金融數(shù)學(xué)學(xué)科危機(jī)與變革研究

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摘要：金融數(shù)學(xué)是一門運用數(shù)學(xué)模型和方法研究金融資產(chǎn)價格變化規(guī)律的學(xué)科。本文介紹了金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史和B-S期權(quán)定價公式導(dǎo)致多次重大金融危機(jī)的過程，分析了金融數(shù)學(xué)將股票價格與時間之間的數(shù)量關(guān)系假設(shè)為隨機(jī)變量，并用描述樣本軌道集合發(fā)散程度的標(biāo)準(zhǔn)差來度量一條樣本軌道波動程度的基本概念錯誤，指出金融數(shù)學(xué)建立的資產(chǎn)價格模型不能正確描述并預(yù)測金融市場的價格波動趨勢，是導(dǎo)致金融數(shù)學(xué)產(chǎn)生學(xué)科危機(jī)的根本原因。

關(guān)鍵詞：股票價格模型；　B-S期權(quán)定價公式　；金融危機(jī)

一、引言

金融數(shù)學(xué)是一門運用數(shù)學(xué)模型及方法研究金融市場資產(chǎn)價格變化規(guī)律，并解決資產(chǎn)定價、最優(yōu)配置及風(fēng)險管理等金融市場問題的一門學(xué)科。隨著人類社會從工業(yè)社會步入信息社會，以股票、債券、金融衍生品等虛擬資本交易為主的虛擬經(jīng)濟(jì)規(guī)模已大大超過實體經(jīng)濟(jì)規(guī)模，僅全球股票市場每年的交易總額就超過全球GDP。由于金融市場的高度流動性、不穩(wěn)定性、高風(fēng)險性和高投機(jī)性會導(dǎo)致金融資產(chǎn)價格大幅波動，加大經(jīng)濟(jì)運行的風(fēng)險并產(chǎn)生金融危機(jī)，給社會經(jīng)濟(jì)造成危害，因此研究金融市場數(shù)量關(guān)系及其運行規(guī)律的金融數(shù)學(xué)受到了全社會的高度關(guān)注。令人遺憾的是，金融數(shù)學(xué)中的B-S期權(quán)定價公式在金融市場的大規(guī)模應(yīng)用，卻成為直接導(dǎo)致1987、1997和2007年三次重大金融危機(jī)的罪魁禍?zhǔn)祝∕ackenzie，2018；Stewart，2012；Triana，2014）。被譽(yù)為“中國金融數(shù)學(xué)開創(chuàng)者”、獲得2020年未來科學(xué)大獎“數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)獎”的彭實戈院士，在《中國基礎(chǔ)研究發(fā)展報告》第二章中國數(shù)學(xué)前沿進(jìn)展中明確指出：B-S期權(quán)定價理論是造成以前歷次重大金融危機(jī)的關(guān)鍵性原因（科技部基礎(chǔ)研究司，2019）。暢銷書《黑天鵝》的作者塔勒布在2007年10月23日的《金融時報》上發(fā)表了題為“破壞市場的偽科學(xué)”專欄文章，對金融數(shù)學(xué)進(jìn)行了嚴(yán)厲的批判。塔勒布在文章中指出：人們從一次又一次的金融危機(jī)中得出了“金融數(shù)學(xué)的有效性與占星術(shù)一樣不靠譜”和“金融數(shù)學(xué)通過創(chuàng)造風(fēng)險來危害金融系統(tǒng)”的結(jié)論。塔勒布痛斥金融數(shù)學(xué)是破壞市場的偽科學(xué)，金融數(shù)學(xué)理論獲得諾貝爾獎不僅是對科學(xué)的侮辱，金融數(shù)學(xué)一直使金融體系面臨崩潰的風(fēng)險。金融數(shù)學(xué)在金融市場中的失敗應(yīng)用使人們開始懷疑，數(shù)學(xué)模型究竟能否用來描述并預(yù)測金融市場的價格波動現(xiàn)象和趨勢，金融數(shù)學(xué)因此陷入了嚴(yán)重的學(xué)科危機(jī)。本文指出金融數(shù)學(xué)將股票價格與時間之間的數(shù)量關(guān)系假設(shè)為隨機(jī)變量，并用描述樣本軌道集合發(fā)散程度的標(biāo)準(zhǔn)差來度量一條樣本軌道波動程度，是導(dǎo)致金融數(shù)學(xué)產(chǎn)生學(xué)科危機(jī)的根本原因。

