一次函數(shù)范文

導(dǎo)語：如何才能寫好一篇一次函數(shù)，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

大部分學(xué)生在學(xué)習(xí)這段內(nèi)容后，都存在不同程度的困惑，特別是受前面學(xué)習(xí)的自然數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)等“數(shù)”的影響，對函數(shù)意義的理解感到很渺茫，會不自覺地將函數(shù)與有關(guān)的數(shù)進(jìn)行聯(lián)系、歸類.從而造成了許多認(rèn)識上的混亂.

一、函數(shù)不是“數(shù)”

如果說整數(shù)、分?jǐn)?shù)、有理數(shù)、無理數(shù)等數(shù)我們不僅能舉出相應(yīng)的數(shù)例來，而且還能在數(shù)軸上找到它們的相應(yīng)的點(diǎn)的話，那么函數(shù)是什么呢？函數(shù)是一種關(guān)系，通俗地講，函數(shù)是指兩個變量之間的一種對應(yīng)關(guān)系，那么變量又是怎么一回事呢？變量是相對于常量的.在一個事件過程中，始終保持不變的量我們稱之為常量，而那些變化的量則稱之為變量.在一次函數(shù)中有兩個變量，比如：（1）y=3x、（2）y=x+1等式子，當(dāng)式子中的一個變量x的值一旦確定，那么式子中的另一個變量y的值也隨之確定了，即（1）中x的值確定3x 的值確定y的值確定，（2）式子中的x的值確定x+1 的值確定y的值確定.

二、數(shù)學(xué)模型化

任何一個二元一次方程，都可以化為用含有一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)的形式，例如方程3x-2y+4=0，化為y=

32x+2，x是自變量，y是x的一次函數(shù).化為x=

23y-

43，則y是自變量，x是y的一次函數(shù).可見一次函數(shù)的一般表達(dá)式就是形如：y=kx+b，（其中k、b均為常數(shù)，且k≠0）.當(dāng)b=0時，即y=kx，（k≠0），y是x的正比例函數(shù)，反之，無論y是x的正比例函數(shù)y=kx（k≠0），還是y是x的一次函數(shù)y=kx+b，（其中k、b均為常數(shù)，且k≠0），都可以化為kx-y=0、kx-y+ b=0的形式，這就是關(guān)于x、y二元一次方程.一次函數(shù)與二元一次方程在本質(zhì)上是相同的，即含有未知數(shù)的等式，不同的只是函數(shù)的研究注重于因變量與自變量的那種對應(yīng)關(guān)系.

三、“ 一”統(tǒng)到底

一次函數(shù)其基本模型是y=kx+b，（其中k、b均為常數(shù)，且k≠0），它與一元一次方程、二元一次方程組、一元一次不等式（組）總是存在千絲萬縷的聯(lián)系，也正是一次函數(shù)的出現(xiàn)，才使得這四個“一次”賦予了更新的內(nèi)涵.

1.透過方程看函數(shù)

我們在學(xué)習(xí)一次函數(shù)前，已經(jīng)系統(tǒng)地掌握了二元一次方程（組）的有關(guān)知識，兩者從概念上看都是一次，說明未知數(shù)（或變量）的次數(shù)都是1，從式子的外形上看二元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的形式（當(dāng)然一次函數(shù)也可以轉(zhuǎn)化為二元一次方程的形式）二元一次方程中的兩個未知數(shù)就是一次函數(shù)中的兩個變量.在一次函數(shù)中自變量x每取一個數(shù)值，函數(shù)y都有唯一的數(shù)值與它對應(yīng)，一次函數(shù)的函數(shù)值是隨自變量的取值的確定而確定，這與二元一次方程有無數(shù)個解是完全一致的.

2.借助圖象解方程（組）

一次函數(shù)y=kx+b，（其中k、b均為常數(shù)，且k≠0），它的圖象是一條直線.直線是由無數(shù)個點(diǎn)組成的，其中直線上每個點(diǎn)的坐標(biāo)都適合方程y=kx+b，因此方程y=kx+b由無數(shù)個解，在同一直角坐標(biāo)系中，如果有兩條直線y=k1x+b1， y=k2x+b2不平行，那么它們必然有一個交點(diǎn)，而且只有一個交點(diǎn)，這個交點(diǎn)坐標(biāo)既適合方程y=k1x+b1，又適合方程y=k2x+b2，這個交點(diǎn)坐標(biāo)就是由方程y=k1x+b1，y=k2x+b2組成的方程組的解.如果直線y=k1x+b1、y=k2x+b2平行，它們沒有交點(diǎn)，這個方程組就無解，如果直線y=k1x+b1、y=k2x+b2是同一條直線，即兩條直線互相重合，它們有無數(shù)個公共點(diǎn)，這個方程組就有無數(shù)個解.實踐表明，方程組有無解以及它的解是否唯一，取決于k1、k2的關(guān)系：（1）當(dāng)k1≠k2時，兩條直線有唯一公共點(diǎn)，原方程組有唯一解；（2）當(dāng)k1=k2、且b1≠b2時，兩條直線無公共點(diǎn)，原方程組無解；（3）當(dāng)k1=k2、且b1=b2時，兩條直線有無數(shù)公共點(diǎn)，原方程組有無數(shù)解.

3.利用圖象找解集

圖1

一次函數(shù)的圖象是一條直線，這條直線如果不與坐標(biāo)軸平行、不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則必然與兩坐標(biāo)軸相交，例如一次函數(shù)y=1.5x+3，其圖象如圖1所示.

該直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A（-2，0）、B（0，3），由此圖不難看出，當(dāng)x= -2時，y=0，以點(diǎn)A為分界點(diǎn)，點(diǎn)A右邊的圖象處于x軸上方，點(diǎn)A左邊的圖象處于x軸的下方，這說明：當(dāng)取x>-2時，y>0，即不等式1.5x+3>0的解集是x>-2；當(dāng)取x

四、撩開面紗成雙對

1.天生的一對變量

借用教材中的話說：“如果在一個變化的過程中有兩個變量x和y，并且對于變量x的每一個值，變量y都有惟一的值與它對應(yīng)，那么我們就稱y是x的函數(shù)”.可見，函數(shù)中必須有兩個變量，如果把其中一個變量規(guī)定為自變量，那么另一個變量就是這個自變量的函數(shù).

例如：在正比例函數(shù)y=-12x中，x是自變量，y是x的正比例函數(shù)，當(dāng)x每取一個確定的數(shù)值時，y都有惟一的數(shù)值與它對應(yīng)，也就是說，只要x取一個確定的數(shù)值，y也就有一個確定的數(shù)值了.

2.函數(shù)圖象中點(diǎn)的坐標(biāo)是一對有序?qū)崝?shù)

在平面直角坐標(biāo)系中，可以通過列表、描點(diǎn)、連線等一系列過程作出函數(shù)的圖象，那么在平面直角坐標(biāo)系上找出任何一點(diǎn)的坐標(biāo)，都是用兩個實數(shù)表示的，并且表示橫坐標(biāo)的數(shù)寫在前面，表示縱坐標(biāo)的數(shù)寫在后面，兩個數(shù)中間用逗號隔開，前后再用小括號括起來.

例如，一次函數(shù)y=2x+2.如圖2，其圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-1，0）和（0，2）.圖象上其他點(diǎn)的坐標(biāo)也都是如此表示.

圖2圖3

3.畫一次函數(shù)圖象只需找出兩個點(diǎn)

一次函數(shù)的圖象是一條直線，由直線公理：兩點(diǎn)確定一條直線.可知：畫一次函數(shù)的圖象時，只需找出圖象上的兩個點(diǎn)的坐標(biāo)即可.例如要作一次函數(shù)y=3x-2的圖象時，當(dāng)x=0時y=-2，即點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-2）；當(dāng)x=1時y=1，即點(diǎn)坐標(biāo)是（1，1）；在直角坐標(biāo)系中將經(jīng)過點(diǎn)（0，-2）與（1，1）的直線作出，就是函數(shù)y=3x-2的圖象，如圖3.

在平面直角坐標(biāo)系中，能作出函數(shù)y=3x-2的圖象的點(diǎn)很多，因為在函數(shù)y=3x -2中，x每取一個值，y都有惟一的數(shù)值與它對應(yīng)，這樣的坐標(biāo)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系上可以找出無數(shù)個，因此，只要從中任取兩個坐標(biāo)點(diǎn)，就可以作出函數(shù)y=3x-2的圖象了.

4.一次函數(shù)y=kx+b （k≠0，k、b為常數(shù)）的圖象所經(jīng)過的象限中，有兩個象限是由k的符號確定的

篇2

1.函數(shù)的概念

在某變化的過程中有兩個變量x和y,如果對于x的每一個值,y都有惟一確定的值與它對應(yīng),那么稱x是自變量,y是x的函數(shù).

2.函數(shù)的表達(dá)式

用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)的解析式或函數(shù)關(guān)系式,用數(shù)學(xué)式子來表示函數(shù)的方法叫做解析法.

3.自變量取值范圍的確定

必須考慮自變量的取值使解析式有意義,具體地,整式型的自變量的取值范圍是全體實數(shù);分式型的自變量的取值范圍是使分母不為零的實數(shù);二次根式型的自變量的取值范圍是被開方數(shù)為非負(fù)數(shù);復(fù)合型的自變量的取值范圍由所列不等式的解集確定;應(yīng)用型的自變量的取值范圍還應(yīng)考慮實際意義.

