小議思辨數學概念對概率統計教學的要義

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摘要：思辨數學的概念是弗賴登塔爾提出的。概率統計課程中思辨數學內容至少包含思辨求解和思辨推斷兩個模塊。關于思辨數學與算法數學的區分，能為概率統計教學提供重心，在教學法上具有重要意義。珍視概率統計課程中思辨數學的教育價值，驅動以概念為本的概率統計課程教學，對訓練創新思維素養和培育直覺能力有著獨特的作用。

關鍵詞：思辨數學；算法；概率統計；直覺思維

1思辨數學詞源詮釋

思辨數學一詞是荷蘭數學家、數學教育家弗賴登塔爾（Freudenthal，1905—1990）首先提出的。他在名著《作為教育任務的數學》中舉例詮釋了思辨數學與算法數學的區別：設有相同數量的白酒與紅酒各一杯，取一匙白酒倒入紅酒內，使之混合，再取同量的一匙混合酒倒入白酒內。試問，白酒杯中所含的紅酒比紅酒杯中所含的白酒多，還是正好相反？答案是：兩種含量一樣多。然而解題方法有兩種，一種是根據其取法操作，列出算式計算...另一種是這樣思考的：設想每個杯子中的白酒和紅酒是分開的，那么白酒杯中的紅酒正是紅酒杯中所缺少的部分，而它的空缺現在正好被白酒所填補。前一種解法是算法求解，后一種解法是思辨求解]。

顯然，這是兩種思維風格迥然不同的解法，解法一是邏輯性的算法求解，屬于算法數學；解法二主要是直覺性的思辨求解，屬于思辨數學。這里舉例僅僅是為了詮釋概率論中思辨數學與算法數學的區別。我們認為，思辨數學就是動態地辯證地把握概念和體味推據（這里把思辨推理的理論依據簡稱推據），憑借對概念的直覺和數學美的啟迪（而非邏輯性的推理），產生直觀的解題思路方法或做出合情推理決策。換言之，在直覺領引下，圍繞推據，換位思考，思維在運動中覓到解題方法的一套數學知識體系。

德國數學家、數學教育家克萊因（KleinF，1849—1925）指出：“數學學科并不是一系列的技巧，這些技巧只不過是它微不足道的方面，它們遠不能代表數學，就如同調配顏色遠不能當作繪畫一樣，技巧是將數學的激情、推理、美和深刻的內涵剝落后的產物?！盵4]克萊因這一論斷，對概率統計教學具有重要的指導意義，把握思辨數學與算法數學的區分，它能為教學提供重心，對于貫徹概率統計思想方法為主線的教學大有裨益。

2概率統計課程中的思辨數學內涵透析

從思維的邏輯層面透析，概率統計知識內容可以分為兩類，大部分是程序性的，有一些則是思辨性的。算法是程序性的，概率統計的演算中充斥著算法；然而，在概率演算題中也會遇到思辨求解問題，雖然這類題數量不多，但解題思維中頗富有理性精神，有著方法論的教育意義。特別值得一提的是，就產生數理統計一些重要方法的思想而言，思辨因素起著關鍵性的作用，從本質上講，作為數理統計核心內容的統計推斷也隸屬于思辨數學的范疇，即思辨數學至少包含思辨求解和思辨推斷兩大模塊?，F分述如下：

2.1思辨求解問題

若對某些概率問題的題設條件進行分析，抓住題目中的關鍵概念，由對這些概念的直覺和思辨，就能引發解題的思AXB路和方法。具體說來，吃透問題的條件和結論，抓住起決定性作用的思辨因素，運用發散思維或逆向思維，進行類比聯想或換位思考推理，進而恰當地引入輔助事件或輔助隨機變量，就會建構和洞察到所研究的數學對象中蘊涵著的事件之間或隨機變量之間的某種對稱性、對等性或等可能性的關系。那么，這些事件、事件關系所遵從的一般的概率法則、統計規律或一些概率原理等就構成解題思維的支點，即推據；思維一旦受到這些推據以及數學中對稱美的直覺啟發，就會迅速地做出判斷，尋到簡便的解法，或直接給出答案。

2.2.1最大似然法（以離散型隨機變量為例）

2.2.2最小二乘估計

回歸分析的基本思想是首先根據樣本組的分布特征以及對問題的思辨認識而先驗地選定一個模型類型，然后求出（估計出）模型中相應參數。至于對參數的估計，一般采用最大似然估計法，具體到回歸分析上叫做最小二乘法。所謂最小二乘法系利用拉格朗日條件極值原理，對所選模型在所給樣本下，保證誤差最小時，求得參數估計值[6]。說到底它也是一種思辨推斷模式。