二、金融數(shù)學(xué)發(fā)展歷史

金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史最早可追溯到1900年。法國數(shù)學(xué)家巴舍利耶在其博士論文《投機(jī)理論》中，首先用概率方法對股票價格進(jìn)行研究。巴舍利耶發(fā)現(xiàn)股票價格的變化是完全隨機(jī)的，因此使用布朗運動模型來描述股票價格波動，這比著名物理學(xué)家愛因斯坦用數(shù)學(xué)語言描述布朗運動的時間早了5年。巴舍利耶的研究成果太超前，一直未能引起學(xué)術(shù)界重視，直至1955年才被美國第一位獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎的薩繆爾森發(fā)現(xiàn)，因而受到眾多經(jīng)濟(jì)學(xué)家和數(shù)學(xué)家的大力推崇。1952年，剛從芝加哥大學(xué)畢業(yè)的馬科維茨將其博士論文濃縮為一篇題為“資產(chǎn)組合選擇——投資的有效分散化”的在《金融雜志》上。馬科維茨首次用均值和方差這兩個隨機(jī)變量數(shù)字特征來定量描述證券的收益和風(fēng)險，建立了組合投資理論，并通過均值-方差分析來確定最有效的證券投資組合。馬科維茨組合投資理論的建立，標(biāo)志著數(shù)學(xué)在金融領(lǐng)域獲得了成功應(yīng)用，同時也引發(fā)了“第一次華爾街?jǐn)?shù)學(xué)革命”，使多樣化的投資策略在華爾街得到廣泛應(yīng)用。因此，馬科維茨的組合投資理論在1990年獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。1956年，美國海軍研究實驗室的高能物理學(xué)家奧斯本利用業(yè)余時間開始研究股票市場，發(fā)現(xiàn)巴舍利耶的算數(shù)布朗運動模型存在股票價格會變?yōu)樨?fù)數(shù)的嚴(yán)重缺陷，與實際情況明顯不符。奧斯本將巴舍利耶的算數(shù)布朗運動模型改進(jìn)為幾何布朗運動模型，并在《運籌學(xué)》雜志上發(fā)表了題為“股票市場上的布朗運動”論文。《運籌學(xué)》并不是一本經(jīng)濟(jì)學(xué)雜志，但是很多經(jīng)濟(jì)學(xué)家和數(shù)學(xué)家都看到了這篇論文，奧斯本的研究很快就引起了廣泛的關(guān)注。1964年，法瑪獲得了美國芝加哥大學(xué)商學(xué)院的博士學(xué)位，其博士論文為《股票市場價格走勢》。1965年，法瑪將其博士論文濃縮為題為“股票市場價格隨機(jī)游走”的在《金融分析家雜志》上，法瑪使用隨機(jī)游走模型描述股票價格變化，并提出了著名的EMH（EfficientMarketsHypothesis）有效市場假說。有效市場假說提出后，迅速成為金融學(xué)研究領(lǐng)域的實證研究焦點課題和解釋資本市場運行規(guī)律的重要工具，同時也發(fā)展成為現(xiàn)代金融學(xué)，尤其是現(xiàn)代資本市場理論的重要基石，法瑪也因此被稱為金融領(lǐng)域的思想家，并獲得了2013年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。1965年，薩繆爾森發(fā)現(xiàn)奧斯本幾何布朗運動模型無法描述和解釋實際股票市場中的長期線性趨勢，薩繆爾森沒有從幾何布朗運動模型本身去尋找原因，而是直接添加了線性漂移項，建立了帶漂移的幾何布朗運動模型，金融數(shù)學(xué)理論從幾何布朗運動模型推導(dǎo)出了與事實不符的“股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布”性質(zhì)。上世紀(jì)70年代，隨著金融創(chuàng)新的不斷進(jìn)行，用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行金融產(chǎn)品定價成為理論研究的重點。1970年，布萊克和斯科爾斯首先假設(shè)股票價格服從薩繆爾森的幾何布朗運動模型，推導(dǎo)出了著名的B-S期權(quán)定價公式，利用數(shù)學(xué)工具解決了股票、債券、貨幣、商品等金融衍生產(chǎn)品的合理定價問題，實現(xiàn)了金融理論的又一大突破。1973年，布萊克和斯科爾斯將基于B-S期權(quán)定價公式的期權(quán)定價理論寫成了題為“期權(quán)定價和公司債務(wù)”的研究在《政治經(jīng)濟(jì)學(xué)雜志》上，這篇文章很快成為經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域最重要的幾篇論文之一。1970年，斯科爾斯在麻省理工學(xué)院的新同事默頓看到布萊克和斯科爾斯的研究報告時，立刻領(lǐng)會了這項成果的潛力。默頓是當(dāng)時唯一掌握隨機(jī)微積分的經(jīng)濟(jì)學(xué)家，他用隨機(jī)微積分方法也推導(dǎo)出了B-S期權(quán)定價公式，并對B-S期權(quán)定價公式所依賴的假設(shè)條件做了進(jìn)一步減弱，同時給幾何布朗運動模型增加了泊松跳躍過程，擴(kuò)大了B-S期權(quán)定價公式的應(yīng)用范圍，所以，B-S期權(quán)定價公式又被稱為B-S-M期權(quán)定價公式。HP（Hewlett-Packard）公司和TI（TexasInstruments）公司很快開發(fā)出了內(nèi)置B-S期權(quán)定價公式來計算期權(quán)價格的手持計算器，B-S期權(quán)定價公式迅速被廣泛應(yīng)用于金融市場，直接導(dǎo)致了“第二次華爾街?jǐn)?shù)學(xué)革命”，使金融市場的創(chuàng)新工具和創(chuàng)新產(chǎn)品的數(shù)量迅速增多，金融市場獲得了空前規(guī)模的發(fā)展。1997年，斯科爾斯和默頓因此獲得了第二諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎，布萊克不幸英年早逝，沒有與斯科爾斯和默頓一起領(lǐng)獎。

