一次函數知識點范文

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【關鍵詞】初中數學；函數；教學方法

在初中數學學習階段中，函數部分主要包括了一次函數和二次函數。本文針對一次函數的知識結構和教學方法進行分析。一次函數，用公式表示就是y=kx+b（k≠0）。一次函數不僅在數學的教學中是重要的知識點，而且在日常生活中也得到了非常廣泛的運用。通過對學生進行調查，了解到大部分學生認為一次函數知識的學習較為困難。因此，需要對一次函數的教學特點、教學方法進行分析，旨在能夠有效的提高初中數學函數的教學質量，達到預期的教學效果。

一、注重提高學生的學習興趣

函數是初中數學教學的重要核心內容，其思想方法涉及到方程、求極限、代數式以及幾何等方面的內容，其對于培養學生的邏輯思維能力具有十分重要的作用。對初中一次函數進行教學時，要注重結合生活實例，來對一次函數的知識點進行擴展，這樣有利于極大的提高學生的積極性和學習興趣，并提高一次函數教學的質量和效果。興趣是最好的老師，因此，在教學過程中，教師通過引進生活中的實例，這樣有利于拉近函數與學生的距離，進而引起學生的好奇心和求知欲。另外，教師在引進一次函數的生活實例時，教師運用情境創設法，創造出和一次函數知識點有關的情境，提出相應的問題，引導學生對問題進行分析、思考和討論，實現一次函數知識內容和現實生活的緊密聯系，進而引導學生運用學到的一次函數知識來解決現實生活中的實際問題。在學生進行解決的過程中，進而提高對知識的理解掌握能力，最終實現一次函數的教學目的。

二、結合一次函數的知識特征

由于一次函數是初中數學教學中的重點和難點，所以，要引起對這塊知識的重視度。教師在進行初中一次函數的教學過程中，對一次函數自身的知識、特征進行了解，找到一次函數知識內容的重點內容，構建全面系統性的教學思想體系，對一次函數知識內容進行實踐教學，進一步提高學生對一次函數知識點的理解和掌握能力，有效的提高課堂的教學效率。

由于函數知識內容在初中階段的數學教學過程中屬于基礎知識，并且是學生第一次接觸的知識。因此，在對初中數學的一次函數知識進行教學時，通過對學生的接受能力進行了解，設計出生動有趣的教學內容，探尋函數教學知識的學習規律和方法，最終提高學生的學習興趣。例如，教師通過對一次函數概念的本質進行分析，讓學生了解到一次函數的公式：y=kx+b（k≠0），其中k、b為常數，k≠0，x屬于自變量，b=0，一次函數公式可以作為正比例函數公式。由此，讓學生了解到，正比例函數是一種特殊的一次函數，在具體的解題過程中，將探索驗證的結構運用在解題思考的過程中。

三、運用數形結合的方法

由于函數具有抽象性的特點，單從公式來看，不能清晰的了解到公式所表達的內容。因此，在進行一次函數的教學過程中，對一次函數的解析式與函數圖像之間的關系進行了解，運用數形結合的方式，給學生滲透數形結合思想，進一步開展一次函數的教學實踐。在函數的知識結構中，對一次函數公式進行表示，可以通過運用函數的解析式或者函數圖像的方式，來對函數公式、自變量的變化規律進行充分的表達，并讓學生了解到函數的解析式與函數圖像之間的關系。

在開展一次函數的教學實踐中，教師要注意加強對學生進行一次函數解析式和圖像關系的分析與探尋，在解答一次函數問題的過程中，強調學生運用數形結合的方式，解決一次函數問題。例如，對于一次函數y=kx+b（k≠0），對其函數解析式和圖像關系的分析時，由于常數k和b可以取不同的值，所以，受到常數k、b取值不同因素的影響，一次函數所列出的解析式情況也就不同。那么，將常數k和b取值上的變化給函數解析式造成的影響，代入到函數圖像的關系分析中，將常數k、b取值結果的正負情況表現出來。例如，當k>0且b>0，那么函數的圖像必定經過一、三象限，函數值y隨著x的增加而不斷發生變化，函數圖像和y軸的正半軸相交；同樣的道理，當k

除此之外，還可以運用對比的方法，通過對一次函數和正比例函數進行對比，運用類比的方法，進行開展一次函數教學實踐。由于正比例函數是一次函數中的特殊表現形式，所以，在進行一次函數的教學時，對正比例函數和一次函數進行對比，讓學生掌握了解一次函數特殊形式的規律，提高其運用能力。還可以運用待定系數法進行一次函數的解題，給學生傳授解題思想。

三、結語

總而言之，函數教學知識點在初中的數學教學過程中是其中重要的內容，因此，在教學的實踐過程中，教師要通過結合函數相關的理論教學知識，了解學生的接受能力，運用科學、合理、行之有效的教學方法，營造生動活潑的教學氛圍，有利于極大的調動學生學習函數的積極性，讓學生樹立學習自信心，最終有效的提高初中數學教學的質量水平、學生的學習效率和成績。

參考文獻

[1]俞光賢.初中數學中函數教學方法的分析[J].數理化教學

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近幾十年來，日本借鑒吸收東西方的先進改革經驗，形成了具有自身特色的數學課程體系，在數學課程改革方面取得了很大進展，達到了世界前列水平.目前，我國正在進行數學課程改革，所以對中日兩國的教材進行比較、分析，對我國的數學課程改革會有很大的幫助和啟發.

