競賽題平方數(shù)解法與推廣分析論文

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編者按：本文主要從選題依據(jù)；研究目標(biāo)與主要內(nèi)容；擬采取的研究方法、研究手段及技術(shù)路線、實驗方案等；研究的整體方案與工作進度安排；研究的預(yù)期目標(biāo)及主要特點；指導(dǎo)教師意見：教研室或系審核意見幾個方面進行論述。其中，主要包括：數(shù)學(xué)的整個對象就是在原來似乎混沌占統(tǒng)治地位的地方創(chuàng)造秩序、平方數(shù)，也叫完全平方數(shù)或正方形數(shù)、平方數(shù)的一些基本的性質(zhì)、平方數(shù)的競賽題的解法與推廣、尋找可能的取值、猜想要靠長期積累下來的對數(shù)學(xué)的直覺和經(jīng)驗形成一種敏銳的洞察力和技巧、理論與實踐研究法相結(jié)合、明確選題并完成文獻綜述和外文資料翻譯、完成開題報告并舉行開題報告會、完成計算、實驗和繪圖，并完成論文的引言部分、完成論文的初稿、指導(dǎo)教師閱讀審看并修改，完成終稿、論文答辯，學(xué)生材料上交教務(wù)科、教務(wù)科材料匯總整理上等。具體材料請詳見。

關(guān)鍵詞：開題報告數(shù)學(xué)

一、選題依據(jù)（背景與意義、國內(nèi)外研究現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢）

在某種程度上，數(shù)學(xué)的整個對象就是在原來似乎混沌占統(tǒng)治地位的地方創(chuàng)造秩序，從無序和混沌之中抽取出結(jié)構(gòu)和不變量。所以，把無序的數(shù)字轉(zhuǎn)化為有序的模型，這才是數(shù)學(xué)家乃至所有數(shù)學(xué)愛好者所追求的。

平方數(shù)，也叫完全平方數(shù)或正方形數(shù)，是可以寫成整數(shù)的二次方的數(shù)。它是一種很“完美”的數(shù)，有關(guān)于它有許多很有序的規(guī)律，至今為止，已經(jīng)有很多的數(shù)學(xué)愛好者樂此不疲地去研究它，而且也得出了不少有趣而且有用的結(jié)論。至今為止，平方數(shù)的一些基本的性質(zhì)。例如，性質(zhì)1：完全平方數(shù)的末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9。性質(zhì)2：奇數(shù)的平方的個位數(shù)字為奇數(shù)，十位數(shù)字為偶數(shù)。等等。

還有很多著名的數(shù)學(xué)家長久以來樂此不疲地研究平方數(shù)，也把它的有關(guān)知識作為一種工具用于證明、計算其他定理、命題。例如，意大利著名的數(shù)學(xué)家Lagrange，他在整數(shù)論上也有有關(guān)平方數(shù)的Lagrange定理：任何一個正整數(shù)都可寫成四個平方數(shù)之和。并且在證明中他運用了歐拉恒等式：若則

此類例子還有很多，在此不一一列舉了。

本論文是對一道有關(guān)平方數(shù)的競賽題的解法與推廣，我的目標(biāo)是從無序的題目中找出有序的、有規(guī)律的結(jié)果，從而體會數(shù)學(xué)的規(guī)律美。過程主要是猜想——計算機輔助驗證——數(shù)學(xué)方法證明。

猜想在一般的觀念里，似乎是具有一定的偶然性，但實際上，猜想要靠長期積累下來的對數(shù)學(xué)的直覺和經(jīng)驗形成一種敏銳的洞察力和技巧。這是一個長期的過程。

數(shù)學(xué)題不一定單純地做出答案就行了，很多情況下還可以更深入地研究，挖掘出它的背景，進行再推廣、再發(fā)散。很多看似簡單的數(shù)學(xué)題其背后的內(nèi)容卻是十分豐富的，需要有心人去探討研究，這樣才能真正深刻的理解。有些計算量相當(dāng)大的數(shù)學(xué)題應(yīng)用筆算和一般的計算器已經(jīng)不能滿足需求，這時我們要借助計算機，利用程序設(shè)計來解。現(xiàn)在我就要解一道有關(guān)于平方數(shù)的競賽題，由于計算量相當(dāng)?shù)拇螅P算和一般的計算器已經(jīng)不能滿足需求，所以我通過在VisualBasic6.0環(huán)境下對算法進行分析和驗證，驗證結(jié)論的正確性。

