剖析尚未成功的突破

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坦率說，在我個(gè)人的解題經(jīng)歷中，“尚未成功”乃至失敗，實(shí)在是比激動(dòng)人心的成功多得多．但是，“尚未成功”并非只給筆者留下消極的結(jié)果，而面對(duì)偶爾的順利筆者也總是要繼續(xù)尋找當(dāng)中的“解題愚蠢”（見文［1］、［2］），我不知道這些說來見笑的個(gè)人體驗(yàn)是否對(duì)廣大讀者有點(diǎn)幫助，但我能肯定地說，這是我本來就少得可憐的解題財(cái)富中的主要資產(chǎn)，并且我的看法（包括本刊1998年開始的解題分析連載以及《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》一書）已引起了一部分同行的關(guān)注與共鳴，需要致歉的是，二三年來，關(guān)于解題與解題分析的大批讀者來信我不能一一作復(fù)，今天的話題很大程度上是一種有意的彌補(bǔ)．下面，筆者要進(jìn)行3個(gè)解題個(gè)案的分析，以展示如何由失敗走向成功，又如何對(duì)淺層的成功進(jìn)行深層的調(diào)控．

1．個(gè)案1—由失敗中獲取有用的信息

例1若a、b、c為互不相等的實(shí)數(shù)，且x／（a－b）＝y(tǒng)／（b－c）＝z／（c－a），求x＋y＋z．

解：由等比定理得

x／（a－b）＝y(tǒng)／（b－c）＝z／（c－a）

①

＝（x＋y＋z）／［（a－b）＋（b－c）＋（c－a）］．

②

但是，②式的分母為零

（a－b）＋（b－c）＋（c－a）＝0，③

我們的解題努力失敗了．

評(píng)析：這是一個(gè)失敗的解題案例，文［3］談到了調(diào)整解題方向后的一些處理，其實(shí)都用到③式．所以，失敗的過程恰好顯化了題目的一個(gè)隱含條件，這是一個(gè)積極的收獲，當(dāng)我們將不成功的②式去掉，把目光同時(shí)注視①式與③式時(shí)，①式使我們看到了兩條直線重合：

xX＋yY＋z＝0，④

（a－b）X＋（b－c）Y＋（c－a）＝0．⑤

而③式又使我們看到了直線⑤通過點(diǎn)

X＝1，Y＝1．作一步推理，直線④也通過點(diǎn)（1，1），于是x＋y＋z＝0．

與文［3］相比，這是一個(gè)不無新意的解法，其誕生有賴于兩點(diǎn)：

第1，從失敗的解題中獲取一條有用的信息，即③式．

第2，對(duì)①式、③式都作“著眼點(diǎn)的轉(zhuǎn)移”，從解析幾何的角度去看它們．

有了這兩步，剩下來的工作充其量在30秒以內(nèi)就可以完成．

2．個(gè)案2—尚未成功不等于失敗

設(shè)f（n）為關(guān)于n的正項(xiàng)遞增數(shù)列，M為大于f（1）的正常數(shù)，當(dāng)用數(shù)學(xué)歸納法來證不等式

f（n）＜M（n∈N）①時(shí)，其第2步會(huì)出現(xiàn)這樣的情況：假設(shè)f（k）＜M，則

f（k＋1）＝f（k）＋a（a＝f（k＋1）－f（k）＞0）＜M＋a，②

無法推出f（k＋1）＜M．

據(jù)此，許多人建議，用加強(qiáng)命題的辦法來處理，還有人得出這樣的命題（見文［4］P．32及文［5］P．12）：

命題設(shè)｛f（n）｝為關(guān)于n的正項(xiàng)遞增數(shù)列，M為正常數(shù)，則不等式f（n）＜M（n∈N）不能直接用數(shù)學(xué)歸納法證明．

評(píng)析：不等式①?zèng)]能用遞推式②證出來，有兩種可能，其一是數(shù)學(xué)歸納法的功力不足，其二是數(shù)學(xué)歸納法的使用不當(dāng)．把“不會(huì)用”當(dāng)作“不能用”，其損失是無法彌補(bǔ)的．

我們分析上述處理的“尚未成功”，關(guān)鍵在于遞推式②，這促使我們思考：f（k＋1）與f（k）之間難道只有一種遞推關(guān)系嗎？

確實(shí)，有的函數(shù)式其f（k＋1）與f（k）之間的關(guān)系很復(fù)雜，無法用數(shù)學(xué)歸納法來直接證明；而有的關(guān)系則較簡(jiǎn)單，僅用加減乘除就可以表達(dá)出來．但無論是“很復(fù)雜”還是“較簡(jiǎn)單”，其表達(dá)式都未必惟一，文［6］P．278給出過一個(gè)反例，說明上述“命題”不真：

例2用數(shù)學(xué)歸納法證f（n）＝1＋（1／2）＋（1／22）＋…＋（1／2n－1）＜2．

講解：當(dāng)n＝1時(shí)，命題顯然成立．

現(xiàn)假設(shè)f（k）＜2，則

f（k＋1）＝f（k）＋（1／2k）＜2＋（1／2k），

由于2＋（1／2k）恒大于2，所以數(shù)學(xué)歸納法證題尚未成功．

然而，這僅是“方法使用不當(dāng)”．換一種遞推方式，證明并不困難．

f（k＋1）＝1＋（1／2）f（k）＜1＋（1／2）×2＝2．

下面一個(gè)反例直接取自文［4］的例2．

例3求證（1／1！）＋（1／2！）＋（1／3?。?／n?。?．

證明：當(dāng)n＝1時(shí)，命題顯然成立．

假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，則

（1／1?。?／2！）＋…＋（1／k！）＋［1／（k＋1）！］

＝1＋（1／2）＋（1／3）·（1／2?。?／k）·［1／（k－1）！］＋［1／（k＋1）］·（1／k！）＜1＋（1／2）｛1＋（1／2?。?／（k－1）?。荩?／k！）｝＜1＋（1／2）×2＝2．

