簡單的線性規劃范文

導語：如何才能寫好一篇簡單的線性規劃，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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【關鍵詞】純代數法 普通高考數學全國卷 線性規劃問題

【中圖分類號】O221.1 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2013）11-0144-02

線性規劃問題在普通高考數學全國卷中每年都會出現，是高考的重點和難點，但又考得不深，筆者與學生多年在教學相長的過程中發現：用“幾何作圖法”解線性規劃問題，學生得分率并不高，因為畫圖的過程是我區學生的一個弱點，相對應的“純代數法”卻能極大地提高同學們的得分率，而且能節省大量的時間來完成其他的題。下面筆者就“純代數法”及解線性規劃問題作簡單的介紹。

一 “純代數法”在線性規劃問題中的原理

代數法源于幾何作圖法，是對幾何法的“斷章取義”，也即“歸納升華”，省去了繁瑣的作圖；只要可行域封閉的情況下，就能用“純代數法”，再加上思維夠嚴密——增加“檢驗不等式”，將會節省大量的時間來完成線性規劃問題的解答；在應試的角度上代數法優于幾何法，但從新課改的角度上看，要把學生培養成為跨世紀的人才，幾何作圖法是不可或缺的。

對于普通高考數學全國卷中的線性規劃問題，一般都是可行域封閉的情況，解“純代數法”的基本步驟如下：（1）列二元一次方程組求解：各個二元一次不等式變成等式，互相聯立，得到各組解（交點）；（2）檢驗可行解：將各組解代入各個不等式，看它們是否都成立；不等式成立就是我們需要的可行解，只要有一個不等式不成立就把此解去掉；（3）求值比較：將（2）中的可行解代入目標函數Z，把得到的Z的值相互比較，最大（小）的數就是要求的最大（小）值，也可得到取最值的最優解。

如果用“幾何作圖法”：（1）取點；（2）描點；（3）作出4條直線；（4）找出可行域；（5）求交點；（6）畫平行的目標函數直線；（7）根據可行域找目標函數直線的截距的最值——Z的相應最值——Z的范圍。僅看步驟就很麻煩了，而且還要熟練掌握基本的直線作圖方法，把目標函數也要看成Z已知的一條條平行直線，最后還要轉換成截距，我區的學生要按部就班地把這道題完成，并把答案完整地寫出來，沒有一定的數學基礎和一定的時間，本題基本得不到分數。

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關鍵詞:課程標準 線性規劃 代數解法

2003年出臺的《普通高中數學課程標準(實驗)》(以下稱《標準》)中,“不等式”內容作了調整,原大綱“直線和圓的方程”一章中的“二元一次不等式組和簡單線性規劃問題”被調到必修數學5“不等式”中。本文將如何求解線性規劃問題提出一些看法,以與同行商榷。

《標準》指出:線性規劃是優化的具體模型之一,學習它能提高學生的優化意識,同時強化學生的數形結合的能力。并要求:了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區域表示二元一次不等式;從實際情形中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題,并能加以解決。關于線性規劃模型的求解,當前的高中新教材與《標準》的參考案例無一不是用幾何方法(筆者這么稱呼)。不可否認的是,幾何方法直觀,從形的角度刻畫了數量關系,然而,幾何方法往往會受到圖形直觀的影響,而使得所獲結果不夠精細,如若圖形不準確,有時還會直接誤導結果。而且“幾何構圖的過程對思維品質的要求并不低,如何想到用幾何圖形、想到用什么樣的幾何圖形等都需要激活已有的知識(包括代數知識)和方法,圖形出來之后的直觀性、自明性,并不等于思維過程的平坦。”但是既然新課標把簡單線性規劃問題安排在代數“不等式”一章,我們就應在注重幾何方法的同時,重視其具有“不等式特色”的代數解法。正如羅增儒教授指出的:“數學解題中存在著數與形的雙向溝通,存在著直覺選擇與邏輯分析的相互推動;從而也就表明,任何單側面的問題表征都有可能產生潛在的封閉型或局限性。”

事實上,在高中數學,簡單的二元線性規劃問題可以用如下的代數方法來求解。設該二元線性規劃問題的約束條件是k個二元一次不等式構成的不等式組aix+biy≤ci(i=1,2…,k),目標函數是f=dx+ey,那么欲求目標函數f的最大(小)值,首先把目標函數f表示成其中兩個約束條件的左式的一個線性組合,然后利用不等式性質,得到不等式f≤C(f≥C)(其中C是常數),再來考察當f=C時,是否存在滿足約束條件的相應的點(x,y),如果這樣的點(x,y)存在,C就是目標函數f的最大(小)值;如果不能建立不等式f≤C(f≥C)或滿足約束條件的點(x,y)不存在,則把目標函數f表示成另外兩個約束條件的左式的一個線性組合,直到建立起不等式f≤C(f≥C)且能求出可行區域中相應的點(x,y)為止。

以下舉兩個例子來說明:

例1.(《標準》,P38例3)某廠擬生產甲、乙兩種適銷產品,每件銷售收入分別為3千元、2千元。甲、乙兩種產品都需要在A,B兩種設備上加工,在每臺A,B上加工一件甲所需工時分別為1時、2時,加工一件乙所需工時分別為2時、1時,A,B兩種設備每月有效使用臺數分別為400和500。如何安排生產可使收入最大?

解:設甲、乙兩種產品的產量分別為x,y件,收入為f千元,建立線性規劃模型為:目標函數maxf=3x+2y,約束條件是

所以最少要截兩種鋼板12張,截法有2種:第一種鋼板3張、第二種鋼板9張;第一種鋼板4張、第二種鋼板8張。

上述例子表明,對于簡單的線性規劃問題,以上方法運用了不等式的性質來求最值,這樣做不但可以避免畫圖,而且結果準確。對于約束條件不太多的簡單的二元線性規劃問題,只要找出目標函數關于約束條件的“有效”的線性組合(如例2的(1)式),計算量一般不會太大,而且對于具體問題,我們往往可以通過觀察與篩選,盡快找到“有效”的線性組合。因此,簡單的線性規劃的代數解法往往是有效的。

總之,既然《標準》把“線性規劃”從解析幾何調整到“不等式”,我們就沒有理由完全忽視線性規劃問題的代數(運用不等式)解法。同時,這樣甚至可以沒有“用二元一次不等式組刻畫區域”以及“直線的方程”等知識,就可以解決簡單的線性規劃問題。當然,相比來說,解決線性規劃問題的幾何方法比代數方法運用起來會更廣泛,但它存在諸如畫可行區域“繁瑣”以及直觀中的“粗糙”,甚至由于一些直線斜率相差較小而導致的誤解等缺點。為此,筆者建議在教材“簡單的線性規劃”中,應滲透其代數解法,在教學中,教師在用幾何方法求解時,也應提及其代數解法,這樣就可以彌補分別用幾何解法和代數解法各自的缺陷,豐富解題思路,切實突出數與形的結合。

參考文獻:

[1]教育部制訂.《普通高中數學課程標準》(實驗)[M].人民教育出版社,2003.

[2]羅增儒.數式與圖形溝通,直覺與邏輯互動[J].中學數學教學參考.2004.6.

