多邊形的內(nèi)角和教學教案

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教學任務分析

教學目標

知識與技能

掌握多邊形內(nèi)角和公式及外角和定理,并能應用.

過程與方法

1.經(jīng)歷把多邊形內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和問題的過程,體會轉(zhuǎn)化思想在幾何中的應用,同時體會從特殊到一般的認識問題的方法;

2.經(jīng)歷探索多邊形內(nèi)角和公式的過程,嘗試從不同角度尋求解決問題的方法.訓練學生的發(fā)散性思維,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神.

情感態(tài)度價值觀

通過猜想、推理等數(shù)學活動,感受數(shù)學充滿著探索以及數(shù)學結(jié)論的確定性,提高學生學習數(shù)學的熱情.

重點

多種方法探索多邊形內(nèi)角和公式

難點

多邊形內(nèi)角和公式的推導

教學流程安排

活動流程

活動內(nèi)容和目的

活動1學生自主探索四邊形內(nèi)角和

活動2教師引導學生探索總結(jié)把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形添加輔助線的基本方法

活動3探索n邊形內(nèi)角和公式

活動4師生共同研究遞推法確定n邊形內(nèi)角和公式

活動5多邊形內(nèi)角和公式的應用

活動6小結(jié)

作業(yè)

從對三角形及特殊四邊形(正方形、長方形)內(nèi)角和的認識出發(fā),使學生積極參加到探索四邊形內(nèi)角和的活動中.

加深對轉(zhuǎn)化思想方法的理解,訓練發(fā)散思維、培養(yǎng)創(chuàng)新能力.

通過把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形體會轉(zhuǎn)化思想,感受從特殊到一般的數(shù)學思考方法.

學生提高動手實操能力、突破“添”的思維局限

綜合運用新舊知識解決問題.

回顧本節(jié)內(nèi)容,培養(yǎng)學生的歸納概括能力.

反思總結(jié),鞏固提高.

課前準備

教具

學具

補充材料

教師用三角尺

課件

剪刀

復印材料

三角形紙片

教學過程設(shè)計

問題與情景

師生行為

設(shè)計意圖

[活動1、2]

問題1.三角形的內(nèi)角和是多少?

與形狀有關(guān)嗎?

問題2.正方形、長方形的內(nèi)角和是多少?

由此你能猜想任意凸四邊形內(nèi)角和嗎?

動腦筋、想辦法,說明你的猜想是正確的.

問題3添加輔助線的目的是什么,方法有沒有什么規(guī)律呢?

學生回答:

三角形內(nèi)角和是180°,與形狀無關(guān);正方形、長方形內(nèi)角和是360°(4×90°),由此猜想任意凸四邊形內(nèi)角和是360°.

學生先獨立探究,再小組交流討論.

教師深入小組指導,傾聽學生交流.對于通過測量、拼圖說明的,可以引導學生利用添加輔助線的方法把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形.

學生匯報結(jié)果.

①過一個頂點畫對角線1條,得到2個三角

形,內(nèi)角和為2×180°;

②畫2條對角線,在四邊形內(nèi)部交于一點,得到4個三角形,內(nèi)角和為4×180°-360°;

③若在四邊形內(nèi)部任取一點,如圖,也可以得到相應的結(jié)論;

④這個點還可以取在邊上(若與頂點重合,轉(zhuǎn)化為第一種情況——連接對角線;否則如圖4)

內(nèi)角和為3×180°-180°;

⑤點還可以取在外部,如圖5、6.由圖5,內(nèi)角和為3×180°-180°;由圖6,內(nèi)角和為2×180°;

教師重點關(guān)注:①學生能否借助輔助線把四邊形分割成幾個三角形;②能否借助輔助線找到不同的分割方法.

教師總結(jié):利用輔助線把四邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和,體現(xiàn)了化未知為已知的轉(zhuǎn)化思想..以上這些方法同樣適用于探究任意凸多邊形的內(nèi)角和.為方便起見,下面我們可以選用最簡單的方法——過一點畫多邊形的對角線,來探究五邊形、六邊形,甚至任意n邊形的內(nèi)角和.

通過回憶三角形的內(nèi)角和,有助于后續(xù)問題的解決.

從四邊形入手,有利于學生探求它與三角形的關(guān)系,從而有利于發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的思想方法.

通過動手操作尋找結(jié)論,讓他們積極參加數(shù)學活動、主動思考、合作交流,體驗解決問題策略的多樣性.

通過尋求多種方法解決問題,訓練學生發(fā)散思維能力、培養(yǎng)創(chuàng)新意識.

[活動3]

問題4怎樣求n邊形的內(nèi)角和?(n是大于等于3的整數(shù))

學生歸納得出結(jié)論:從n邊形的一個頂點出發(fā)可以引(n-3)條對角線,它們將n邊形分割成(n-2)個三角形,(凸)n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)×180°.

