福利經濟學研究論文

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二百多年前,亞當·斯密用“看不見的手”來形容一個經濟中許多當事人各自獨立地追求自我利益的行為非但沒有造成混沌，反而實際產生了一個社會最優狀態。建立在數學基礎上的福利經濟學第一、第二基本定理是這一深刻思想的現代形式，但這首先依賴于均衡的存在。本文以數理模型說明福利經濟學第一基本定理不成立，這也意味著阿羅-德布魯一般均衡模型(Arrow-DebreuModel)不完善。

一

以下的經典數學結果依照阿羅、德布魯五十年代的定義和證明,本文只對表述方式作了一定的修改。

商品空間R是l維Euclid空間。

經濟e=[<Xi>,<≥i>,<Yj>,w]

i=1,2,3.....,n；j=1,2,3.....m

是消費者i的消費集；是生產者j的生產集；≥i是消費者i的偏好關系；w是經濟的總稟賦。滿足：

（1）Xi凸，閉且下有界；

（2）≥i連續，凸；

（3）

（4）凸，閉；

（5）

（6）。

可行狀態(,）滿足:且。

帕累托效率（最優）狀態（）是可行狀態，且不存在可行狀態()滿足有,并有。

瓦爾拉斯均衡（,p*）是私有制經濟下的一個均衡，其中消費者i以股份θij擁有企業j，滿足：

（A）在i的預算集{}上使偏好≥i極大，

其中。

(B)使j的利潤極大；

(C)，是i的初始稟賦。

Arrow-Debreu一般均衡存在性定理：上述經濟（條件（1）~（6）成立）中，如果任何一個消費者都沒有充分滿足的消費束，且在其消費集內部都有一個初始稟賦，那么上述定義的瓦爾拉斯均衡存在。

福利經濟學第一基本定理：上述競爭均衡配置是帕累托效率的。

下面是一個說明福利經濟學第一基本定理錯誤的模型。

[模型S]生產–交換經濟e。

商品：x,y,z,v,w。

當事人：消費者A，B；廠商X，Y。

偏好：A的偏好函數

B的偏好函數。

生產函數：X的生產函數（α）x1是投入；y1，z1是產出

Y的生產函數（β）v2是投入；y2，w2是產出

初始稟賦:A，B各自完全擁有企業X,Y。

A初始擁有xA=0.5,,B初始擁有vB=1。

以上的假設均滿足Arrow-Debreu模型條件。記瓦爾拉斯均衡狀態為“*”。

論證：如果本模型存在瓦爾拉斯均衡，根據是否為0可分為以下兩種情形：

(一)先設瓦爾拉斯均衡價格≠0。顯然有

設模型的另一個狀態為，并保持Y的生產和B的所得不變，則有

說明該狀態優于瓦爾拉斯均衡狀態*。

(二)再設瓦爾拉斯均衡價格=0，此時

，

因當事人均為“價格領受者”，=0意味著y不被生產，

設模型的另一個狀態為并保持X的生產和A的所得不變，則有

說明該狀態優于瓦爾拉斯均衡狀態*。

綜合以上情況，說明本模型的瓦爾拉斯均衡狀態*如果存在，其必定是非帕累托效率的。

[結論]在符合Arrow-DebreuModel標準假設的情況下，瓦爾拉斯均衡未必是帕累托效率的，即福利經濟學第一基本定理不成立。或者Arrow-Debreu一般均衡存在性定理不成立。

二

我們把上述論證翻譯成關于一般均衡的ADM模型反例的一個寓言：

魯賓遜A、魯賓遜B分別生活于兩個孤島A、B。

假定：

（1）島A上有1個單位的不可運輸的生產性資源（x），如該島上的土地

A掌握的技術，使他可以運用資源x生產面包（y）或黃油（z），其生產函數為;

A初始擁有1個單位的黃油（z）

對A而言，黃油和面包是補充品，A的效用函數為

（2）島B上有1個單位不可運輸的生產性資源（v），如該島上的土地。

B掌握的生產技術，使他可以運用資源v生產面包y或奶酪（w），其生產函數為;

B初始擁有為0；

對B而言，面包和奶酪是可替代的，其效用函數

（3）產品的運輸和交易是完全無成本的；

（4）存在一個完全無成本并不謀求自身利益的定價者P。

該經濟可以按照兩種模式運行，即

（甲）“魯賓遜模式”，即A、B各自以封閉的方式生產消費而不理會P所的價格。

（乙）“瓦爾拉斯模式”，即A、B作為價格領受者，完全依據P的價格信號生產，并試圖以交易改善自身的境況。

顯然,依照（甲）,A最大化的滿足是自己生產1單位的面包并與初始擁有1個單位黃油同時消費；B最大化的滿足是自己生產1單位的面包。

依照（乙），如果P的價格中面包的價格不為0，B將生產1單位的面包；A將生產少于1單位的面包，但其生產的一小部分黃油，卻無法交換出去，A比模式（甲）的滿足程度為低。“瓦爾拉斯模式”將劣于“魯濱遜模式”。