2.2.3假設檢驗

先根據統計目的對總體提出一個統計假設0H（也叫原假設），然后再由一次抽樣的結果來檢驗這個假設是否可信，從而做出決策：拒絕還是接受這個假設。一方面，我們先假定0H是正確的，在此假定下，某事件A出現的概率很小，比如p(A)=0.05；另一方面，進行一次試驗，如果事件A出現了，就是說在一次試驗中就居然發生了小概率事件，那么根據直覺：“概率很小的事件在一次試驗中一般認為是不會發生的。”（小概率事件原理，即推據）我們不能不懷疑作為小概率事件的前提假設0H的正確性，因而做出拒絕0H的決策；如果進行一次試驗，小概率事件沒有出現，則試驗結果與假設相符，沒有理由拒絕0H，因而只好接受0H。進一步歸結出假設檢驗的一般步驟（略），即是算法程序，使概念的直觀具體性有了一個邏輯思維的圖式，如果沒有這些邏輯模式，推理將變得沒有質量。從根本上看，假設檢驗法是以小概率事件原理為推據的思辨推斷模式。概言之，最大似然估計、最小二乘估計和假設檢驗本質上都是思辨的產物；從思維方法上講，它們是思辨數學與算法數學有機的統一體；“思辨”當頭，“算法”自然就在其中了。

2.3概率統計中的思辨數學之特征分析

2.3.1思辨求解問題與思辨推斷的異同

思辨求解問題的推據具有確定性和真理性。。然而，思辨推斷的推據則具有“或然性”，比如最大似然原理中的用詞：“應該是”，并非“一定是”；小概率事件原理中的用詞“一般認為是不會發生”，但并非“絕對不會發生”，可見思辨推斷的結論則是概率邏輯意義下的必然。比如假設檢驗就是概率性質的反證法。故思辨推斷理屬合情推理。

思辨求解與思辨推斷的共同之處，都是主體基于對概率統計領域的基礎知識及其結構的透徹了解，基于對整個問題的理解把握以及已有的知識背景，使主體能跨越邏輯的思考而進入直念（即數學直觀，形象觀念）[3]，想象和直覺判斷，以推據為準繩，迅速解決有關數學問題。

2.3.2思辨數學與算法數學的比較

由于思辨數學一詞是相對于與算法數學的概念提出的，下面我們就其兩者進行對比分析：

算法數學有具體化、程序化和機械化特點，又有抽象性、概括性和精確性；思辨數學有抽象化、模式化和直念化特點，又帶有假定性、哲理性和啟示性。

算法有算理，比如概率的公理、定理、性質等構成概率算法求解的基本算理。算理是算法的理論基礎，算法是算理的具體體現；思辨求解和思辨推斷有推據，比如對稱性、對等性、等可能性、最大似然原理、小概率事件原理等構成概率思辨求解和思辨推斷的推據。推據是思辨的理論基礎，思辨求解和思辨推斷是推據的實際表達。

與算法相比較，算法求解依據邏輯思維、邏輯推理，思維是縱向的、條理化的；思辨數學則依據認識之直覺，思維是跳躍性的、橫向的和發散的。思辨求解的推理是非邏輯的；思辨推斷是歸納性質的合情推理。

3提出思辨數學概念對概率統計教學具有的要義

關于思辨數學與算法數學的這種區分，在教學法上具有重要意義。傳統的概率教學著眼于概率算法求解，重視運算規則和方法技巧，注重邏輯思維能力培養，忽視或根本不談概率思辨求解，因為許多概率教材的例題與習題都鮮見思辨求解類的素材；輕視概率統計課程的基本概念教學，因而造成了概率思想、統計認識諸方面知識匱乏和直覺能力的缺失。比如統計推斷是數理統計的核心，統計推斷是對統計總體的未知數量特征做出概率形式表達的推理，鑒于思維上推與證的不同而分別提出了參數估計與假設檢驗，由此構成統計推斷內容的兩面。參數估計是根據樣本數據對總體參數所作的“猜想”，而前提是樣本與總體的同分布（即樣本與總體的同質性）的假定；假設檢驗即對總體特征做出的一種假設，然后根據樣本信息對這一假設的支持程度做出描述。前提同樣都是樣本與總體的同分布的假定。從哲學層面講，它們探討的都是共性與個性的辯證關系。

