導(dǎo)數(shù)分類討論的思路范文

導(dǎo)語：如何才能寫好一篇導(dǎo)數(shù)分類討論的思路，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

關(guān)鍵詞：參數(shù)；導(dǎo)數(shù)；極值；最值；分類討論；構(gòu)造

導(dǎo)數(shù)作為最為重要的數(shù)學(xué)工具之一，在數(shù)學(xué)物理等學(xué)科中有非常廣泛的應(yīng)用。由于含有參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題在解題過程中往往需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行求值或討論分析，因此它也是高中學(xué)生答題的難點(diǎn)，本文主要針對(duì)這一問題加以分析討論，以供參考。

對(duì)含有參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題中的參數(shù)進(jìn)行求值。比較常見與典型的有下面幾種情況：

在含有參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題中，最為常見的一類求值問題是已知函數(shù)的極值點(diǎn)（有時(shí)是最值），利用函數(shù)y=f(x)在x=x0處取得極大值或極小值時(shí)，此時(shí)f′(x)=0將x=x0代入即可求出參數(shù)的值。

例1：（2012年高考（江蘇））若函數(shù)y=f(x)在x=x0處取得極大值或極小值,則稱x0為函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn).已知a，b是實(shí)數(shù)，1和-1是函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx的兩個(gè)極值點(diǎn).求a和b的值.

解:由f(x)=x3+ax2+bx，得f′(x)=3x2+2ax+b.

1和-1是函數(shù)f(x)=x3+ax2+b的兩個(gè)極值點(diǎn)，

f′(x)=3+2a+b=0，f′(-1)=3-2a+b=0，解得a=0，b=-3.

另一類常見的對(duì)參數(shù)求值的問題主要研究函數(shù)f(x)=g(x)+m（其中g(shù)(x)為已知函數(shù)），在這一問題中由于g(x)是已知的，所以函數(shù)f(x)=g(x)+m的基本圖形是固定的，參數(shù)m僅僅決定函數(shù)f(x)=g(x)+m的上下位置。在此類問題中，經(jīng)常根據(jù)函數(shù)f(x)=g(x)+m的最值（有時(shí)是極值），利用它與函數(shù)g(x)圖形的一致性求出參數(shù)m的值，這種問題也常常轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=m的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

例2：（05北京卷）已知函數(shù)f(x)=-x3+3x2+9x+a，若f(x)在區(qū)間[-2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值.

解：因?yàn)閒(-2)=8+12-18+a=2+a，f(2)=-8+12+18+a=22+a，

所以f(2)>f(-2).因?yàn)樵冢?1，3）上f′(x)>0，所以f(x)在[-1， 2]上單調(diào)遞增，又由于f(x)在[-2，-1]上單調(diào)遞減，因此f(2)和f(-1)分別是f(x)在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值，于是有 22+a=20，解得a=-2.

故f(x)=-x3+3x2+9x-2，因此f(-1)=1+3-9-2=-7，

即函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2，2]上的最小值為-7.

求值問題中還有一類是主要利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義。特別強(qiáng)調(diào)下面兩點(diǎn)①過函數(shù)y=f(x)上的點(diǎn)p(x0，f(x0))在這一點(diǎn)切線的斜率等于在這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)②p(x0，f(x0))這一點(diǎn)不僅是在函數(shù)y=f(x)上而且也在它的切線上。使用這二點(diǎn)可以列出二個(gè)方程進(jìn)而列出方程組求出參數(shù)的值。有時(shí)，這一類型的問題會(huì)變形為二個(gè)不同的函數(shù)y=f(x)與y=g(x)在它們的交點(diǎn)有公共的切線或切線與已知的直線平行（垂直）的形式，其實(shí)質(zhì)也是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

例3：（05福建卷）已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+ax+d的圖象過點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)M（-1，f（-1））處的切線方程為6x-y+7=0.求函數(shù)的解析式.

解：由f(x)的圖象經(jīng)過P（0，2），知d=2，所以f(x)=x3+bx2+cx+2，

f′(x)=3x2+2bx+c.

由M(-1，f(-1))在處的切線方程是6x-y+7=0，知-6-f(-1)+7=0，即f(-1)=1，f′(-1)=6.

3-2b+c=6，

-1+b-c+2=1，即2b-c=3，

b-c=0，解得b=c=-3.

故所求的解析式是f(x)=x3-3x2-3x+2.

在含有參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題中，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分析討論確定取值范圍往往比對(duì)參數(shù)進(jìn)行求值更為麻煩，需要注意的事項(xiàng)更多。學(xué)生在處理這一方面的問題時(shí)經(jīng)常考慮得不是很周到，甚至在碰到這些題目的時(shí)候無從下手，用錯(cuò)方法。因此更需要教師在課堂上把這些問題分析透徹，并給出對(duì)應(yīng)的解題思路與技巧，這迫使我們必須在這一問題上進(jìn)行更深的了解和研究。

其中最為常見的方法是分類討論。而常見的分類論據(jù)通常有:一根據(jù)有無極值來分，二根據(jù)駐點(diǎn)的大小來分，三根據(jù)最高項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)等幾種方法來進(jìn)行分類討論及解題，同時(shí)必須強(qiáng)調(diào)指出，分類一定要先分析函數(shù)定義域，并在定義域的范圍內(nèi)進(jìn)行。

例4：（天津卷）已知函數(shù)f(x)=(x∈R)，其中a∈R.

（I）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程；

（II）當(dāng)a≠0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

解：（I）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=，f(2)=.

又f′(x)==，f′(2)=-

所以，曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為

y-=-(x-2)，即6x+25y-32=0.

（II）f′(x)==-

由于a≠0以下分兩種情況討論.即a>0與a

本題中主要是使用分類討論的方法來研究函數(shù)的單調(diào)性，但學(xué)生在分類時(shí)容易認(rèn)為是利用二個(gè)不同的駐點(diǎn)x1=-，x2=a.進(jìn)行分類，而實(shí)質(zhì)上應(yīng)該利用最高項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)進(jìn)行分類處理，這正是這一類問題的難點(diǎn)所在。所以在分類過程中一定要把握好分類的依據(jù)，做到不重不漏。

含有參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題除了使用分類討論的方法，另一種常見的方法是利用函數(shù)y=f(x)在一特定的區(qū)間滿足一定的條件，通常可通過一定的變形為g(x)>c的形式，只要利用構(gòu)造的方法構(gòu)造出函數(shù)g(x)并利用函數(shù)g(x)在特定區(qū)間上的最值與C進(jìn)行判斷，就很容易可以給出參數(shù)的取值范圍。但這一方法有時(shí)對(duì)如何構(gòu)造函數(shù)g(x)的技巧要求較高，同時(shí)有些題目甚至需要多次使用構(gòu)造的方法，學(xué)生掌握起來有一定的難度。

例5.（2012年高考（天津理））已知函數(shù)f(x)=x-ln(x+a)的最小值為0，其中a>0.

(Ⅰ)求a的值;

(Ⅱ)若對(duì)任意的x∈[0，+∞)，有f(x)≤kx2成立，求實(shí)數(shù)k的最小值;

解：（1）f(x))的定義域?yàn)?-a，+∞)

f(x)=x-ln(x+a)⇒f′(x)=1-==0⇔x=1-a>-a

f′(x)>0⇔x>1-a，f′(x)

得：x=1-a時(shí)，f(x)min=f(1-a)⇔1-a=0⇔a=1

（2）設(shè)g(x)=kx2-f(x)=kx2-x+ln(x+1)(x≥0)

則g(x)≥0在x∈[0，+∞)上恒成立⇔g(x)min≥0=g(0)(*)

g(1)=k-1+ln2≥0⇒k>0

g′(x)=2kx-1+=

①當(dāng)2k-1

②當(dāng)k≥時(shí)，g′(x)≥0⇒g(x)min=g(0)=0符合（*）

得：實(shí)數(shù)k的最小值為

這一類的題型有時(shí)也可使用參變量分離的方法，當(dāng)參數(shù)分離出來后，一般情況下，函數(shù)可變形為a>g(x)這一形式，其后可使用與剛才相似的方法進(jìn)行解題。

當(dāng)導(dǎo)數(shù)問題中含有參數(shù)以后，題目靈活多變，要想正確解題如同在迷霧中找到一條正確的出路一般。但如果我們能抓到問題的實(shí)質(zhì)，分清主次，找到正確的應(yīng)對(duì)方法，加上一些必要的訓(xùn)練，含有參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題也可成為得分點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)：

篇2

（）必做1 已知a＋b0，則（ ）

A． a2

C． a2

精妙解法 法1：因a＋b0，所以b

法2：因a＋b0，所以b

法3：因a＋b0，所以不妨取a=1，b=－2，此時(shí)a2=1，b2=4，－ab=2，顯然有a2

誤點(diǎn)警示 不等式兩邊只有同乘以一個(gè)正數(shù)，不等式方向才不改變；若同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，則要改變方向；同向不等式相乘不一定正確，只有同向的正數(shù)不等式才能相乘．特殊值法解題時(shí)，必須滿足前提條件，如a＋b0，即b