早在20世紀六十年代的新數運動是以結構化和集合、映射為基礎的，因此此次運動為函數的教學奠定了方法.就現今來說，函數是銜接中學和大學數學教學的重要支柱，因此本文將對中日兩國在《一次函數》的內容上進行比較研究，分別從教材內容的整體結構、具體內容、例習題、數學活動四個方面入手.2 整體結構比較

日本東京書籍株式會社出版的教材《新數學2》第三章的教學內容標題和中國人民教育出版社出版的教材《數學》八年級下冊第十九章的教學內容標題均為《一次函數》，具有可比性，故本文選取《一次函數》內容進行比較.

為了說明中日兩國教材在《一次函數》內容上的差異性，先從教學內容的整體結構進行比較，得到表1和圖1.

分析表6數據并結合“數學活動”的具體內容比較，可以得出，（1）兩國教材均看重學生的動手能力及學生運用數學知識解決實際問題的能力.分別舉例說明：人教版教材中的“信息技術應用”，通過使用計算機畫函數圖象來幫助學生直觀感受函數的性質，并作為將來學習知識的一種手段，日本教材中的“數學之窗”，通過讓學生做一根桿秤來培養學生的動手能力及探究能力；人教版教材中的“課題學習”，通過選擇最佳方案達到解決實際問題的效果，日本教材中的“生活數學”，通過調查東北山行新干線的速度解決實際問題.（2）日本教材十分看重學生思維水平的發展.例如：日本教材在得出“一次函數的增減性”之后，利用“做做看”讓學生通過圖象感受傾斜與切片的大小對圖象位置的影響.

6 結論

通過對中日兩種教材《一次函數》內容從整體結構、知識點、例習題、數學活動四個方面的比較，得到以下四方面的結論.6.1 整體結構方面

從兩國教材編寫體系上看，兩國基本相同，且均運用了旁白、圖表等手段，幫助學生思考問題.而從前后章的比較上看，兩國的差異較大，人教版的本章內容與前后章內容并沒有聯系，而日本教材的本章內容與前章有較大的聯系.6.2 具體內容方面

從兩國教材的具體編排內容上看，人教版教材將函數、正比例函數、一次函數均歸結到第十九章《一次函數》中，按照從特殊到一般的順序學習一次函數，而日本教材并沒有將這三者作為整體出現在教材中，而是將函數、正比例函數歸結到《數學1》的《比例和反比例》中，所以日本教材按照從一般到特殊的順序介紹一次函數.

從知識點上看，日本教材的知識點內容要比人教版教材豐富，且日本教材中存在利用關聯性問題連接的知識點，而人教版教材中則沒有出現，提出的問題相對獨立.6.3 例習題方面

從例習題的數量上看，人教版教材的數量較多，給學生更多的練習機會.從認知水平上看，人教版教材的例題重視學生各類水平的發展，日本教材的例題看重學生對概念的識記、方法的操作和理解；日本教材中存在一題多解的例題，且在習題的設置上更為人性化，而人教版的例題解法相對單一，但在習題的分層上更具有代表性.6.4 教材的“數學活動”方面

日本教材中存在團隊形式的“數學活動”，有助于培養學生的團隊合作意識和動手操作能力.人教版教材中的“數學活動”旨在激發學生的學習興趣，以及對知識的靈活應用，符合數學課程標準.相比較而言，日本教材的“數學活動”更具有開放性.

參考文獻

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關鍵詞：初中數學；教學研究

一、生活中小數學：

如圖①在一條河流的兩側，有兩個村莊，現在需要在河邊修建一送水站P，使得送水站到兩個村莊的距離和最短，求P點的位置？（河流寬度忽略不計）

解決辦法：如圖②連接AB兩點，交l與點P，P為所求。

此題是在學習過滬科版第4章《直線與角》中4.2線段、射線、直線后，直接利用了 “兩點之間、線段最短”這個知識點應用到圖形中，即可得出作法。七年級學生在剛接觸線段的相關定理時也可以很輕松的完成此題。

等到八年級上冊學習過第15章《軸對稱圖形和等腰三角形》中的15.1軸對稱圖形后，可將題目變形為：

二、與函數的聯系應用：

滬科版八年級上冊還學習了第11章《平面直角坐標系》，第12章《一次函數》，這兩章是學生第一次接觸、學習函數，也是對數形結合能力的重要考察。將上面的問題直接應用到平面直角坐標系中，將圖形和函數結合，即可變形為數形結合題：

3、如圖⑤，在平面直角坐標系中，已知點A（0，2），B（8，8），你能在x軸上找到一點P，使得PA+PB的值最小嗎？求出點P的坐標。

此時，可以將x軸看做是河流l，直接應用第2題的結論，就可以通過作圖的方式找出點P：如圖⑥，點A（0，2）關于x軸的對稱點是A’（0，-2），連接A’B，與x軸的交點就是點P。

在第2題的情境下，是無法得出有關點P的代數內容，但是將情境改在平面直角坐標系中，A’B也就可以看做是一個一次函數，只要求解出一次函數解析式，再求解出一次函數與x軸的交點既可以求出點P的坐標。解題過程如下：

解：設 ，經過A’（0，-2），B（8，8）得：

解得：

當 時， ，解得：

P

此題除了考察了“兩點之間、線段最短”、“軸對稱性質”，還使用了“待定系數法求一次函數解析式”、“一次函數性質”等知識點，使用了轉化、數形結合等思想綜合解決問題。

三、與根與系數的關系的聯系應用：

圓與直線的交點可以分為三種情況：兩個交點；一個交點；沒有交點，正如代數知識中的一元二次方程，可以有：兩個不相等的根；兩個相等的根；沒有實數根，所以上題可以繼續變形為：