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高中階段線性規劃內容是新課標實施后新增加的內容，近年來成為高考中的熱點問題，其試題已從簡單的求線性目標函數的最值、平面區域的面積，轉變為求非線性目標函數的最值、參數的范圍，現在更是出現了與向量、概率、不等式、函數相結合的新題型。下面通過高考試題分析解讀體會如何學習、復習該部分知識。

一 考題回顧

高考試題對線性規劃內容的考查主要體現在以下三個方面：

第一，注重對基本題型的考查。（1）已知線性約束條件，求目標函數的最值問題。如2012年，山東理第5題。（2）線性規劃應用題。如2012年，四川理第9題。

第二，體現對線性規劃與其他知識相結合問題的考查。（1）含有參數的線性規劃問題。如2012年，福建理第9題。（2）與向量、不等式、概率等知識相結合的線性規劃問題。如2011年，湖北理第8題；2009年，山東理第12題；2012年，北京理第2題。

第三，凸顯對線性規劃體現的“數學規劃”思想方法的考查。典型試題：（2012年，江蘇14）已知正數a，b，c滿

足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則 的取值范圍是

。

二 分析解讀

1.關于線性規劃基本題型

已知線性約束條件求目標函數的最值問題，線性規劃應用題，屬于線性規劃的最基本問題，是線性規劃的簡單應用，要求學生能夠熟練掌握可行域的畫法，并能根據目標函數的變化情況，在可行域內找到相應的最優解及最值。對于應用性問題還要求學生能夠根據題意，通過設置恰當的未知數將實際問題轉化為線性規劃的問題求解。旨在考查學生對線性規劃基本知識、基本問題的掌握，屬于容易題。

2.關于對線性規劃與其他知識相結合的題型

它體現了線性規劃的靈活應用，突出了對學生能力的考查，有一定的綜合性，其本質還是線性規劃問題，解決方法仍然同基本問題的方法類似。含參數的線性規劃可在作可行域時先將約束條件中的不含參數的不等式所表示的平面區域作出，然后再考慮含參數的不等式，可以利用嘗試的方法去研究。與向量、不等式、概率等知識相結合的問題，從題目中容易看出其中包含的線性規劃的“輪廓”還是比較清晰的，結合相關知識的內容轉化成線性規劃的基本題型不困難。

3.關于用“數學規劃”思想求解問題的題型

這類問題從形式上可能看不出線性規劃的“影子”，其約束條件隱蔽，需要進行適當的數學變形，變形后約束條件可能不是線性的，其目標函數也未必是線性的，我們可以稱之為“異化”的線性規劃問題。此類問題有一個共同特征：具備某些不等（或相等）關系的限制條件，求某個變量的范圍或最值。從下面的解答過程可見一斑。

解析：條件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc可化為：

設 ， ，則題目轉化為：已知x，y滿足：

，求 的取值范圍。

作出（x，y）所在平面區域（如右圖）。求出y≥ex的切線的斜率e，設過切點P（x0，y0）的切線為y=ex+m（m≥

0），則 ，要

使它最小，須m=0。

的最小值在P（x0，y0）處，為e。此時，點P（x0，

y0）在y=ex上A，B之間。

當（x，y）對應點C時，

。

的最大值在C處，為7。

的取值范圍為[e，7]，即 的取值范圍是[e，7]。

三 學習啟示

高考對線性規劃的要求越來越靈活，以考查線性目標函數的最值為重點，兼顧考查代數式的幾何意義（如斜率、距

離、面積等）。多以選擇題、填空題出現，含參數的線性規劃問題也是高考的熱點。在知識交匯處命制試題更是高考試題的一個重要特點，鑒于此，在學習與復習中要緊緊抓住以下環節：

1.牢固掌握可行域的畫法

若要正確畫出可行域，首先是正確畫出每個二元一次不等式所表示的平面區域，這有兩種常用的方法：一是先畫出相應二元一次方程所表示的直線，再選取一個特殊點（如果直線不過原點則常選取原點）代入二元一次方程，計算其值的正負再結合二元一次不等式的要求，若符合，則該點所在的區域就是所求的一元二次不等式所表示的平面區域，否則該點所不在的區域為所求的區域，我們可以用一個成語形象地總結：窺一斑而知全豹。二是將一元二次不等式化為y>kx+b（或y>kx+b）的形式，若是y>kx+b形式，則所表示的平面區域一定在直線y=kx+b的上方，反之在下方。其次是用陰影表示出幾個一元二次不等式所表示的平面區域的公共部分。若邊界不等式所對應的方程是特殊形式，則容易畫出其所表示的區域，若二元一次不等式中含有等號則用實線表示，否則用虛線。

2.靈活求目標函數最值

正確畫出可行域后，將目標函數z=ax+by（b≠0）化

為 形式，通過斜率為 的直線平移求出 的

最值，這個過程中需注意：一是所求可行域的邊界與直線

傾斜程度之間的關系；二是z的系數 的正負對

z取最值的影響，當 >0時， 取得最大（小）值時，對

應的z也會取得最大（小）值，當

3.熟悉簡單數學建模問題

應用數學解決各類實際問題時，建立數學模型是十分關鍵的一步，同時也是十分困難的一步。建立教學模型的過程，是把錯綜復雜的實際問題簡化、抽象為合理的數學結構的過程。要通過閱讀、分析、處理數據資料，觀察和研究實際對象的固有特征和內在規律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實際問題的數量關系。數學建模需要較深厚扎實的數學基礎，敏銳的洞察力和想象力。

4.深刻領悟數學規劃思想

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關鍵詞：線性規劃 二維線性規劃 三維線性規劃 圖解法

線性規劃圖解法

1、線性規劃

線性規劃是對一組決策變量研究在

滿足約束條件的前提下，最大化或最小化目標函數的問題，其中約束條件和目標函數均為線性函數，如：

■

其中c為n維列向量，稱為價格向量或成本向量；■，稱為決策變量；b為m維向量，稱為右端向量；A為m*n階矩陣，稱為約束矩陣。稱■為可行域。線性規劃的可行域為凸集。通常我們將最大化目標函數的值作為線性規劃的標準形式（最小化問題可看作最大化其負函數，即■）。

在線性規劃問題中，決策變量的值稱為一個解，滿足所有的約束條件的解稱為可行解。使目標函數達到最大值（或最小值）的可行解稱為最優解。這樣，一個或多個最優解能在整個由約束條件所確定的可行區域內使目標函數達到最大值（或最小值）。求解線性規劃問題的目的就是要找出最優解。最優解可能出現下列情況之一：①存在著一個最優解；②存在著無窮多個最優解；③不存在最優解，這只在兩種情況下發生，即沒有可行解或各項約束條件不阻止目標函數的值無限增大（或向負的方向無限增大）。

2、二維線性規劃圖解法

二維線性規劃圖解法的求解過程為：求出并繪制可行域（凸多邊形）；找出目標函數下降（上升）方向，并以此為法方向繪制一條與可行域交集非空的初始等值線；沿目標函數下降（上升）方向平移等值線，直至邊界。最終等值線與可行域邊界的交集作為最優解集，等值線所代表的目標函數值為最優值。

下面我們用一個簡單的二維線性規劃問題說明圖解法的求解過程。

■

■

用圖解法求解：

第一步：畫出可行域。以x1與x2為坐標軸作直角坐標系，根據不等式的意義求出各半平面的公共部分稱為可行域。

第二步：畫出等值線。目標函數S=2x1+5x2在坐標平面表示以S為參數、以■為斜率的一簇平行直線，即■，它的位置隨著S的變化平行移動。位于同一直線上的所有點，都使S具有相同的值，所以該直線稱為“等值線”。任取一個定點S0便可在坐標平面上畫出一條等值線■，如圖1所示。

第三步：求最優解。將直線■沿其法線方向向右上方平行移動時，參變量S的值由S0逐步增大。當等值線平行移動到可行域的最后一個點B時，S達到最大值。此時由線性方程組可解得B的坐標（2，3），故目標函數的最大值S=19。

對于二維的線性規劃圖解法，我們很容易在直角坐標系中實現，很容易在教學上演示，但當線性規劃提升至三維乃至更高維空間以后，一些簡單直觀的操作就變得復雜起來，為了更好的研究和演示三維LP圖解算法，需要分析圖解算法的數學本質，使用精確的數學語言而非自然語言來描述圖解算法。

3、三維線性規劃圖解法

三維LP圖解算法在步驟上與二維的相似，但在細節上較為復雜，它的具體步驟可以簡述為：

3.1求出并繪制可行域

根據線性規劃的基本理論，一個n維空間中線性不等式組的解集一定是個凸多面體（polyhedron）。特別的，如果線性不等式組的解集有界（即對任意的目標系數向量■，有■），那么該不等式組的解集是一個多胞形（polytope）。由于圖解法的特殊性和局限性，在LP圖解法中，我們主要求解的是后者。