極速突擊 作差比較法是比較大小的最基本的方法，作差后一般要變形定號(hào)，有時(shí)也會(huì)先平方再作差，或采用作比比較法． 涉及不等關(guān)系的選擇題，一般來說，結(jié)合題設(shè)條件尋求特殊值法比較方便．

（）必做2 對(duì)任意x∈R，若f ′（x）>f（x）且a>0，則f（a）________ea?f（0）（填大小關(guān)系）

精妙解法 由f（a）與ea?f（0）聯(lián)想e0?f（a）與ea?f（0），進(jìn)而聯(lián)想新函數(shù)ex－a與f（x）的有機(jī)組合，建構(gòu)：y=，則y′=>0，所以y（a）>y（0），即f（a）>ea?f（0）．

極速突擊 此類問題關(guān)注三點(diǎn)：（1）單調(diào)性――作為解決問題的大方向；（2）導(dǎo)數(shù)應(yīng)用――導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的利器，利用一階導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性能事半功倍；（3）有機(jī)組合――在解決問題過程中，如何選擇函數(shù)和建構(gòu)新函數(shù)是關(guān)鍵．

金刊提醒

靈活運(yùn)用不等式的性質(zhì)，可以解決比大小、證明、解不等式等許多問題．

不等式的解法

（）必做3 設(shè)函數(shù)f（x）=（x+1）2，x≤－1，2x+2，－1

A． （－∞，－2）∪－，+∞

B． －，

C． （－∞，－2）∪－，1

D． －2，－∪（1，+∞）

精妙解法 由f（x）及f（a）＞1可得：a≤－1，（a+1）2>1①；或－11②；或a≥1，－1>1③；解①得a

誤點(diǎn)警示 每種情況之間是并集，每種情況內(nèi)部是交集為兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)．

極速突擊 對(duì)每一段解不等式，同時(shí)弄清集合間的交并關(guān)系．

（）必做4 已知函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，且在（－∞，0］上單調(diào)遞減，且f（1）=0，若af（a）>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．

圖1

精妙解法 作出函數(shù)y=f（x）在R上的大致圖象，由af（a）>0，可得當(dāng)a>0時(shí)，f（a）>0，所以a>1；當(dāng)a

極速突擊 解題時(shí)，應(yīng)該盡量畫出函數(shù)圖象，使得問題具體化，避免因?yàn)槌橄笏季S帶來的解題失誤，以求事半倍功．

金刊提醒

一元二次不等式的解法，可結(jié)合二次函數(shù)的圖象求解，重點(diǎn)突破三個(gè)二次問題的聯(lián)系．

線性規(guī)劃

（）必做5 動(dòng)點(diǎn)P（a，b）在不等式組x+y－2≤0，x－y≥0，y≥0表示的平面區(qū)域內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則w=的取值范圍是________．

精妙解法 w==1+=1+k，k為定點(diǎn)（1，2）與可行域上動(dòng)點(diǎn)連線的斜率，由數(shù)形結(jié)合得斜率k的取值范圍為（－∞，－2］∪［2，+∞），所以w=的取值范圍是（－∞，－1］∪［3，+∞）．

誤點(diǎn)警示 不能對(duì)w=進(jìn)行合理的變形，不會(huì)用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化．

極速突擊 線性規(guī)劃問題一般采用數(shù)形結(jié)合，同時(shí)要化未知為已知，化生為熟．

（）必做6 設(shè)實(shí)數(shù)a，b滿足3a－2b+1≥0，3a+2b－4≥0，a≤1，則9a2+4b2的最大值是___________．

精妙解法 令x=3a，y=2b，原不等式組可化為x－y+1≥0，x+y－4≥0，x≤3，目標(biāo)函數(shù)可化為z=x2+y2=（）2，可將它看做原點(diǎn)與可行域上動(dòng)點(diǎn)連線的距離的平方，作出換元后的可行域，再由數(shù)形結(jié)合可得的最大值是25．

極速突擊 換元化歸，等價(jià)轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合．

金刊提醒

在線性規(guī)劃問題的求解中，要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，在解題中能認(rèn)真領(lǐng)悟圖解法的實(shí)質(zhì)．

基本不等式與最值運(yùn)用

（）必做7 若直線ax+2by－2=0（a>0，b>0）始終平分圓x2+y2－4x－2y－8=0的周長(zhǎng)，則+的最小值為（ ）

A． 1 B． 3+2

C． 5 D． 4

精妙解法 由已知可得直線過圓心（2，1），從而a+b=1，且a>0，b>0，+=+（a+b）=3++≥3+2，當(dāng)且僅當(dāng)a=－1，b=2－時(shí)取等號(hào)． 故選B．

誤點(diǎn)警示 此題容易錯(cuò)解如下：由已知可得直線過圓心（2，1），從而a+b=1，且a>0，b>0，+≥2=≥=4，故選D． 錯(cuò)誤的原因是無法取到等號(hào)． 事實(shí)上+≥2成立，當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)取到等號(hào)；≥成立，當(dāng)且僅當(dāng)b=a時(shí)取到等號(hào)，又a>0，b>0，這樣的a，b不存在．

極速突擊 用基本不等式求最值必須驗(yàn)證等號(hào)能否取到，一般當(dāng)?shù)忍?hào)無法取到時(shí)，用基本不等式求最值無效，此時(shí)應(yīng)改用其他變形手段設(shè)法能使其取到等號(hào)，或者利用函數(shù)單調(diào)性求最值．

（）必做8 函數(shù)f（x）=+2的最小值為_______.

精妙解法 要使f（x）=+2有意義，需x2－2x≥0且x2－5x+4≥0，所以f（x）=+2的定義域是｛xx≤0或x≥4｝． 當(dāng)x≤0時(shí)， f（x）=+2是單調(diào)遞減函數(shù)，在x=0處取最小值為4；當(dāng)x≥4時(shí)， f（x）=+2是單調(diào)遞增函數(shù)，在x=4處取最小值為1+2，比較得最小值為1+2．

極速突擊 從定義域上突破，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求最值．

金刊提醒

運(yùn)用基本不等式解題時(shí)，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用、活用，還要注意“添拆項(xiàng)”技巧和公式等號(hào)成立的條件等；基本不等式應(yīng)用中一定要注意三個(gè)細(xì)節(jié)，即“一正二定三相等”，記住兩個(gè)結(jié)論：“和定積最大”與“積定和最小”．

不等式恒成立與有解

（）必做9 設(shè)函數(shù)f（x）=x3+x，x∈R，若當(dāng)0≤θ≤時(shí)，f（msinθ）+f（1－m）>0恒成立，則m的取值范圍是_________．

精妙解法 函數(shù)f（x）=x3+x，x∈R，易知f（x）為奇函數(shù)，所以f（msinθ）+f（1－m）>0可化為f（msinθ）>－f（1－m）=f（m－1），且f（x）在R上是增函數(shù)，所以msinθ>m－1，m（1－sinθ）

誤點(diǎn)警示 f（msinθ）+f（1－m）>0可化為（msinθ）3+msinθ+（1－m）3+（1－m）>0，接下來不會(huì)因式分解化簡(jiǎn)． 因此，我們應(yīng)充分考慮函數(shù)的性質(zhì)．

極速突擊 不等式恒成立問題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，求最值有時(shí)要按參數(shù)分類討論． 若采用分離變量法，再求最值，往往可避免分類討論． 一般地f（x）>a對(duì)一切x∈D都成立?圳f（x）min>a； f（x）

（）必做10 已知函數(shù)f（x）=lnx－x+－1，g（x）=x2－2bx+4.當(dāng)a=時(shí)，若對(duì)任意x1∈（0，2），存在x2∈［1，2］，使f（x1）≥g（x2），則實(shí)數(shù)b的取值范圍是______．

精妙解法 因?yàn)閒 ′（x）=－－==－= －，又因?yàn)閤∈（0，2），所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)， f ′（x）0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，所以f（x）在（0，2）上的最小值為f（1）=－． 由于“對(duì)任意x1∈（0，2），存在x2∈［1，2］，使f（x1）≥g（x2）”等價(jià)于“g（x）在［1，2］上的最小值不大于f（x）在（0，2）上的最小值－”，即存在x∈［1，2］，使g（x）=x2－2bx+4≤－，即2bx≥x2+，即2b≥x+∈，，所以2b≥，解得b≥，即實(shí)數(shù)b的取值范圍是，+∞．

誤點(diǎn)警示 對(duì)條件“若對(duì)任意x1∈（0，2），存在x2∈［1，2］，使f（x1）≥g（x2）”不能正確轉(zhuǎn)化是解題的誤區(qū)，如把問題轉(zhuǎn)化為“f（x1）min≥g（x2）max”．

極速突擊 解決“全稱命題”“特稱命題”相關(guān)的試題時(shí)一般可以分成下面四步走：（1）實(shí)行變量分離，轉(zhuǎn)化成求最值問題；（2）判斷求最大值還是最小值：（3）求解f（x）的最值；（4）得出結(jié)論．

篇3

關(guān)鍵詞 階梯函數(shù) 連續(xù)型隨機(jī)變量 邊緣分布

中圖分類號(hào)：O211.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/ki.kjdks.2016.04.026

Abstract This paper discussed some properties of the distribution function of continuous random variables and discrete random variables， and to explore the probability of the two-dimensional continuous random variable in arbitrary curve is zero and the and one dimensional continuous random variable relationship. These problems are a few concepts between contact the basic problem description， but also in teaching easy to overlook problems. For this reason， to collate， to have a more clear understanding of random variables.