7、如圖⑨，在線段CD上找一點P，使得點PAC和PBD相似，請問當l，m，n滿足什么條件時，這樣的點有1個？有2個？有3個？（ ）

首先還是需要分類討論：PAC和PBD相似可以理解為：（1）PAC∽PBD；（2）PAC∽BPD；

如圖?，設CP= ，則PD= ，∠ACP=∠PDB=90°，

（1）當 時，PAC∽PBD

即： ，

解得： （ ）

（2）當 時，PAC∽BPD

即： ，化簡得：

當 時，有兩個不相等的解；

當 時，有兩個相等的解；

當 時，無實數解；

綜合上面兩種情況，可得：

時，有3個點，使得點PAC和PBD相似；

當 時，有2個點，使得點PAC和PBD相似；

當 時，有1個點，使得點PAC和PBD相似；

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關鍵詞：初中數學；教學有效性；一次函數；方法探究

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2015）10-0327-02

提高初中數學教學的有效性是每一個初中教師的共同追求，在課程改革的推廣下，提高教學有效性不僅僅是為了提高學生們的數學成績，更在于培養學生們的學習能力，提高學生們的綜合素質水平。在平時的教學活動中，數學老師需要充分激發學生對于數學學生的興趣和熱情，抵消掉學生對數學的畏懼，并不斷對學生的學習能力進行專項鍛煉，以提高教學的有效性。以下以初中數學中的一次函數為例，對如何提高初中數學教學的有效性進行了較為詳細的探究。

1.制定科學合理的教學目標

教師們開展教學活動的第一步就是制定教學目標，只有在確立了教學目標之后才能依此進行有針對性的教學安排。初中數學不同于小學數學那樣簡單，對初中數學知識的教授是需要老師們多下一些功夫的。初中數學老師在制定教學目標時必須要將教學大綱的要求、現實生活以及學生們的具體學習情況相結合，這樣設定的教學目標才科學合理，既能為學生傳輸專業的理論知識，又能滿足學生多方面的發展要求，提高學生的綜合能力。

例如：針對"一次函數"這樣初中數學教學中的重點內容，對其進行教學目標的設定時需要進行細化，將這部分的教學內容分成三個課時。第一個課時是為學生們簡單地介紹"一次函數"的概念及其他性質，為學生們接受全新的知識做一個基礎鋪墊。第二個課時是承上啟下的一個關鍵的課時，對它的目標設定應該更加細化，應該充分考慮到學生們在第一課時上的反應，結合學生的認知習慣，如：學生們對一次函數中的變量和常量的具體含義，一次函數和正比例函數之間有哪些區別和聯系，一次函數圖像上的特點等問題有沒有理解到位。針對學生們對這些關鍵知識點的掌握情況，再進行第三課時的目標設定。由此可見，只有數學老師們對學生的學習情況有一個比較詳細具體的了解，有針對性的進行目標設定，并依據目標展開教學活動，才能有效提高每堂課的教學效率，促成教學相長。

2.引導學生開展自主學習活動

初中階段的學生們相較于小學生，他們的思維能力、學習能力和自我意識都有了很大程度上的發展，在初中教育中注重對學生開展自主學習活動的引導，培養他們的自主學習能力，將對于學生今后的學習、工作、生活都會帶來諸多益處。通過引導，不僅可以培養學生們的自主學習意識，更可以從培養學生能力的角度促使教學有效性的提高。因此逐步地對學生的自主學習加以引導成為大部分數學老師的重要教學方法。

例如：在開始"一次函數"的具體課堂教學之前，老師就可以要求學生們在課前進行對這部分內容的預習，并落實到具體的家庭作業上，要給學生們的預習作業進行問題布置，而問題的內容需要以教材為主。對于積極完成預習作業、自覺投入到學習中去的學生，老師應該在課堂上給予表揚和鼓勵。通過這種言語上的鼓勵和對學生自主學習活動的潛移默化的干預來對學生進行引導，可以逐步培養學生們的自主學生意識，漸漸地讓學生們體會到自己才是學習活動的主人，并由此產生濃烈的學習積極性，數學教學的有效性便可再學生一次又一次的自主學習中得到提高。

3.通過教學情景的設置來吸引學生

對教學情景進行設置，可以使老師們的教學方式更加生動新穎，因此也更能吸引學生們的注意力，激發學生們的參與興趣。在所設置的情景中，老師對知識點的講解也更容易被學生理解和掌握，還可以有效的活躍課堂氛圍，使整堂課變得形象、活潑、趣味十足。生活情景和疑問情景等情景的設置對于提高數學教學的有效性的貢獻是非同一般的。數學老師可以將生活中的一些元素引用到課堂教學之中，通過設置生活情景拉近數學學科知識與學生間的距離，并通過生活化的教學提高學生將理論知識應用于實際生活的實踐能力。老師還可以通過對疑問情景的設置來保持學生們注意力的集中。

例如：通過設置疑問情景來開展"一次函數"的課堂教學活動。

老師提問："同學們，你們知道為什么在我們對一次函數進行解答時，一定要強調常數b不等于0呢？"

學生1答："如果讓常數b等于0的話，那么一次函數就是正比例函數，我們對一次函數的解答就變成了對正比例函數的解答了。"