從戰略上看，由樣本推斷總體具有歸納性質，從戰術上看，最大似然估計法與假設檢驗的解題程式中的樣本值nx,x,,x12􀀢又非具體的數值，因而具有演繹性質，所以最大似然估計法和假設檢驗是歸納與演繹的辯證統一。對于統計推斷內容的教法，目前多數教學已落入算法化、程式化的俗套，把參數的最大似然估計和假設檢驗作為一套處理問題的規則或算法來教；2003年出版的《Mathematica基礎及數學軟件》一書，把參數的最大似然估計和假設檢驗按算法編程由計算機來做[7]，毫無思想。誠然，數學教育不應該拒絕計算機的滲透，特別是統計推斷問題常會涉及一些煩瑣的數據統計和計算，借助于計算機可節省大量的時間和精力。但是，數學方法的內核是數學思想，由于意識不到統計推斷是思辨數學體系，所以容易忽視產生統計推斷方法所依賴的統計推斷思想、策略及其思維活動過程的教學，以致學生不能目睹數學過程的形象而生動的性質，體悟不到統計推斷方法中蘊涵的概率思想，更達不到思維訓練之效。誠然，給學生一個可仿效的范例，就足以教會一個算法，盡管這樣的教學，學生學會了套用統計推斷的解題步驟，可能會做對若干道數理統計習題，但是對統計推斷的思想實質和認識機制理解不深。比如，有學生在用最大似然估計法解題時，先把具體的實測數據帶入似然函數的表達式，再作取對數、求導、求極值點的運算；有的學生在假設檢驗解題中，在寫到最后一步：“拒絕H0”或“接受H0”時就擱筆了，把“即認為...”這句關鍵的陳述語省略了不寫。不難想到，他們對樣本的二重性以及最大似然法所使用的辯證邏輯思維領悟不透徹；對統計推斷所表達的非決定論的因果關系規律認識不到位。一句話，對最大似然估計和假設檢驗方法的本質思想，缺少深層的思考。傳統教學的結果只會給學生留下這樣的印象：數理統計是裝著一筐子的“算法”。這種只強調算法與規則的數學課程，正如只強調語法和拼寫的寫作課程一樣，都是一種本末倒置。

任何一門數學學科都是由概念和技巧支撐的；若能區別概率統計教材中思辨數學與算法數學，區分或認識思辨數學的結構，這就意味著預先設定將它們作為思維訓練來教，其意義在于強調思辨因素，強調概率統計思想方法形成的思維活動的過程，自然也是強調了以概念為本的課程教學模式。

3.1凸顯以概率論為基礎的統計思想以深化統計認識

毫無疑問，概率論是統計的運載工具，統計思想是統計方法的靈魂。按照思辨數學模式講授統計推斷，能夠更好地揭示和表達統計思想，深化統計認識。因為貫徹三段論即：“在某種假定（假設）...之下，一方面...另一方面...，依推據則有...”的思辨推斷模式，勢必強調深刻理解概念和推據，充分展示換位思考中的思辨原理與辯證思維方法，這就凸顯了以概率論為基礎的統計推斷思想。比如假設檢驗，如果統計假設被理解為構成概率計算的基礎的話，那么，看來極不可能的某個事件發生了，那就有悖于常理，于是統計假設認為是小概率的事件的發生，將是一個反對該假設的證據，并且這種概率越小，其證據越顯得強有力。又由于在統計檢驗的邏輯中，前提與結論之間的邏輯蘊涵不再是必然的，而是一種概率蘊涵。換句話說，概率解釋中的解釋前提是假說，所以得到的邏輯必然的推論是可能的概率解釋。而在概率解釋中，對個別事實解釋的概率性與統計規律在每一個別情況下無法實現這一規律聯系著，因為統計規律是大數定律，它僅在大量觀察或多次試驗中才能出現。因此在統計規律上所作的關于個別事實的結論，只能解釋這一事實的可能性，而不是它的必然性。因此，“接受”中的“納偽”和“拒絕”中的“棄真”這兩類錯誤不可避免的發生充分說明了這一點。