Key words step function； continuous random variable； marginal distribution

概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的科學(xué)，通俗地講，就是研究某種現(xiàn)象或某個(gè)事件發(fā)生的可能性大小，比如投擲硬幣，出現(xiàn)正、反面的可能性有多大；在路上，偶遇一個(gè)孕婦，那么此孕婦生男孩和生女孩的可能性又各有多大？這個(gè)可能性就是概率論學(xué)科要研究的最主要目標(biāo)――概率，那么要如何研究事件的概率問題，這就需要把隨機(jī)現(xiàn)象引入到一個(gè)合理有效、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚擉w系中，在這個(gè)過程中，隨機(jī)變量就像一座橋梁或基石，在理論研究中起著無可替代的作用。隨機(jī)變量從本質(zhì)上看就是一個(gè)函數(shù)，或者更加清楚準(zhǔn)確地描述為：從由隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的樣本空間到實(shí)數(shù)上的一對(duì)一或多對(duì)一的映射。正是由于隨機(jī)變量的存在，隨機(jī)現(xiàn)象的研究中才將高等數(shù)學(xué)引入到了整個(gè)理論體系中，使得概率論學(xué)科獲得了巨大的進(jìn)步。隨機(jī)變量在我們的教學(xué)過程中，一般只討論兩種典型情形：離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。在概率論的講解過程中，可以發(fā)現(xiàn)離散型隨機(jī)變量的定義淺顯而直觀，易于理解和接受， 而連續(xù)型隨機(jī)變量的定義則有些抽象了。對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的深層次理解，嚴(yán)重依賴于對(duì)高等數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容的理解，尤其是對(duì)積分和各種函數(shù)知識(shí)的掌握。另外，無論是離散型隨機(jī)變量還是連續(xù)型隨機(jī)變量，我們的主要目標(biāo)都要研究其概率的取值情況，也就是隨機(jī)變量的概率分布情況，因此在本文中我們主要討論的內(nèi)容就是隨機(jī)變量的分布函數(shù)的一些特點(diǎn)。通過對(duì)概率分布函數(shù)的詳細(xì)分析，進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)隨機(jī)變量，尤其是連續(xù)型隨機(jī)變量的認(rèn)識(shí)，本文將幾個(gè)關(guān)于概率分布的基本問題進(jìn)行整理和歸納，其中第一個(gè)問題分別討論了離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型變量的分布函數(shù)的基本特點(diǎn)；第二個(gè)問題討論了一維、二維連續(xù)型隨機(jī)變量在什么情況下，概率的取值為零；第三個(gè)問題討論了二維連續(xù)型隨機(jī)變量與邊緣分布之間的關(guān)系。在下文中，我們將以上三個(gè)問題逐一加以討論。

第一個(gè)問題：離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù)，連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。這個(gè)結(jié)論正確嗎？其逆命題成立嗎？

這里，我們首先要明確階梯函數(shù)的定義。定義在區(qū)間[]上的函數(shù)，如果存在有限個(gè)分點(diǎn) = …，在每個(gè)開區(qū)間（）， 上取常數(shù)，則稱之為階梯函數(shù)。將此定義推廣到無限區(qū)間上時(shí)，只要求滿足在任意有限區(qū)間上如上定義（參見王梓坤（1996））即可。總之，無論有限情形還是無限情形，從圖像上看，階梯函數(shù)都會(huì)出現(xiàn)階梯形狀。 故而，當(dāng)離散型隨機(jī)變量取有限個(gè)值時(shí)，容易知道其分布函數(shù)一定是階梯函數(shù)；然而當(dāng)其取值為可列多個(gè)值時(shí)，則不一定是階梯函數(shù)了。

例： 定義一個(gè)取值于（0，1）中的有理數(shù) （互質(zhì)）的離散型隨機(jī)變量如下：

= ，

其中 = ， 為（0，1）上的有理數(shù)集。

顯然，此隨機(jī)變量確定的分布函數(shù)在區(qū)間（0，1）上的有理數(shù)點(diǎn)處都發(fā)生跳躍，其圖象無法形成階梯形狀，也就不是階梯函數(shù)。另外，更多的例子可以在朱作賓（1984）中找到。

這個(gè)問題的反向結(jié)論則顯然是成立的，即如果一個(gè)分布函數(shù)是一個(gè)單調(diào)上升且右連續(xù)的階梯函數(shù)時(shí)，則與其對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量一定是離散型的，并且隨機(jī)變量的取值點(diǎn)就是跳躍間斷點(diǎn)。

那么連續(xù)型隨機(jī)變量的情形又是怎樣呢？ 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是一個(gè)變上限積分函數(shù)，一定是連續(xù)的，但其反向，則不然。如果一個(gè)分布函數(shù)連續(xù)且在每一點(diǎn)都可導(dǎo)，那么其導(dǎo)數(shù)就是對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)，也就是這個(gè)分布函數(shù)一定是連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)。然而，將此結(jié)論中的可導(dǎo)條件稍微弱化一點(diǎn)，改成幾乎處處可導(dǎo)，則結(jié)論不成立。一個(gè)例子可以參見桂春燕（2015）。這個(gè)例子是基于康托爾集構(gòu)造的，其過程比較繁瑣，本文只介紹一下該例子的構(gòu)造思想。其具體思路為：在非康托爾集上按特定規(guī)則定義為常數(shù)（該常數(shù)與點(diǎn)所在的區(qū)間有密切聯(lián)系），而在康托爾集上定義為由非康托爾集上的常數(shù)序定的上確界（極限值）以保證連續(xù)， 通過這種方法構(gòu)造的函數(shù)在非康托爾集上可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)為零，在康托爾集上不可導(dǎo)，而康托爾集為零測(cè)集，也就是說，我們得到了一個(gè)幾乎處處可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)幾乎處處為零的分布函數(shù)，故這個(gè)分布函數(shù)不是連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)。

第二個(gè)問題：一維連續(xù)型隨機(jī)變量在任意一點(diǎn)的概率為零，這是一個(gè)顯然的事實(shí)。那么這個(gè)結(jié)論推廣到多維情形又如何呢？是否可以推廣為二維連續(xù)型隨機(jī)變量在任意曲線上的概率為零？

這個(gè)問題的本質(zhì)是考慮一個(gè)二元可積函數(shù)在曲線上的二重積分問題，而在二維空間內(nèi)曲線的測(cè)度一般為零，比如常見的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等初等函數(shù)確定的曲線，此時(shí)上述推廣的結(jié)論是成立的。然而，數(shù)學(xué)常常會(huì)有讓人驚訝的奇妙之處。事實(shí)上，曲線的測(cè)度不一定是零， 一個(gè)有趣的例子就是皮亞諾曲線（可參見那湯松（1965））。關(guān)于此曲線的一種經(jīng)典的構(gòu)造方法是通過把一個(gè)正方形分割成4個(gè)小正方形，然后將小正方形的中心點(diǎn)相連，此過程不斷重復(fù)遞歸，取極限后，可構(gòu)造出一條曲線，該曲線可以覆蓋整個(gè)正方形。這種語言描述顯得有點(diǎn)不夠嚴(yán)謹(jǐn)，趙明方（1965）給出了一類皮亞諾曲線的解析表達(dá)式，其具體定義如下：

在閉區(qū)間[0，2]上，令

且 = ，是整數(shù)，是[0， 36]上任意的一個(gè)實(shí)數(shù)。 再令

= ， =

從而可由， 構(gòu)造出一條曲線：，趙明方（1965）證明了此曲線就是正方形[0，1][0，1]上的皮亞諾曲線，可以表示正方形中的任何一個(gè)點(diǎn)。因此，如果在某個(gè)正方形上定義一個(gè)服從二維均勻分布的隨機(jī)變量，則其在對(duì)應(yīng)的皮亞諾曲線上的概率為1。不過，這種曲線是極其特殊的，值得更進(jìn)一步的研究和討論。為避開這種特殊情形，我們可以限制曲線為可由一元參數(shù)方程確定的光滑曲線，此時(shí)光滑曲線的面積（測(cè)度）一定為零，那么我們的結(jié)論在光滑曲線上就一定是成立的，也就是說二維連續(xù)型隨機(jī)變量在光滑曲線上的概率一定為零。

第三個(gè)問題：二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布是否一定對(duì)應(yīng)連續(xù)型隨機(jī)變量？反之， 如果邊緣分布都對(duì)應(yīng)連續(xù)型隨機(jī)變量，其二維隨機(jī)變量是否一定是連續(xù)型的？

這一個(gè)問題的前半部分的答案是肯定的。事實(shí)上，假設(shè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，則的邊緣分布為

= ，

故存在一個(gè)非負(fù)函數(shù) = 滿足連續(xù)型隨機(jī)變量的定義。然而，其反向結(jié)論則不成立，可見下面的例子。

例：假設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，，則二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為：

此時(shí)， = 0， 從而不存在一個(gè)滿足二維連續(xù)型隨機(jī)變量的定義的非負(fù)二元函數(shù)，即不是二維連續(xù)型隨機(jī)變量。

以上幾個(gè)問題，是概率論教學(xué)過程中需要留意的幾個(gè)小問題，這些問題因?yàn)槎际窃诜浅Ｒ?guī)情形下出現(xiàn)，往往容易忽視，故而在學(xué)習(xí)研究概率論的過程中，要始終保持謹(jǐn)慎認(rèn)真的態(tài)度，既要對(duì)知識(shí)有直觀的認(rèn)識(shí)，又要嚴(yán)格對(duì)待理論體系的嚴(yán)密邏輯。

參考文獻(xiàn)

[1] 王梓坤.隨機(jī)過程通論.北京師范大學(xué)出版社，1996：73.