老師提問："那你們覺得一次函數和正比例函數有什么關聯嗎？他們是同一類型的函數嗎？"

學生2答："正比例函數也是一次函數，只不過是一次函數中的一個特殊形式。"

老師提問："現在同學們形成了兩種觀點，那么究竟那種觀點正確呢？一次函數和正比例函數之間到底是不是相同呢？它們的區別與聯系具體有哪些？我們接下來就一起進行一下探討。

通過老師這樣的疑問來設置情景，一步一步將學生引導到這堂課的內容，即一次函數和正比例函數之間的關聯與區別之中來了，而且通過學生們的回答，可以充分調動學生們的參與積極性，由此提高數學教學的有效性。

4.小結

本文以一次函數為例對如何提高初中數學教學的有效性進行了分析探討，得出設定合理化的教學目標、引導學生開展自主學習活動和設置教學情景來吸引學生是最有成效的三種方法，數學老師們做好這三項工作便可大大提高教學的有效性。

參考文獻：

[1] 黃廣澤.提高初中數學教學質量的幾點認識[J].基礎教育研究2010年11期

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一、掌握高中數學恒成立問題的解題方法和思路的意義

在數學學習中恒成立的問題主要出現在函數知識點中，即在已知的條件下，無論在題型中變量如何變化，其結果和命題都能夠成立，這就是恒成立。恒成立問題在數學學習中主要考查的就是學生抽象思維能力、對問題的推理能力以及對相應數形結合思想的應用等，所以恒成立問題能夠最大限度地提高學生的綜合學習能力。

學生在數學學習的過程中主要是依靠學生的邏輯思維解答相應的題目，這就是數學與高中其他科目不同的地方，所以學生若是想要提高數學的成績，就需要尋找有效的解題方式和思路，并在解答的過程中靈活運用相應的公式，這樣就能解決恒成立的相關問題。

二、高中數學恒成立問題的解題方法和思路

1.一次函數的恒成立

下面將利用案例來解釋一次函數的恒成立問題：

問題：一次函數f（x）=（n-6）x+2n-4，在函數中對任意值x∈[-1，1]，f（x）>0恒成立，就其實數n的取值范圍。

解題分析：在f（x）=（n-6）x+2n-4的圖象中可以得知，若對x∈[-1，1]，f（x）>0恒成立，則f（-1）>0且f（1）>0，由此可以得出n> ，由此可以解得實數n的取值范圍是[ ，+∞]。

本次解題的主要思想就是利用一次函數f（x）=（n-6）x+2n-4 的圖象，這樣在不等式中，就可以直接化解為一元一次不等式組的問題，從而也為學生提供了更加便捷的思路，讓整個考題更加簡單，思路更加清晰。

2.二次函數的恒成立

在高中數學教學過程中，二次函數的知識點是非常重要的，在數學考試中也占有非常大的比例，所以教師在進行二次函數的恒成立解析過程中，需要更加細致地進行講解。

問題：已知a是實數，函數f（x）=2ax2+2x-3-a。若是函數y=f（x）在區間[-1，1]上有零點，求a的取值范圍。

解題分析：若在題中a=0，則f（x）=2x-3，這時很明顯函數 處在[-1，1]的區間中沒有零點，所以a≠0。令Δ=0，可以解得a= 。①當a= 的時候，函數y=f（x）正好有一個零點處在[-1，1]上。②當f（-1）≤f（1）≤0時，解得1≤a≤5，代入兩端點，經檢驗a=5時，有兩個零點，所以當1≤a≤5時，函數y=f（x） 在[-1，1]之上正好也有一個零點。

③若是當函數y=f（x）在[-1，1]區間之中有兩個零點的時候，則a>0>0-1

由此可以得出a≥5或者是a< 。

綜上所述，可以得出實數a的取值范圍是-∞， ∪ [1，+∞）∪ 。

本問題主要是以一元二次方程的根為主要的知識點考查對象，這種題型也是學生在學習數學中經常遇見的題型，在解這種類型題目的時候，首先需要學生能夠確認根的數量，再對應拋物線對稱軸的位置，最后再根據相應的數據判斷區間端點所相對的數值函數的正負情況。

3.分離參數法

所謂的分離參數法就是指在高中數學函數教學過程中，若是遇見含有參數的數學習題，可以將習題中的參數不等式進行變形，將題中的參數進行分離，這樣就能夠將恒成立問題的難度降低，并將整體的問題簡單化，這樣的方式也能夠讓學生在面對問題的時候更加能快速地進行解答。

問題：在x∈R時，不等式-4a-sin2x-4sin x+a2>0恒成立，求a的范圍。

問題分析：在此不等式中擁有兩個變量，一個是a，一個是x，給出的條件就是x∈R的時候，求a的取值范圍。這個題型可以利用分離參數法將a和x進行分析，變形為sin2x+4sin x0恒成立，就需要a2-4a>5，得出 a5。

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關鍵詞：二元一次方程 一次函數 圖象 方程組解

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）08-187-02

如果我們在教學過程中，注意引導學生用二元一次方程的知識和觀點來看待一次函數，往往會收到意想不到的效果。

一、用二元一次方程的解理解一次函數圖象

一個二元一次方程 （m、n都是常數，且m、n都不為0）是一個不定方程，有無數組解。如果把x看作橫坐標、y看作縱坐標，那么每一組解就是一個點的坐標。以二元一次方程組 的解為坐標的所有的點集中在一起，就構成了直線 。也就是說，直線 的點與二元一次方程 的解是一一對應的。這樣理解后，下面的問題就容易理解了。