4.函數(shù)值

對于自變量在取值范圍內(nèi)的一個確定的值,如當(dāng)x=0時,函數(shù)有惟一確定的對應(yīng)值,這個對應(yīng)值叫做x=0時的函數(shù)值.

5.一次函數(shù)與正比例函數(shù)的定義

一般地,如果兩個變量x與y之間的關(guān)系,可以表示為y=kx+b(k,b為常數(shù)且k≠0)的形式,那么稱y是x的一次函數(shù).

特別地,當(dāng)b=0時, y叫做x的正比例函數(shù).

6.如何求一次函數(shù)與正比例函數(shù)的解析式

①因為正比例函數(shù)y=kx(k≠0)中的待定系數(shù)只有一個k,因此確定正比例函數(shù)的解析式只需關(guān)于x、y的一組條件,列出一個方程,從而求出k值.

②而一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)中的待定系數(shù)有k和b,因此要確定一次函數(shù)的解析式需關(guān)于x、y的兩組條件,列出一個方程組,從而求出k和b.

7.一次函數(shù)的圖象

一般地,正比例函數(shù)y=kx的圖象是經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線,一次函數(shù)y=kx+b的圖象是由正比例函數(shù)y=kx的圖象沿y軸向上(b>0)或向下(b

因為一次函數(shù)的圖象是一條直線,由直線的公理可知:兩點(diǎn)確定一條直線,顯然一次函數(shù)y=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0)的圖象是經(jīng)過點(diǎn)(0,b)、(-■,0)的一條直線.

8.一次函數(shù)的性質(zhì)

在一次函數(shù)y=kx+b中,

如果k>0,那么y隨x的增大而增大;

如果k

9.一次函數(shù)表達(dá)式的確定

(1)通過分析數(shù)量(等量)關(guān)系得出函數(shù)關(guān)系式;

(2)通過利用函數(shù)圖象,根據(jù)直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)列出方程組確定k,b的值,求出一次函數(shù)表達(dá)式;

(3)從已知條件出發(fā),通過數(shù)學(xué)建模得出一次函數(shù)表達(dá)式.

10.一次函數(shù)的應(yīng)用

用一次函數(shù)解決實際問題的步驟:(1)認(rèn)真分析實際問題中變量之間的關(guān)系;(2)若具有一次函數(shù)關(guān)系,則建立一次函數(shù)的關(guān)系式;(3)利用一次函數(shù)的有關(guān)知識解題.

在一些具體的生活問題中,數(shù)據(jù)往往較多,反映的內(nèi)容也很復(fù)雜,如何把眾多的信息組織起來是解題的核心.在實際生活問題中,應(yīng)用一次函數(shù)知識解題的關(guān)鍵是建立一次函數(shù)關(guān)系式,然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì),綜合方程知識求解.

在一次函數(shù)應(yīng)用的過程中,要注意結(jié)合實際,確定自變量的取值范圍,求出對應(yīng)的函數(shù)值時,舍去不符合題意的部分.

11.一元一次函數(shù)與一元一次方程

對于一次函數(shù)y=kx+b(k、b為常數(shù),k≠0),它反映了2個變量x、y之間的某種對應(yīng)關(guān)系,當(dāng)其中的一個量變化時,另一個量也隨著變化,并且它們之間建立的是一一對應(yīng)關(guān)系,把這一對對有序?qū)崝?shù)(x,y)作為點(diǎn)的坐標(biāo),在平面直角坐標(biāo)系中,就可以畫出一條直線,這條直線就是一次函數(shù)的圖象.

同學(xué)們知道一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為kx+b=0 (k、b為常數(shù),k≠0)的形式,所以當(dāng)一次函數(shù)的函數(shù)值為0時,求自變量x的值,就是解方程kx+b=0求其根. 從圖象上看,就相當(dāng)于已知直線y=kx+b(k、b為常數(shù),k≠0),求這條直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.

12.一元一次函數(shù)與一元一次不等式

由于任何一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為kx+b>0 或kx+b0或y0 或kx+b

13.一元一次函數(shù)與二元一次方程組

一般地,一元一次函數(shù)y=kx+b圖象上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是二元一次方程kx-y+b=0的解;以二元一次方程kx-y+b=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上.

一般地,如果兩個一元一次函數(shù)的圖象有一個交點(diǎn),那么交點(diǎn)的坐標(biāo)就是相應(yīng)的二元一次方程組的解,所以解二元一次方程組除了代入法和加減法外還可以用圖象法.

用圖象法解二元一次方程組的步驟如下:

①把二元一次方程化成一次函數(shù)的形式;

②在直角坐標(biāo)系中畫出兩個一次函數(shù)的圖象,并標(biāo)出交點(diǎn);

③交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解.

二、滲透的數(shù)學(xué)思想方法

1.數(shù)形結(jié)合思想

著名的數(shù)學(xué)家華羅庚說過:“數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,數(shù)形分離萬事休”,這句名言道出了“數(shù)形結(jié)合思想”的重要性. 函數(shù)圖形可直觀形象地表示出兩個變量之間的關(guān)系,我們知道一次函數(shù)的圖象是坐標(biāo)(x,y)滿足解析式y(tǒng)=kx+b(k、b為常數(shù),k≠0)的所有點(diǎn)的集合,這樣就將數(shù)與式的關(guān)系同點(diǎn)與線的位置關(guān)系緊密地融合在一起,實現(xiàn)了形數(shù)的完美結(jié)合.由一次函數(shù)的圖象探索其性質(zhì)就是一個由“形”向“數(shù)”轉(zhuǎn)化的例證.

2.分類討論思想

研究一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的時候,對k、b進(jìn)行討論,體現(xiàn)了分類討論的思想.

3.化歸思想

求兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為求方程組的解,即將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題,當(dāng)然求方程組的解也可以將二元一次方程轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)畫出圖象,求交點(diǎn)坐標(biāo)即可.

4.待定系數(shù)法

待定系數(shù)法是一項重要的數(shù)學(xué)方法,要結(jié)合它在確定一次函數(shù)表達(dá)式中的應(yīng)用,理解它的基本思想,并注意在以后的學(xué)習(xí)中應(yīng)用.

三、典型例題展示

1.自變量的取值范圍、函數(shù)值的計算

例1(1)(2009年廣東肇慶)函數(shù)y=■的自變量x的取值范圍是( ).

A.x>2 B.x

(2)(2008年江蘇泰州)根據(jù)流程圖1中的程序,當(dāng)輸入數(shù)值x為-2時,輸出數(shù)值y為( ).

A.4B.6C.8D.10

解析:(1)由于函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=■是二次根式,由算術(shù)平方根的意義可知x-2≥0,所以x≥2,故選C.

(2)因為輸入數(shù)值x為-2,符合x

點(diǎn)評:求自變量的取值范圍主要是觀察函數(shù)的表達(dá)式中蘊(yùn)含自變量的那些運(yùn)算,必須保證算式有意義,如算術(shù)平方根的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)、分式的分母不能為零等.求函數(shù)值時,一定要在自變量的取值范圍內(nèi)代入相應(yīng)的解析式,如本題若將x=-2代入y=0.5x+5求值,就是錯誤的.

2.由創(chuàng)設(shè)的實際問題情景,選擇相吻合的函數(shù)圖象

例2 (2009年黑龍江牡丹江)將一盛有部分水的圓柱形小水杯放入事先沒有水的大圓柱形容器內(nèi),現(xiàn)用一注水管沿大容器內(nèi)壁勻速注水(如圖2所示),則小水杯內(nèi)水面的高度y(cm)與注水時間x(min)之間的函數(shù)圖象大致為( ).

解析:由于起初小杯內(nèi)盛有一部分水,說明當(dāng)x=0 時,y≠0(y>0),這樣首先將選項A、D排除,向大容器內(nèi)壁勻速注水(直到大容器內(nèi)水面的高度與小水杯高度相同)的這一段時間內(nèi),小水杯內(nèi)水面的高度始終沒有變化,此后,大容器內(nèi)的水流入小水杯內(nèi),y隨x的增大而升高,但當(dāng)小水杯內(nèi)的水的高度與水杯高度相同時,再向大容器內(nèi)注水,y不再發(fā)生變化,這樣排除選項C,故選B.

3.數(shù)形結(jié)合探究解析式與一次函數(shù)的圖象的對應(yīng)關(guān)系

例3 (1)(2009年安微蕪湖)關(guān)于x的一次函數(shù)y=kx+k2+1的圖象可能正確的是( ).

(2)(2008年浙江寧波)如圖3,某電信公司提供了A、B兩種方案的移動通訊費(fèi)用y(元)與通話時間x(分)之間的關(guān)系,則以下說法錯誤的是( ).

A.若通話時間少于120分鐘,則A方案比B方案便宜20元

B.若通話時間超過200分鐘,則B方案比A方案便宜12元

C.若通訊費(fèi)用為60元,則B方案比A方案的通話時間多

D.若兩種方案通訊費(fèi)用相差10元,則通話時間是145分鐘或185分鐘

解析:(1)因為k2+1>0,所以一次函數(shù)y=kx+k2+1的圖象與坐標(biāo)軸只能交于y 軸的正半軸,觀察圖象只有選項C符合.

(2)觀察圖象:A方案當(dāng)通話時間不超過120分時需話費(fèi)30元,B方案當(dāng)通話時間不超過200分時需話費(fèi)50元,因此選擇項A是正確的.