[2] 朱作賓.關(guān)于離散型分布函數(shù)的一個(gè)問題.安徽師大學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1984：19-21.

[3] 桂春燕.連續(xù)的分布函數(shù)與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系. 安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015.21（1）：101-102.

篇4

Abstract： Since the problems do not depend on the specific areas, Genetic Algorithm as a method of strong robustness is widely used in many subjects and it is more and more discussed and tried in the decomposition of overlapping peaks. This thesis introduced processes of design, process and data analysis of Genetic Algorithm program and made several attempts in improvements of Genetic Algorithm from analyzing Lorentz overlapping peaks of computer simulation.

關(guān)鍵詞： 遺傳算法; Lorentz重疊峰

Key words： Genetic Algorithm; Lorentz overlapping peaks

中圖分類號(hào)：O17文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1006-4311（2011）04-0208-01

1重疊峰分解曲線擬合的數(shù)學(xué)原理

1.1 光譜譜線峰形對(duì)于大多數(shù)原子或離子發(fā)射譜線，其波形是由于不均勻展寬所致，服從Gauss函數(shù)分布規(guī)律，而均勻展寬的譜線輪廓卻總具有Lorentz曲線的形式。

Lorentz型的數(shù)學(xué)描述是II，λ，σ，λ=I1-In2

I、λ、σ分別表示譜線的峰值強(qiáng)度、中心波長(zhǎng)與半高半寬度。

1.2 基于最小二乘的尋優(yōu)方法在重疊峰分解中的應(yīng)用曲線分離的擬合計(jì)算，也即光譜曲線的退卷積計(jì)算，判斷這類擬合計(jì)算效果的優(yōu)劣，最常用的一種評(píng)價(jià)準(zhǔn)則是最小二乘法。即譜線擬合問題歸結(jié)為求使目標(biāo)函數(shù)F最小時(shí)，即minfλ-I成立時(shí)的譜線參數(shù)。

2遺傳算法在Lorentz型重疊峰分解中的嘗試

2.1 遺傳算法概述及改進(jìn)

2.1.1 概述遺傳算法是一種模擬自然界生物進(jìn)化過程隨機(jī)搜索算法，它使用群體搜索技術(shù)，通過對(duì)當(dāng)前群體施加選擇、交叉、變異等一系列遺傳操作，從而產(chǎn)生出新一代的群體，并逐步使群體進(jìn)化到包含或接近最優(yōu)解的狀態(tài)[1]。它的搜索過程與自然界生物進(jìn)化過程相似，在搜索過程中不易陷入局部最優(yōu)[2]。遺傳算法主要有以下幾個(gè)步驟：①初始化群體；②計(jì)算群體的適應(yīng)度；③算子操作：a.選擇算子，b.交叉算子，c.變異算子，產(chǎn)生子代群體④反復(fù)執(zhí)行②③，直到群體符合終止條件，選擇最佳個(gè)體為最優(yōu)解。

2.1.2 遺傳算法的改進(jìn)及最速下降法的引入遺傳算法雖然具備魯棒性好、適應(yīng)性廣泛、同時(shí)搜索空間多點(diǎn)的并行性、找到全局最優(yōu)解概率大等優(yōu)點(diǎn)[3]，但也存在許多不足之處[4]。本文采取了遺傳算法與最速下降法相結(jié)合的混合遺傳算法。

2.2 混合遺傳算法在Lorentz型重疊峰分解中的MATLAB實(shí)現(xiàn)

本文首先以Lorentz峰型為例，使用計(jì)算機(jī)模擬幾個(gè)Lorentz型峰的重疊，然后再使用遺傳算法進(jìn)行分解，最后比較分解到結(jié)果與初始設(shè)定的參數(shù)的差異，從而判斷遺傳算法在重疊峰分解中的優(yōu)劣。

2.2.1 標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法的主要流程

①染色體編碼，產(chǎn)生初始群體。采用的是浮點(diǎn)數(shù)編碼方式，根據(jù)變量的個(gè)數(shù)產(chǎn)生變異概率、最大遺傳代數(shù)、個(gè)體數(shù)目以及并行遺傳算法中用到的子種群數(shù)目，設(shè)置了遷移率和遷移個(gè)體。②目標(biāo)函數(shù)。Fit（I，λ，σ）=1-In2••I-y其中I，λ，σ即為單個(gè)Lorentz峰的參數(shù)，而n為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，m為初始群體的個(gè)體數(shù)目，xi與yi分別為第i個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)與強(qiáng)度，在分配適應(yīng)度時(shí)采用倒序，即FitV=ranking（-ObjV）；③選擇算子。使用隨機(jī)遍歷抽樣方式進(jìn)行選擇。按照個(gè)體在當(dāng)前種群中的適應(yīng)度FitV為繁殖概率性選擇個(gè)體。④交叉算子。使用離散重組方式進(jìn)行交叉。此方式完成當(dāng)前種群OldChrom中一對(duì)個(gè)體的離散重組，在后返回新的種群NewChrom。⑤變異算子。使用實(shí)值種群變異的方式。對(duì)實(shí)值種群OldChrom，使用給定的概率，變異每一個(gè)變量，返異后的種群。

2.2.2 最速下降算子嵌入MATLAB主程序①最速下降算子的具體運(yùn)行思路。首先按照前期給出的概率對(duì)每個(gè)個(gè)體進(jìn)行判斷是否需要進(jìn)行最速下降搜索，如果需要，則計(jì)算該個(gè)體對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)的梯度以及最速下降方向，繼而確定搜索步長(zhǎng)所需要的區(qū)間界限，然后根據(jù)Wolfe準(zhǔn)則搜索出每個(gè)個(gè)體對(duì)應(yīng)的步長(zhǎng)，從而找到了此個(gè)體最速下降的下一代，即確定了新的參數(shù)值；而對(duì)于不需要進(jìn)行最速下降搜索的，則將原個(gè)體直接復(fù)制到新的種群中。②在主程序中加入一個(gè)最速下降算子的基本思路。在進(jìn)入遺傳迭代之后，每進(jìn)行10代迭代，都要在選擇、交叉、變異等遺傳算法標(biāo)準(zhǔn)算子之后，進(jìn)行一次最速下降操作，用搜索之后的新種群取代原先種群，也可以視為一種定向的變異。

3運(yùn)行結(jié)果及分析

根據(jù)前述方式進(jìn)行分峰擬合，分別對(duì)帶肩雙Lorentz峰、帶肩三Lorentz峰及融合雙Lorentz峰等情況進(jìn)行遺傳算法搜索。

3.1 相對(duì)誤差情況帶肩雙Lorentz峰的峰強(qiáng)相對(duì)誤差控制在1.02%以內(nèi)，峰位相對(duì)誤差控制在0.0172%以內(nèi)，半高半峰寬相對(duì)誤差控制在0.268%以內(nèi)。

帶肩三高斯峰的峰強(qiáng)相對(duì)誤差控制在0.54%以內(nèi)，峰位相對(duì)誤差控制在0.00383%以內(nèi)，半高半峰寬相對(duì)誤差控制在0.230%以內(nèi)。

3.2 收斂情況標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法的最佳解收斂很快，但是其值并不很好，且平均適應(yīng)度不穩(wěn)定；而采用混合遺傳算法后，收斂也很快，而且收斂的結(jié)果比標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法的結(jié)果要好，最佳解和平均適應(yīng)度都很穩(wěn)定。

3.3 融合雙Lorentz峰情況對(duì)于嚴(yán)重重疊的融合峰，直接使用混合遺傳算法并不能獲得良好解。這就需要在運(yùn)算之前通過導(dǎo)數(shù)法及互相關(guān)函數(shù)進(jìn)行預(yù)判，并縮小解集合的范圍，之后再進(jìn)行混合遺傳算法運(yùn)算，結(jié)果良好。

參考文獻(xiàn)：

[1]周明，孫樹棟.遺傳算法原理及其應(yīng)用.國防工業(yè)出版社，1999：4~11.

[2]周向東，李通化，邊防，錢君津.高等化學(xué)學(xué)報(bào)，2000，21：216~218.