N維空間多胞形的定義：Q是n維空間Rn中的多胞形，當且僅當Q是Rn中有限點集的凸包，i.e. ■。

在二維平面上的圖解法中，繪制可行域其實就是繪制了這個多胞形（限制在二維空間中為多邊形）。而繪制多胞形所必需的信息即該多胞形的全部頂點。雖然，在理論上我們已經知道有界不等式系統和多胞形的等價性，但是這個定理的證明本身并沒有提供計算多胞形全部頂點的算法。而Danzig所提出的單純形算法理論，提供了求解這些頂點坐標的理論工具。基于多面體頂點的基本定義，可以簡單的得到結論：多胞形的頂點一一對應于任一定義在這個多胞形上線性規劃的基本可行解。即：

求解給定線性不等式組對應多胞形的頂點問題等價于求解該多面體上線性規劃基本可行解。

基于這個結論，可以得到如下多項式時間的多胞形頂點坐標求解算法：

Step1：對于給定的線性不等式組Ax≤b，考慮其增廣矩陣，選取一組極大線性無關行向量組得到與原不等式組等價的不等式組■；

Step2：選取■全部的極大線性無關列向量組，對■的每一個極大線性無關列向量組■，其實是一個滿秩的方陣，■即可求得一個基本可行解，即一個頂點的坐標。遍歷所有這樣的■，就可以求得全部頂點的坐標。

3.2找出目標函數下降（上升）方向，并以此為法方向繪制一條與可行域交集非空的初始等值線

目標函數的下降（上升）方向甚至是梯度方向都是容易求解的，因為目標函數的梯度正是目標系數向量。但是尋找初始與可行域交集非空的等值線則是一件復雜的事情。事實上，初始等值線的選取問題等價于如下問題：

找到■，使得線性不等式組{Ax≤b，cx=c0}解集非空，即尋找一個原線性規劃的初始可行解。在運籌學中，兩階段法是用來構造求解初始可行解的常用手法。兩階段法簡要如下：

Step1：將線性不等式組Ax≤b化成標準型中的等式組，每一個不等式添加非負的一個人工松弛變量變量；

Step2：構造新的目標函數，及最小化人工變量之和；

Step3：求解該線性規劃，如求得的最優解的目標函數值為0，則該最優解為原問題的可行解；如目標函數值大于0，則原問題無可行解。

在求得初始可行解x0以后，即可選取cx=cx0為初始等值面。

3.3沿目標函數下降（上升）方向平移等值線（面），直至邊界

在該步驟中，主要的難點在于如何判定等值面是否到達邊界。一方面，由于移動的是等值面，故在圖解算法過程中并不記錄當前可行解的信息，所以單純形算法所使用的檢驗系數判定方法難以奏效。另一方面，圖解算法的移動行為非常近似于使用連續優化技巧的線性規劃內點算法，所以三維圖解法的邊界判定算法可以借鑒連續優化的判定方法。

在連續優化中，通常并不嚴格計算一個點是否落在可行域邊界上，而是通過完成判定是否落在可行域內，然后通過線搜索算法逐漸逼近最值點或邊界點。對應到線性規劃問題上，其實就是求解如下判定問題：

給定任意■，判斷線性不等式組{Ax≤b，cx≤c0}解集上是否為空。

線性不等式組的解存在問題可以借助Farks引理來轉換成線性等式組來處理。

Farks引理：令A是一個矩陣，b是一個向量。那么線性不等式組Ax≤b有解，當且僅當對于所有滿足yA=0的行向量y，有yb≥0。

事實上，這里就相當于求解出yA=0的全部基本可行解，并逐一判斷是否滿足yb≥0。

到此為止，已經把LP圖解法中每一個子問題推廣到n維空間中（自然包括三維），并對每一個子問題給出了求解算法，藉此擺脫了原LP圖解法的直觀經驗性描述而將其上升至了具有一般意義的數學算法。

三維LP圖解法的演示算法的改進

這一章節主要研究三維LP圖解的演示動畫實現算法。對于動畫演示，重點是體現等值面從初始位置連續移動至可行域邊界的過程。由于在演示動畫中，并不會顯示具體的算法，所以為了提升算法的運算速度，我們可以對上文中的圖解算法進行簡化和改進。

仔細分析上文中的圖解算法，發現初始等值面的選取（兩階段法的第一階段）以及邊界判定（不等式組解集是否為空）的計算量都至少等于一次同等規模的線性規劃算法的計算量，對于動畫演示來說，其實有相當一部分的運算是無意義的，所以針對動畫演算，采取如下簡化算法：

Step1：繪制可行域；

Step2：初始點選取。以-c為目標系數，求解線性規劃，以求得的最優值作為初始等值面；

Step3：計算移動終止位置。以c為目標系數，求解線性規劃，以求得的最優值作為等值面終止位置。

Step4：從初始位置開始，直至終止位置連續繪制等值面移動動畫。

這樣在整個過程中，step2和step3的運算量就壓縮到了兩次同規模線性規劃算法的運算量，經過實驗對比，在不改變動畫演示效果的同時，可以極大地加快程序的運行速度。

基于MATLAB三維LP圖解法演示系統的仿真與實現

借助MATLAB GUI設計并實現交互式的三維LP圖解法演示系統。

首先，使用edit控件設計了參數讀入界面。在演示系統中，我們默認的是考慮極大化問題，且可行域限制在第一卦限，即■。并且出于簡化考慮，僅考慮三個變量和三個線性不等式約束。

在讀入線性不等式以后，求出全部基本可行解，即求得可行域多胞形全部頂點坐標，通過MATLAB圖形學工具箱自帶的convhull，通過頂點坐標計算得到多胞形全部側面的數據，再使用mergeCoplanarFaces函數，將共面的全部小多邊形合并成大的側面，最終完成可行區域的繪制。

等值面移動動畫通過以下方法完成，對于處于最小值和最大值中間狀態的任意一個等值面cx=c0，將可行域分割成兩個部分{ax≤b，cx≥c0}以及{ax≤b，cx≤c0}兩個相鄰接的多面體，用不同的顏色繪制，以此標注等值面。

最后通過drawnow和pause命令生成動畫，并實時顯示當前可行解及其對應的目標函數值，當動畫停止時所顯示的即為最優解和最優值。

在此基礎上，通過改變線性規劃約束中的系數我們可以實現三維線性規劃圖解法的動態展示。

總結與展望

本文在掌握了二維線性規劃圖解法的基本原理、方法和步驟的基礎上，對多維線性規劃問題圖解法的實現進行了理論分析，并且對三維線性規劃的圖解法利用MATLAB編程，編制了仿真模擬軟件。該程序可以實現對三維LP模型中各參數在一定范圍內的靈活設置，將三維線性規劃問題優化的整個過程通過動態效果展示，界面編排合理，使用靈活方便，作為輔助教學軟件能夠使學生對線性規劃問題的性質有更深的理解。同時基于對多維線性規劃問題實質的分析，在三維圖解法程序的基礎上我們也很容易擴展到三維以上線性規劃問題的圖解法仿真模擬，未來的研究工作可以考慮設計一個通用程序，通過自由設置問題優化空間的維數實現各維數線性規劃問題圖解法的動態效果展示。

參考文獻：

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關鍵詞：輕鋼結構；優化設計；優化方法

1 優化設計的基本概念

優化設計是根據既定的結構類型和形式、工況、材料和規范所規定的各種約束條件，例如強度、剛度，穩定、頻率、尺寸以至結構構件許用的離散集等等，提出優化的數學模型（目標函數，約束條件，設計變量）。其模式是根據優化設計的理論和方法求解優化模型，最后達到材料的合理分配，使結構設計滿足經濟與安全性的要求。結構優化的過程大致可歸納為：假定-分析-搜索-最優設計四個階段。其中的搜索過程是修改并優化的過程。它首先判斷設計方案是否達到最優（包括滿足各種給定的條件），如若不是，則按某種規則進行修改，以求逐步達到預定的最優指標。優化設計的過程如圖1所示。