求直線 與坐標軸的交點。這問題相當于知道x（或y）的值為0，求y（或x）的值。

例：直線 與x軸、y軸分別交于A、B兩點，求A、B的坐標。

解：當y=0時，代入直線解析式方程 ，得 ，解得 所以A點的坐標是 。

當x=0時，代入直線解析式方程 ，得 ；所以B點的坐標是 。

二、利用二元一次方程組來判斷對應的兩個一次函數圖象的位置

設二元一次方程組的一般形式為 ，可轉化為 ，令 ，則上述形式又可以寫成 。這就對應著兩個一次函數。

（1）當 時，二元一次方程組 有唯一解，此時直線 和直線 相交。

（2）當 時，方程組 無解，此時直線 和直線 平行，沒有公共點。

（3）當 時，方程組 有無數組解，此時直線 和直線 重合，有無數個公共點。

三、二元一次方程組解決一次函數問題

在學習過程中，不少一次函數的問題可以轉化成二元一次方程組的問題來解決，下面這種題型就是很好的例子。

如何求兩個一次函數圖象交點坐標。這個交點，同時在這兩個函數圖象上，所以同時滿足這兩個函數解析式方程。我們可以通過解這兩個解析式組成的方程組來解決問題。

例：求兩個一次函數 和 圖象的交點坐標。

解：由題意可得： ；解方程組得： ；所以交點坐標是（1，1）。

四、二元一次方程與一次函數的綜合應用

實際問題一直是個難點，應根據具體情況把一次函數和二元一次方程組有機地結合，靈活運用，從而順利解決問題。

例：中國移動公司開設兩種通訊業務，“全球通”使用者先繳50元月租費，每通話1分鐘再付0.4元；“神州行”不繳月租費，每通話1分鐘付話費0.6元。現在小明想開通其中一種通訊業務，請問他應該開通哪一種更省錢？

分析：每月付話費的多少與小明每月通話時間有關，我們可設小明每月通話x分鐘，付的話費為y元，分別建立起兩種通訊業務方案的函數模型，然后再進行比較。

解：設小明每月通話x分鐘，付的話費為y元。

全球通每月付款為y=0.4x+50；神州行通每月付款為y=0.6x

在同一直角坐標系中畫出這兩個函數的圖象

解方程組 ；解之得： ；所以兩圖象交于點（250，150）

由圖象易知：

當 時， ，此時選擇神州行更省錢；

當 時， ，此時兩種方案沒有區別；

當 時， ，此時選擇全球通更省錢。

總之，在一次函數教學過程中，教師要引導學生把一次函數和二元一次方程有機聯系起來，給予學生充分的時間和空間來體驗數學知識的學習過程，適當的練習來熟練應用各知識點。這樣，相信學生學好一次函數不成問題。

參考文獻：

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關鍵詞：數學學習知識側重點銜接

一、問題的提出

許多剛剛升入高中的學生(新高中生)，在初中數學學習成績優秀，到高中之后，數學學習一籌莫展，有的甚至失去了學習數學的信心。常聽到學生這樣說，“初中時，這些知識老師都講過，有些沒有作為重點來講，只是了解。老師說高中老師會細講的，但是現在老師也不講初中的知識而是拿來直接運用。”這種現象的產生源于初中數學學習側重點與高中的要求不吻合。

二、問題的分析

舉個例子，初中學習解一元二次方程有三種方法：一是直接開方法，二是配方法，三是求根公式法。在初中時重點掌握的是前兩種方法，在高中，由于計算量和計算速度的要求，解一元二次方程時最常使用的是十字相乘法和求根公式法。十字相乘法初中教材中沒有，初中數學課上不作重點講授或根本就不講。像這樣的問題很多，使新高中生是不能滿足高中數學課的基本要求的。高中數學的學習是螺旋上升的過程，高一的學習以初中為基礎，哪一個環節出現問題，都影響數學的學習。知識側重點銜接出現了問題，久而久之，學不會、跟不上數學學習也就是正常現象了。

隨著高中教材改革和初中減負大刀闊斧的進行，初高中數學知識點側重銜接問題越來越明顯，已經成為高中數學學習的第一瓶頸。那么，在那些主要知識側重點銜接上存在問題，列舉如下：（1）解一元二次方程問題。（2）函數和函數圖像的關系理解問題。（3）畫一次函數和二次函數的草圖的問題。（4）二次函數的配方問題。

以上問題，為什么是高中數學學習的第一瓶頸呢？分析如下：一、函數圖像是認識函數很好的一個途徑。函數圖像是函數的具體，使函數具有形的可觸性，降低函數的抽象性。函數與函數圖像的關系就像是人的身份證號與本人關系一樣，一個人對應著一個身份證號，一個身份證號對應一個人。僅僅看到一個人身份證號是不會了解這個人的，要了解這個人就了解這個人的生活、工作、學習情況，也就是看這個人的行為。什么樣的人有什么樣的行為。每個人都有特有的行為。類似的，什么樣的函數有什么樣的圖像。函數圖像的走勢、形狀、最值、自變量取值范圍直觀地反應特定函數的性質。特定函數具有其本身特有的圖像。