超過120分鐘時,A方案的費(fèi)用y與通話時間x之間的關(guān)系為:yA=■x-18.

超過200分鐘時,B方案的費(fèi)用y與通話時間x之間的關(guān)系為:yB=■x-30.

故通話時間超過200分鐘時,yA-yB=12,所以選擇項B是正確的.

當(dāng)通訊費(fèi)用為60元時,顯然方案B通話時間長,所以選項C是正確的.

由選項B可知,當(dāng)通話時間超過200分鐘時,兩種方案通訊費(fèi)用相差12元,不可能是10元,觀察圖象當(dāng)通話時間在120～170分鐘之間時,B方案的費(fèi)用高于A方案的費(fèi)用10元時,即A方案的費(fèi)用為40元時,40=■x-18,解之得x=145;當(dāng)通話時間在170～200分鐘之間時,A方案的費(fèi)用高于B方案的費(fèi)用10元,即A方案的費(fèi)用為60元時,60=■x-18,解之得x=195,所以選項D是錯誤的.

四、與幾何知識牽手

例4如圖4,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)B在直線y=-x上運(yùn)動,當(dāng)線段AB最短時,點(diǎn)B的坐標(biāo)為( ).

A.(0,0) B.(■,-■)

C.(■,-■) D.(-■,■)

解析:過點(diǎn)A作ACBO于點(diǎn)C,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離可知,點(diǎn)B運(yùn)動到與點(diǎn)C重合時AB最短.由∠AOC=45°,ACOC,可知AOC是等腰直角三角形,可得點(diǎn)C(■, -■),故選C.

例5 (2008年江西南昌)如圖5,在平面直角坐標(biāo)系中,有A(0,1),B(-1,0),C(1,0)三點(diǎn)坐標(biāo).

(1)若點(diǎn)D與A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形,請寫出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)選擇(1)中符合條件的一點(diǎn)D,求直線 BD的解析式.

解析:(1)根據(jù)平行四邊形的判定可知,D點(diǎn)與另一點(diǎn)所形成的線段必須與另一條線段平行,如果以AB和BC為鄰邊,則AB∥CD,AD∥BC,可得D1(2,1);如果以BC和CA為鄰邊,則AC∥BD,AD∥BC,可得D2(-2,1);如果以AB和AC為鄰邊,則AB∥CD,AC∥BD,可得D3(0,-1),故符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)分別是D1(2,1),D2(-2,1),D3(0,-1).

(2)①選擇點(diǎn)D1(2,1)時,設(shè)直線BD1的解析式為y=kx+b,

由題意得-k+b=0,2k+b=1,解得k=■,b=■,

直線BD1的解析式為y=■x+■.

②選擇點(diǎn)D2(-2,1)時,類似①的求法,可得直線BD2的解析式為y=-x-1.

③選擇點(diǎn)D3(0,-1)時,類似①的求法,可得直線BD3的解析式為y=-x-1.

五、一次函數(shù)與一次方程(組)、不等式(組)

例6 (2008年湖北咸寧)直線l1:y=k1x+b與直線l2:y=k2x在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖6所示,則關(guān)于x的不等式k2x>k1x+b的解集為 .

解析:觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)xk1x+b的解集為x

例7 (2009年浙江臺州)如圖7,直線l1:y=x+1與直線l2:y=mx+n相交于點(diǎn)P(1,b).

(1)求b的值;

(2)請直接寫出關(guān)于x,y的方程組y=x+1,y=mx+n的解.

解析:(1)因為(1,b)在直線y=x+1上, 即當(dāng)x=1時,b=1+1=2,所以直線l1:y=x+1與直線 l2:y=mx+n的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2).

(2)根據(jù)二元一次方程組的解與兩個一次函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,方程組的解是x=1,y=2.

六、利用圖象、表格信息建立一次函數(shù)模型,解決實際問題

例8 (1)(2009年吉林長春)某部隊甲、乙兩班參加植樹活動.乙班先植樹30棵,然后甲班才開始與乙班一起植樹.設(shè)甲班植樹的總量為y甲(棵),乙班植樹的總量為y乙(棵),兩班一起植樹所用的時間(從甲班開始植樹時計時)為x(時).y甲、y乙分別與x之間的部分函數(shù)圖象如圖8所示.

(1)當(dāng)0≤x≤6時,分別求y甲、y乙與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

(2)如果甲、乙兩班均保持前6個小時的工作效率,通過計算說明,當(dāng)x=8時,甲、乙兩班植樹的總量之和能否超過260棵.

(3)如果6個小時后,甲班保持前6個小時的工作效率,乙班通過增加人數(shù),提高了工作效率,這樣繼續(xù)植樹2小時,活動結(jié)束,兩班植樹的總量相差20棵,求乙班增加人數(shù)后平均每小時植樹多少棵.

解析:(1)設(shè)y甲=k1x,把(6,120)代入,得k1=20,所以y甲=20x.

當(dāng)x=3時,y甲=60.

設(shè)y乙=k2 x+b,把(0,30),(3,60)代入,得b=30,3k2+b=60,

解得k2=10,b=30.

所以y乙=10x+30.

(2)當(dāng)x=8時,y甲=8×20=160, y乙=8×10+30=110,因為160+110=270>260,

所以當(dāng)x=8時,甲、乙兩班植樹的總量之和能超過260棵.

(3)設(shè)乙班增加人數(shù)后平均每小時植樹a棵.

當(dāng)乙班比甲班多植樹20棵時,有6×10+30+2a-20×8=20,解得a=45.

當(dāng)甲班比乙班多植樹20棵時,有20×8-(6×10+30+2a)=20,解得a=25.

所以乙班增加人數(shù)后平均每小時植樹45棵或25棵.

例9 (2008年湖北咸寧)“5?12”四川汶川大地震的災(zāi)情牽動全國人民的心,某市A、B兩個蔬菜基地得知四川C、D兩個災(zāi)民安置點(diǎn)分別急需蔬菜240噸和260噸的消息后,決定調(diào)運(yùn)蔬菜支援災(zāi)區(qū).已知A蔬菜基地有蔬菜200噸,B蔬菜基地有蔬菜300噸,現(xiàn)將這些蔬菜全部調(diào)往C、D兩個災(zāi)民安置點(diǎn).從A地運(yùn)往C、D兩處的費(fèi)用分別為每噸20元和25元,從B地運(yùn)往C、D兩處的費(fèi)用分別為每噸15元和18元.設(shè)從B地運(yùn)往C處的蔬菜為x噸.

(1)請?zhí)顚懴卤?并求兩個蔬菜基地調(diào)運(yùn)蔬菜的運(yùn)費(fèi)相等時x的值;

(2)設(shè)A、B兩個蔬菜基地的總運(yùn)費(fèi)為w元,寫出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求總運(yùn)費(fèi)最少的調(diào)運(yùn)方案;

(3)經(jīng)過搶修,從B地到C處的路況得到改善,縮短了運(yùn)輸時間,運(yùn)費(fèi)每噸減少 m元(m>0),其余線路的運(yùn)費(fèi)不變,試討論總運(yùn)費(fèi)最少的調(diào)運(yùn)方案.

解析:(1)從表格中可以看出從B地運(yùn)往C處的蔬菜為x噸,而B地共有300噸,剩余(300-x)噸必然運(yùn)往D地,而C地需要240噸,故需從A地調(diào)運(yùn)(240-x)噸,剩余200-(240-x)=(x-40)噸全部運(yùn)往D地,填表如下:

兩個蔬菜基地調(diào)運(yùn)蔬菜的運(yùn)費(fèi)相等時,依題意得20(240-x)+25(x-40)=15x+18(300-x).

解得x=200.

(2)w與x之間的函數(shù)關(guān)系式為:w=2x+9200.

依題意得240-x≥0,x-40≥0,x≥0,300-x≥0.

40≤x≤240.

在w=2x+9200中,w隨x的增大而增大,故當(dāng)x=40時,總運(yùn)費(fèi)最少,此時調(diào)運(yùn)方案如下表:

(3)由題意知w=(15-m)x+18(300-x)+20(240-x)+25(x-40)=(2-m)x+9200.