篇5

關(guān)鍵詞效用理論；多項(xiàng)Logit模型；最大收益；配送時(shí)間

中圖分類號(hào) F224.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

doi:10.3969/j.issn.1003-6970.2011.01.007

On the Real Diagnosis Analysis of Best Allocation Time for Internet Order Based on Many Items of Logit Model

ZHU Jia-rong

Guangxi National Teacher’s College,Department of Mathematics & Computer Science,P. R.China Guangxi Province, ChongZuo 532200

【Abstract 】 With the unceasing popularization and the rapid development of the Internet, shopping on the internet has become people’s one of daily expense fundamental modes, as a result, the number of sellers provide the internet shopping service is increasing day by day. However, the commodity price and the quality service are very different from one seller to another, because of this; the commodity price, the length of the order allocation time etc. are the key factors that decide whether a deal between the sellers and customers. Based on the standpoint of the sellers ,the customer s’ satisfaction for the price and service of the commodity and taking the sellers’ expectation for maximum profit as the goal ,this thesis establishes a mathematical model - - many items of Logit model to determine the best the allocation time for the customer s’ orders.

【Key words】theory of efficiency; many items of Logit model; maximum profit; the allocation time

0引言

近年來隨著網(wǎng)絡(luò)的普及和快速發(fā)展，網(wǎng)上訂貨、購物等電子商務(wù)已逐漸進(jìn)入人們的日常生活，提供網(wǎng)上購物服務(wù)的商家網(wǎng)站也日益增多，如淘寶網(wǎng)、當(dāng)當(dāng)網(wǎng)、拍拍網(wǎng)、卓越網(wǎng)、易趣網(wǎng)等都是比較有名氣的網(wǎng)上購物網(wǎng)站.顧客可以在網(wǎng)上訂購他們需要的商品，一旦顧客選定訂貨的商家，商家一般都會(huì)按顧客指定的送貨地址直接配送商品，這種方便、快捷的上門直接配送模式，越來越受到顧客的青睞.北京正望咨詢有限公司最新的調(diào)查結(jié)果顯示，2009年我國網(wǎng)上購物持續(xù)高速發(fā)展，有1.3億消費(fèi)者共計(jì)在網(wǎng)上購買了2670億元的商品，比2008年實(shí)現(xiàn)了90.7%的增長(zhǎng)。預(yù)計(jì)2010年我國網(wǎng)絡(luò)購物市場(chǎng)規(guī)模將達(dá)到4900億元，到2012年我國網(wǎng)絡(luò)購物市場(chǎng)規(guī)模將超過10000億元。網(wǎng)絡(luò)購物正成為越來越多消費(fèi)者的選擇，網(wǎng)絡(luò)渠道的價(jià)值也被越來越多的商家所認(rèn)知.但由于提供顧客選擇的商家眾多，不同商家所提供的商品種類、價(jià)格、服務(wù)質(zhì)量不盡相同，因此，對(duì)商家而言，除了需要考慮品種、價(jià)格因素外，如何為顧客提供更方便、更快捷的服務(wù)，縮短訂單配送時(shí)間也是吸引顧客的重要因素.

從數(shù)學(xué)的角度來分析，從顧客下訂單到配送入戶的實(shí)際時(shí)間是隨機(jī)的，所以若買賣雙方合約中規(guī)定的顧客訂單指定的配

送時(shí)間越短，雖然吸引顧客購買該商家商品的可能性會(huì)增加，但是商家違約的可能性也會(huì)越大.因此，商家一方面希望從顧客下訂單到配送入戶的時(shí)間周期能盡可能短，以便吸引更多的客源；另一方面，一旦商家所承諾的配送周期定得太短，商家又會(huì)有不能按時(shí)將商品配送到顧客手中的風(fēng)險(xiǎn)，從而在市場(chǎng)上產(chǎn)生不良影響，并導(dǎo)致失去顧客和需支付一定違約金.

現(xiàn)在市場(chǎng)上有三個(gè)商家提供顧客所需要購買的某種商品，而在影響顧客選擇購買商家的可衡量指標(biāo)中，其中一個(gè)就是商家的顧客訂單指定的配送時(shí)間.考慮某一指定的商家，除了顧客對(duì)該商家的訂單指定的配送時(shí)間以外，它從每個(gè)購買其商品的顧客中所獲得的平均毛利，從顧客下訂單到配送入戶的實(shí)際時(shí)間所服從的概率分布，配送發(fā)生延誤時(shí)單位時(shí)間商家需支付顧客的延誤罰金，以及顧客購買各個(gè)商家的商品時(shí)各可衡量指標(biāo)及其效用參數(shù)都是已知的，在這情況下，為該商家確定最佳的顧客訂單指定的配送時(shí)間.

1解決思路

針對(duì)上面所提出的問題我們可以分兩步解決.第一步，從顧客對(duì)各商家的可衡量指標(biāo)的滿意程度以及個(gè)人偏好出發(fā)，來選擇要購買商品的商家，實(shí)際上是確定顧客購買某商家商品的概率.這是一個(gè)決策問題，由經(jīng)濟(jì)學(xué)的知識(shí)知道，顧客在不確定場(chǎng)合下作出決策往往基于某些偏好，一般要通過效用理論來進(jìn)行分析.這里所謂的效用，不僅在于具有滿足消費(fèi)者某種欲望或者需求的客觀物質(zhì)屬性，而且效用的有無與大小，還取決于消費(fèi)者的主觀感受和消費(fèi)者從購買該商品所受到的滿足.因此作為一個(gè)理性消費(fèi)者，一般都會(huì)從使其獲得最大效用的商家處購買所需的商品【1】.基于這樣的經(jīng)濟(jì)學(xué)原理，我們可以選用多項(xiàng)Logit模型作為顧客選擇商家的數(shù)學(xué)模型，并由這個(gè)模型計(jì)算顧客購買某商家的概率.

第二步，以商家收益的最大為目標(biāo)建立優(yōu)化模型，建模的關(guān)鍵在于分析顧客訂單指定的配送時(shí)間、顧客購買某商家商品的概率，與商家從每個(gè)購買其商品的顧客中獲得的收益之間的關(guān)系，提出合理、簡(jiǎn)化的假設(shè)，確定目標(biāo)函數(shù).對(duì)于從顧客下訂單到配送入戶的實(shí)際時(shí)間這個(gè)隨機(jī)變量，可以在實(shí)際調(diào)查和先驗(yàn)知識(shí)的基礎(chǔ)上，假定這個(gè)隨機(jī)變量的概率分布，從而以商家的期望收益最大為目標(biāo)，來確定最佳的顧客訂單指定的配送時(shí)間.

2 模型的建立與求解

2.1顧客選擇商家的數(shù)學(xué)模型

在多元線性回歸分析中，一般都是要求響應(yīng)變量的樣本觀測(cè)值必須是連續(xù)的，且與隨機(jī)誤差同分布.但在許多實(shí)際問題特別是決策問題中，由于受到條件的限制或決策的需要，響應(yīng)變量的樣本觀測(cè)值或決策結(jié)果往往是離散的.這時(shí)用多元線性回歸分析就難以直接建立合適的數(shù)學(xué)模型，需要其它模型取而代之，其中多項(xiàng)Logit模型（譯作“評(píng)定模型”，“分類評(píng)定模型”，也譯作“邏輯回歸模型”）就是離散選擇理論中常見的一種應(yīng)用模型，屬于多重變量分析范疇，是社會(huì)學(xué)、生物統(tǒng)計(jì)學(xué)、市場(chǎng)營(yíng)銷等統(tǒng)計(jì)實(shí)證分析的常用方法，它可以為一個(gè)理性消費(fèi)者在提供眾多備選方案中選擇一個(gè)最佳方案.【2】 多項(xiàng)Logit模型的理論框架來源于經(jīng)濟(jì)學(xué)中的隨機(jī)效用理論，即以效用函數(shù)為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)為消費(fèi)者在理性的經(jīng)濟(jì)選擇行為下，會(huì)選擇帶給他效用最大化的方案 （在我們的模型中就是商家 ）作為選擇方案.在這里，顧客的效用既可以來自顧客對(duì)商家所提供的商品的價(jià)格的滿意度，也可以來自顧客對(duì)商家所提供購物服務(wù)的滿意度和個(gè)人的特定偏好等.出于對(duì)上面提出的問題的需要，我們應(yīng)該把商家的顧客訂單指定的配送時(shí)間作為刻畫顧客選擇商家的指標(biāo)之一.