很多新高中生沒有將函數與函數圖像建立聯系，割裂了函數和圖像的關系，脫離函數圖像，僅僅是從函數式上來學習函數，而函數解析式本身是非常抽象的，這樣對于初學者來說學會并掌握是不可能的。在高中要在初中的基礎上學習基本初等函數指數函數、對數函數和冪函數。這些函數的許多性質都是通過圖像學習的，通過圖像來區分它們的不同，如果割裂函數與圖像關系學習函數將是寸步難行。而在初中的學習，沒有很好的建立函數與圖像聯系。二、畫好一次函數圖像和二次函數圖像是掌握函數的基礎。 新高中生只知道這兩種函數的圖像是什么，具體到畫圖時總是畫不準確，不能掌握基本要點。對于一次函數圖像新高中生知道一次函數圖像是直線，畫直線時總是列出很多的點，將這些點都描在直角坐標系中，再利用這些點畫出直線。不知道由兩點確定一條直線，不會快速選出確定直線的兩個點。在畫二次函數圖像時，先利用頂點坐標公式求出頂點坐標，然后根據開口方向在直角坐標系中描出定點，之后隨意勾畫出拋物線，不注意拋物線的開口的大小、函數圖像是否關于對稱軸對稱。這樣畫出的圖像速度慢、質量難以保證，不僅影響對函數的認識，將影響以后的學習。在學習基本初等函數時，首先通過一次函數、二次函數圖像學習函數的值域、單調性、奇偶性等。必修5中第三章將學習不等式時，利用二次函數圖像學習一元二次不等式的解法，如果對二次函數圖像沒有深刻的認識，學習一元二次不等式就會有困難，在許多含有參數一元二次不等式的求解過程中借助二次函數圖像解答。在學習線性規劃問題時要求快速畫出約束條件對應的可行域，準確快速畫出直線是基礎。對于這兩種函數圖像，初中要求不高，但是高中繼續深入學習的基礎。而在高中數學學習內容中不包含如何快速準確畫出一次、二次函數的圖像。

三、問題的解決方法

一、教師認真學習研究初中教學內容、教學大綱和課程標準，掌握初中數學教學側重點，找出初中數學學習與高中數學要求的差距。二、對剛剛升入高中的心高中生進行知識測試，測查他們知識掌握的情況，找出他們知識的薄弱點、欠缺點。三、結合學生的實際情況和教學要求，制定相應的教學計劃。四、教學計劃實施時，應注意一下幾點：(1)騰出足夠的時間。（2）

知識點的深入，不是把知識點羅列下去，應對相應的知識點多加練習。（3）補充的內容不能過深，否則會打消學生的積極性，影響學習效果。五、加強對學生學習方法的指導，改變學生的學習方法。初中的學習方法不適應高中的學習，如果再像初中那樣學習的話，會影響高中的數學學習。良好的學習方法和習慣，對高中數學的學習非常有幫助，提高學習效率。六、經常和學生溝通，了解學生時時的學習情況，以便及時調整不適合教學計劃和內容。七、將每個班級的學生分成數學學習小組，選出組長。在課下遇到不會的問題可以互相討論解決，即使在討論的過程中問題沒有解決，學生也得到了思維上的訓練。進一步養成好的數學習慣。

參考文獻

【1】初中數學教學《大綱》

【2】初中數學《課程標準》

篇8

通過統計可以發現：試卷中有關函數的題目少則4題，多則達7題，分值占總分20%以上，重點為一次函數和二次函數. 由于此部分試題具有一定的綜合性，對同學們數形結合和函數方程等重要數學思想方法的培養、解題思路的拓寬以及綜合能力的提升具有十分重要的意義，因而備受命題者的青睞. 同學們要總結解題規律，掌握函數的基本技能和方法，強化數形結合意識、分類討論思想、滲透模型思想以及配方法、公式法、待定系數法等重要方法的應用，注意觀察、歸納、分析、比較，把重點放在落實基礎知識和基本技能及通性、通法的掌握上，從而提高復習效率和效果.

函數常考知識點

一、 平面直角坐標系

1. 坐標平面內點的對稱性、點所在的象限、坐標軸上點的坐標特點等. 坐標平面內點的對稱性，主要以填空題、選擇題形式出現.

2. 自變量的取值范圍的確定：

①當函數關系式為分式形式時，其自變量的取值范圍必須使分母不為零；

②函數關系式為二次根式形式時，其自變量的取值范圍必須使被開方數為非負數；

③函數關系式為整式形式時，其自變量的取值范圍為任意實數；

④還應注意要使實際問題有意義. 自變量的取值范圍主要以填空題、選擇題形式出現.

二、 一次函數

一次函數考點包括一次函數、正比例函數表達式，一次函數與坐標軸的交點坐標（一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像與x軸交于-

，0，與y軸交于（0，b）），一次函數與兩坐標軸圍成三角形的面積，一次函數的性質（當k>0時，y隨x的增大而增大；當k

三、 反比例函數

反比例函數考點包括反比例函數的表達形式和性質（當k>0時，圖像的兩個分支分別在第一、三象限內，且在每一個象限內，y隨x的增大而減小；當k

四、 二次函數

二次函數主要考查表達式（一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），頂點式：y=a（x-h）2+k（a≠0），交點式y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0））、頂點坐標、開口方向、對稱軸、最大（小）值以及用二次函數模型解決生活實際問題. 其中頂點坐標、開口方向、對稱軸、最大（小）值、圖像與坐標軸的交點等主要以填空題、選擇題形式出現. 有關二次函數的解答題主要有三種類型：一類是有關二次函數圖像及性質的純數學問題，如2012年徐州中考第24題；一類是利用二次函數性質結合其他知識解決實際問題的題目，如2011年徐州中考第25題 ；再一類是二次函數與幾何知識結合的綜合題，如2013年徐州中考第28題、2012年徐州中考第27題、2011年徐州中考第28題.