當(dāng)0

篇3

1、使學(xué)生初步理解一次函數(shù)與正比例函數(shù)的概念。

2、使學(xué)生能夠根據(jù)實際問題中的條件，確定一次函數(shù)與正比例函數(shù)的解析式。

二、內(nèi)容分析

1、初中主要是通過幾種簡單的函數(shù)的初步介紹來學(xué)習(xí)函數(shù)的，前面三小節(jié)，先學(xué)習(xí)函數(shù)的概念與表示法，這是為學(xué)習(xí)后面的幾種具體的函數(shù)作準(zhǔn)備的，從本節(jié)開始，將依次學(xué)習(xí)一次函數(shù)(包括正比例函數(shù))、二次函數(shù)與反比例函數(shù)的有關(guān)知識，大體上，每種函數(shù)是按函數(shù)的解析式、圖象及性質(zhì)這個順序講述的，通過這些具體函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以加深對函數(shù)意義、函數(shù)表示法的認(rèn)識，并且，結(jié)合這些內(nèi)容，學(xué)生還會逐步熟悉函數(shù)的知識及有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法在解決實際問題中的應(yīng)用。

2、舊教材在講幾個具體的函數(shù)時，是按先講正反比例函數(shù)，后講一次、二次函數(shù)順序編排的，這是適當(dāng)照顧了學(xué)生在小學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)了正反比例關(guān)系的知識，注意了中小學(xué)的銜接，新教材則是安排先學(xué)習(xí)一次函數(shù)，并且，把正比例函數(shù)作為一次函數(shù)的特例予以介紹，而最后才學(xué)習(xí)反比例函數(shù)，為什么這樣安排呢?第一，這樣安排，比較符合學(xué)生由易到難的認(rèn)識規(guī)津，從函數(shù)角度看，一次函數(shù)的解析式、圖象與性質(zhì)都是比較簡單的，相對來說，反比例函數(shù)就要復(fù)雜一些了，特別是，反比例函數(shù)的圖象是由兩條曲線組成的，先學(xué)習(xí)反比例函數(shù)難度可能要大一些。第二，把正比例函數(shù)作為一次函數(shù)的特例介紹，既可以提高學(xué)習(xí)效益，又便于學(xué)生了解正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系，從而，可以更好地理解這兩種函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)。

3、“函數(shù)及其圖象”這一章的重點(diǎn)是一次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，一方面，在學(xué)生初次接觸函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容時，一定要結(jié)合具體函數(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí)，因此，全章的主要內(nèi)容，是側(cè)重在具體函數(shù)的講述上的。另一方面，在大綱規(guī)定的幾種具體函數(shù)中，一次函數(shù)是最基本的，教科書對一次函數(shù)的討論也比較全面。通過一次函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以對函數(shù)的研究方法有一個初步的認(rèn)識與了解，從而能更好地把握學(xué)次函數(shù)、反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)方法。

三、教學(xué)過程

復(fù)習(xí)提問：

1、什么是函數(shù)?

2、函數(shù)有哪幾種表示方法？

3、舉出幾個函數(shù)的例子。

新課講解：

可以選用提問時學(xué)生舉出的例子，也可以直接采用教科書中的四個函數(shù)的例子。然后讓學(xué)生觀察這些例子(實際上均是一次函數(shù)的解析式)，y=x，s=3t等。觀察時，可以按下列問題引導(dǎo)學(xué)生思考：

(1)這些式子表示的是什么關(guān)系?(在學(xué)生明確這些式子表示函數(shù)關(guān)系后，可指出，這是函數(shù)。)

(2)這些函數(shù)中的自變量是什么?函數(shù)是什么?(在學(xué)生分清后，可指出，式子中等號左邊的y與s是函數(shù)，等號右邊是一個代數(shù)式，其中的字母x與t是自變量。)

(3)在這些函數(shù)式中，表示函數(shù)的自變量的式子，分別是關(guān)于自變量的什么式呢?(這題牽扯到有關(guān)整式的基本概念，表示函數(shù)的自變量的式子也就是等號右邊的式子，都是關(guān)于自變量的一次式。)

(4)x的一次式的一般形式是什么?(結(jié)合一元一次方程的有關(guān)知識，可以知道，x的一次式是kx+b(k≠0)的形式。)

由以上的層層設(shè)問，最后給出一次函數(shù)的定義。

一般地，如果y=kx+b(k,b是常數(shù)，k≠0)那么，y叫做x的一次函數(shù)。

對這個定義，要注意：

(1)x是變量，k，b是常數(shù)；

(2)k≠0(當(dāng)k＝0時，式子變形成y=b的形式。b是x的0次式，y=b叫做常數(shù)函數(shù)，這點(diǎn)，不一定向?qū)W生講述。)

由一次函數(shù)出發(fā)，當(dāng)常數(shù)b＝0時，一次函數(shù)kx+b(k≠0)就成為:y=kx(k是常數(shù)，k≠0)我們把這樣的函數(shù)叫正比例函數(shù)。

在講述正比例函數(shù)時，首先，要注意適當(dāng)復(fù)習(xí)小學(xué)學(xué)過的正比例關(guān)系，小學(xué)數(shù)學(xué)是這樣陳述的：

兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值(也就是商)一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。

寫成式子是(一定)

需指出，小學(xué)因為沒有學(xué)過負(fù)數(shù)，實際的例子都是k＞0的例子，對于正比例函數(shù)，k也為負(fù)數(shù)。

其次，要注意引導(dǎo)學(xué)生找出一次函數(shù)與正比例函數(shù)之間的關(guān)系：正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)。

課堂練習(xí)：

教科書13、4節(jié)練習(xí)第1題．

一、目的要求

1、使學(xué)生初步理解一次函數(shù)與正比例函數(shù)的概念。

2、使學(xué)生能夠根據(jù)實際問題中的條件，確定一次函數(shù)與正比例函數(shù)的解析式。

二、內(nèi)容分析

1、初中主要是通過幾種簡單的函數(shù)的初步介紹來學(xué)習(xí)函數(shù)的，前面三小節(jié)，先學(xué)習(xí)函數(shù)的概念與表示法，這是為學(xué)習(xí)后面的幾種具體的函數(shù)作準(zhǔn)備的，從本節(jié)開始，將依次學(xué)習(xí)一次函數(shù)(包括正比例函數(shù))、二次函數(shù)與反比例函數(shù)的有關(guān)知識，大體上，每種函數(shù)是按函數(shù)的解析式、圖象及性質(zhì)這個順序講述的，通過這些具體函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以加深對函數(shù)意義、函數(shù)表示法的認(rèn)識，并且，結(jié)合這些內(nèi)容，學(xué)生還會逐步熟悉函數(shù)的知識及有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法在解決實際問題中的應(yīng)用。

2、舊教材在講幾個具體的函數(shù)時，是按先講正反比例函數(shù)，后講一次、二次函數(shù)順序編排的，這是適當(dāng)照顧了學(xué)生在小學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)了正反比例關(guān)系的知識，注意了中小學(xué)的銜接，新教材則是安排先學(xué)習(xí)一次函數(shù)，并且，把正比例函數(shù)作為一次函數(shù)的特例予以介紹，而最后才學(xué)習(xí)反比例函數(shù)，為什么這樣安排呢?第一，這樣安排，比較符合學(xué)生由易到難的認(rèn)識規(guī)津，從函數(shù)角度看，一次函數(shù)的解析式、圖象與性質(zhì)都是比較簡單的，相對來說，反比例函數(shù)就要復(fù)雜一些了，特別是，反比例函數(shù)的圖象是由兩條曲線組成的，先學(xué)習(xí)反比例函數(shù)難度可能要大一些。第二，把正比例函數(shù)作為一次函數(shù)的特例介紹，既可以提高學(xué)習(xí)效益，又便于學(xué)生了解正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系，從而，可以更好地理解這兩種函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)。

3、“函數(shù)及其圖象”這一章的重點(diǎn)是一次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，一方面，在學(xué)生初次接觸函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容時，一定要結(jié)合具體函數(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí)，因此，全章的主要內(nèi)容，是側(cè)重在具體函數(shù)的講述上的。另一方面，在大綱規(guī)定的幾種具體函數(shù)中，一次函數(shù)是最基本的，教科書對一次函數(shù)的討論也比較全面。通過一次函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以對函數(shù)的研究方法有一個初步的認(rèn)識與了解，從而能更好地把握學(xué)次函數(shù)、反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)方法。

三、教學(xué)過程

復(fù)習(xí)提問：

1、什么是函數(shù)?

2、函數(shù)有哪幾種表示方法？

3、舉出幾個函數(shù)的例子。

新課講解：

可以選用提問時學(xué)生舉出的例子，也可以直接采用教科書中的四個函數(shù)的例子。然后讓學(xué)生觀察這些例子(實際上均是一次函數(shù)的解析式)，y=x，s=3t等。觀察時，可以按下列問題引導(dǎo)學(xué)生思考：

(1)這些式子表示的是什么關(guān)系?(在學(xué)生明確這些式子表示函數(shù)關(guān)系后，可指出，這是函數(shù)。)

(2)這些函數(shù)中的自變量是什么?函數(shù)是什么?(在學(xué)生分清后，可指出，式子中等號左邊的y與s是函數(shù)，等號右邊是一個代數(shù)式，其中的字母x與t是自變量。)

(3)在這些函數(shù)式中，表示函數(shù)的自變量的式子，分別是關(guān)于自變量的什么式呢?(這題牽扯到有關(guān)整式的基本概念，表示函數(shù)的自變量的式子也就是等號右邊的式子，都是關(guān)于自變量的一次式。)

(4)x的一次式的一般形式是什么?(結(jié)合一元一次方程的有關(guān)知識，可以知道，x的一次式是kx+b(k≠0)的形式。)

由以上的層層設(shè)問，最后給出一次函數(shù)的定義。

一般地，如果y=kx+b(k,b是常數(shù)，k≠0)那么，y叫做x的一次函數(shù)。

對這個定義，要注意：

(1)x是變量，k，b是常數(shù)；

(2)k≠0(當(dāng)k＝0時，式子變形成y=b的形式。b是x的0次式，y=b叫做常數(shù)函數(shù)，這點(diǎn)，不一定向?qū)W生講述。)

由一次函數(shù)出發(fā)，當(dāng)常數(shù)b＝0時，一次函數(shù)kx+b(k≠0)就成為:y=kx(k是常數(shù)，k≠0)我們把這樣的函數(shù)叫正比例函數(shù)。

在講述正比例函數(shù)時，首先，要注意適當(dāng)復(fù)習(xí)小學(xué)學(xué)過的正比例關(guān)系，小學(xué)數(shù)學(xué)是這樣陳述的：

兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值(也就是商)一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。

寫成式子是(一定)