2 輕鋼結構優化設計數學模型

2.1設計變量

輕鋼結構的主要幾何參數如跨度、檐口高、屋面坡度、縱向柱間距等通常由業主或建筑師確定。可供優化的變量主要是截面參數，鋼板的厚度是離散變量，腹板和翼緣的高（寬）一般也是從一系列有規律的數中選取，因此輕鋼結構的設計變量通常是離散變量。

2.2目標函數

結構重量是輕鋼結構優化設計的重要指標，是較易寫成設計變量的函數形式，故輕鋼結構通常以用鋼量最少為優化目標。

2.3約束條件

2.3.1構造約束。它包括基本變量的限界約束和根據門式剛架建造的習慣而規定的。如所有截面的腹板高度都必須大于翼緣寬度，所有截面的翼緣厚度必須比腹板厚度大2 mm以上等的幾何約束。

2.3.2性能約束。輕型門式剛架通常按平面結構分析內力，用有限元法計算，不考慮蒙皮效應。構件設計需考慮翼緣、腹板的最大寬厚比和屈曲后強度的利用，變截面柱的平面內外的穩定性以及輕鋼房屋的撓度和側移限值等。

3 結構優化方法簡介

3.1數學規劃法

將結構優化問題抽象成數學規劃形式來求解。結構優化中常用的數學規劃方法是非線性規劃，有時也用線性規劃，特殊情況可能用到動態規劃、幾何規劃、整數規劃或隨機規劃等。

3.1.1線性規劃。當目標函數和約束方程都是設計變量的線性函數時，稱為線性規劃問題，該類問題的解法比較成熟。

3.1.2非線性規劃。當目標函數或約束方程為設計變量的非線性函數時，稱為非線性規劃。結構優化設計多為有約束的非線性規劃問題。這類問題較線性規劃問題復雜得多，難度較大。目前采用的方法大致有以下幾種類型：不作轉換但需求導數的分析方法，如梯度投影法、可行方向法等；不作轉換也不需求導數的直接搜索方法，如復形法：采用線性規劃來逐次逼近，如序列線性規劃法；轉換為無約束極值問題求解，如罰函數法、乘子法等。

3.2最優準則法

這是根據工程經驗，力學概念以及數學規劃的最優性條件，預先建立某種準則，通過相應的迭代方法，獲得滿足這一準則的設計方案，作為問題的最優解或近似最優解。最簡單的準則法有同步失效準則法和滿應力準則法。

3.2.1同步失效準則法。可概括為在荷載作用下，能使所有可能發生的破壞模式同時實現的結構是最優的結構。同步失效準則設計有許多明顯的缺點：由于要用解析表達式進行代數運算，故只能用來處理非常簡單的元件優化；當約束數大于設計變量數時，必須設法確定那些破壞模式應當同時發生才給出最優設計，這是一件十分困難的工作；當約束數和設計變量數相等時，并不能保證求得的解是最優解。

3.2.2滿應力準則法。該法認為充分發揮材料強度的潛力，可以算是結構優化的一個標志，以桿件滿應力作為優化設計的準則。這一方法在桿件系統如桁架的優化設計中用得較多。在此基礎上又發展了與射線步結合的齒行法以及框架等復雜結構的滿應力設計。

3.3仿生學方法

該法是從自然界的結構、組織、發展、進化（尤其是生物進化）觀點進行研究，尋找規律，用邏輯和數學的方法進行模擬，以搜尋最優解的方法。目前，模擬自然界進化的算法有模仿自然界過程算法與模仿自然界結構算法，主要包括：進化算法（EA），模擬退火法（SA），人工神經網絡算法（ANN）。進化算法主要包括：遺傳算法（GA）、遺傳規劃（GP）、進化策略（ES）、進化規劃（EP），其中以遺傳算法最具代表性。

4 滿應力設計

滿應力設計是結構優化的各種算法中最簡單、最易為工程技術人員接受的一種算法。其基本涵義是：結構每一構件的應力，至少在某一工況下達到材料的允許應力。滿應力設計中，目標函數并不出現，這種尋求一個滿足某種準則的設計，暫且不管目標函數的做法是準則法沒計的基本特點。輕鋼結構的優化變量如截面參數等多屬于離散變量，只能取某些離散值，屬于離散變量的結構優化問題。該類問題可先作連續變量處理，然后將其圓整到離散值。如可先采用上述的滿應力設計求得最優解，然后在離散集內找到與其最相近且滿足約束條件的解作為最終的優化解，也可直接采用基于離散變量的結構優化方法對其求解。下面對后一種方法作具體的介紹。

以截面面積作為設計變量，其分量在設計空間中組成離散空間，由于輕鋼結構可選的截面（截面庫）是有限的，所以離散設計空間是有界的。將截面面積按從小到大的順序排列：

其中S為截面離散集；n為設計變量數；?為截面可取值個數。離散變量滿應力設計的主要過程如圖2。

4.1給定一個初始設計方案，即初始面積

4.2進行結構分析，求出各構件在各工況下的最不利應力，即：

式中： 表示第i個構件的第k次迭代， 為第i個構件在第j個工況下第k次迭代時的最嚴控制應力（強度、穩定、抗剪應力中的最大值）。

4.3如果最不利應力小于設計強度，則將截面取為截面離散集中的前一個值，重新計算最不利應力，直到滿足為止；否則，如果最不利應力大于設計強度，則將截面取為截面離散集中的后一個值，重新計算最不利應力，直到滿足為止。

4.4當構件面積Ai不再變化時迭代終止。由于構件的面積與其在截面離散集中的序號ki一一對應，故終止條件即為：

4.5若上式不滿足則轉向（2）

5 結 論

滿應力法的缺點很明顯。滿應力設計沒有直接與目標函數相聯系，設計的結果不能保證結構重量是最輕的。其次，滿應力設計的結果不是唯一的。對于超靜定結構，如果設計變量沒有界限約束，滿應力設計結果可能退化成若干種靜定結構。對于只受應力約束的結構優化問題，人們還是非常樂意采用它。國內外很多有實用意義的優化工作成果是用滿應力法得到的。實際中，許多工程優化問題受到的不僅僅是應力約束，還有位移和頻率約束。此時，可以將滿應力約束用應力比法處理，其它約束則采用更為復雜的準則或數學規劃的方法來處理，這樣可以取得更優的方案。

參考文獻：

[1]蔡新，郭興文，張旭明.工程結構優化設計[M].中國水利水電出版社.

篇6

關鍵詞：最優化理論；數學；建模

一、在體現數學應用的方式中，數學建模是不可忽視的一種

所謂數學建模，指的是以數學語言為工具，對實際現象進行描述的過程。在這一過程中，要以“建”為中心，使學生的創造性思維在“建”的過程中被激發出來。可以建立不同的實際模型來對同一個問題進行解決，從而可以得到不同的“最優解”，所以說，模型的獨特之處是建立模型的關鍵，在數學模型中沒有最好，只有更好。

以下是數學模型建立的大致步驟：

第一、模型準備。對問題的實際背景進行了解，使建模的目的得到明確，從而使必要的數據資料被收集、掌握到。

第二、模型假設。提出假設，這些假設必須與客觀實際相符合。

第三、模型建立。進行相應的數學模型的建立，以實際問題的特征為依據，決定使用的數學結構、數學工具的類型。通常，以能夠達到預期的目的為前提，選擇的越簡單的數學工具進行建模越好。

第四、模型求解。模型建立者需要對上述過程中獲取的數據資料進行利用，計算模型中的參數，對模型進行求解。在必要時，可以使用計算機為輔助工具。

第五、模型分析、檢驗。對模型的結果在數學分析的基礎上與實際情形進行比較，從而對模型的合理性、準確性、適用性進行驗證。如果吻合，則進行解釋、應用，如果不吻合，則修改、重建。

現實中的問題是錯綜復雜的，必然的因果關系與偶然的因果關系都存在其中，所以，我們必須將主要原因從雜亂無章的現象中尋找出來，對變量進行確定，并使變量之間的內在聯系顯現出來。

二、以最優化理論看待數學建模

數學建模的關鍵在于一個“建”字，但一旦數學模型建立起來之后，對于它的求解就顯得很重要了。一般的數學模型所涉及的問題都是一個最優化問題，即在一些約束的條件下，如何使得模型的解達到最優？一般的數學模型中抽象出來的最優化問題具有如下的形式：

min　f（X）

s. t.　AX≥b.

