中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)不可輕視的函數(shù)結(jié)構(gòu)

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【摘要】本文研究了一元函數(shù)的結(jié)構(gòu)與分類，在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)高三學(xué)生弄不清有哪些基本初等函數(shù)，總是將一次函數(shù)、二次函數(shù)歸為基本初等函數(shù)，甚至談到超越函數(shù)就色變，對函數(shù)的學(xué)習(xí)也很難做到高屋建瓴、事半功倍，甚至有的教師也分不清函數(shù)的分類。

【關(guān)鍵詞】基本初等函數(shù)；初等函數(shù)；超越函數(shù)；初等運(yùn)算；超越運(yùn)算

在很多次的教學(xué)研討或者公開課中，經(jīng)常聽到教師們稱二次函數(shù)為基本初等函數(shù)，甚至也有的教師很詫異“為什么指數(shù)函數(shù)會(huì)被稱為超越函數(shù)？”本文將結(jié)合運(yùn)算與解析式談函數(shù)的分類與這兩者的聯(lián)系，給教師備課提供更多的素材，希望能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)。

一、運(yùn)算與解析式

在研究函數(shù)分類之前，很有必要了解一下“代數(shù)”這門學(xué)科。代數(shù)是研究數(shù)與字母的關(guān)系、性質(zhì)和運(yùn)算法則的分支學(xué)科，是研究實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)以及以它們?yōu)橄禂?shù)的多項(xiàng)式的代數(shù)運(yùn)算理論和方法的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。解方程就是代數(shù)的一部分內(nèi)容，而初等代數(shù)的中心內(nèi)容就是解代數(shù)方程，在中學(xué)，我們以研究初等代數(shù)為主。要討論代數(shù)方程，首先遇到的一個(gè)問題是如何把實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系列成帶有未知數(shù)的代數(shù)式，然后根據(jù)等量關(guān)系列出代數(shù)方程，所以初等代數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容就是代數(shù)式。那么，代數(shù)式與本文中的函數(shù)分類究竟有什么樣的聯(lián)系呢？帶著疑問，我們先從運(yùn)算談起。1.運(yùn)算運(yùn)算分為初等運(yùn)算與非初等運(yùn)算。初等運(yùn)算分為初等代數(shù)運(yùn)算和初等超越運(yùn)算。其中，初等代數(shù)運(yùn)算包括加、減、乘、除、開方、有理數(shù)次乘方，如a+2、等分別含有加法、有理數(shù)次乘方運(yùn)算；初等超越運(yùn)算包括無理數(shù)次乘方、指數(shù)、對數(shù)、三角、反三角等運(yùn)算，如、、等分別含有無理數(shù)次乘方、對數(shù)運(yùn)算、反三角運(yùn)算。那么非初等運(yùn)算包含哪些呢？中學(xué)數(shù)學(xué)教材中介紹的極限、導(dǎo)數(shù)、積分，還有大學(xué)里將要學(xué)的級數(shù)等均屬于非初等運(yùn)算。當(dāng)然，有些非初等運(yùn)算的結(jié)果可能是初等形式的數(shù)，如、等。2.解析式解析式是代數(shù)中的基本概念之一，用運(yùn)算符號和括號把數(shù)字和字母按一定規(guī)則連接成的式子稱為解析式（與函數(shù)中的解析式同名，但含義有區(qū)別），常簡稱式。例如：a+b、、sinx+cosy+a2等，其中運(yùn)算符號至多有可數(shù)個(gè)，除了代數(shù)運(yùn)算外，也可以是復(fù)合、求極限、求導(dǎo)數(shù)、求積分等，這些運(yùn)算統(tǒng)稱為解析運(yùn)算，故而產(chǎn)生解析式這一名詞。特別地，只含代數(shù)運(yùn)算的式稱為代數(shù)式，含初等超越運(yùn)算的式稱為初等超越式，簡稱超越式。式注重外形，如、sinx+cosy+a2等為超越式，而雖然可化為xy（注：x>0，y>0），但仍然稱為超越式。數(shù)學(xué)辭海中指出除代數(shù)式以外的式均為超越式。不知道是不是辭海中注重概念的形式還是忽略了概念本身，本文認(rèn)為式應(yīng)該按照對應(yīng)的運(yùn)算分類，也應(yīng)分為初等與非初等，如：、、就應(yīng)為非初等解析式。雖然前面兩個(gè)分別能夠化為初等形式ex+ey-1、，但是僅從形與運(yùn)算的角度，仍然屬于非初等一類。另外，式根據(jù)運(yùn)算可進(jìn)行分類，具體分類情形如圖1：圖1教師經(jīng)常會(huì)把“”稱為平方差公式，其實(shí)，平方差公式只是在整式范圍內(nèi)的運(yùn)算，而上面的式子屬于代數(shù)式中無理式的范疇，談不上叫“平方差公式”，只能是“類平方差公式”。式強(qiáng)調(diào)形，根據(jù)運(yùn)算分類，與數(shù)是代數(shù)數(shù)還是超越數(shù)無關(guān)，至于含有超越數(shù)的式子，如：ex+y等仍然屬于整式范疇。但很多人認(rèn)為弄清上面這些跟教學(xué)無關(guān)，尤其是高中生，甚至如果不是從事數(shù)學(xué)專業(yè)方向研究的，都很難搞清這些，也沒必要。這種觀點(diǎn)從學(xué)生的非專業(yè)化角度來看，似乎很有道理，但是筆者認(rèn)為，作為從事數(shù)學(xué)教育的教師應(yīng)該弄清這些概念，才能更好地教育學(xué)生。雖然我們不需要刻意地去教授這些知識，但是應(yīng)該潛移默化地將這些知識以及它們之間的聯(lián)系傳授給學(xué)生。數(shù)學(xué)體系本身就很復(fù)雜，就算是世界上頂尖的數(shù)學(xué)家們也很難將數(shù)學(xué)這門學(xué)科的體系與結(jié)構(gòu)講述得清楚透徹，但學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一個(gè)積累的過程，尤其像微積分這樣偉大的發(fā)明創(chuàng)造屬于非初等運(yùn)算就應(yīng)該讓學(xué)生弄明白。難道我們的基礎(chǔ)教育不應(yīng)該是這樣嗎？