三、B-S期權(quán)定價公式導(dǎo)致金融危機(jī)

作為研究金融市場數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律的科學(xué)理論，金融數(shù)學(xué)與其它科學(xué)理論一樣，應(yīng)具有如下基本功能：一是解釋功能。建立的數(shù)學(xué)模型應(yīng)能正確描述金融市場資本價格的波動現(xiàn)象及規(guī)律，得出的結(jié)論必須與客觀事物及運動相一致。二是預(yù)見功能。數(shù)學(xué)模型能夠預(yù)測事物的發(fā)展趨勢和變化結(jié)果。理論預(yù)見和經(jīng)驗推測不一樣，它是可靠、必然的。三是指導(dǎo)實踐功能。借助數(shù)學(xué)模型解決在不確定環(huán)境中，如何在時間和空間上優(yōu)化配置金融資源的問題。如果金融數(shù)學(xué)建立的價格模型與實際價格波動現(xiàn)象和趨勢不符，若將其廣泛應(yīng)用于金融市場，必然會給投資者帶來巨大的風(fēng)險和虧損。1987年10月19日，華爾街遭受了有史以來最大的一次災(zāi)難：“黑色星期一”。當(dāng)日全球股市在紐約道瓊斯工業(yè)平均指數(shù)帶頭暴跌下全面下瀉，紐約證券交易所損失了近25%的價值，引發(fā)全球金融市場恐慌，隨之而來的是1980年代末的經(jīng)濟(jì)衰退。造成這次災(zāi)難的罪魁禍?zhǔn)资牵河葿-S期權(quán)定價公式衍生出的計算機(jī)股票交易策略不能預(yù)測市場波動趨勢。1994年，被譽(yù)為能“點石成金”的華爾街天才人物梅里韋瑟與斯科爾斯和默頓合伙成立了長期資本管理公司（簡稱LTCM）。LTCM以斯科爾斯和默頓推導(dǎo)出的B-S期權(quán)定價公式為基礎(chǔ)，用計算機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理并預(yù)測債券及衍生產(chǎn)品的價格走向，形成了一套完整的計算機(jī)自動組合投資系統(tǒng)。在1994年3月至1997年12月的三年多中，LTCM憑借這套系統(tǒng)在市場上一路高歌，其資產(chǎn)迅速增長到1000億美元，年回報率超過40%，與量子基金、老虎基金、歐米伽基金一起被稱為國際四大“對沖基金”。1997年，斯科爾斯和默頓一同獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎，LTCM成為華爾街最耀眼的明星基金。默頓自豪地宣稱：“長期資本管理公司從成立到現(xiàn)在的獨特經(jīng)歷，體現(xiàn)了金融數(shù)學(xué)與金融實踐的高效結(jié)合。”然而天有不測風(fēng)云，1998年隨著亞洲金融危機(jī)的爆發(fā)，金融市場波動趨勢剛好與斯科爾斯和默頓的數(shù)學(xué)模型相反。出人意料的是，LTCM過分相信自己的數(shù)學(xué)模型，不但未及時撤出資金，反而投入了更多的資金以期反敗為勝，就這樣越陷越深，LTCM首次出現(xiàn)了巨額虧損。短短的150天，LTCM資產(chǎn)凈值就下降了90%，走到了破產(chǎn)邊緣。LTCM直接涉及的金額超過1000億美元，間接牽連的金額竟高達(dá)1萬億美元，幾乎將整個華爾街都拖下了水，LTCM不得不求助于美聯(lián)儲。