由于顧客在選擇商家時(shí)，需要同時(shí)考慮許多復(fù)雜的因素，其中的不確定性甚高.因此，顧客選擇商家時(shí)，商家的商品對(duì)顧客所產(chǎn)生的效用 一般可以用如下的數(shù)學(xué)式子表示：

, (1)

其中 為總效用 的系統(tǒng)項(xiàng)，它是可衡量效用，反映的是商家與顧客的所有可觀測(cè)的屬性；而 為總效用 的誤差項(xiàng)，是隨機(jī)效用，代表了顧客的特殊的偏好和無法被觀察的效用.為方便起見，我們假設(shè) 服從位置參數(shù)為0、刻度參數(shù)為 的Gumbel極值分布，且 對(duì)j是相互獨(dú)立的[3]，于是 的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為

(2)

由于顧客總是選擇帶給他效用最大的商家作為其選擇方案，故顧客選擇商家j的概率為

(3)

由于 （ 相互獨(dú)立且其分布由（2）式給出，因此

（4）

這里 和 分別是標(biāo)準(zhǔn)Gumbel分布的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)，即

(5)

可以驗(yàn)證，

若假設(shè) 即 獨(dú)立同分布，且服從標(biāo)準(zhǔn)Gumbel分布，則由（4）得出

(6)

這里的（6）式就是在經(jīng)濟(jì)學(xué)中經(jīng)常所說的離散選擇下的多項(xiàng)Logit模型.為了將上述模型更好地應(yīng)用到我們的問題，可以假設(shè)可衡量效用 對(duì)可衡量指標(biāo)是線性的，即

（7）

這里 表示顧客對(duì)商家 的商品的固定偏好，向量 表示所有 個(gè)會(huì)對(duì)顧客的購買產(chǎn)生效用且與商家 的商品相關(guān)的可衡量指標(biāo)，可理解為可衡量效用 的解析變量，向量 為度量指標(biāo)所產(chǎn)生效應(yīng)的參數(shù)向量.由于市場(chǎng)中商家的顧客訂單指定的配送時(shí)間（記為 ）是顧客購買商品的一個(gè)重要的效應(yīng)因子，也是模型中的決策變量，為方便起見，我們記可衡量效用因子向量 中的第一個(gè)分量 為由 所產(chǎn)生的購買效用，它是一個(gè)負(fù)效用，故可以設(shè) ，其相應(yīng)的參數(shù) 記為 ，此時(shí) 可理解為顧客對(duì)商家的訂單指定的配送時(shí)間所產(chǎn)生效應(yīng)的響應(yīng)系數(shù)（不妨設(shè) 對(duì)市場(chǎng)中所有商家都是一樣）.于是（7）就可以寫為

(8)

若商家 是顧客最終選擇的商家，其訂單指定的配送時(shí)間 是問題的決策變量，為了敘述的方便，我們把 直接記為 .由式（6），（8），可以得到顧客選擇商家的商品的概率為

(9)

若記

（10）

則（9）式就可簡(jiǎn)寫為

（11）

由于，

所以顧客購買商家商品的概率是關(guān)于其訂單指定的配送時(shí)間單調(diào)遞減的.

2.2優(yōu)化模型目標(biāo)函數(shù)的確定

根據(jù)問題的需要，除了上面已經(jīng)使用的記號(hào)和變量外，還需引入以下符號(hào)和假定：

～商家 從顧客下訂單到配送入戶的實(shí)際時(shí)間，假設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為 和 ，且數(shù)學(xué)期望為 .

～商家 配送的延誤時(shí)間，即 .

～配送延誤時(shí)商家 需支付顧客的單位時(shí)間罰金.

～商家 從每個(gè)購買其商品的顧客中所獲得的平均毛利.

記 為商家 為每個(gè)購買其商品的顧客中所獲得的純收益，則

.

由 概率密度函數(shù) 可得 的數(shù)學(xué)期望為

（12）

上面我們已經(jīng)得到了顧客選擇購買商家 的商品的概率為 ，于是商家從每個(gè)顧客獲得的期望收益應(yīng)為

（13）

上式即為問題的目標(biāo)函數(shù).

2.3模型的求解

為了敘述簡(jiǎn)單起見，我們將（10）的 代入（13），并略去式中 ， 和 的下標(biāo) ，得到模型目標(biāo)函數(shù)為(14)

求顧客訂單指定的最佳配送時(shí)間 ，使 最大.對(duì)（14）的 求導(dǎo)，得到

(15)

其中 .令 ，得到(16)

將上式的左邊記為函數(shù) ，則 關(guān)于 的導(dǎo)數(shù)

(17)

即 關(guān)于 為單調(diào)遞減，

且（18）

根據(jù)微積分的知識(shí)，可以得到以下兩個(gè)結(jié)論：

（1）若 ，則存在由（16）唯一確定的 使得 .將（16）代入（14）得到商家從每個(gè)顧客處獲得的最大期望收益為

（19）

（2）若，則，于是時(shí)，由（14）直接得到商家從每個(gè)顧客處獲得的最大期望收益為

（20）

3 實(shí)證分析

為了更好地說明所建立的模型在實(shí)際中的可應(yīng)用性，我們將通過具體的數(shù)值例子對(duì)給出的模型及計(jì)算結(jié)果作簡(jiǎn)要分析討論。

首先，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)假設(shè)商家從顧客下訂單到配送入戶的實(shí)際時(shí)間 服從位置參數(shù)為 ，刻度參數(shù)為 的指數(shù)分布，即 的概率密度函數(shù)為

（21）

其中參數(shù) ， 均大于0.顯然，從顧客下訂單到配送入戶的實(shí)際時(shí)間的數(shù)學(xué)期望為

設(shè) ，將（21）代入（14）計(jì)算，得到商家從每個(gè)顧客處獲得的期望收益 為

（22）

由于

可知 關(guān)于 是嚴(yán)格單調(diào)遞減的，但當(dāng) 時(shí)， 關(guān)于 是單調(diào)遞增的，而后者在實(shí)際情況中是可以實(shí)現(xiàn)的【4】.

按照3.1建立的模型，進(jìn)一步假設(shè)目前市場(chǎng)上由3個(gè)商家（ ）提供顧客所需要購買的商品，顧客最終選擇的商家為 ，影響顧客選擇購買商家的可衡量指標(biāo)數(shù)也是3個(gè) ，其中 的指標(biāo)就設(shè)為商家的顧客訂單指定的配送時(shí)間.除了顧客對(duì)商家 的訂單指定的配送時(shí)間所產(chǎn)生的效用未知外，顧客對(duì)購買各商家商品的其他效用由以下的數(shù)據(jù)來給出：

（1）顧客對(duì)商家 的產(chǎn)品的固定偏好為 ；

（2）顧客在購買商家 商品時(shí)，3個(gè)影響顧客選擇購買商家 （ ）的可衡量指標(biāo)所產(chǎn)生效用分別是 和 ，其對(duì)應(yīng)的參數(shù)向量為 ；

（3）商家 的下訂單到配送入戶的實(shí)際時(shí)間 分布的位置參數(shù) ；

（4）商家 對(duì)顧客購買其商品訂單指定的配送時(shí)間延誤時(shí)需支付顧客的單位時(shí)間罰金 ；

（5）商家 從每個(gè)購買其商品的顧客中所獲得的平均毛利為 .

將以上數(shù)值代入（10），得到 ，

故根據(jù)式（11），顧客選擇商家 購買商品的概率為

（23）

而由（22），商家從每個(gè)顧客處獲得的期望收益（即目標(biāo)函數(shù)）為

（24）

由于該商家從顧客下訂單到配送入戶的實(shí)際時(shí)間的期望為 ，因此，由上面從微積分知識(shí)推出的結(jié)論得，當(dāng) 時(shí)，存在唯一的 滿足

（25）

使得 .這時(shí)該商家從每個(gè)顧客處獲得的最大期望收益為（26）

這樣，我們?cè)谟媚Ｐ停?4）求解決策變量――顧客訂單指定的配送時(shí)間以及相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)――商家從每個(gè)顧客處獲得的期望收益時(shí)，還有2個(gè)未知量:顧客對(duì)商家的訂單指定的配送時(shí)間所產(chǎn)生效應(yīng)的響應(yīng)系數(shù) 和商家從顧客下單到配送入戶的實(shí)際時(shí)間所服從的指數(shù)分布的刻度參數(shù) .因此我們就把 看做兩個(gè)可變參數(shù)，在他們?cè)试S變化的范圍內(nèi)取值后代入式（25）就可以求出商家從每個(gè)顧客處獲得最大期望收益時(shí)對(duì)應(yīng)的配送時(shí)間 ，再將所求出的配送時(shí)間 及2個(gè)可變參數(shù) 的值代入（26）即可求出商家從每個(gè)顧客處獲得的最大收益 .例如我們?nèi)。?的值分別對(duì)應(yīng)如下5組值：（1.00，0.30），（1.00，0.60），（1.00，1.00）；（2.00，1.00），（3.00，1.00），按上面的具體求法通過計(jì)算機(jī)運(yùn)行數(shù)學(xué)工具軟件就可以求出他們對(duì)應(yīng)（ , ）的值分別是（5.90，0.71），（2.83，16.28），（2.01，27.11），（1.79，31.65），（1.71，37.11）.從所得的結(jié)果不難看出 的取值變化對(duì) , 的值影響是比較顯著的，特別地參數(shù) 越大， 就越小，而 越大.

4結(jié)論及建議

本文基于多項(xiàng)Logit模型下給出這個(gè)模型為商家確定最佳的顧客訂單指定的配送時(shí)間提供了一個(gè)有效的方法.眾所周知，顧客訂單指定的配送時(shí)間越短，顧客購買該商家的商品的可能性就越大，但此時(shí)商家違約的可能性也越大.模型在假設(shè)顧客的購買概率由多項(xiàng)Logit模型給出的前提下，通過極大化商家的期望利潤(rùn)，可以得到最佳配送時(shí)間存在的條件，并求得這一最佳值.

