結師：通過本節課的學習，你有什么收獲和體會呢？學生展開總結，基本內容包括以下幾點：（1）加深了對勾股定理的認識，并掌握了基本的方法；（2）對生活化的問題情境要善于提煉信息，運用數學建模完成問題分析；（3）如果直角三角形中只知道一條邊的具體長度，則可以結合勾股定理通過建立方程完成問題分析；（4）運用勾股定理解決問題，關鍵是要發現直角三角形，如果沒有現成的直角三角形，就需要構建直角三角形.

三、教學反思

如何更加有效地激活學生是教學設計最重要也是最基本的目的所在.在本課的設計中，教師從學生的實際生活經驗出發，多方位設計問題情境，有效引發學生的共鳴，讓學生更加主動地參與到問題的探究中來.首先，本課的設計著眼于學生的興趣激起，教師依據對教學內容的認識，從學生的校園生活出發，發掘有關聯的教學素材，創設更加鮮活的情境，將重點內容融入其中，讓整個教學更加生動且流暢，學生的學習也更加投入且主動.其次，本課側重于用實際問題引領學生探究，充分訓練學生的數學建模能力，讓學生在真實的場景中理解知識的真正價值，感受最純粹的數學探究過程.而且在設計過程中，教師還積極貫徹“由淺入深、循序漸進”的教學原則，設計逐級提升的問題臺階，讓學生充分感受問題的發展，并獲得相應的提升.最后，教師在教學過程中還遵循“不憤不啟，不悱不發”的教學原理，為學生的自主思考和合作學習搭建平臺，放手讓學生展開深度分析和探索，當學生的思路受阻時，教師沒有替代學生的思考，而是進行啟發，或組織學生討論，由此引導學生突破認識的瓶頸，實現學習的突破.在這樣的課堂上，學生真正成為學習的主人，他們的能力得到了切實的提升.

參考文獻：

［1］張偉.讓數學課堂充滿探究的氣息———一道課本習題深度探究的教學實錄及思考［J］.中學數學月刊，2016（8）.

［2］李樹臣.精心設計問題情境引導學生自主發展———青島版《義務教育教科書•數學》中問題情境的類型及設計意圖［J］.中學數學教學參考，2013（10）.

［3］田衛東.加強教材習題的研究，讓學生的思維展翅飛翔———對一道課本習題的探究與思考［J］.數學教學研究，2017（12）.

作者:李文杰 單位:江蘇省無錫市僑誼實驗中學