如何將中考壓軸題化難為易，在有限的時間內取得更高的分值是同學們關心的問題，下面以2013年徐州中考壓軸題為例，說明解決此類問題的方法、思路及對策.

如圖1，二次函數y=x2+bx-的圖像與x軸交于點A（-3，0）和點B，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接DP，過點P作DP的垂線與y軸交于點E.

（1） 請直接寫出點D的坐標：_______；

（2） 當點P在線段AO（點P不與A、O重合）上運動至何處時，線段OE的長有最大值，求出這個最大值；

（3） 是否存在這樣的點P，使PED是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標及此時PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請說明理由.

【解析】（1） 要求D點的坐標，知A、D兩點的橫坐標相同為-3，關鍵是求點D的縱坐標，也就是求出AB的長度，就可確定點D的坐標了. 根據點A（-3，0）在二次函數y=x2+bx-的圖像上，可求出b=1，繼而求出點B的坐標為（1，0），從而可求出AB=4，所以點D（-3，4）.

（2） 當點P在線段AO（點P不與A、O重合）上運動時，說明0

-2+，t=，即P為OA的中點時，OE有最大值，最大值為.

（3） 要使PED是等腰三角形，由于∠DPE=90°，只能是PD=PE. 同學們遇到此類題目不妨動手操作一下，這樣可以幫助我們全面考慮問題. 如用兩支筆垂直放置且一支筆始終過點D進行旋轉，便可得出下面的兩種符合條件的圖形.

①如圖2，點P點在y軸左側時，由于PD=PE，再抓住∠PAD=∠POE=90°，便可想到三角形全等. 即PAD≌EOP，所以PO=AD=4，也可以由三角函數的定義求PO的長度，即cos∠PDA=cos∠EPO，=，且PD=PE，PO=4，PA=OE=4-3=1，由tan∠DGA=tan∠EGO，即=，AG=，重疊部分的面積SDAG=×4×=.

②如圖3，當P點在y軸右側時，由于PD=PE，仍抓住∠PAD=∠POE=90°，PAD≌EOP，所以PO=AD=4，PA=OE=4+3=7，tan∠DGA=tan∠EGO，即=，AG=，同理tan∠DFC=tan∠PFB，即=，CF=，重疊部分的面積S四邊形DGBF=4×4-××4-××4=.

篇9

已知一次函數的圖像經過點（2，1），（-1，-3），

（1）求此一次函數的解析式；

（2）求此一次函數的圖像與x軸、y軸的交點坐標。

這是一道基礎題，是在學生了解平面直角坐標系特征和一次函數的基礎知識后的簡單應用，其中有一位喜愛數學的學生交給我如下答案。

（1）解：設一次函數的關系式為：y=kx+b，將點A（2，1），B（-1，-3）代入，可得

1=2k+b，-3=-k+b，解得

所以一次函數的關系式為：。

（2）與x軸、y軸交點的坐標為。

看完他的作業后，我分析：他對一次函數的知識有一定了解，但也存在一些理解誤區，便叫他來辦公室詳談。

師：你覺得這題容易嗎？

生：挺容易的，都是基礎知識。

師：做題時，你畫過的圖像嗎？

生搖頭。

師：我覺得你已完成第一問，但沒有正確理解第二問的含義。

生：那怎樣才能正確理解呢？

師：很容易，在學習數學時，我們可以借助圖形理解，老師畫圖后，我們一起觀察。

生（指著圖像）：老師，我應該是對的啊，從圖中可以看出函數圖像與x軸、y軸的交點坐標是。

師：真的嗎？請回憶老師講課時關于點在x軸和點在y軸上坐標的特征。

生：x軸上點的特征？

師：在平面直角坐標系中，任意一點都可以用一對有序實數表示，這一對有序實數分別表示該點的橫坐標和縱坐標。

生：是的。

師：那函數圖像與x軸和y軸的交點坐標難道只能用單個數表示嗎？

生：不能夠吧！

師：這下你明白了嗎？在圖中，函數圖像與x軸的交點坐標是一對有序實數，只是此時它對應的縱坐標為零，也就是函數圖像與x軸的交點坐標是。同時，你也混淆了“與x軸的交點”和“與x軸交點的坐標”的概念。

生：原來是這樣啊，我明白了，與x軸的交點是一個點，而與x軸的交點坐標則是一對有序實數。

師：那你知道函數圖像與y軸的交點坐標嗎？

生：知道，函數圖像與y軸的交點坐標是。

師：很好，你弄清楚了“交點”與“交點坐標”后，以后要注意區分。同時，第二問是“與x軸、y軸的交點坐標”，你應該分別回答，而不是混作一團來答題。

生：知道了，謝謝老師……

雖然該生理解了，但是，我們需要反思：為什么會出現這種錯誤呢？以后的教學中如何避免呢？

其一，學習時背景知識讓學生產生了錯誤認識。本章對平面直角坐標系的定義是：在同一個平面上互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系。在前面的學習中我們知道，在數軸上的點是一個數值，而不是一對有序實數，教師在講述時只是借用數軸直觀明了的結構，而忽視了數軸上的點與直角坐標系中的點有不同之處。學生在學習過程中也往往犯先入為主的錯誤，把數軸上的點的概念嫁接到平面直角坐標系中，這就必然導致平面直角坐標系中的點是一個數值的錯誤概念。