二、函數(shù)相等

下面來看一下經(jīng)常碰到很多關(guān)于是否是同一函數(shù)（本文只討論一元函數(shù)）的大討論。例如：判斷函數(shù)f1（x）=2x，x∈{0，1，2，3}與，x∈{0，1，2，3}是否相等？有兩種觀點(diǎn)：一種認(rèn)為這兩個(gè)函數(shù)不相等，理由是這兩個(gè)函數(shù)的對應(yīng)法則形式不一樣。另一種觀點(diǎn)認(rèn)為這兩個(gè)函數(shù)相等，理由是這兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)法則雖然在表達(dá)式的形式上不一樣，但實(shí)質(zhì)相同。我們一起回顧一下《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》中關(guān)于函數(shù)的定義：“如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱這兩個(gè)函數(shù)相等。”從教材的這段敘述來看，函數(shù)相等的定義很明確：如果函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則相同，那么函數(shù)相等。筆者同意第二種觀點(diǎn)，對應(yīng)法則本質(zhì)就是自變量與因變量的配對法則，解析式只是一種表示方式，式的形不同，配對的法則不一定不同，如果表達(dá)式可以化簡或者等價(jià)到同一種形式，那么對應(yīng)法則就是一樣的，這與代數(shù)中的式（也叫解析式）不一樣，其強(qiáng)調(diào)的是形，而函數(shù)注重對應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)。例子中的兩個(gè)函數(shù)定義域一樣，定義域中每一個(gè)數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值都是完全一致，如圖2，因此這兩個(gè)函數(shù)相等。函數(shù)的實(shí)際配對沒有區(qū)別，像這樣的兩個(gè)函數(shù)不應(yīng)該被分成兩類不同的函數(shù)。圖2