這種問題根據目標函數和約束函數的特點可分為很多類，都是運籌學的分支，如線性規劃、非線性規劃、圖論、目標規劃、動態規劃問題等等。無論怎樣，如果一個數學模型不能用初等的數學理論解決，也不能用常微分方程理論解決的話，那它一定就是用最優化的理論來解決。

最優化理論廣泛地應用于管理科學、科學技術和生活實踐中，而線性規劃問題因為有普遍適用的單純形法，故而其理論和應用都非常完善。所以目前研究較多的當屬非線性規劃理論和其它的優化問題。類似于高等數學中一切非線性的函數都盡量對它進行局部線性化的思想使問題簡單化，非線性規劃問題求解的總體思想也是如此。盡量將非線性規劃問題局部線性化來解決。

下面我們再看一個用匈牙利算法求解指派問題的例子。

例：有甲、乙、丙、丁四人完成A、B、C、D四項任務，他們完成各項任務的時間見右表，問應如何安排，使所需總時間最少？ 

A

B

C

D

甲

2

15

13

4

乙

10

4

14

15

丙

9

14

16

13

丁

7

8

11

9

這類問題一建立模型后，我們應清楚地知道我們遇到了一個指派問題，而求解指派問題的最簡單的方法就是匈牙利算法。否則，若不能認識到這一點，用一般的方法建立模型求解，可能會用到求解整數規劃的分枝定界法或是求解0-1規劃的隱枚舉法，那都將是很復雜的。下面我們用匈牙利算法求解：

這樣很快得到最優的安排是甲D、乙B、丙A、丁C。

以上通過兩個簡單的例子，我們討論了求解數學模型的簡單方法。數學建模的“建”完成之后，關鍵一步就是模型的求解，而最優化理論的掌握程度，是否具有厚、博、精的優化理論知識對能否完整地求解此模型起到了非常重要的作用。

綜上所述，在數學建模和最優化理論之間，二者是相輔相成的關系。生活和實踐是數學模型的源泉，在實際生活中，模型將會隨著層見疊出的問題而越來越龐大、越來越復雜，因而，最優化理論的發展會不斷地在模型的建立過程中挑戰、發展。從另外一個角度看，在這個不斷得到豐富、完善的最優化理論的影響下，數學模型的求解也會得到不斷地促進而越來越優化，為實際問題的發展帶來突破性。

參考文獻：

[1] 高德寶：數學模型在最優化方法中的應用綜述 [J]. 牡丹江教育學院學報，2008，（04） .

[2] 周義倉：數學建摸實驗 [M].西安：西安交通大學出版社

篇7

【關鍵詞】配電網規劃；優化方法；分析

配電網規劃的數學規劃方法包括確定性方法和不確定性方法。其中，確定性方法又包括線性規劃法、非線性規劃法、動態規劃法、網流規劃法，而不確定方法有模糊規劃法、場景分析法、風險度估計法等。配電網規劃的啟發式方法包括傳統啟發式方法、啟發式專家系統和現代啟發式方法。

1.配電網數學規劃優化方法

（1）線性規劃法。在眾多的數學規劃方法中，線性規劃法是研究最早，也是最為成熟的一種數學優化方法，它在配電網規劃中的應用幾乎涵蓋了配電網規劃早、中期的所有研究。線性規劃法又分為運輸模型、線性規劃、整數規劃、混合整數規劃等。運輸模型是最為簡單的一種線性規劃法。由于模型簡單，其求解算法也最為有力。然而，運輸模型的一個嚴重缺陷是運輸費用必須嚴格表達為線性化費用，而用嚴格線性化費用模型來代替實際的非線性化費用模型是不準確的。運輸模型另一個嚴重缺陷是它不滿足電網運行的許多約束條件。不帶整數變量的線性規劃是傳統的、狹義的線性規劃法。它的模型雖然較運輸模型復雜，但其求解算法也比較成熟。

無論是采用線性規劃的運輸模型還是不帶整數受量的純線性規劃模型，都無法考慮到配電網規劃的離散性，而整數規劃則彌補了這方面的缺陷。在求解整數規劃問題時，由于整數規劃的離散特征，解的數目是有限的，并且隨整數約束變量數目的增加而呈組合性的增加，因此，通過顯式的方法枚舉所有解的方案通常是不現實的。整數規劃的常用方法是分文定界法，它是一種把隱式枚舉和顯式枚舉有效結合起來的整數規劃方法，它的有效性依賴于它的枚舉邏輯的有效性。

（2）不確定性規劃。目前，在配電網規劃中考慮不確定性主要有三種方法。第一種方法是采用模糊數學理論。對配電網規劃問題建立了相應的模糊線性規劃模型，并相應發展了直流模糊潮流和交流模糊潮流。建立了以模糊供電總成本最小為優化目標，通過計算電網故障狀態下的模糊電量不足期望值計算模糊缺電成本，最后利用遺傳算法產生動態優化解。采用盲數模型在合理的考慮多種不確定信息基礎上進行了電網規劃，達到了理想效果。第二種方法是場景分析法。場景分析法并不直接對配電網規劃中的不確定性因素進行建模，而是將未來規劃年的環境預想為多種可能的確定性場景，然后在不同的場景下進行確定性的常規配電網規劃，考慮對各種場景都具有較高適應性的配電網規劃方案為最優的柔性方案；第三種方法是風險評估法。這種方法是通過對可能出現的不確定性情形進行評估和考慮，確定各個方案的風險率，然后進行確定性的電網規劃，從而得到最優的柔性擴展方案。

2.配電網啟發式規劃優化方法

以上分析了數學規劃方法在配電網規劃中的應用，可以發現，非線性規劃方法的局限性使得建立在非線性費用函數和非線性約束條件上的配電網規劃模型往往得不到有效的解，而混合整數線性規劃模型既彌補了運輸模型和不帶整數變量的純線性規劃模型過于簡化的特點，又避免了非線性規劃的“非魯棒性”，因而成為求解配電網規劃問題較理想的數學規劃方法。但是，即使是這種最為理想的數學規劃方法，當進行實際的配電網規劃時，由于變量的數目和約束條件很多，也會變得非常因難，更不用說再在配電網規劃中加入其他方面的考慮，如不確定性因素等。針對以上數學規劃方法的不足，啟發式算法的特點就更為突出，它綜合考慮了規劃效率和規劃效果兩個指標。在實踐過程中，許多啟發式方法，特別是現代啟發式方法常常能給出令人滿意的、高質量的解。啟發式方法的優點是直觀、靈活、計算速度快，便于規劃人員在規劃過程中參與具體的決策，通過規劃人員過去的經驗和常用的配電網規劃啟發式規則，并借助于數學規劃方法，得出符合工程實際的規劃方案。

（1）傳統的啟發式方法。傳統的啟發式方法通常基于系統某一性能指標對可行性路徑上線路參數的靈敏度，根據一定的原則，逐步選代直到得到滿足要求的方案為止。這種方法在配電網規劃中的應用主要是結合“支路交換”技術進行的。所謂支路交換是指：對輻射狀配電網，通過添加—條支路來形成一個環，然后斷開另一條支路以恢復其輻射狀網絡結構。重復該過程，直到任意支路交換均不能使目標函數減小為止。

（2）專家式啟發方法。啟發式專家系統可以看作是傳統啟發式方法的發展，它與傳統啟發式方法的區別是在規劃過程中引入了規劃專家的經驗，并便于規劃人員參與到具體的規劃決策中去。值得指出的是，專家系統不是用來代替規劃人員的，而是利用存放在知識庫中的知識和數據庫中的基礎數據，并通過推理機的推理，給規劃人員提供相對較優的規劃方案，而最終的規劃方案的選擇是由規劃人員作出的。