需指出，小學(xué)因為沒有學(xué)過負(fù)數(shù)，實際的例子都是k＞0的例子，對于正比例函數(shù)，k也為負(fù)數(shù)。

其次，要注意引導(dǎo)學(xué)生找出一次函數(shù)與正比例函數(shù)之間的關(guān)系：正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)。

篇4

一、 培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)一次函數(shù)的興趣

在課堂上，經(jīng)常會看到個別學(xué)生活躍的身影，他們總是在教師講完甚至未講完的時候就迫不及待地將答案脫口而出。難道這些學(xué)生有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的天賦嗎？難道是他們有與生俱來的才智嗎？不，都不是，是因為他們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有熱情。他們總是充滿激情，充滿學(xué)習(xí)的樂趣，善于思考，如此，就會形成自己的思維。因此，要想教好數(shù)學(xué)，教好一次函數(shù)，首先就應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)一次函數(shù)的興趣，調(diào)動學(xué)生參與學(xué)習(xí)的積極性，為學(xué)生營造充滿生機(jī)和活力的課堂氛圍。

二、 明確函數(shù)及一次函數(shù)的概念

要學(xué)習(xí)一種新事物，首先要明確它是什么。因此，在學(xué)習(xí)一次函數(shù)前，應(yīng)該讓學(xué)生先明確函數(shù)的概念，以及所要學(xué)習(xí)的一次函數(shù)的概念。所謂函數(shù)，其實表示的是一種關(guān)系，表示每個輸入值對應(yīng)唯一輸出值的一種對應(yīng)關(guān)系。而一次函數(shù)是函數(shù)的一種，它表示在某一變化過程中，設(shè)有兩個變量分別為x和y，如果將其寫成y=kx+b（k為一次項系數(shù)，b為常數(shù)）這樣的表達(dá)式，那么我們就說y是x的一次函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量。看起來似乎很復(fù)雜，那么如何來理解這個概念呢？就是說在某一個變化過程中，設(shè)有兩個變量x和y，如果可以寫成y=kx+b（k為一次項系數(shù)，b為常數(shù)），即每一個x都有唯一一個y與之對應(yīng)，那么我們就說y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量，它隨x的變化而變化。當(dāng)x取一個值時，y有且只有一個值與x對應(yīng)。如果有2個或2個以上的值與x對應(yīng)，那就不是函數(shù)。然后教師可以寫出一些表達(dá)式，讓學(xué)生來區(qū)分一下哪些是一次函數(shù)，哪些不是。比如這樣的一個習(xí)題：確定下面哪些是一次函數(shù)？哪些不是？

1. y=2x-1 2. y=x2 3. y-2=x 4y=-x

很顯然第二個是不符合一次函數(shù)定義的，而其他的幾項都符合，所以其他幾項都屬于一次函數(shù)。

三、 通過圖象理解一次函數(shù)解析式的性質(zhì)特征

將數(shù)與形進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，對于理解函數(shù)來說是一種很好的方式，因此教師要讓學(xué)生熟練掌握一次函數(shù)的圖形，能夠熟練作圖以及通過圖形得出一次函數(shù)的基本性質(zhì)特征。圖象的畫法一般是通過三個步驟來完成的：1.列表；2.描點(diǎn)；3.連線。通過分析圖，我們可以得出一次函數(shù)的基本性質(zhì)：（1）在一次函數(shù)圖象上任取一點(diǎn)P（x，y），則都滿足等式：y=kx+b（k≠0）.（2）一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是（0，b），與x軸總交于（-，0）.a.當(dāng) k>0，b>0， 此函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限；b.當(dāng) k>0，b

四、加強(qiáng)訓(xùn)練和鞏固

篇5

知識準(zhǔn)備

一、解析式：一次函數(shù)的解析式為y=kx+b（k,b都是常數(shù)且k≠0）。當(dāng)b=0時，y=kx(k≠0)叫做正比例函數(shù)。

二、圖象：一次函數(shù)和正比例函數(shù)的圖象是一條直線。

三、性質(zhì)

1、當(dāng)k>0時，y隨x的增大而增大；

當(dāng)k

2、當(dāng)b>0時，直線與y軸的正半軸相交；

當(dāng)b

當(dāng)b＝0時，直線經(jīng)過原點(diǎn)

3、當(dāng)k>0,b>0時，直線經(jīng)過第一、二、三象限；

當(dāng)k>0,b

當(dāng)k0時，直線經(jīng)過第一、二、四象限；

當(dāng)k

4、畫一次函數(shù)的圖象只需取直線上兩個不同點(diǎn)即可。一般取直線y=kx+b與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)（- ，0）和（0,b）

5、兩直線y1=k1x+b1與y2=k2x+b2

當(dāng)k1=k2 b1≠b2時，兩直線平行；

當(dāng)k1≠k2 b1=b2時，兩直線交于y軸同一點(diǎn)（0,b）

四、一次函數(shù)的表示法有：解析法、列表法、圖象法。

方法解析

一、一次函數(shù)的判定方法

1、定義法：一次函數(shù)需同時滿足以下三個條件：

①函數(shù)的解析式是關(guān)于自變量（如x）的整式；

②函數(shù)自變量x的最高次數(shù)是1；

③函數(shù)自變量x的系數(shù)不等于0.

2、數(shù)形結(jié)合法：一次函數(shù)的圖象是一條直線（或直線上的一部分）。

二、求一次函數(shù)的解析式。

1、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式。

①待定系數(shù)法：先設(shè)出函數(shù)的解析式，再根據(jù)已知條件確定解析式中未知的系數(shù)，從而求出函數(shù)解析式的方法，叫做待定系數(shù)法。

②一般步驟：

I：設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k≠0）

II：由已知條件得出關(guān)于k、b的方程（組）；

III：解方程（組）求出k、b的值；

IV：寫出所求的函數(shù)關(guān)系式。

③例題詳解

例1：(2007年?樂山)直線l1經(jīng)過點(diǎn)A（-3,1），B（0,-2），將該直線向右平移2個單位得到直線l2，求直線l2的解析式。

解題導(dǎo)引：根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，故只需找出l2上的兩點(diǎn)即可。

解：A（-3,1），B（0,-2）向右平移兩個單位后的點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,1）和（2,-2），即直線l2經(jīng)過（-1,1）和（2,-2）。

設(shè)直線l2的解析式為y=kx+b(k≠0)

由已知得解方程組得

直線l2的解析式為y=-x。

2、用數(shù)形結(jié)合法求一次函數(shù)的解析式。

①解題思路：從題目中讀懂信息，找到兩組對應(yīng)值，從而得到相應(yīng)的函數(shù)解析式。利用數(shù)形結(jié)合的方法解決有關(guān)函數(shù)問題，使抽象的數(shù)形象化、直觀化，化數(shù)為形，以形思數(shù)。

②例題詳解

例2：某商店試銷售一種成本單價為100元/件的商品，規(guī)定試銷時售價不低于成本價，又不高于180元/件，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售量y（件）與銷售單價x（元/件）之間的關(guān)系滿足一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）其圖象如右圖所示。

（1）根據(jù)圖象求一次函數(shù)的解析式；

（2）若銷售量y不低于80件，求銷售價

x的范圍。

解題導(dǎo)引：由函數(shù)圖象可知直線y=kx+b

經(jīng)過點(diǎn)（120,120），（140,100），從而可求其解

析式。

解：（1）由圖象可得：

解這個方程組得

所求的一次函數(shù)的解析式為：y=-x+240（100≤x≤180）

（2）由題意得：

即

100≤x≤160

3、運(yùn)用一次函數(shù)的性質(zhì)求解析式

例3：已知一次函數(shù)y=kx+b（k,b為常數(shù)且k≠0）中自變量的取值范圍是-2≤x≤6，相應(yīng)的函數(shù)值的取值范圍是-10≤y≤6，求此函數(shù)的解析式。

解題導(dǎo)引：欲求函數(shù)的解析式，只需求出函數(shù)的兩組對應(yīng)值。但本題中沒有指出函數(shù)值隨自變量的變化情況，故應(yīng)分兩種情況：

①y隨x的增大而增大和②y隨x的增大而減小考慮。

解：（1）當(dāng)y隨x的增大而增大時

則由已知得x=-2時,y=-10,x=6時,y=6

解這個方程組得

所求的函數(shù)解析式為y=2x-6

（2）當(dāng)y隨x的增大而減小時，

則由已知得，x=-2時y＝6,x=6時,y＝-10

解這個方程組得

所求的函數(shù)解析式為y=-2x+2

由（1）（2）得所求函數(shù)的解析式為y=2x-6或y=-2x+2

4、由函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積求解析式。

例4：若直線y=2x+b與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4,求此一次函數(shù)的解析式。

解題導(dǎo)引：此題得解的關(guān)鍵是求b，于是需由已知條件建立一個關(guān)于b的方程。

解：在y=2x+b中

當(dāng)x=0時y=b，當(dāng)y=0時，x=-

直線y=2x+b與x,y軸的交點(diǎn)分別是

(- ,0) 和（0,b）

由已知條件得： ｜b|?|- |=4

所求的一次函數(shù)的解析式為y=2x+4或y=2x-4。

5、由對稱性求一次函數(shù)的解析式。

例5：已知直線l1：y=x-2與直線l2關(guān)于x軸對稱，求直線l2的解析式。

解題導(dǎo)引：求直線l2的解析式，關(guān)鍵要找出l2上兩個點(diǎn)，因為l2與l1關(guān)于x軸對稱，則l1上的每個點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)都在l2上，故只需在l1上任取兩點(diǎn)，再求出它關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)即可。

解：在y=x-2中

當(dāng)x=0時，y=-2，當(dāng)y=0時，x＝2

（0,-2）和（2,0）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)分別是（0,2）和（2,0）

設(shè)l2的解析式為y=kx+b

篇6

例1 (2009吉林)A,B兩地相距45千米,圖中折線表示某騎車人離A地的距離y與時間x的函數(shù)關(guān)系.有一輛客車9點(diǎn)從B地出發(fā),以45千米/時的速度勻速行駛,并往返于A,B兩地之間.(乘客上、下車停留時間忽略不計)

(1)從折線圖可以看出,騎車人一共休息次,共休息 小時;

(2)請在圖中畫出9點(diǎn)至15點(diǎn)之間客車與A地距離y隨時間x變化的函數(shù)圖象;

(3)通過計算說明,何時騎車人與客車第二次相遇.