三、函數(shù)分類

1.基本初等函數(shù)與初等函數(shù)關(guān)于基本初等函數(shù)的提法，各個(gè)文獻(xiàn)有所不同，常見的有三種提法。第一種提法：基本初等函數(shù)包括常值函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與反三角函數(shù)六大類函數(shù)；第二種提法：基本初等函數(shù)包括冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與反三角函數(shù)五大類函數(shù)；第三種提法：基本初等函數(shù)包括常值函數(shù)y=1、恒等函數(shù)y=x、正弦函數(shù)y=sinx以及指數(shù)函數(shù)y=ex這四個(gè)函數(shù)。先不討論誰更優(yōu)，那么怎么形成初等函數(shù)呢？文獻(xiàn)提出由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算及有限次復(fù)合步驟得到的函數(shù)稱為初等函數(shù)。而第二種提法下，初等函數(shù)是由常數(shù)與基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算及有限次復(fù)合步驟得到的函數(shù)。其實(shí)第二種提法與第一種提法差距不大，無本質(zhì)區(qū)別。文獻(xiàn)中指出，如果是第三種提法，那么初等函數(shù)則是由基本初等函數(shù)經(jīng)過數(shù)乘、有限次四則運(yùn)算、有限次復(fù)合步驟及求反函數(shù)而得到的函數(shù)。目前主流說法是第一種提法，之所以是第一種提法，筆者認(rèn)為有多方面因素，如對數(shù)的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)歷史上關(guān)于數(shù)的重大發(fā)明，一要突出其地位，二要尊重歷史，三是能夠讓中學(xué)生更直接地了解數(shù)學(xué)中最經(jīng)典的知識。而且為了給學(xué)生減負(fù)，很多知識在現(xiàn)有的中學(xué)階段已經(jīng)淡化，如數(shù)乘與反函數(shù)，中學(xué)教材中僅僅是在平面向量中提及數(shù)乘運(yùn)算，且在學(xué)習(xí)指對函數(shù)時(shí)簡單提了一下反函數(shù)，甚至反三角函數(shù)直接不提。以上是筆者自己的觀點(diǎn)，不太成熟，有誤歡迎指正。2.初等函數(shù)與非初等函數(shù)由于函數(shù)注重對應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)，根據(jù)運(yùn)算（與對應(yīng)法則相對應(yīng)），可以將函數(shù)分為初等函數(shù)與非初等函數(shù)，至于每一種函數(shù)的名稱與函數(shù)表達(dá)式在這里不再詳述，如圖3是函數(shù)的結(jié)構(gòu)分類。需要指出的是，雖然函數(shù)分類依據(jù)運(yùn)算，與代數(shù)學(xué)中的式相對應(yīng)，但是函數(shù)注重對應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)，不管是基本初等函數(shù)中哪一種提法，有一點(diǎn)都需要弄清，如：f（x）=可化簡為ex，這樣的函數(shù)必須是初等函數(shù)且是指數(shù)函數(shù)，而不能因?yàn)橛屑墧?shù)就認(rèn)為是非初等函數(shù)，因此，應(yīng)該將“凡是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算及有限次復(fù)合步驟所構(gòu)成，并能用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示出來的函數(shù)稱為初等函數(shù)”修改成“凡是能由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算及有限次復(fù)合步驟所構(gòu)成，并能用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示出來的函數(shù)稱為初等函數(shù)”，加個(gè)“能”字，所有函數(shù)概念都加個(gè)“能”字，筆者認(rèn)為更準(zhǔn)確一點(diǎn)，比如y=|x|與就是同一函數(shù)了，也不會(huì)爭論y=22x到底是不是指數(shù)函數(shù)了。另外，非初等函數(shù)的例子很多，如：積分型的dt、級數(shù)型的貝塞爾方程的解（x∈R）、分段函數(shù)中的Dirichlet函數(shù)與Riemann函數(shù)等等。本文有很多是筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)的問題，加入了很多自己的觀點(diǎn)，由于水平有限，不當(dāng)之處，希望專家或讀者批評指正，只求能夠解決疑惑和達(dá)成共識。雖然本文中函數(shù)的結(jié)構(gòu)分類不是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，但是至少能給讀者在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)提供更加完整的備課素材，同時(shí)科普一下數(shù)學(xué)文化知識，這就達(dá)到了筆者寫這篇論文的初衷了。

【參考文獻(xiàn)】

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作者：陶尚明 劉向兵 單位：安徽省馬鞍山市第二中學(xué)鄭蒲港分校 安徽省馬鞍山市第二中學(xué)