（3）現代啟發式方法。現代啟發式方法是一種通用的優化算法。它的另外一個重要特點是所有這些方法均能實現并行計算。由于現代啟發式方法在求解組合最優問題時表現出的卓越性能，在過去的20年中，它受到前所未有的關注。然而，現代啟發式方法也有其不足之處，它在處理具體問題的約束條件時，雖然采用懲罰函數的方法把約束條件加到目標函數中去，但是在如何選擇合適的懲罰函數方面，它往往缺少有效的手段。另外一個不容忽視的缺點是，當配電網節點比較多時，不可避免的會出現“維數災”問題。

3.結論

綜上所述，在配電網架優化規劃的各種方法中，總的來講可以分為數學規劃和啟發式算法兩大類。但是，即使對于最理想的數學規劃方法，由于配電網規劃中變量的數目和約束條件很多，使用該類方法變得非常因難，更不用說再在配電網規劃中加入其他方面的考慮，如不確定性因素等。而啟發式算法又分為傳統啟發式方法、專家式啟發方法和現代啟發式方法的算法。傳統的啟發式方法具有較高的計算效率，但是容易陷入局部最優解；專家式啟發方法目前還不成熟，有待進一步研究。 一方面，從表面上看，對于規劃問題計算效率似乎并不重要，但是配電網規劃中負荷點眾多，若使用輸電網規劃方法或遺傳算法等方法，不可避免地會遇到“維數災”問題。更重要的是，實際上任何一種優化規劃方法都是在規劃工程師根據經驗確定了設計思路和限制因素的情況下開展的，規劃工程師需要根據所得結果不斷調整設計思路和限制條件。因此電網規劃實際上是一種人機交互式的設計過程，人的藝術性和經驗性在其中起到了很大的作用，優化規劃方法僅僅是針對設計師各種思路的輔助工具。因此要求優化規劃算法具有較高的計算效率，以便能夠對設計師眾多的設計思路和調整方案產生較快的響應。另一方面，實踐經驗表明：對于配電網架規劃問題，盡管存在大量局部最優解，但是大部分局部最優解與全局最優解的指標相差不大，作為工程近似最優解完全可行。

參考文獻

篇8

【關鍵詞】高中數學；課堂教學；簡約化；應用

自新課標的推廣與實施，高中數學教學發生的巨大的變化，越來越多的多媒體設施涌現課堂，情景教學、小組合作、數學探究等各式各樣的教學方式出現在課堂上，以前簡單的課堂變得復雜熱鬧，但教學效果卻往往不能夠令人滿意.多樣式的課堂教學的確能夠調動學生學習的積極性，體現學生在課堂上的主體地位，但是，過于精細的教學方式易產生事倍功半的效果，為此，簡約化的課堂教學理念逐漸得到了廣大教學人員的青睞與推崇.

1.簡明實用的教學目標

合理的教學目標的設立是一堂課成功的關鍵.新課標將知識和技能、方法和過程做為教學重點，并且注重情感態度和價值觀的培養.但在教學實踐中，教師往往過于強調這三項目標的全面實現，在設立教學目標時，將這三條統統列入其中，忽視了課堂只有短短的45分鐘時間，學生根本無法完全吸收理解，以致增加學生的心理負擔，降低了課堂教學效率.例如在學習《二元一次不等式（組）與簡單的線性規劃問題》時，某教師設定了以下課堂教學目標：

第一，知識與技能：了解二元一次不等式（組）的基本概念，熟練掌握運用平面區域畫二元一次不等式（組）的方法與技巧；了解線性規劃的基本含義、約束條件以及線性目標函數、可行域、可行解和最優解的概念；能夠掌握并利用圖解法求線性目標函數的最大值、最小值和最優解.

第二，過程與方法：將簡單的線性規劃問題運用于實際生活中，提高學生的數學應用能力和建模能力；在學習探究中使學生體會到數學活動的探索性和創造性，鍛煉學生的數據分析能力、探索能力及規劃能力.

第三，情感與價值：在利用圖解法解題時，能夠使學生體會線性規劃的基本思想，培養學生的數形結合思想能力和數學應用思維，令學生體驗到數學的來源于生活并能服務于生活的特點.

以上三個教學目標的設立十分全面，涵蓋了二元一次二元一次方程組及線性規劃的各方面內容，但是，在課堂短短45分鐘的時間內是很難完成這樣的教學目標.在課堂教學中，復雜繁瑣的教學目標不僅無法培養學生的學習合作能力，還限制了學生對知識的深度理解.因此，只有簡約的教學目標制定，才能夠真正培養學生在課堂上的學習與探索知識的能力，提升學生學習的主觀能動性，令學生在寶貴的數學課堂中有所收獲.

2.簡練的教學環節

根據新課標的要求，高中數學教師在進行課堂教學時，要特別強調學的生成性并及時捕捉學生的生成性教學資源進行教學，進而使課堂教學充滿活力.教學環節身為課堂教學的主體，更應強調課堂教學的生成性，教學人員要善于改進傳統教學中的流水式教學，改為板塊式教學，令學生有更多的自我思考空間.例如在學習《函數概念和基本初等函數》時，可根據教學板塊的綜合性、開放性和相對獨立性，將函數的講解分為兩個單元：第一單元的“函數的單調性及其簡單應用”，第二單元是“函數的奇偶性、周期性、對稱性”，這兩個單元都具備一定的綜合性，但各自又有相對獨立的主題.與傳統的一節課學習一個函數性質相比，板塊式的教學將課堂教學環節變得簡練明了，更利于學生系統的理解各個函數的性質，掌握課堂知識，同時也授予了學生快速而有效的學習方法.

3.靈活的進行課堂取舍

部分教師在進行課堂教學時，將課本中的所有知識點都一一為學生進行講解，每一題的解題方法都要進行細致的分析，時刻追求面面俱到的教學解析.這種授課方式是對教學時間的浪費并影響課堂教學目標的達成.因此，教師應對教材進行大膽取舍，根據學生的基礎知識掌握情況，有針對性的進行教學講解，簡明教學內容，減輕學生的課堂學習負擔.例如在學習“圓錐曲線”這一章節時，大多數學生只需要掌握以下幾點解題思路和方法即可：

第一，在掌握圓錐曲線的幾何定義和準線定義的基礎上，能夠運用“數形結合”思想和代數思想進行幾何解析和定量求解.第二，靈活的運用圓錐曲線的普通方程式解出線段到線段、點到線段、兩條線的夾角等問題.第三，利用圓錐曲線的參數方程輔助解題.第四，在求解立體幾何的問題時，掌握將立體幾何的問題轉化為平面幾何的問題來進行求解的技巧.

一般情況下，學生熟練掌握以上四點便可進入下一章節的學習.簡約的課堂教學就是要求學生著重把握要點和重點，要求教師對教學內容進行整理、提煉，對課本中的知識點進行大膽的取舍，挑選出其“精華”.同時這種教學策略也迎合了高中學生的學習模式，有利于高三的系統、有重點的復習原則.

4.結 語

簡約高效的教學策略需要教師擁有先進的教學理念和靈活的教學方式，需要教師在教學時多進行反思和總結，不斷創新教學方法，能夠將復雜的數學知識變得簡單，提高學生學習數學的興趣，提升高中數學教學的質量，令高中數學教學煥發出獨特魅力.

【參考文獻】

[1]許金生.淺談高中數學教學中簡約化策略的應用[J].文理導航（中旬），2014（11）：29.