3.2強調數學思辨對培育直覺能力具有獨特功效

數學強調思辨性。弗賴登塔爾指出：“算法是好的，數學中的常規也是不可避免的。”[1]誠然，對數學來說算法具有極大的重要性，代數、微積分、概率中都有算法。當前教學的強烈趨勢就是盛行算法化[1]。將一個領域算法化是更容易超越該領域的一種方式[1]。然而，現代數學之不同于古老數學，在于它強調的是思辨的因素而不是算法[1]。最引人注目的新生事物，也就是引起現代化過程發生的事物——集合論、抽象代數、分析學、拓撲——都是思辨的產物。它們是沖破算法的僵化的外殼噴射而出的[1]。同時弗賴登塔爾還指出：算法數學與思辨數學的關系是辯證的，不能把它們看作是新與舊、高與低的對立。從培養數學思維能力的層面看，算法數學與思辨數學好比“算術和幾何正是作為互相的直接對立面在智力上發展起來的，但這并不表明因為喜歡其中一個就應該把另一個貶低。相反，教學應該將這種發展繼續下去”[8]，教學應該像重視算法數學一樣重視思辨數學，但問題在于目前的數學教育現狀，人們有些重算法而輕思辨的傾向。概率統計的思辨求解和思辨推斷解決問題的重要策略和特點是：對具體問題作具體分析，以已有知識和經驗為背景，在直覺領引下發掘問題中蘊含著的思辨因素，尋找到推據或生成推據，以推據為支點，憑借直覺展開思辨推算或推斷。其思維方式是直覺的。從心理學視角看，思辨數學是直覺思辨的產物，它是思維對那種隱藏于數學對象深層的數學事物關系間的和諧性與規律性的感受，正是這種感受把知識空間投影和凈化成那幅心智圖像。顯意識和潛意識溝通形成頓悟，進而達到直覺思維的目標。

因此，強調思辨數學，必然注重培育直覺能力。思辨求解不僅能增加和豐富學生概率解題的方法策略，而且對其直覺思維乃至創新能力的培養大有裨益?？巳R因說過：“在某種意義上講，數學的進展主要歸功于那些以直覺能力著稱的人多于那些以嚴謹證明著稱的人?！?/p>

3.3透過思辨求解法感悟數學方法的奇異美

思辨求解法的產生離不開直覺，數學直覺本質上就是“美的意識或美感”。美的意識力或鑒賞能力越強，發現和辨認隱蔽的和諧關系的直覺能力也就越強。數學審美意識是產生數學直覺、爆發數學靈感的“刺激素”。

思辨求解法的思想性強，其方法直觀，運算簡捷，甚至用不著計算就能直接獲得答案。從思辨求解法產生的心理機制來看，其思維空間是動態的；每一個具體的思辨性解法，無不聯系著主體解題的思維運作：數形結合，動靜聯想，等價語意轉換，整體性把握思考，以及受到數學美的啟迪等。它把數學表達式的對稱美、數學關系的和諧美、數學方法的簡潔美、數學思想的思辨美發揮的淋漓盡致。奇妙的解法閃爍著智慧之光，常給人以精神上的愉悅和滿足。

“奇異性與思辨性是密切相關的，奇異性的結果會導致數學的新進展，而思辨能引起人們的思索，調動人們的想象，幫助人們對未知事物作深入地理解、把握和預見，促使人們去追求數學中內在旋律。”即追求數學美的旋律。

［參考文獻］

[1]弗賴登塔爾。作為教育任務的數學[M]。陳昌平，唐瑞芬譯。上海：上海教育出版社，1995。

[2]KennethHR。初等數論及其應用[M]。夏鴻剛譯。北京：機械工業出版社，2009。

[3]張奠宙，戴再平，唐瑞芬，等。數學教育研究導引[M]。南京：江蘇教育出版社，1998。

[4]劉培杰。數學奧林匹克與數學文化[M]。哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2008。

[5]藺云。用隨機方法證明一類組合恒等式[J]。高等數學研究，2003，（2）：32。

[6]高隆昌。數學及其應用[M]。北京：高等教育出版社，2001。

[7]陽明盛，林建華。Mathematica基礎及數學軟件[M]。大連：大連理工大學出版社，2003。

[8]弗賴登塔爾。數學教育再探：在中國的講學[M]。劉意竹，楊剛譯。上海：上海教育出版社，1999。

[9]陳鼎興。數學思維與方法[M]。南京：東南大學出版，2001。

[10]徐本順，殷啟正。數學中的美學方法[M]。南京：江蘇教育出版社，1990。