特點:內(nèi)角和都是180°的整數(shù)倍.

通過歸納概括得出任意凸多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)關(guān)系的表達式,體會數(shù)形之間的聯(lián)系,感受從特殊到一般的數(shù)學推理過程和數(shù)學思想方法.

[活動4]

每名同學發(fā)一張三角形紙片

問題5一張三角形紙片只剪一刀,能不能得到一個四邊形,在這一過程中內(nèi)角發(fā)

《多邊形的內(nèi)角和》公開課

生了怎樣的變化

問題6由四邊形得到五邊形呢?

依此類推能否猜想n邊形內(nèi)角和公式

將三角形去掉一個角可以得到四邊形,如圖7,四邊形內(nèi)角和為

180°+2×180°-180°=2×180°.

每個圖形都是前一個圖形剪去一個三角形,每次操作內(nèi)角和增加180°,n邊形是三角形經(jīng)過(n-3)次操作得到的,所以n邊形內(nèi)角和公式為(n-2)×180°

(嚴謹?shù)淖C明應在學習數(shù)學歸納法后)

學生突破常規(guī),學會逆向思維,變以往的“把多邊形轉(zhuǎn)化成三角形”為“把三角形轉(zhuǎn)化成多邊形”同樣使問題得到解決

[活動5]

知道了凸多邊形的內(nèi)角和,它可以解決哪些問題呢?

問題6:六邊形的外角和等于多少?

n邊形外角和是多少?

學生自己畫圖、思考.敘述理由:六邊形的六個外角與六個內(nèi)角構(gòu)成6個平角,結(jié)合內(nèi)角和公式,因此得到

6×180°-(6-2)×180°=360°

學生思考,回答.

n邊形中,每個頂點處的內(nèi)角與一個外角組成一個平角,它們的和,即n邊形內(nèi)角和與外角和的和為n×180°,而內(nèi)角和為(n-2)×180°,因此外角和為360°.

利用內(nèi)角和求外角和,鞏固了內(nèi)角和公式.

如時間允許,此時還可補充利用“轉(zhuǎn)角”求多邊形外角和的方法,這樣就變成了可以利用外角和來推導內(nèi)角和,這又是一種逆向思維

練習

一個多邊形各內(nèi)角都相等,都等于150°,它的邊數(shù)是,內(nèi)角和是.

練習.解:(n-2)180=150n,n=12;

或360÷(180-150)=12(利用外角和)

150°×12=1800°.

鞏固內(nèi)角和公式,外角和定理.

[活動5]

小結(jié)

下面請同學們總結(jié)一下這節(jié)課你有哪些收獲.

學生自己小結(jié),老師再總結(jié).

1.多邊形內(nèi)角和公式(n-2)180°,外角和是360°;

2.由特殊到一般的數(shù)學方法、轉(zhuǎn)化思想.

學會總結(jié),培養(yǎng)歸納概括能力.

作業(yè):

課后思考題.

一同學在進行多邊形的內(nèi)角和計算時,求得內(nèi)角和為1125°,可能嗎?

當他發(fā)現(xiàn)錯了之后,重新檢查,發(fā)現(xiàn)少算了一個內(nèi)角,你能求出這個內(nèi)角是多少度?他求的是幾邊形的內(nèi)角和嗎?

多邊形內(nèi)角和與不等式的綜合應用題,一題多解,提高學生的綜合應用能力.

作業(yè):

解法1.設(shè)這是n邊形,這個內(nèi)角為x°,依題意:(n-2)180=1125+x

x=(n-2)180-1125

∵0<x<180

∴0<(n-2)180-1125<180

解得:<n<

∵n是整數(shù),

∴n=9.

x=(9-2)180-1125=135

注:方程(n-2)180=1125+x中有兩個未知數(shù),解法1用n表示x,根據(jù)x的取值范圍解不等式組求出了n;如果用x表示n,你能解出來嗎?

解法2.設(shè)這是n邊形,這個內(nèi)角為x°,依題意:(n-2)180=1125+x

∵n是整數(shù),

∴45+x是180的倍數(shù).

又∵0<x<180

∴45+x=180,x=135,n=9

還可以根據(jù)內(nèi)角和的特點,先求出內(nèi)角和.

解法3.設(shè)此多邊形的內(nèi)角和為x°,依題意:1125<x<1125+180

即:180×6+45<x<180×7+45

∵x是多邊形內(nèi)角和的度數(shù)

∴x是180的倍數(shù)

∴x=180×7=1260邊數(shù)=7+2=9,

這個內(nèi)角=1260°-1125°=135°

解法4(極值法).設(shè)這是n邊形,這個內(nèi)角為x°,則0<x<180,依題意:(n-2)180=1125+x

令x=0,得:n=,令x=180,得:n=

∴<n<其余同解法1.