篇9

實施過程要探索數學知識聯系專業內容講授的途徑和策略,以及數學課程專業化這種授課形式對培養中職學生數學應用能力和數學情感的功能與價值。根據上述目的,筆者以所在學校的會計專業數學課為例進行如下幾方面實施。

1.1根據會計專業需求,對數學教學內容作適當調整

調整主要在兩方面。一方面是把專業里根本無需求且難度較大的數學內容刪減或降低學習要求。如,不等式一章刪去不等式的證明,數列一章降低數列的通項求法的要求等;另一方面是根據專業需求適當補充數學學習內容,如:函數一章補充用求導法求函數最值,數列一章增加數列在經濟學中的應用,概率與統計初步一章補充數據收集的基本方法和數據的整理及計算器在統計中的應用,另外增加簡單的線性規劃一章的學習等。

1.2確定主要結合點

根據本學期要完成的數學教學內容,與專業老師一起,初步確定了六個主要的數學與專業結合點,具體為:(1)數列與《財務管理》中的貨幣時間價值結合。比如,可借助《財務管理》中的貨幣時間價值一章中“復利、單利、普通年金現值、普通年金終值、即付年金現值、即付年金終值”的概念介紹等比數列的通項公式、求和公式在專業領域里的應用,通過具體實例(如銀行儲蓄,人口增長等),使學生理解這些等比數列模型在專業領域里的作用,培養學生利用數學知識結合專業角度解決分析實際問題的能力。(2)線性規劃問題與《管理會計》中的產品生產線性規劃決策結合。可借助《管理會計》中的對產品生產中線性規劃決策一內容的介紹引申歸納成一般的簡單線性規劃問題。(3)函數的性質與《管理會計》中的成本函數相結合。比如,研究一元二次函數的性質時可結合成本函數中的邊際成本及平均成本的圖像進行分析。(4)求導與《投資項目評估》里非線性盈虧平衡分析中的最大利潤結合。(5)概率、期望值與《財務管理》中盈虧分析法結合。比如借助學生《財務管理》這一門專業課里收益期望值和損失期望值的概念引出數學里期望的概念。60標準離差率與《管理會計》中的風險報酬率、風險價值結合。

1.3確定教學模式

根據每個結合點的數學內容與專業內容的特點,對每個結合點的教學過程又設計了三種教學模式:第一種是案例課模式。即給出一個專業案例,圍繞解決此案例時所涉及的數學知識進行學習。其詳細的教學實施程序為:復習相關知識,創設遷移條件——運用多媒體介紹專業案例——結合專業案例講解有關理論——運用所學理論解決實際問題——通過小結使所學知識系統化。此模式適用于基本概念、基本原理較多、理論性較強的教學內容,所以可用于上述第5、6個結合點的教學。例如,在學習了離散性隨機變量的期望、標準離差等概念之后,我借助學生《財務管理》教材里的這一例子,幫助學生理解數學概念并感受其專業應用:長江公司擬進行一項固定資產投資,原始投資1000萬元。根據市場調研,預計收益及概率如表1所示。該投資項目的風險系數γ為0.4,無風險報酬率為10%。[3]那么從風險與收益角度計算分析,該項固定資產投資的可行性如何呢？引導學生按照如下步驟進行計算分析:(1)計算預期收益的期望值。X=400×0.2+250×0.6+100×0.2=250(萬元)(2)計算預期收益的標準離差(δ)和標準離差率(ρ)。通過此案例,可以告知學生,此處的前兩個步驟正是數學里的期望值、標準(離)差的計算方法,而后面三個步驟就是它們在專業領域里的實際應用了。第二種是專業角色扮演課模式。這是一種模擬實際情景進行數學知識學習的上課模式。實踐中感覺,此模式適用于理論性不太強,易于用舊知推出新知的知識,所以適用于上述第1～4個結合點的教學。下面展示一次課堂實踐的片斷小結這種模式的操作步驟。(1)出示待完成的任務。某超市擬訂某商品1、2、3月份某食品的日進貨計劃(規定每天的進貨量要一樣)。該商品進貨成本每箱60元,銷售價格為110元,即當天能賣出去每箱可獲利50元,但如果當天賣不出去,剩余一箱就要由于保管費及其他原因虧損20元。現市場需求情況尚不清楚,但有前兩年同期180天的日銷售資料(見表2),請大家確定一個方案,看怎樣擬定日進貨計劃才能使利潤最大？[4](2)分組:每四人一組,分別扮演主管、會計、制單、審核四種角色。(3)介紹四種角色的專業功能,并把這些功能借用到解數學題的過程中。主管:統領組內其他成員,將總任務細分成小任務,并合理分配到每個組員,對方案做出結論。會計:負責任務里的演算工作。制單:負責任務里的表格制作工作。審核:負責核對數據的正誤。(4)任務實施過程。主管帶領組員確定解決本任務的關鍵—如何計算商品利潤,確定需要編制一個不同進貨方案的條件收益表,并按照角色的專業功能分配任務:①制單完成:根據每天可能的日銷售量,編制不同進貨方案的條件收益表(見表3)。②會計完成:計算各個進貨方案的期望利潤值。各個方案的期望利潤是在上表的基礎上,將每個方案在不同自然狀態下的利潤值乘以該自然狀態發生的概率值之和。分別算出進貨50箱、60箱、70箱、方案80箱的期望利潤,補充完善表格（見表4)。③審核完成:檢查上述數據的正誤。④主管完成:決策選擇。讓每個小組的扮演主管角色的同學上臺陳述決策及理由。這樣的角色扮演可以定期進行輪換。通過分工合作,模擬職業工作特色,使學生淺嘗財務工作的過程,通過對職業工作過程“學”的過程,獲取自我構件的隱性主觀知識——過程知識,這樣學生的專業意識及專業情感也就自然而然地由此而生了。第三種是合作教學模式。這是一種希望在一次課堂里讓兩位老師合作授課,自然穿插教學內容,使數學內容與專業知識相得益彰,融會貫通的課堂嘗試。具體操作是:列出本學年的數學課程與專業課程的結合點——對照數學課程與專業課程的教學進度表并作適當的調整——確定出調整后彼此能同步的知識點——數學老師與專業老師共同寫好教學設計——數學老師與專業老師共同授課。比如,經過對照調整,確定“簡單的線性規劃”能與《管理會計》中的“產品生產中線性規劃決策”的教學進度取得同步,那么就與負責《管理會計》這門專業課的老師磋商兩門內容如何結合教學,確定主講者與輔助教學者,并擬定一份教學設計。下面給出這節課的主要教學過程(本節課的主講為數學老師,專業課老師輔助教學)。(1)引入。企業生產多種產品時,往往受到機器設備、人力資源、原材料供應、市場銷售量等生產能力的限制。一種產品生產量的增加,就會影響到另一種產品生產量的減少。在多種條件限制下,如何合理安排生產量,從而使企業利潤最大化,這就是產品生產中線性規劃決策問題,其解決方法可利用數學課程中的“線性規劃”知識。(2)給出專業案例。南鑫公司生產甲、乙兩種產品,甲產品銷售單價100元,單位變動成本60元;乙產品銷售單價160元,單位變動成本128元。甲乙兩種產品的固定成本相同,有關生產、銷售資料如下圖表5所示。試問甲、乙產品生產量各為多少時,企業利潤最大化？(3)學生思考與討論。兩位老師巡視,參與討論。專業老師此時檢查學生對“企業利潤最大化”這個專業概念的掌握情況,并反饋給數學老師。(4)數學老師根據反饋,從解釋題目所求開始介紹線性規劃里的一系列相關概念:線性目標函數、線性規劃問題、可行解、可行域、最優解。(5)學生閱讀專業課本《管理會計》里的解決過程,兩位老師巡堂指導。(6)數學老師就專業書上的解題過程小結解題步驟。第一步:確定目標函數。即確定利潤最大化的多品種最優生產量組合。第二步:確定影響產品生產的約束條件。第三步:解出符合全部約束條件的多品種生產量組合。第四步:將符合條件的生產量組合計入目標函數,從中選擇最大利潤的生產量組合。（7）數學老師介紹數學課本里的另一解法:做出可行域,運用平移法求出最優解,并與專業課本里解法比較異同與優劣。（8）從數學的角度小結另一解題步驟。第一步:設出未知數,建立目標函數;第二步:列出約束條件并據此畫出可行域;第三步:運用平移法求出最優解。（9）完成數學課本中的習題,兩位老師巡視輔導。這樣的一種整合式教學可以使學生在一節課中獲取兩門課程的知識,讓學生活學活用,邊學邊用,數學知識對專業的作用顯而易見。另外,兩門課的老師都在場,即能及時根據學生的反饋和需求對各自所要教授的知識進行互補,還節省了教學時間,一舉兩得。從實踐結果來看,學生積極性高、教學效果好、專業課的老師對這一嘗試深表歡迎。覺得既能提高學生的專業意識,又能確保專業內容講授時暢通無阻。