點(diǎn)撥:①休息的次數(shù)就是折線中平行于x軸的線段的條數(shù),休息的時間就是這些的線段長度之和.

②A,B兩地相距45千米,而客車正好以45千米/時的速度勻速行駛,可知客車在A,B兩地間的行進(jìn)時間為1小時,據(jù)此不難作出如圖所示的由6條線段組成的端點(diǎn)分別是(9,45),(10,0)(11,45),(12,0),(13,45),(14,0)(15,45)的折線.

③騎車人與客車相遇在圖象上的體現(xiàn),就是相應(yīng)的函數(shù)圖象相交.觀察函數(shù)圖象,從左至右的第二個交點(diǎn),是直線EF與直線y=30的交點(diǎn).先求出線段EF的解析式,再把y=30(10≤x≤11)代入,即可求出騎車人與客車第二次相遇的時間.

解:(1)兩.兩.

(2)

(3)設(shè)直線EF所表示的函數(shù)解析式為y=kx+b.

把E(10,0),F(11,45)分別代入y=kx+b,得

解得

直線EF所表示的函數(shù)解析式為y=45x-450.

把y=30代入y=45x-450,得45x-450=30,x=10.

答:10點(diǎn)40分騎車人與客車第二次相遇.

二、工程類應(yīng)用題

例2(2009南寧)南寧市獅山公園計劃在健身區(qū)鋪設(shè)廣場磚.現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊參加競標(biāo),甲工程隊鋪設(shè)廣場磚的造價y甲(元)與鋪設(shè)面積x(m2)的函數(shù)關(guān)系如圖所示;乙工程隊鋪設(shè)廣場磚的造價y乙(元)與鋪設(shè)面積x(m2)滿足函數(shù)關(guān)系式:y乙=kx.

(1)根據(jù)圖象寫出甲工程隊鋪設(shè)廣場磚的造價y甲(元)與鋪設(shè)面積x(m2)的函數(shù)關(guān)系式;

(2)如果獅山公園鋪設(shè)廣場磚的面積為1600m2,那么公園應(yīng)選擇哪個工程隊施工更合算?

點(diǎn)撥:①函數(shù)圖象由一條線段和一條射線組成可知,故需分別求出0≤x≤500和x≥500時的函數(shù)解析式,再合成為分段函數(shù)解析式.

②由已知鋪設(shè)廣場磚的面積為1600m2,可求得甲工程隊的造價.因為乙工程隊鋪設(shè)廣場磚的造價y乙(元)與鋪設(shè)面積x(m2)滿足函數(shù)關(guān)系式為y乙=kx,所以公園應(yīng)選擇哪個工程隊施工更合算,就取決于k值.分類建立不等式,求出相應(yīng)的k值,即可作出正確的判斷.

解:(1)當(dāng)0≤x≤500時,設(shè)y甲=k1x,把(500,28000)代入上式得:

28000=500k1,k1==56.y甲=56x.

當(dāng)x≥500時,設(shè)y甲=k2x+b,把(500,28000)、(1000,48000)代入上式得:

解得:y甲=40x+8000.

y甲=

(2)當(dāng)x=1600時,y甲=40600+8000=72000,y乙=1600k.

當(dāng)y甲

當(dāng)y甲>y乙時,即72000>1600k,解得0

當(dāng)y甲=y乙時,即72000=1600k,k=45.

答:當(dāng)k>45時,選擇甲工程隊更合算,當(dāng)0

三、銷售類應(yīng)用題

例3(2008荊州)“5•12”汶川大地震后,某健身器材銷售公司通過當(dāng)?shù)亍凹t十字會”向災(zāi)區(qū)獻(xiàn)愛心,捐出了五月份全部銷售利潤.已知該公司五月份只售出甲、乙、丙三種型號器材若干臺,每種型號器材不少于8臺,五月份支出包括這批器材進(jìn)貨款64萬元和其他各項支出(含人員工資和雜項開支)3.8萬元.這三種器材的進(jìn)價和售價如下表,人員工資y1(萬元)和雜項支出y2(萬元)分別與總銷售量x(臺)成一次函數(shù)關(guān)系(如圖).

(1)求y1與x的函數(shù)解析式;

(2)求五月份該公司的總銷售量;

(3)設(shè)公司五月份售出甲種型號器材t臺,五月份總銷售利潤為W(萬元),求W與t的函數(shù)關(guān)系式;(銷售利潤=銷售額-進(jìn)價-其他各項支出)

(4)請推測該公司這次向災(zāi)區(qū)捐款金額的最大值.

點(diǎn)撥:①依圖象所提供的信息,用待定系數(shù)法求y1與x的函數(shù)解析式.

②已知人員工資和雜項開支為3.8萬元,而人員工資和雜項開支與銷售總量的關(guān)系分別為y=0.05x+0.2,y2=0.005+0.3,據(jù)此建立方程即可求得五月份該公司的總銷售量.

③已知五月份售出甲種型號器材t臺,再設(shè)五月份售出乙種型號器材p臺,則售出丙種型號器材(60-t-p)臺. 由五月份這批器材進(jìn)貨款為64萬元可列出方程,化簡方程即可得到p與t的關(guān)系式. 由“銷售利潤=銷售額-進(jìn)價-其他各項支出”列出函數(shù)解析式,再化簡即可得到W與t的函數(shù)關(guān)系式.

④由“每種型號器材不少于8臺”列出不等式組,解不等式組就得到t的取值范圍,再利用一次函數(shù)的增減性,即可推測該公司這次向災(zāi)區(qū)捐款金額的最大值.

解:(1)設(shè)y1=kx+b(x>0),則解得

y1與x的函數(shù)關(guān)系式為y=0.05x+0.2.

(2)依題意得y1+y2=0.05x+0.2+0.005x+0.3=3.8.解得x=60.

五月份該公司的總銷售量為60臺.

(3)設(shè)五月份售出乙種型號器材p臺,則售出丙種型號器材(60-t-p)臺.

依題意得0.9t+1.2p+1.1(60-t-p)=64.p=2t-20.

W=1.2t+1.6(2t-20)+1.3(60-t-2t+20)-64-3.8.

即W與t的函數(shù)關(guān)系式為W=0.5t+4.2.

(4)依題意有解得14≤t≤24.

W是關(guān)于t的一次函數(shù),由(3)W隨t的增大而增大,

篇7

關(guān)鍵詞：一次函數(shù)；現(xiàn)實背景；模型探究

作者簡介：周占鋒（1963-），男，福建省龍巖市武平縣，本科，高級教師，武平縣教師進(jìn)修學(xué)校中學(xué)教研室主任.數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科六個核心素養(yǎng)之一，而模型思想是初中數(shù)學(xué)的重要數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）指出：數(shù)學(xué)與人類發(fā)展和社會進(jìn)步息息相關(guān)，隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)更加廣泛應(yīng)用于社會生產(chǎn)和日常生活的各個方面. 課標(biāo)把模型思想作為十個核心概念之一，認(rèn)為模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.一次函數(shù)是初中學(xué)生學(xué)習(xí)和理解函數(shù)的重要素材，其中自變量與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系是初學(xué)者理解兩個變量間對應(yīng)關(guān)系的難點(diǎn)，探究一次函數(shù)現(xiàn)實背景模型，有利于學(xué)生理解一次函數(shù)中兩個變量間的對應(yīng)關(guān)系及其圖象和性質(zhì)，并利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決實際問題.以下是幾種一次函數(shù)的現(xiàn)實背景模型探究.

一、行程問題的一次函數(shù)現(xiàn)實背景模型

設(shè)路程為s，速度為v，時間為t，則s=vt . 當(dāng)速度v為常量，如v=30km/s，s=30t是正比例函數(shù)；而正比例函數(shù)是最特殊的一次函數(shù). 若行程問題中出現(xiàn)兩個或兩個以上對象，不同時間段有不同的位置狀態(tài)，就構(gòu)成一次函數(shù)的分段函數(shù)模型.

例1甲乙兩人勻速從同一地點(diǎn)到1500米處的體檢中心體檢，甲出發(fā)5分鐘后，乙以50米/分的速度沿同一路線行走，s關(guān)于t的函數(shù)圖象的一部分如圖1所示.設(shè)甲乙兩人相距s（米），甲行走的時間為t（分）.