其二，沒有完全理解平面內的點與有序實數對之間的一一對應關系。在教學中，教師能夠把第一象限至第四象限內的點是一對有序實數說得很明了，可以從橫、縱坐標軸作垂線而得一個交點。但是在坐標軸上的點只能形象地作出其中一條坐標軸的垂線，而另一個坐標軸的垂線必然是它本身，此時必然得到的數為零。如點A在橫坐標軸上，它的坐標是A（2，0），如果按照捕捉點的坐標的方法，我們可以作出與橫坐標軸垂直的直線，再作與縱坐標軸垂直的直線，得到的數為零。該直線也與橫坐標軸融合成一條直線。學生不能直觀地學習這個知識點，而教師也可能只是一筆帶過，不會講得更詳細，就直接給出了定義：x軸上的點的縱坐標為零，y軸上的點的橫坐標為零。這樣必然會造成學生認識上的誤區。

其三，“交點”還是“交點坐標”？本試題是求此一次函數的圖像與x軸、y軸的交點坐標，學生在審題時由于各種原因會看成“交點”而忽視“坐標”，這是大多數做錯題的學生的通病。這也給學生提出了更高的要求，要提高解題能力，必須認真、仔細地審題才能正確解答。

篇10

例6.已知函數y=2/3x+1.（滬教版數學八年級第二學期P10）

（1）當x取何值時，函數值y=5？

（2）當x取何值時，函數值y>5？

（3）在平面直角坐標系xOy中，在直線y=2/3x+1上且位于x軸下方的所有點，它們的橫坐標的取值范圍是什么？

下面筆者從三個角度進行關注：

1.以學定教，把握更精準的例題目標

《中小學數學課程標準》中所提出的數學課程目標，是指各學段終結時的目標；在教學過程中，還要確定每個教學階段的具體目標，直至每節課的學習目標，由此構成形成性的學習目標.我們再將每節課的教學目標細化到每道題的教學目標，評價先行，以學定教.

從整個初中數學的學習體系來看本例題所涉及的知識點，其在不同層面的目標分別是：

《課標》目標：建立一次函數、二元一次方程、直線之間的聯系.

單元目標：能借助一次函數的圖像認識一元一次方程的解、一元一次不等式的解集，理解一元一次方程、一元一次不等式與一次函數之間的內在聯系.

課時目標：知道一元一次方程、一元一次不等式與一次函數之間的聯系，能以函數的觀點認識一元一次方程的解與一元一次不等式的解集；通過研究一元一次方程、一元一次不等式與一次函數之間的聯系，體會數形結合的數學思想，初步領略用函數知識分析問題的方法.

通過研讀目標，我們將這道例題的目標和功能進一步細化：

A層目標：

（1）會從代數的角度思考問題，用式的代換和運算解決；

（2）通過觀察函數圖像、求方程的解和不等式的解集，體會一元一次方程、一元一次不等式與一次函數的聯系；

（3）會用圖像法解一元一次不等式；

（4）能利用一次函數與一元一次不等式的內在關系，解決實際問題.

B層目標：

（1）會從代數的角度思考問題，用式的代換和運算解決（達標率100%）；

（2）通過觀察函數圖像、求方程的解和不等式的解集，體會一元一次方程、一元一次不等式與一次函數的聯系（達標率75%以上）；

（3）會用圖像法解一元一次不等式（達標率75%以上）.

2.因材施教，深入更嚴謹的教材教學

本節課的知識要點是新教材中后添加的內容，不僅是應試的重點考察對象，而且是幫助學生進一步感受數形結合的數學思想重要途徑之一.本節課也是在學生已有對一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程組等的認識之后，從變化和對應關系的角度，對一元一次不等式的運算進行更深入的討論，是站在更高起點上的動態分析.通過討論一次函數與方程（組）及不等式的關系，用函數的觀點加深對這些已經學習過的內容的認識，加強知識間的橫向和縱向聯系，發揮函數的統領作用，構建和發展相互聯系的知識體系.

于是，我們備課組設計一道檢測拓展：

已知一次函數y=k1x+b1和y=k2x+b2的圖像分別是直線l1和l2，根據圖像填空：

（1）方程k1x+b1=0的根是______________；

不等式k1x+b1

（2）不等式k2x+b2>0的解集是______________；

方程k2x+b2=-2的根是______________.

這道檢測題目的設計源于拓展依據的綜合處理，檢測題目的難度要求要高于例6，它可以從數和形兩方面進行檢測對代數方法和圖像直觀法的理解.

3.以學促教，理解更貼切的實際學情

例6是在一次函數與一元一次方程的基礎上展開的，學生理解了一次函數與一元一次方程的關系，進一步體會數形結合的基本思想，并初步有了用函數的觀點考查教學問題、解決教學問題的思想.函數、方程、不等式都是刻畫現實世界中量與量之間變化規律的重要模型.本節的目的就是通過具體例子滲透三者之間的內在聯系，幫助學生從整體上認識不等式，感受函數、方程、不等式的作用.在教學過程中注意引導學生初步體會從整體中把握部分的思維方法，滲透函數、方程、不等式思想和數形結合等重要的數學思想，拓寬學生視野，相信學生并為學生提供充分展示自己的機會.

回歸本源，張奠宙教授早就提出“教什么永遠比怎么教重要”.數學教育面臨兩大問題：

（1）教什么――教學內容