那些最初表現(xiàn)為令人懷疑的東西，只有經(jīng)過某種思維過程后，再通過起批準(zhǔn)和保證作用的證明，才能最終表現(xiàn)為無可置疑的真理。證明通過揭示事物的核心而增強理解，是數(shù)學(xué)的力量。

二、研究目標(biāo)與主要內(nèi)容（含論文提綱）

研究目標(biāo)：本論文主要研究型如平方數(shù)的結(jié)構(gòu)，我們知道，，，，等關(guān)于的結(jié)果是無序的，而對于，先關(guān)于n代入幾個數(shù)，例如，，，，……，由此猜想：，并且這個結(jié)果可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，所以是有序的。再進一步可得，關(guān)于的輸出結(jié)果也是有序的。在競賽數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)有關(guān)平方數(shù)的一些問題，因此系統(tǒng)研究型如平方數(shù)，當(dāng)取什么值時，其結(jié)果是有序的，既有理論價值又有應(yīng)用價值。

論文提綱：首先，尋找可能的取值。當(dāng)n取比較小的值時，可以采用筆算的方法來計算結(jié)果、找尋規(guī)律，但當(dāng)n取比較大的值時，發(fā)現(xiàn)計算量相當(dāng)大，用筆算和一般的計算器已經(jīng)遠遠不能滿足需求，這時就會想到借助計算機輔助計算，利用程序設(shè)計來解。我采用的是VisualBasic（簡稱VB）這種常見的程序設(shè)計語言。一種語言就是一種思想。經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)當(dāng)取任意正整數(shù)，而時，都可以產(chǎn)生有序的結(jié)果。

找規(guī)律：當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

當(dāng)時，……

由此可猜想得出：的一個有序的結(jié)果。同樣道理，、也可得出有序的結(jié)果，也可發(fā)現(xiàn)、、、、的結(jié)果沒有一定的規(guī)律可尋。猜想在一般的觀念里，似乎是具有一定的偶然性，但實際上，猜想要靠長期積累下來的對數(shù)學(xué)的直覺和經(jīng)驗形成一種敏銳的洞察力和技巧。這是一個長期的過程。

然后，利用計算機輔助計算驗證預(yù)期結(jié)果對某些初值的正確性。

最后，利用數(shù)學(xué)方法給出嚴謹?shù)恼撟C，而我所采用的論證方法是簡單易懂的數(shù)學(xué)歸納法。

三、擬采取的研究方法、研究手段及技術(shù)路線、實驗方案等

利用文獻研究法與理論研究法，通過圖書館、書店、網(wǎng)絡(luò)等途徑對平方數(shù)相關(guān)各方面的資料進行查閱、研究、歸納、總結(jié)。理論與實踐研究法相結(jié)合。先是通過對一些簡單的n值進行觀察，再用筆算和計算器進行初步計算，根據(jù)已得的結(jié)果，推廣到極大的n值，進行理論上的猜想，然后運用計算機輔助（VisualBasic）這種常見的程序設(shè)計語言計算驗證，最后證明猜想的結(jié)果。

四、研究的整體方案與工作進度安排（內(nèi)容、步驟、時間）

進度安排：

序號時間內(nèi)容

112.1-2.14明確選題并完成文獻綜述和外文資料翻譯

22.14-2.28完成開題報告并舉行開題報告會

33.1-3.20完成計算、實驗和繪圖，并完成論文的引言部分

43.20-3.30完成論文的初稿

53.30-4.20指導(dǎo)教師閱讀審看并修改，完成終稿

64.20-4.30論文答辯，學(xué)生材料上交教務(wù)科

75.1-5.15教務(wù)科材料匯總整理上

五、研究的預(yù)期目標(biāo)及主要特點

預(yù)期目標(biāo)：在某種程度上，數(shù)學(xué)的整個對象就是在原來似乎混沌占統(tǒng)治地位的地方創(chuàng)造秩序，從無序和混沌之中抽取出結(jié)構(gòu)和不變量。所以，把無序的數(shù)字轉(zhuǎn)化為有序的模型，這才是數(shù)學(xué)家乃至所有數(shù)學(xué)愛好者所追求的。本論文就是研究一種平方數(shù)，從一種無序的結(jié)果轉(zhuǎn)化為有序的、有規(guī)律的結(jié)果。

主要特點：進行大膽的猜想，運用計算機輔助計算幫助驗證結(jié)果，得出的結(jié)論很有規(guī)律性。

六、指導(dǎo)教師意見：

指導(dǎo)教師簽名：

年月日

七、教研室或系審核意見：