美聯(lián)儲出面組織安排美林、摩根為首的15家國際性金融機(jī)構(gòu)注資購買了LTCM的90%股權(quán)，共同接管了LTCM，以免LTCM徹底破產(chǎn)而引發(fā)全球金融危機(jī)。至于兩位諾貝爾獎得主——斯克爾斯和默頓，他們的故事還沒完。斯克爾斯在LTCM事件后去斯坦福大學(xué)任教，并于1999年創(chuàng)立了一家名為PlatinumGrove的對沖基金，默頓不久后也加入出任顧問，兩人決心東山再起。他們吸取了上次LTCM的教訓(xùn)，高度重視風(fēng)險管理，公司很快站穩(wěn)腳跟，并在2007年達(dá)到50億美元的資產(chǎn)規(guī)模。斯克爾斯和默頓萬萬沒有料到，在2007年次貸危機(jī)引發(fā)的金融風(fēng)暴中，LTCM的悲劇再次發(fā)生在他們身上，他們的腳居然踏進(jìn)了同一條河流，公司再次遭遇滅頂之災(zāi)，兩人各奔東西。LTCM和PlatinumGrove危機(jī)事件由于對金融市場影響巨大，且涉及兩位諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎得主的金融數(shù)學(xué)研究成果，因而震驚了全球金融界和學(xué)術(shù)界。人們開始懷疑金融數(shù)學(xué)究竟能否正確描述或解釋金融市場的波動性，金融數(shù)學(xué)面臨嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。數(shù)學(xué)家史都華（Stewart）在《改變世界的17個方程》書中寫道：B-S期權(quán)定價公式改變了世界，它不僅創(chuàng)造了一個金額難以估計的產(chǎn)業(yè)，而且也造成了人類歷史上最大的金融體系崩潰。暢銷書《致命數(shù)字》作者、具有20多年投資經(jīng)歷的全球頂級金融專家特里亞納在《教鳥兒飛行：量化模型是否會摧毀金融市場》一書中，對金融數(shù)學(xué)理論及數(shù)學(xué)模型存在的問題進(jìn)行了全面的解讀，嚴(yán)厲批判了華爾街盲目迷信數(shù)學(xué)模型，而不相信市場趨勢的投資方式。特里亞納從大量的金融市場案例分析中得出結(jié)論：B-S期權(quán)定價公式是造成金融危機(jī)的罪魁禍?zhǔn)祝鹑跀?shù)學(xué)在金融領(lǐng)域的應(yīng)用是失敗的，金融工程應(yīng)該為人類歷史上最嚴(yán)重的金融危機(jī)負(fù)責(zé)。塔勒布在《教鳥兒飛行：量化模型是否會摧毀金融市場》一書的序言中寫道：B-S期權(quán)定價公式是有害的，現(xiàn)代金融數(shù)學(xué)理論的有效性與占星術(shù)一樣不靠譜。默頓在《連續(xù)時間金融》一書中曾經(jīng)339次提及“定理”或“公式”等詞，而平均一本相同厚度的物理學(xué)書籍也不過提及此類詞語25次。金融數(shù)學(xué)模型正如它已經(jīng)表現(xiàn)出來的那樣，并沒有比隨機(jī)猜測或出租車司機(jī)的直覺更出色。騙子通常是以他們的裝扮、組織或語言來掩飾其真實身份，現(xiàn)在又多了神奇的數(shù)學(xué)來助陣。塔勒布還在《金融時報》上發(fā)表專欄文章，斥責(zé)金融數(shù)學(xué)是“破壞市場的偽科學(xué)”。