如果P的價格中面包的價格為0，A的滿足同于模式（甲）；但B將生產1單位的奶酪，這時B的滿足又將低于模式（甲）。

這樣，完全市場方式的“瓦爾拉斯模式”劣于“魯賓遜模式”，經濟退回至魯賓遜的自足經濟中。這當然也構成了對Arrow-Debreu模型的一個反例。

進一步的討論集中于以下三個方面。

首先考慮模型S中消費者直接生產的問題。

一種可能的批評認為：由于消費者分別完全擁有廠商，故廠商的生產決策由消費者直接作出。又由于該經濟是自給自足經濟，利潤在這里失去了意義，所以消費者都應該在自己的稟賦及生產集約束下實現效用最大化。于是反例不再生效。

事實上，根據Arrow-DebreuModel的標準假設，效用最大化和生產最大化是分離的，廠商和消費者一樣是完全獨立的當事人，它的行為不受所有者的直接控制，不論消費者是否完全擁有企業，他絕對不可能直接按自己的效用最大化來確定廠商的行為，廠商的行為必須也只能按利潤最大化來決定。除非批評認為反例中的廠商是沒有實際意義的虛設而加以取消。但這批評只需將模型S稍作變形便可化解。

為更清楚地看到這一點，只要把原經濟放大N倍，A和B各變成N個孿生兄弟（但不是復制經濟，廠商仍只有兩個），他們各擁有1/N的股份，其余不變。

[模型N]生產–交換經濟e。

商品；x,y,z,v,w。

當事人：消費者Ai，Bj,其中i,j=1,2,…，N；廠商X，Y。

偏好：Ai的偏好函數

Bj的偏好函數。

生產函數：X的生產函數（α）x1是投入；y1，z1是產出

Y的生產函數（β）v2是投入；y2，w2是產出

初始稟賦:Ai，Bj分別擁有企業X,Y各1/N的股份。

每個Ai初始擁有xA=0.5N,,Bj初始擁有vB=1。

論證同于模型S，反例依然有效。N＞1時廠商的生產決策必須服從利潤最大化，特別是N極大時廠商的生產決策直接由消費者作出是極其荒謬的。

其次討論模型假設的現實性。

對于大多數把理論作為預言和解釋工具的現代學者而言，假設的現實性不值得加以考慮。但在模型構造過程中，現實性的考慮有助于模型不被當成“畸型”的特例而排除掉。

就本文的模型而論，兩種商品成為補充品是普通的。一種商品為某消費者必需卻被另一消費者視作無價值可以因為禁忌（如宗教原因禁食某類食品），也可以因為它尚未被接受。至于同時生產兩種或兩種以上不同的產品則幾乎是古代一直到現在制造業的共性。

最后我們考慮凸性。

在嚴格凸性要求下，本反例并不成立。寓言中補充品造成某種商品（y）價格為0。B作為價格領受者，依據價格信號生產并試圖使自身的效用最大化的一種可能的設想是讓w的價格為0，但這很容易造成價格系統的崩潰。可設想位于孤島C上的魯賓遜C可利用島上的資源v’生產w和w’:v’=w+w’,但C更偏好w’，這又使w’的價格為0。設定一串“島鏈”后以此類推，價格體系則不再能成為指導生產和消費的信號系統。三

現代經濟科學的核心無疑是一般均衡理論，它主要研究競爭性均衡的存在及其效率的特性。阿羅－德布魯理論（Arrow-DebreuModel）則在尋求其數學闡述方面取得了迄今為止最滿意的進展，就形式的優美、表述的簡潔、概念的普遍性和深刻性、方法的有效性及邏輯上的嚴謹而言，被譽為經濟理論皇冠上的明珠。

這個反映新古典主義最古老、最重要思想的現代均衡理論可以追溯到亞當·斯密，它在獲得“邊際革命”（特別是瓦爾拉斯）的推動和現代數學工具的有力幫助后迅速發展。整個學說發展史與一大批杰出的、富有才華的經濟學家的名字聯系在一起，一般均衡經濟理論領域也肯定是最多獲得諾貝爾經濟學獎的領域。其二十世紀的主要貢獻者，象薩繆爾森、希克斯、阿來、納什、阿羅和德布魯等都因此（或部分地因此）摘得諾貝爾獎的桂冠。

由于Arrow-DebreuModel成功，西方主流經濟學家，特別是幾乎所有的數理經濟學家已經接受了如下基本信條：

在新古典的框架內（即新古典的假設范圍內，指個人理性、完全競爭、新古典偏好和私有制企業、規模不經濟等）可數學證明競爭均衡的存在、效率和活力。正如福利經濟學第一、第二基本定理所表述的：瓦爾拉斯均衡狀態與私有經濟的帕累托效率（又稱帕累托最優）狀態一致。在恰當的形式化后，競爭均衡的存在和效率被演化為幾個數學定理。瓦爾拉斯均衡的意義就在于：市場價格體系充當“看不見的手”實現最大的社會福利。

本文構造的數理模型指出，福利經濟學第一基本定理或者Arrow-Debreu一般均衡存在性定理的數學證明有錯誤，兩個定理不能同時成立。這個結果顯然對于微觀經濟學有很大的影響，它意味著Arrow-DebreuModel應當進行重大改造，而這種改造無疑會在一般均衡經濟學領域中引發一場重大的理論革命。

參考文獻

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[6]G.德布魯，《價值理論》，中譯本。北京經濟學院出版社，1988年。

[7]J.伊特韋爾、M.米爾蓋特、P.紐曼主編，《新帕爾格雷夫經濟學大辭典》，中譯本。經濟科學出版社，1996年