由于在我們的模型中，假設(shè)了顧客商品的概率是由多項(xiàng)Logit模型給出的，而以多項(xiàng)Logit模型進(jìn)行實(shí)際分析時(shí)，可能會(huì)產(chǎn)生無法觀測(cè)的效用函數(shù)誤差、效用函數(shù)型態(tài)及解釋變量的指定問題.因此，作為改進(jìn)的想法，可以考慮更進(jìn)一步的模型，如巢式Logit模型，這樣更能符合顧客選擇行為的真正意向.但在使用巢式Logit模型時(shí)，需要處理好巢層數(shù)的給定等問題【5】.如果假設(shè)商家在顧客訂單指定的配送時(shí)間之前已經(jīng)將顧客訂購的商品配送入戶，還能獲得額外的利潤(rùn)的話，那么，這種情形下的最佳配送時(shí)間應(yīng)該如何確定呢？ 這也是一個(gè)值得考慮的問題.

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篇6

關(guān)鍵詞 非比例再保險(xiǎn)定價(jià)；倒向隨機(jī)微分方程；It微分公式；時(shí)間序列預(yù)測(cè)；ARIMA模型

中圖分類號(hào) F842.6；O29 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

The Predictive Pricing Research of Reinsurance of China Based on Investment

ZHENG Lu-jie

(Renmin University of China School of Information,Beijing 100872)

Abstract Combining the payment of insurance companies and investment income, this paper builds an improved model on the linear forward-backward stochastic differential equations in the context of investment with a class of weak conditions based on non-proportional reinsurance. According to the explicit solution of a special class of linear backward stochastic differential equations, and taking into account time series forecasting methods, this paper gives the insurance pricing formula based on investment and provides a new feasible method of the non-proportional reinsurance pricing for insurance companies.

Key words non-proportional reinsurance pricing; backward stochastic differential equations; ；It differential formula; the prediction of time series; the model of ARIMA

1 引 言

隨著市場(chǎng)快速發(fā)展以及后金融危機(jī)對(duì)中國的潛在影響，人們對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)的規(guī)避需求愈來愈強(qiáng)烈，我國保險(xiǎn)業(yè)得到了長(zhǎng)足的發(fā)展.在國外，保險(xiǎn)資金的風(fēng)險(xiǎn)投資理論相當(dāng)成熟［1,2］，在實(shí)際操作中也有深入的應(yīng)用［3］.作為新興市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)體國家，我國保險(xiǎn)市場(chǎng)發(fā)展速度非常迅速，到2009年末保險(xiǎn)業(yè)總資產(chǎn)額高達(dá)40 634.75億元，而2005年末保險(xiǎn)也總資本額僅為15 298.69億元，同比增長(zhǎng)165.6%，2009年末全國保費(fèi)收入更是突破萬億，11 137億元，這在2005年末僅為4 930億元，同比增長(zhǎng)125.9%［4］.無論按照國際保險(xiǎn)業(yè)償付能力標(biāo)準(zhǔn)還是我國保險(xiǎn)法規(guī)定的風(fēng)險(xiǎn)承受能力比例，基于我國再保險(xiǎn)業(yè)薄弱的基礎(chǔ)［5,6］，不難發(fā)現(xiàn)保險(xiǎn)業(yè)整體償付能力有很大的風(fēng)險(xiǎn).

再保險(xiǎn)也稱分保，是針對(duì)保險(xiǎn)人所承擔(dān)的危險(xiǎn)賠償責(zé)任的保險(xiǎn)，也就是對(duì)原保險(xiǎn)的再次保險(xiǎn)，以保證自身業(yè)務(wù)的穩(wěn)定性［7］.所以再保險(xiǎn)的主要功能就是風(fēng)險(xiǎn)分散.非比例再保險(xiǎn)是再保險(xiǎn)的一種，以賠款為基礎(chǔ)來確定再保險(xiǎn)當(dāng)事人雙方的責(zé)任的分保方式.相對(duì)與傳統(tǒng)的比例分保，非比例再保險(xiǎn)不僅能解決因數(shù)量多、保額小、責(zé)任積累和賠款多帶來的風(fēng)險(xiǎn)問題，而且簡(jiǎn)化了分保手續(xù).同時(shí)比例分保無法徹底分散巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)，非比例再保險(xiǎn)則在易于發(fā)生風(fēng)險(xiǎn)積累和巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)的保險(xiǎn)業(yè)務(wù)中逐漸占據(jù)重要地位.最近幾年我國自然災(zāi)害和意外事故頻發(fā)，巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)存在和蔓延導(dǎo)致的償付壓力挑戰(zhàn)我國再保險(xiǎn)機(jī)制［8］.而且再保險(xiǎn)周期性波動(dòng)的價(jià)格使得再保險(xiǎn)人只能在不同的時(shí)期采用不同的定價(jià)策略，以維持穩(wěn)定的業(yè)績(jī).這就需要高超的定價(jià)技術(shù)和不斷改進(jìn)的財(cái)務(wù)安排.

本文是以非比例再保險(xiǎn)定價(jià)為切入點(diǎn)展開.保險(xiǎn)定價(jià)是保險(xiǎn)工作的核心.傳統(tǒng)的再保險(xiǎn)定價(jià)往往重與公司經(jīng)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)的賠付情況而未注意到它的投資收益情況［9］, 因此按此方法厘訂的保險(xiǎn)費(fèi)往往不能反映公司的自身的實(shí)際情況.所以，研究如何優(yōu)化再保險(xiǎn)公司利用再保險(xiǎn)費(fèi)收取與保險(xiǎn)賠償之間的時(shí)滯對(duì)收取的該再保險(xiǎn)費(fèi)的風(fēng)險(xiǎn)投資是一個(gè)值得深入研究的領(lǐng)域.

倒向隨機(jī)微分方程（BSDE）已比較成熟的應(yīng)用于期權(quán)定價(jià)和證券組合當(dāng)中，成為很好的風(fēng)險(xiǎn)投資工具［10］.目前，BSDE在保險(xiǎn)定價(jià)方面的應(yīng)用逐漸受到重視，由于倒向隨機(jī)微分方程是在給定了隨機(jī)終值的情況下, 來確定現(xiàn)在應(yīng)作的投資, 非常類似于期權(quán)價(jià)格的制定. 因此, 可借助于倒向隨機(jī)微分方程對(duì)再保險(xiǎn)進(jìn)行定價(jià)，這對(duì)保險(xiǎn)公司提高在市場(chǎng)上的競(jìng)爭(zhēng)力大有益處.

本文旨在從系統(tǒng)的觀點(diǎn)［11］出發(fā)，把保險(xiǎn)公司的賠付情況與投資收益結(jié)合，對(duì)非比例再保險(xiǎn)建立在一定條件的投資背景下的線性正倒向隨機(jī)微分方程.根據(jù)一類特殊線性BSDE的顯式解，引入時(shí)間序列預(yù)測(cè)，給出了基于投資的比例分保定價(jià)公式，為再保險(xiǎn)公司厘定非比例再保險(xiǎn)的保費(fèi)提供新的可行性方法.

2 預(yù)備知識(shí)

設(shè)(Ω，F(xiàn)，P）是一概率空間，w(t),t≥0是概率空間(Ω，F(xiàn)，P）上的d－維Wiener過程；Ft=σ［w(s),s≤t］是由Wiener過程w(t),t≥0產(chǎn)生的σ域族{Ft}，任一個(gè)σ域Ft都是完備化的.如果對(duì)任一個(gè)t∈［0,∞),x(t)是關(guān)于Ft可測(cè)的隨機(jī)變量，那么稱隨機(jī)過程x(t)=x(w,t)為Ft－適應(yīng)的.若E∫T0|x(t)|2dt＜∞,其中|x(t)|=(∑ni=1|xi(t)|2)12表示Euchlid范數(shù)，則稱

x(t)=x(w,t)為平方可積隨機(jī)過程.Ft－適應(yīng)的平方可積隨機(jī)過程全體記為M(0,T,Rn).

引理1 （It公式微分形式）［12］

假設(shè)dxi(t)=bi(t)dt+σi(t)dwi(t) （i=1,2,…,m)，函數(shù)G(x1,…,xm,t)以及它對(duì)t的一階導(dǎo)數(shù)、對(duì)x的二階導(dǎo)數(shù)關(guān)于(x,t)連續(xù)，這里

x=(x1,…xm)∈Rm,t≥0,wi(t)(i=1,2,…,m)是相互獨(dú)立的Wiener過程.那么函數(shù)G(x1,…,xm,t)滿足下隨機(jī)微分方程（SDE）

dG(x(t),t)=［Gt(x(t),t)+∑mi=1Gxi(x(t),t)bi(t)

+12∑mi,j=1Gxixj(x(t),t)σi(t)σj(t)］dt

+∑mi=1Gxi(x(t),t)σi(t)dwi(t),（1）

其中G的下標(biāo)表示對(duì)相應(yīng)變量的偏導(dǎo)數(shù).