四、金融數(shù)學(xué)的兩個基本概念錯誤

（一）價格數(shù)學(xué)抽象錯誤

解決實際問題或建立科學(xué)理論的第一步，是將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，然后應(yīng)用演繹推理方法得出揭示事物運動規(guī)律和特征的結(jié)論或解決問題的方法。如果在數(shù)學(xué)抽象過程中出現(xiàn)基本概念錯誤，則會得出一系列與事實不符的錯誤結(jié)論。數(shù)學(xué)概念是人腦對客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式的思維反映，也是建立數(shù)學(xué)理論和其他科學(xué)理論的基石。數(shù)學(xué)概念雖然遠(yuǎn)離了直觀的經(jīng)驗世界，但卻能更深刻地反映客觀世界的本質(zhì)。數(shù)學(xué)學(xué)科通常運用定義的形式來明確數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵——對象“質(zhì)”的特征，及其外延——對象“量”的范圍。如果對數(shù)學(xué)概念所表達(dá)的內(nèi)涵和外延出現(xiàn)誤解和誤用，則建立的科學(xué)理論就像基礎(chǔ)不牢的高樓大廈一樣，遲早會發(fā)生地動山搖般的坍塌。隨機(jī)過程X（ω，t）是定義在Ω×T上的二元函數(shù)。對于固定的時間t，X（ω，t）是狀態(tài)ω的函數(shù)，稱為隨機(jī)變量，記為X（t）；對于固定的狀態(tài)ω，X（ω，t）是時間t的函數(shù)，稱為樣本函數(shù)或樣本軌道，記為x（t）。一個樣本函數(shù)x（t）對應(yīng)著隨機(jī)試驗中的一次“測量結(jié)果”，例如股票分析軟件顯示的股票價格隨時間變化過程，因此x（t）也被稱為隨機(jī)過程的一個“實現(xiàn)”，圖2為隨機(jī)過程X（ω，t）、隨機(jī)變量X（t）和樣本函數(shù)x（t）三者之間的關(guān)系示意圖。圖2中的三條樣本函數(shù)曲線x1（t），x2（t）和x3（t）可分別看成是三個隨機(jī)運動質(zhì)點的位移曲線，所有質(zhì)點在t時刻的位置（圖中紅點）就是隨機(jī)變量X（t）在t時刻的狀態(tài)。隨機(jī)過程X（ω，t）既可看成是所有樣本軌道x（t）的集合，也可看成是所有隨機(jī)變量X（t）的集合。從圖2可以看出，隨機(jī)變量X（t）用來描述大量質(zhì)點的空間統(tǒng)計特性，樣本函數(shù)x（t）則用來描述一個質(zhì)點的時間運動規(guī)律，隨機(jī)變量X（t）和樣本函數(shù)x（t）是具有完全不同定義域和值域的兩個函數(shù)。觀察股票價格s（t）隨時間t的變化過程，對于任一個時間值t，都有唯一確定的s（t）與t對應(yīng)，股票價格與時間之間的數(shù)量關(guān)系為“一一對應(yīng)”的函數(shù)關(guān)系，因此，股票價格s（t）是時間t的函數(shù)（高宏，2019）。根據(jù)隨機(jī)過程定義，股票價格s（t）是固定ω時的隨機(jī)過程S（ω，t），只能被抽象為隨機(jī)過程S（ω，t）中的一條樣本軌道s（t），而非隨機(jī)變量S（t）。金融數(shù)學(xué)將股票價格s（t）抽象為隨機(jī)變量S（t），無形中將研究對象從一條樣本軌道改變?yōu)闃颖拒壍赖募希瑢?dǎo)致金融數(shù)學(xué)的研究對象發(fā)生錯位，因而建立的價格模型無法正確描述股票價格現(xiàn)象，并得出了“股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布”的謬誤。