2教學策略

篇10

關鍵詞：管網設計；直接及間接優化；設計方法

中圖分類號：S276 文獻標識號：A 文章編號：2306-1499（2013）06-（頁碼）-頁數

目前，對于城市排水管道系統優化設計問題，已開發了一些水力計算程序和優化算法如直接優化法、動態規劃法、遺傳算法等，并在設計過程中得到一定應用，并能顯著提高設計水平和設計效率。下面就排水管網優化方法及特點做一簡要介紹。

1.直接優化設計方法及優缺點

在管線平面布置己定情況下的污水管網各個參數的優化設計，被分為直接優化法和間接優化法。直接優化法是根據排水管道系統性能指標的變化，通過直接對各種方案或可調參數的選擇、計算和比較，來得到最優解或滿意解，它具有直接、直觀和容易驗證的優點。直接優化法主要包括電子表格法和兩相優化法。電子表格法是利用“電子表格”統計數據和分析數據的功能進行管網優化的。它提供了一種啟發式費用估算方法，利用這種方法，用戶可尋找最小費用的設計。兩相優化法是當設計流量確定后，在滿足約束條件的前提下，選取最小流速和最大充滿度進而得到最優管徑和最小坡度，最大限度的降低管道埋深。其算法與人工計算基本相同，即按污水流動方向，先計算支管后計算干管和主干管，通過從上游至下游依次對各設計管段進行計算，繼而完成一條管道及整個管網的計算。

2.間接優化法

間接優化法對其中的某些條件適當取舍，把問題簡化、抽象為容易解決的數學模型，通過計算得出最優解線性規劃法是優化技術中最常用的一種方法。它對于污水管網設計計算模型中的約束條件和目標函數的非線性，分別用它們的一級泰勒展開式代替，將之化為線性規劃問題，用線性規劃的解作為問題的近似解，反復迭代，使迭代點序列逼近非線性規劃的最優解。它的缺點是把管徑當作連續變量來處理，存在計算管徑與市售規格管徑相矛盾的問題。把非線性函樹轉為線性函數，前期準備工作量大，且難以保證結果的計算精度。混合整數規劃法，作為線性規劃法發展形式，克服了線性規劃的部分缺點，可以解出離散的標準管徑，但由于整形變量過多，往往難以求解，從而應用受到限制。

2.1非線性規劃法

非線性規劃法是為了適應排水管道系統優化設計計算模型中目標函數和約束條件的非線性特征而提出來的。它可以優化選擇排水管道的直徑和埋深，以及中途泵站的位置。其假定管徑是離散的，易于對目標函數和約束條件進行敏感性分析。但是該方法極大地限制了目標函數和約束條件的形式。

2.2罰函數離散優化法

罰函數離散優化法將排水工程的特點與罰函數離散思想相聯系，可以排除不合理的設計方案，以管系末端管底標高為全局控制因素，建立與目標函數的可行解對應關系，并通過同時進行整體控制與局部控制的水力計算方法，遍歷目標函數的可行解及局部最優解，從而得到管系的全局最優設計方案。該方法由于對管道系統的各種可行解進行遍歷，在解決大型管網問題時，必然存在運行時間長和內存占用量大的缺點。

2.3動態規劃法

動態規劃法是目前在國內外廣泛應用的排水管道優化設計計算方法。它的基本思想是認為排水管道是一個多階段的決策過程，通過對研究課題劃分階段，尋求最優路線來進行優化設計。它在應用中分為兩支：一支是以各節點埋深做為狀態變量，通過坡度決策進行全方位搜索，其優點是直接利用標準管徑，優化結果與初始解無關，且能控制計算精度，但要求狀態點的埋深間隔很小，使存儲量和計算時間大為增加。為了節省運算時間，引入了逆差動態規劃法。逆差動態規劃法是在動態規劃法的基礎上引入了縮小范圍的迭代過程，可以顯著地減小計算時間和存儲量，但在迭代過程中可能遺漏最優解，而且在復雜地形條件處理跌水，緩坡情況時受到限制。另一支是以管徑為狀態變量，通過流速和充滿度決策進行搜索的動態規劃法。由于標準管徑的數目有限，較以節點埋深為決策變量方法在計算機存儲和計算時間上有顯著優勢。最初的動態規劃對每一管段選取的一組標準管徑中并不全是可行管徑，因此發展出可行管徑法。可行管徑法通過數學分析，對每一管段的管徑采用滿足約束條件的最大和最小管徑及其之間的標準管徑，構成可行管徑集合，進而應用動態規劃計算。可行管徑法使得優化計算精度得以提高，并顯著減少了計算工作量和計算機存儲量。盡管動態規劃法是解決多階段決策問題最優化的一種有效方法，但其狀態變量均應滿足“無后效性”的特點。“無后效性”是指當給定某一階段的狀態時，在以后各階段的行進要不受當前各階段狀態的影響。從前面的分析可知，在排水管道系統設計計算時，前一管段的設計結果將直接影響到后續管段設計參數的選用，無論是利用節點埋深還是管短管徑作為狀態變量，都沒有充足的證據能夠狀態變量的“無后效性”。因此利用動態規劃法求出的污水管道優化設計方案并不一定是真正的最優方案。

3.優化設計的遺傳算法

遺傳算法是近幾年迅速發展起來的一項優化技術，是一種模擬自然界生物進化過程的全局隨機優化算法。遺傳算法借助于生物進化機制與遺傳學原理，按照自然選擇和適者生存的原則，利用簡單的編碼技術和繁殖機制，模擬自然界生物群體優勝劣汰的進化過程，使待優化問題逐步從初始解進化到問題的最優解。簡單易用、靈活方便、通用性強以及隱含并行性等特點使遺傳算法比傳統優化方法具有更大的優越性，為解決復雜系統優化問題提供了一種通用框架，成為解決函數優化、網絡優化、組合優化等許多工程優化問題的重要技術之一。是進化算法的一個重要分枝。利用這一進化理論同樣可以作為排水工程實踐中的尋優方法。應用遺傳算法進行污水管網優化設計的關鍵在于確定合適的編碼方式以及將實際問題的優化目標函數轉換為遺傳算法的個體適應度函數。

目前，遺傳算法與神經網絡的結合越來越受到人們的關注，并且己經形成了一種新穎的遺傳神經網絡研究領域。近年來，該領域的研究非常活躍，并取得了不少成果，這為遺傳神經網絡更為廣泛深入的應用帶來了充滿希望的前景。目前主要的結合方式是將遺傳算法用于神經網絡權值的優化和拓撲結構的設計。用遺傳算法優化神經網絡權值是在網絡結構已經確定的前提下進行的，無需計算梯度信息，遺傳算法就能夠發現神經網絡連接權值的一個接近全局最優的權值集，這使得用遺傳算法優化神經網絡權值對那些大而復雜、誤差梯度信息很難獲取或根本不可用的問題特別具有吸引力。如果神經網絡誤差的梯度信息容易獲取，則把遺傳算法與基于梯度信息的BP算法相結合的方法可以提高權值訓練算法的性能。

4.結語

優化設計系統將設計人員計算量大大降低，把設計人員從查閱圖表的繁雜過程中解脫出來，加快設計進度，與此同時，整個排水管道系統得到了優化設計。研究標明，優化后的排水工程大約可以降低約10%的工程造價。應用各種優化算法進行排水管網的優化設計在實際工程優化設計中有較大的推廣應用潛力，可以為工程設計優化和科學的方案決策提供科學的參考依據，能夠達到節省工程投資和提高設計質量的良好效果。當然，排水管網的優化算法要想被廣大工程技術廣泛接受，一方面需要設計人員勇于嘗試和應用新技術、新方法，另一方面也需要開發出能夠將合適的優化算法和傳統計算方法有效融合在一起的計算機輔助設計軟件，以促進新方法在實際工程設計過程中推廣應用。

參考文獻