（1）求甲行走的速度；

（2）在坐標(biāo)系中，補(bǔ)畫s關(guān)于t函數(shù)圖象的其余部分；

（3）問甲、乙兩人何時相距360米？

分析此現(xiàn)實背景中出現(xiàn)甲、乙兩人為兩個不同對象，出發(fā)時間不同使各個時間段兩人的相對位置不同，構(gòu)成距離s與時間t在不同時間段有各自不同的一次函數(shù)對應(yīng)關(guān)系，其中題設(shè)信息以文字信息和圖象信息相結(jié)合的形式出現(xiàn)，從圖象信息發(fā)現(xiàn)背景涉及四種不同情形：

①t=5分鐘時甲走了150米；

②甲出發(fā)5分鐘后，乙開始出發(fā)，t=12.5分鐘時，甲追上乙，s=0；

③t=35分鐘時，甲走了1050米；乙用時30分鐘走了1500米，到達(dá)體檢中心，s=450米；

④t>35分鐘時，乙已到達(dá)體檢中心，甲還要用15分鐘走完450米的路程，t=50分鐘時甲也到達(dá)體檢中心，s=0.

根據(jù)以上分析s與t的函數(shù)關(guān)系式是：

s=30t（0≤t≤5）

-20t+250（5

20t-250（125

-30t+1500（35

試題設(shè)計要點(diǎn)：

1.基礎(chǔ)題設(shè)置：從圖象信息中發(fā)現(xiàn)甲5分鐘走的路程為150米，可求甲行走的速度為30米/分.

2.對實際問題的再現(xiàn)：t=35分鐘時，乙實際用時30分鐘，乙已經(jīng)到達(dá)圖書館，此時s=450米，甲用時t=15分鐘才能到達(dá)圖書館，此時s=0. 在坐標(biāo)系中，補(bǔ)畫s關(guān)于t函數(shù)圖象的其余部分是連接（35，450），（50，0）的一條線段.

3.設(shè)甲、乙兩人t分鐘后相距360米，此處的難點(diǎn)是乙實際用時為（t-5）分鐘，而不是t分鐘，根據(jù)圖象信息時間應(yīng)在12.5

二、收費(fèi)問題的一次函數(shù)現(xiàn)實背景模型

收費(fèi)問題通常與兩種或兩種以上的收費(fèi)方式相關(guān)，收費(fèi)金額有的與時間建立一次函數(shù)關(guān)系，有的與用量建立一次函數(shù)關(guān)系.

例2（2014龍巖中考第23題）隨著地球上的水資源日益枯竭，各級政府越來越重視倡導(dǎo)節(jié)約用水.某市對居民生活用水按“階梯水價”方式進(jìn)行收費(fèi)，人均月生活用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如圖2所示.圖中x表示人均月生活用水的噸數(shù)，y表示收取的人均月生活用水費(fèi)（元）.請根據(jù)圖象信息，回答下列問題：

（1）該市人均月生活用水的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：不超過5噸，每噸按元收取；超過5噸的部分，每噸按元收取；

（2）請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）若某個家庭有5人，五月份的生活用水費(fèi)共76元，則該家庭這個月用了多少噸生活用水？

水費(fèi)問題通常采用“階梯水價”方式進(jìn)行收費(fèi)，水費(fèi)與用水量建立一次函數(shù)的分段函數(shù)現(xiàn)實背景模型，考查學(xué)生從現(xiàn)實生活中抽象出一次函數(shù)模型的數(shù)學(xué)思考，并用數(shù)學(xué)思考進(jìn)行問題解決的考量.

三、銷售問題的一次函數(shù)現(xiàn)實背景模型

銷售問題通常以何種銷售、銷售單價與銷售量為現(xiàn)實背景模型出現(xiàn)，多數(shù)是利潤與銷售量建立一次函數(shù)關(guān)系的模型，關(guān)注利潤的合理區(qū)間. 有時通過圖象信息提供已知條件，考查學(xué)生的讀圖能力.

例3（2016龍巖中考第23題）某廠家在甲、乙兩家商場銷售同一商品所獲利潤分別為y甲、y乙（單位：元），y甲、y乙與銷售數(shù)量x（單位：件）的函數(shù)關(guān)系如圖3所示，試根據(jù)圖象解決下列問題：

（1）分別求出y甲、y乙關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）現(xiàn)廠家分配該商品800件給甲商場，400件給乙商場，當(dāng)甲、乙商場售完這批商品后，廠家可獲得總利潤是多少元？

該題以圖象信息顯示問題背景，突現(xiàn)從實際生活中抽象出一次函數(shù)模型解決實際問題的能力，考查用解析法求解一次函數(shù)解析式.

四、圖形運(yùn)動的一次函數(shù)現(xiàn)實背景模型

圖形運(yùn)動通常有點(diǎn)動、線動和面動等，其構(gòu)成的軌跡、距離、面積等可以用函數(shù)來刻畫，初中數(shù)學(xué)常有用一次函數(shù)刻畫圖形運(yùn)動的情況.

例4已知如圖4，在矩形ABCD中，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC，CD，DA運(yùn)動至點(diǎn)A停止.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為x，ABP的面積為y，如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖5所示，則ABC的面積是（）

A.10B.16C.18D.20

篇8

關(guān)鍵詞：二元一次方程 一次函數(shù) 圖象 方程組解

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）08-187-02

如果我們在教學(xué)過程中，注意引導(dǎo)學(xué)生用二元一次方程的知識和觀點(diǎn)來看待一次函數(shù)，往往會收到意想不到的效果。

一、用二元一次方程的解理解一次函數(shù)圖象

一個二元一次方程 （m、n都是常數(shù)，且m、n都不為0）是一個不定方程，有無數(shù)組解。如果把x看作橫坐標(biāo)、y看作縱坐標(biāo)，那么每一組解就是一個點(diǎn)的坐標(biāo)。以二元一次方程組 的解為坐標(biāo)的所有的點(diǎn)集中在一起，就構(gòu)成了直線 。也就是說，直線 的點(diǎn)與二元一次方程 的解是一一對應(yīng)的。這樣理解后，下面的問題就容易理解了。

求直線 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。這問題相當(dāng)于知道x（或y）的值為0，求y（或x）的值。

例：直線 與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，求A、B的坐標(biāo)。

解：當(dāng)y=0時，代入直線解析式方程 ，得 ，解得 所以A點(diǎn)的坐標(biāo)是 。

當(dāng)x=0時，代入直線解析式方程 ，得 ；所以B點(diǎn)的坐標(biāo)是 。

二、利用二元一次方程組來判斷對應(yīng)的兩個一次函數(shù)圖象的位置

設(shè)二元一次方程組的一般形式為 ，可轉(zhuǎn)化為 ，令 ，則上述形式又可以寫成 。這就對應(yīng)著兩個一次函數(shù)。

（1）當(dāng) 時，二元一次方程組 有唯一解，此時直線 和直線 相交。

（2）當(dāng) 時，方程組 無解，此時直線 和直線 平行，沒有公共點(diǎn)。

（3）當(dāng) 時，方程組 有無數(shù)組解，此時直線 和直線 重合，有無數(shù)個公共點(diǎn)。

三、二元一次方程組解決一次函數(shù)問題

在學(xué)習(xí)過程中，不少一次函數(shù)的問題可以轉(zhuǎn)化成二元一次方程組的問題來解決，下面這種題型就是很好的例子。

如何求兩個一次函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)。這個交點(diǎn)，同時在這兩個函數(shù)圖象上，所以同時滿足這兩個函數(shù)解析式方程。我們可以通過解這兩個解析式組成的方程組來解決問題。

例：求兩個一次函數(shù) 和 圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)。

解：由題意可得： ；解方程組得： ；所以交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，1）。

四、二元一次方程與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用

實際問題一直是個難點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)具體情況把一次函數(shù)和二元一次方程組有機(jī)地結(jié)合，靈活運(yùn)用，從而順利解決問題。

例：中國移動公司開設(shè)兩種通訊業(yè)務(wù)，“全球通”使用者先繳50元月租費(fèi)，每通話1分鐘再付0.4元；“神州行”不繳月租費(fèi)，每通話1分鐘付話費(fèi)0.6元。現(xiàn)在小明想開通其中一種通訊業(yè)務(wù)，請問他應(yīng)該開通哪一種更省錢？

分析：每月付話費(fèi)的多少與小明每月通話時間有關(guān)，我們可設(shè)小明每月通話x分鐘，付的話費(fèi)為y元，分別建立起兩種通訊業(yè)務(wù)方案的函數(shù)模型，然后再進(jìn)行比較。

解：設(shè)小明每月通話x分鐘，付的話費(fèi)為y元。

全球通每月付款為y=0.4x+50；神州行通每月付款為y=0.6x

在同一直角坐標(biāo)系中畫出這兩個函數(shù)的圖象

解方程組 ；解之得： ；所以兩圖象交于點(diǎn)（250，150）

由圖象易知：

當(dāng) 時， ，此時選擇神州行更省錢；

當(dāng) 時， ，此時兩種方案沒有區(qū)別；

當(dāng) 時， ，此時選擇全球通更省錢。

總之，在一次函數(shù)教學(xué)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生把一次函數(shù)和二元一次方程有機(jī)聯(lián)系起來，給予學(xué)生充分的時間和空間來體驗數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程，適當(dāng)?shù)木毩?xí)來熟練應(yīng)用各知識點(diǎn)。這樣，相信學(xué)生學(xué)好一次函數(shù)不成問題。

參考文獻(xiàn)：

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下面是我從《一次函數(shù)》這節(jié)課的教學(xué)反思中得到的幾點(diǎn)體會。