（二）波動率定義錯誤

波動率是B-S期權(quán)定價公式里一個非常重要的輸入變量。期權(quán)定價理論首先假設(shè)資產(chǎn)價格服從對數(shù)正態(tài)分布，然后將描述正態(tài)分布離散程度的標(biāo)準(zhǔn)差定義為波動率，用正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)差來度量資產(chǎn)價格的波動程度（高宏，2020）。從隨機(jī)過程的定義看，標(biāo)準(zhǔn)差是描述樣本軌道集合發(fā)散程度的統(tǒng)計參數(shù)，與一條樣本軌道的波動程度沒有直接的關(guān)系。因此用隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差來預(yù)測股票價格波動程度，就如同物理學(xué)用溫度來度量一個分子的動能一樣荒謬，必然無法正確預(yù)測金融市場波動，會給金融市場帶來巨大的災(zāi)難。此外，金融數(shù)學(xué)用隨機(jī)變量的方差來度量風(fēng)險，意味著金融數(shù)學(xué)將股票價格向上的大幅波動或投資者獲取超額收益的情況也視為風(fēng)險，無怪乎暢銷書《黑天鵝》作者塔勒布說“金融數(shù)學(xué)通過創(chuàng)造風(fēng)險來危害金融系統(tǒng)”。

五、展望

現(xiàn)有的金融數(shù)學(xué)理論由于將股票價格與時間之間的數(shù)量關(guān)系假設(shè)為隨機(jī)變量，并用描述樣本軌道集合發(fā)散程度的標(biāo)準(zhǔn)差來度量一條樣本軌道波動程度，因此建立的價格模型無法正確描述并預(yù)測金融資產(chǎn)價格波動趨勢，在應(yīng)用時會給金融市場帶來巨大的風(fēng)險和災(zāi)難。未來金融數(shù)學(xué)將面臨重大范式變革，首先將股票價格與時間之間的數(shù)量關(guān)系正確地抽象為時間函數(shù)，然后在樣本函數(shù)基礎(chǔ)上重建價格模型和金融數(shù)學(xué)理論，這為中國的金融數(shù)學(xué)學(xué)科進(jìn)入世界一流前列提供了千載難逢的歷史性發(fā)展機(jī)遇。

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作者：高宏 梅圣烽