這表明n＝k＋1時(shí)命題成立．

由數(shù)學(xué)歸納法知，不等式已獲證．

3．個(gè)案3—對(duì)尚未成功的環(huán)節(jié)繼續(xù)反思

文［7］有很好的立意也有很好的標(biāo)題，叫做“反思通解·引出簡(jiǎn)解·創(chuàng)造巧解”，它贊成反思“失敗”并顯示了下面一道二次函數(shù)題目的調(diào)控過程：

例4二次函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（－1，0），是否存在常數(shù)a、b、c使不等式

x≤f（x）≤（x2＋1）／2①

對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立？若存在，求出a、b、c；若不存在，說明理由．

講解：作者從解兩個(gè)二次不等式（x2＋1）／2－f（x）≥0，f（x）－x≥0．

開始（解法1），經(jīng)過數(shù)形結(jié)合的思考（解法2）等過程，最后“經(jīng)學(xué)生相互討論后得到巧解”（解法4）：由基本不等式

（x2＋1）／2≥（x＋1）／22≥x②

對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，猜想f（x）＝（x＋1）／22．③

經(jīng)檢驗(yàn)，f（x）滿足條件f（－1）＝0，所以f（x）存在，a＝（1／4），b＝（1／2），c＝（1／4）．

我們不知道命題人的原始意圖是否只考慮“存在性”，按慣例，“若存在，求出a、b、c”應(yīng)該理解為“若存在，求出一切a、b、c”．從這一意義上來看上述巧解，那就存在一個(gè)明顯的邏輯疑點(diǎn)：誠(chéng)然，③式是滿足①的一個(gè)解，但是在x與（x2＋1）／2之間的二次函數(shù)很多，如

f1（x）＝（1／2）x＋（1／2）（x2＋1）／2，

f2（x）＝（1／3）x＋（2／3）（x2＋1）／2，

f3（x）＝（1／4）x＋（3／4）（x2＋1）／2，……

這當(dāng)中有的經(jīng)過點(diǎn)（－1，0），有的不經(jīng)過點(diǎn)（－1，0），巧解已經(jīng)驗(yàn)證了f1（x）經(jīng)過點(diǎn)（－1，0）從而為所求，我們的疑問是：怎見得其余的無窮個(gè)二次函數(shù)就都不過點(diǎn)（－1，0）呢？

也就是說，“巧解”解決了“充分性”而未解決“必要性”，解決了“存在性”而未解決“惟一性”．究其原因，是未找出x與（x2＋1／2）之間的所有的二次函數(shù)．抓住這一尚未成功的環(huán)節(jié)繼續(xù)思考，我們想到定比分點(diǎn)公式，①式可以改寫為

f（x）＝｛［（x2＋1）／2］＋λx｝／（1＋λ）（λ＞0），④

或f（x）＝λ（x2＋1）／2＋（1－λ）x（0＜λ＜1）．⑤

一般情況下λ應(yīng)是x的正值函數(shù)（文［8］默認(rèn)λ為常數(shù)是不完善的；同樣，2000年高考理科第20題（2），對(duì)cn＝an＋bn設(shè)

an＝cncos2θ，bn＝cnsin2θ

是錯(cuò)誤的），但由于f（x）為二次函數(shù)，λ只能為常數(shù)．為了在④中求出λ，把f（－1）＝0代入④即可求出λ＝1（或⑤中λ＝1／2）．

②式與④式的不同，反映了特殊與一般之間的區(qū)別，反映了“驗(yàn)證”與“論證”之間的區(qū)別．其實(shí)，原［解法1］出來之后，立即就可以得出②式，與是否應(yīng)用“基本不等式”無關(guān)．同樣，原［解法1］中作者思考過的“推理是否嚴(yán)密”在“巧解”中依然是個(gè)問題．這種種情況說明，我們不僅要對(duì)解題活動(dòng)進(jìn)行反思，而且要對(duì)“反思”進(jìn)行再反思．下面一個(gè)解法請(qǐng)讀者思考錯(cuò)在哪里？

解：已知條件等價(jià)于存在k＜0，使［f（x）－x］［f（x）－（x2＋1）／2］＝k≤0，

把x＝－1時(shí)，f（x）＝0代入得k＝－1，

從而［f（x）－x］［f（x）－（x2＋1）／2］＝－1，

即f2（x）－［（x＋1）2／2］f（x）＋（x3＋x＋2）／2＝0．

由此解出的f（x）為無理函數(shù)，不是二次函數(shù)，所以本題無解．

作為對(duì)反思進(jìn)行再反思的又一新例證，我們指出文［9］例2（即1997年高考難題）第1問，可以取λ＝a（x2－x）∈（0，1）（λ是x的函數(shù)），則

f（x）＝a（x1－x）（x2－x）＋x＝λx1＋（1－λ）x，

據(jù)定比分點(diǎn)的性質(zhì)有x＜f（x）＜x1．

參考文獻(xiàn)

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2羅增儒．解題分析—再談自己的解題愚蠢．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1998，4

3羅增儒．解題分析—人人都能做解法的改進(jìn)．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1998．7

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