小議高等數學中的數學結構與數學理解

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摘要：文章從分析高等數學的內容結構出發，論文對數學結構與數學理解所起的作用，作了簡單的剖析。

關鍵詞：高等數學；數學結構；數學理解

對數學來說，結構無處不在，結構是由許多節點和聯線繪成的穩定系統。畢業論文數學中最基本的就是概念結構，它們之間的聯系組成了知識網絡的結構，剖析高等數學的知識結構，有助于加深對高等數學的理解。由于理解是學習數學的關鍵，學生可以通過對數學知識、技能、概念與原理的理解和掌握來發展他們的數學能力。從認知結構，特別是結構的建構觀點來看，學習一個數學概念、原理、法則，如果在心理上能夠組織起適當的、有效的認知結構，并使其成為個人內部知識網絡的一部分，那么這才是理解。

而其中所需要做的具體工作，就是需要尋找并建立恰當的新、舊知識之間的聯系，使概念的心理表象建構得比較準確，與其它概念表象的聯系比較合理，比較豐富和緊密。在學習一個新概念之前，頭腦里一定要具備與之相關的儲備知識，它們是支撐新概念形成的依托，并且這些有關概念的結構，是能夠被調動起來的，使之與新概念建立聯系，否則就不會產生理解。所以要使新舊知識能夠互相發生作用，建立聯系，有必要建立一個相應的數學結構，以加強對基礎知識的理解。布魯納的認知結構學習論認為，知識結構的學習有助于對知識的理解和記憶，也有助于知識的遷移。在微積分的學習中，通過對其結構的剖析，使學習者頭腦中的數學結構處于不斷形成和發展之中，并將其發展的結構與已形成的結構統一起來，以達到對數學知識的真正理解。

1高等數學內容的結構特點

高等數學以極限思想為靈魂，以微積分為核心，包括級數在內，它們都是從量的方面研究事物運動變化的數學方法，本質上是幾種不同性質的極限問題。連續性質是自變量增量趨于零時，函數對應增量的極限；導數是自變量增量趨于零時，函數的增量(偏增量)與自變量增量之比(差商)的極限；一元或多元積分都是和式的極限，而無窮級數則是密切聯系序列極限的另一種極限。微分是從微觀上揭示函數的有關局部性質，積分則從宏觀上揭示函數的有關整體性質，它們之間通過微積分基本定理聯系起來；廣義積分把無窮級數與積分的內部溝通起來；而微分方程又從方程的角度把函數、微分、積分有機地聯系起來，展示了它們之間的內在的依賴轉化關系。

2如何利用結構加強理解

2．1注重整體結構理解

當代著名的認知心理學家皮亞杰認為“知識是主體與環境或思維與客體相互交換而導致的知覺建構，碩士論文知識不是客體的副本，也不是有主體決定的先驗意識。”雖然現今的教材基本上按一定框架編寫，但其中相關的知識點要在學生的頭腦中形成一個網絡，并達到真正理解，還需要一個很長的過程，在這個過程中需要師生的共同努力。在教學中教師應將數學邏輯結構與心理結構統一起來，把學生看成是學習活動的主體，引導學生根據自己頭腦中已有的知識結構和經驗主動建構新的知識結構。心理學家J．R安德森認為：通過多種方式應用我們從自己的經驗中得到知識，認知才能進行。理解知識的前提是理解它如何在頭腦中表征的，這個過程主要表現為學生對概念的理解和掌握，在此基礎上再加以運用，達到更深意義上的掌握。由于高等數學具有清晰的數學結構，因而其相關知識學習中也充滿了知識的同化過程。在高等數學知識結構中，微積分建立在極限的基礎之上。因此在高等數學中，新知識獲得要依賴于認知結構中原有的適當觀念，同時新舊知識還必須要有相互作用，即新舊意義的同化，才能形成高度分化的認知結構。如微分是差商的極限，積分為微分的逆運算，而定積分則為和的極限，只有將這些新舊概念在頭腦中不斷同化作用，才能形成新的高級知識結構網絡，才能加強對相應數學知識的真正理解。這個過程實際上是一個內部認知過程，它要求學習者要有積極主動的精神，即有意義學習傾向；同時還要在學習者的認知結構中找到適當的同化點。學生的認知結構是從所接受的知識結構轉化而來的，因此教學是一個動態的過程。

2．2注重結構中的概念理解

數學結構是有許多個結構所組成的，而個別的概念一定要融人其它概念，合成的概念結構才有用。數學中的概念往往不是孤立的，它們之間存在著一定的聯系，理清概念之間的聯系，既有助于數學結構的建立，有助于新的概念地自然引入，從而有助于對數學知識的理解與掌握。在微積分這部分內容中，多元函數的極限、連續、偏導數、全微分、方向導數這組概念之間的聯系，與一元函數中的極限、連續、偏導數、微分概念之間的聯系，這兩者之間既有相同之處，又有不同之處，而且每個相對的概念之間又存在一定的聯系與區別，多元函數中許多微分概念是在一元函數基礎上的推廣與發展，它們是密不可分。積分學中的定積分、重積分、二類曲線積分、二類曲面積分之間也存在著類似的關系。通過聯想，可以從二維空間進入到三維空間，直至到更多維的空間，從有形進入無形，從現實世界進入虛擬世界，這樣步步滲入，步步構建，不斷引入新概念，不斷更新組建數學結構，使學生頭腦中的數學結構不斷更新，不斷完善，從而達到對知識的真正理解與掌握。

2．3在教學中利用數學結構加強學生的數學理解

教師對數學結構的理解對學生建立起自身的數學結構起著不可缺少的作用，醫學論文只有理解數學結構，才能領會到數學邏輯結構所隱含的精神思想，才能建立自己的數學結構，才能理解數學。首先，在數學中利用高等數學結構的縱向與橫向聯系，有意識地幫助學生建立自己的知識結構，如在利用求曲邊梯形的面積來引入定積分的概念時，其基本思維方法是：分割、近似代替，求和、取極限，最后得出定積分的概念。而這一方法同樣可解決求曲頂柱體的體積、空間物體的質量、曲線段的質量等問題，區別僅在于取極限時趨向于零的元素不同而已。在具體每一章的講解中，要著重介紹此章知識的數學結構中的內在聯系及其本章的關鍵與核心的處理方法，使學生能夠抓住本質，真正做到變被動學習為主動學習，主動建構自己本章的數學結構，并能用框圖展現出知識間的內在聯系，只有這樣才能提高學生學習高等數學的興趣和積極性，增加對高等數學知識的理解，提高高等數學學習的質量。幫助學生建立自己的數學結構，也有利于培養學生的思維能力、歸納能力、分析問題、解決問題的能力，還能促進其自學，調動和增強學生學習高等數學的信心和自覺程度。

參考文獻：

[1]邵瑞珍，皮連生．教育心理學[M]．上海：上海教育出版社，1988．

[2]李士琦．PME：數學教育心理[M]．北京：高等教育出版社．

[3]毛京中，高等數學概念教學的一些思考[J]．數學教育學報，2003，12(2)．

[4]陳瓊，翁凱慶．試論數學學習中的理解學習[J]．數學教育學報，2003，12(1)．

[5]張定強．剖析高等數學結構，提高學生數學素質[J]．數學教育學報，1996，5(1)．

[6]劉繼合．簡析高等數學結構與化歸[J]．聊城師范學院學報(自然科學版)，1999，12(3)．