一、備課要關(guān)注學(xué)生差異，重視基礎(chǔ)知識

新課程指出，課堂教學(xué)要面向全體學(xué)生，目的是促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。心理學(xué)表明，學(xué)生的發(fā)展是存在差異的。教師要關(guān)注學(xué)生的差異，在備課的時候根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，要有針對性。

在引入一次函數(shù)的時候，我展示了一個學(xué)生熟悉的生活實例，讓學(xué)生更好地找出兩個變量的關(guān)系。比如，某彈簧的自然長度是3厘米。在彈性限度內(nèi)，所掛物體的質(zhì)量x每增加1千克，彈簧長度y增加0.5厘米。（1）計算所掛物體的質(zhì)量分別為1千克、2千克、3千克、4千克、5千克時彈簧的長度。（2）你能寫出x與y之間的關(guān)系式嗎？對于問題（1），學(xué)生已有比較豐富的生活經(jīng)驗，很快就可以得出結(jié)果；對于問題（2），學(xué)生因為比較陌生，要求學(xué)生先思考，再與其他同學(xué)討論，我也參與了學(xué)生的討論，適當(dāng)引導(dǎo)。教師不能一味追求結(jié)論，而忽略學(xué)生的差異，對接受能力較差的學(xué)生要適當(dāng)進(jìn)行引導(dǎo)，降低難度，幫助學(xué)生找出兩個變量的關(guān)系式。同時，為了讓學(xué)生找出一次函數(shù)中兩個變量的特點(diǎn)，我在教學(xué)中展示了幾個與生活聯(lián)系緊密的實例。讓學(xué)生分析從幾個實例得到的關(guān)系式的共同點(diǎn)，再引導(dǎo)學(xué)生歸納出一次函數(shù)的定義。這樣既滿足了學(xué)生的求知欲，提高了學(xué)生分析的能力，又大大提高了課堂的教學(xué)質(zhì)量。

在學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的定義后，為了加深學(xué)生對一次函數(shù)的理解，我讓學(xué)生完成了以下的練習(xí)。判斷下列函數(shù)哪些是一次函數(shù)？哪些是正比例函數(shù)？（1）y=2x；（2）y=3x+1；（3）y=2x-3；（4）y=■x。在這一教學(xué)環(huán)節(jié)中，其實還可以添加一些形如（5）y=■和（6）y=x2+1類型的函數(shù)。在學(xué)生完成這幾道練習(xí)題后，再讓學(xué)生分析一次函數(shù)與其他函數(shù)的不同之處，明確一次函數(shù)的特點(diǎn)。這里要給學(xué)生充足的時間思考和討論，因為這是學(xué)生形成知識的重要環(huán)節(jié)。新課程指出，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，所有的新知識只有通過學(xué)生自身的“再創(chuàng)造”活動，才能納入其認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，才能成為有效的知識。

二、創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性

第一，打破沉悶的課堂氣氛，讓課堂教學(xué)變得更有生機(jī)

美國心理學(xué)家布魯納指出：“學(xué)習(xí)的刺激乃是對所學(xué)材料的興趣，要想使學(xué)生上好課，就得千方百計點(diǎn)燃學(xué)生心靈上的興趣之火。”所以在教學(xué)時，不一定要完全按照課本的引入去設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)。在引入兩個變量的關(guān)系的時候，我們可以設(shè)計一個學(xué)生在生活中遇到的問題情境，讓數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系，學(xué)生就會認(rèn)識到數(shù)學(xué)就在我們身邊，萌發(fā)探究數(shù)學(xué)問題的好奇心。例如，小明現(xiàn)有5元，他想存錢買一本價值30元的數(shù)學(xué)興趣書，假如他每月存5元。（1）請你幫他算算1個月、2個月、3個月、4個月后一共有多少錢？（2）經(jīng)過x個月后，小明一共有多少錢？這樣設(shè)計可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，促使學(xué)生主動參與教學(xué)活動。實踐表明，學(xué)生的主動學(xué)習(xí)是獲得知識的最有效的方法。

第二，引導(dǎo)學(xué)生主動地參與課堂教學(xué)

新課程指出，好的教學(xué)能夠促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行有效地學(xué)習(xí)。而教師的主要作用在于組織教學(xué)活動，激發(fā)學(xué)生主動從事數(shù)學(xué)活動。有時候，教師的一個微笑，可以給學(xué)生很大的鼓舞，讓學(xué)生主動去學(xué)習(xí)。如上面小明買數(shù)學(xué)興趣書的問題中，在提問一個學(xué)生的時候，他可能還沒想出來，有點(diǎn)著急，我笑了笑說：“別急，慢慢想，你可以做得到的。”這位學(xué)生感受到老師對他的信任，更加積極地去思考問題，雖然他花了很長時間才回答出來，但是我覺得這是值得的。我們在教學(xué)時還可以通過設(shè)計一些有趣的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生主動參與課堂教學(xué)了。例如，果農(nóng)李大叔養(yǎng)的一只猴子幫李大叔摘了8個桃子，假如它從現(xiàn)在開始每分鐘摘2個，求x分鐘后這只猴子一共摘的桃子數(shù)y與時間x的關(guān)系式？在這里如果能用上多媒體的動畫設(shè)計就更能吸引學(xué)生的注意力，讓學(xué)生在輕松愉快的課堂氣氛中學(xué)習(xí)、掌握新知識，這樣他們對新知識更加樂于接受。

第三，多給學(xué)生創(chuàng)造機(jī)會，讓學(xué)生得到更好地發(fā)展

每個學(xué)生都有分析問題、解決問題和創(chuàng)造的潛能，關(guān)鍵是如何為學(xué)生提供機(jī)會，讓學(xué)生發(fā)掘自己的潛能。學(xué)生總是喜歡把自己當(dāng)成探索者、研究者、發(fā)現(xiàn)者，并且往往是當(dāng)自己的觀點(diǎn)與其他人的觀點(diǎn)不一致的時候，會產(chǎn)生要證實自己思想的欲望。這里要注意，讓學(xué)生挑戰(zhàn)自己，不是要難倒學(xué)生。不要出太難的習(xí)題，否則會挫傷學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。從而激勵學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中不斷獲得成功的體驗，提高自主學(xué)習(xí)的能力。如，寫出下列各題中y與x之間的關(guān)系式，并判斷y是否為x的一次函數(shù)？是否為正比例函數(shù)？（1）汽車以60千米/時的速度勻速行駛，行駛路程y（千米）與行駛時間x（時）之間的關(guān)系；（2）圓的面積y（平方厘米）與它的半徑x（厘米）之間的關(guān)系；（3）一棵樹現(xiàn)在高50厘米，每個月長高2厘米，x月后這棵樹的高度為y（厘米）。在教學(xué)中，我特意讓幾個基礎(chǔ)不太好的學(xué)生上黑板演練，這幾個題目的背景都是和生活聯(lián)系比較緊密的，只要給學(xué)生足夠的時間，他們基本能自己解決。所以，在教學(xué)中教師不要一味地追求教學(xué)進(jìn)度，抹殺了學(xué)生體驗成功的機(jī)會。特別是基礎(chǔ)比較差的學(xué)生，更應(yīng)該給他們一些這樣的機(jī)會去提高他們學(xué)習(xí)的積極性和學(xué)習(xí)的自信心，進(jìn)一步減少差距，讓他們學(xué)得更有動力。

三、學(xué)有所用，培養(yǎng)學(xué)生掌握、運(yùn)用知識的能力

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我們小組的觀察點(diǎn)是教師是否關(guān)注學(xué)生，是否根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建知識體系。觀察維度是教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計如何提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力和解決實際問題的能力。總的來說，這節(jié)課教學(xué)環(huán)節(jié)時間分配較合理，教師引導(dǎo)及時恰當(dāng)。教師教學(xué)思路清晰，教學(xué)重點(diǎn)突出，教師由淺入深、輕松愉悅地完成了教學(xué)目標(biāo)。教師親切的表情、流暢的語言、課件的精心準(zhǔn)備等等方面都為學(xué)生的引領(lǐng)提供了一個輕松和諧的學(xué)習(xí)環(huán)境。課堂環(huán)節(jié)設(shè)計，教師仔細(xì)引導(dǎo)學(xué)生通過圖象識圖辯圖，掌握信息，體會分析自變量和因變量的潛在規(guī)律，根據(jù)了解到的信息，解決提出的問題，提高了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力。

具體教學(xué)過程中，有以下幾個環(huán)節(jié)值得商議：

（1）在教學(xué)過程中，學(xué)生的主體地位沒有充分展示出來，對于問題的生成，最好是教師引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，給每個學(xué)生充分的講話機(jī)會，讓他們大膽講出自己的問題，大膽地參與探索和交流，彼此分享各自的觀點(diǎn)和靈感，這樣才可以調(diào)動學(xué)生的自主學(xué)習(xí)積極性。而不是教師牽著學(xué)生走，扼殺了學(xué)生的思維。

（2）缺少對學(xué)生動手能力的培養(yǎng)。缺少鼓勵性評價性語言。通過交流，讓學(xué)生之間互評，可以充分交流、碰撞，提高學(xué)習(xí)的主動性，積極性，參與性和創(chuàng)造性，是一種體驗式的學(xué)習(xí)。

（3）小組合作探究再增加一個問題環(huán)節(jié)效果更好。對于例2的講解，教師應(yīng)更加強(qiáng)小組合作的模式，通過小組內(nèi)探討發(fā)現(xiàn)，找到問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力和語言表達(dá)能力。