考慮BSDE

－dy(t)=g(t,y(t),z(t))dt－z(t)dw(t),y(T)=ξ.（2）

其中(y(t),z(t))分別是取值Rm和Rm×d平方可積的適應(yīng)過程，即

(y(t),z(t))∈M(0,T,Rm×Rm×d)，0≤t≤T

引理2

假設(shè)

g(t,y(t),z(t))=f(t)+a(t)y(t)+b(t)z(t)，其中f(t),a(t)∈M(0,T,R)，

b(t)∈M(0,T,Rd)，且a(t),b(t)均有界.再假設(shè)x(s)是如下It公式的解

dx(S)=x(s)［a(s)ds+a(s)dw(s), s∈［t,T］

x(t)=1,（3）

則對(duì)任何ξ∈L2(Ω,P,FT,R)，下面的BSDE

－dy(t)=［a(t)y(t)+b(t)z(t)+f(t)］dt

－z(t)dw(t),y(T)=ξ（4）

有唯一解，且解的形式為［14-15］

y(t)=E［(ξx(T)+∫Ttf(s)x(s)ds|Ft］.（5）

3 非比例再保險(xiǎn)定價(jià)模型

鄧志民、張潤(rùn)楚［16］在這方面進(jìn)行了一定的深入研究，但是也存在很大的改進(jìn)空間：1）非比例保險(xiǎn)定價(jià)中期末t=T時(shí)索賠率與自留額度的計(jì)算基本上通過求過去平均值得到，有一定的合理性，但是定價(jià)僅依賴于單一的求往期平均值的方法使得定價(jià)風(fēng)險(xiǎn)很大.在時(shí)間序列預(yù)測(cè)日趨成熟的條件下數(shù)據(jù)采集可以得到改進(jìn).2)關(guān)于對(duì)非比例再保險(xiǎn)索賠率的定性問題，索賠率不再看作是一隨機(jī)變量.從隨機(jī)變量的嚴(yán)格定義［17］出發(fā)，把索賠率作為隨機(jī)變量等于期末t=T時(shí)的非函數(shù)值是不合適的.而且在實(shí)際情況下是無法找出對(duì)應(yīng)精確的密度函數(shù)與具體情形匹配，用歷史數(shù)據(jù)來求其相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望是非常明顯的錯(cuò)誤，在此基礎(chǔ)上對(duì)非比例再保險(xiǎn)定價(jià)公式的推導(dǎo)也必然會(huì)出現(xiàn)偏差.鑒于此種情形，引入時(shí)間序列預(yù)測(cè)是完全有必要的，因?yàn)榉潜壤俦ｋU(xiǎn)價(jià)格在一定程度上是保費(fèi)的投資收益對(duì)未來風(fēng)險(xiǎn)的一種補(bǔ)償差.通過對(duì)歷史數(shù)據(jù)（即一列時(shí)間序列）的預(yù)測(cè)求出未來的索賠率，進(jìn)而導(dǎo)出非比例再保險(xiǎn)定價(jià)公式.對(duì)歷史數(shù)據(jù)的收集，主要針對(duì)要定價(jià)的保險(xiǎn)產(chǎn)品的期限而定，如產(chǎn)品期限是一年，搜集對(duì)應(yīng)保險(xiǎn)產(chǎn)品的每年索賠率即可.（3）到目前幾乎所有的相關(guān)研究給出的算例假設(shè)條件過于苛刻，無法說明并解決實(shí)際問題，下面將基于一般性模型基礎(chǔ)上推導(dǎo)出新的結(jié)論，給出具有可操作性的定價(jià)模型實(shí)證分析.

考慮在風(fēng)險(xiǎn)投資下的非比例再保險(xiǎn)定價(jià)數(shù)學(xué)模型.基本思路為：

1）假設(shè)金融市場(chǎng)有且僅有兩類資產(chǎn)，即無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn).不考慮交易費(fèi)用，稅收和紅利，有方程：

dx0(t)=r0x0(t)dtdx1(t)=r1x1(t)dt+σx1(t)dw(t).（6）

x0(t)，x1(t)分別表示無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格，r0，r1分別表示無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)預(yù)期收益率，σ表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)波動(dòng)率，σw(t)表示在時(shí)刻t風(fēng)險(xiǎn)投資回報(bào)中不確定的部分.

2）設(shè)原保人承保期限為T、索賠率為ξ、投保者的保險(xiǎn)額為Q的保險(xiǎn).注意，這里它不是隨機(jī)變量.在非比例再保險(xiǎn)合同下，原保險(xiǎn)產(chǎn)品的價(jià)格為P，再保險(xiǎn)價(jià)格為P1，原保險(xiǎn)人承擔(dān)自留額度為m的風(fēng)險(xiǎn)min (ξ,m)，再保險(xiǎn)人承擔(dān)剩余的風(fēng)險(xiǎn)max (0,ξ－m).在期初t=0時(shí)刻，出經(jīng)營(yíng)費(fèi)用和再保險(xiǎn)保費(fèi)外，公司剩余資金為［(1－h(huán))P－P1］Q，在期末,公司面臨損失為y(T)=min (mQ,ξQ).為了彌補(bǔ)這些損失，公司必須將期初的剩余資金投資于風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)，以最大限度轉(zhuǎn)移風(fēng)險(xiǎn)，確保正常的經(jīng)營(yíng).

3）在t=0時(shí)刻，(1－h(huán))P－P1投資于風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)，總資產(chǎn)額將隨時(shí)間變化而變化，記作y(t)，則有y(0)=(1－h(huán))P－P1.設(shè)公司在t時(shí)刻總資產(chǎn)額y(t)分為兩部分：一部分y(t)π(t)投資于有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，另一部分y(t)［1－π(t)］投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，其中π(t)∈［0,1］表示t時(shí)刻投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的比例.在不考慮交易費(fèi)用、稅收和紅利的情況下，由前面的It微分公式，可根據(jù)如題假設(shè)將其代入式（6），得總資產(chǎn)額y(t)滿足微分方程：

dy(t)=［r0+(r1－r2)π(t)］y(t)dt

+σπ(t)y(t)dw(t),y(0)=［(1－h(huán))P－P1］Q.（7）

令z(t)=σπ(t)y(t), r=r1－r0，則式（7）變成

dy(t)=［r0y(t)+rσz(t)］dt

+z(t)dw(t)，y(0)=［(1－h(huán))P－P1］Q.

當(dāng)P1變化時(shí)，相同投資方式下y(T)也隨之變化從而在期末有y(T)=min (mQ,ξQ)

綜上所述可得新的非比例再保險(xiǎn)定價(jià)的正倒向隨機(jī)微分方程：

dx(t)=x(t)［r1dt+σdw(t)］,dy(t)=［r0y(t)+rσz(t)］dt+z(t)dw(t).

x(0)=［(1－h(huán))P－P1］Qπ(0),

y(T)=min (mQ,ξQ).（8）

在總資產(chǎn)額y(t)滿足方程(8)的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)非比例再保險(xiǎn)的價(jià)格P，它還要滿足y(0)=［(1－h(huán))P－P1］Q.

4 非比例再保險(xiǎn)定價(jià)公式的推導(dǎo)

與原保險(xiǎn)一樣，同樣假設(shè)保險(xiǎn)公司是風(fēng)險(xiǎn)中性的，在上述保單規(guī)定下，若其資產(chǎn)所滿足的倒向隨機(jī)微分方程為

dy(t)=［r0y(t)+rσz(t)］dt+z(t)dw(t),y(T)=min (mQ,ξQ), ξ∈(0,1］,（9）

其中w(t),t≥0是標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程，r0,r,σ＞0如前所述.則非比例再保險(xiǎn)定價(jià)公式為：

P1=(1－h(huán))P－min (m,ξ)exp (－r0T).

證明 假設(shè)x(s)是如下隨機(jī)微分方程的解：

dx(s)=x(s)［－r0ds－rσdw(s)］,

s∈［t,T］x(t)=1

由引理2，從式（8）中可以看出a(t)=－r0,b(t)=－rσ,f(t)=0.所以由式（9）有

y(t)=E［min (mQ,ξQ)x(T)|Ft］,

可以看出當(dāng)t=0時(shí)，

y(0)=min (m,ξ)QE［x(T)］.（10）

在這里ξ和Q一樣被看作是常量，且

y(0)=［(1－h(huán))P－P1］Q,（11）

所以，式(10)與式（11）聯(lián)立有：

P1=(1－h(huán))P－min (m,ξ)E［x(T)］.

接下來只需證明E(x(T)］=exp (－r0T)即可，具體推導(dǎo)可參見參考文獻(xiàn)［18］.

5 預(yù)測(cè)估計(jì)

時(shí)間序列是指一個(gè)依照時(shí)間順序組成的觀察數(shù)據(jù)的集合.進(jìn)行時(shí)間序列預(yù)測(cè)分析［19］需要大量的歷史數(shù)據(jù)，而我國再保險(xiǎn)業(yè)的發(fā)展與國外比較還是非常短的.為了能保證數(shù)據(jù)量，僅對(duì)期限為一年的產(chǎn)品進(jìn)行分析預(yù)測(cè).本文先后采用了指數(shù)平滑模型和ARIMA模型進(jìn)行對(duì)ξ時(shí)間序列的分析和預(yù)測(cè).在這里說明一下，整體看來ξ先作為估計(jì)量通過時(shí)間序列預(yù)測(cè)獲取相應(yīng)的值，在此基礎(chǔ)上在前面的理論推導(dǎo)當(dāng)中ξ作為常量，直接得出非比例再保險(xiǎn)的定價(jià)公式.

指數(shù)平滑法用序列過去值加權(quán)均屬來預(yù)測(cè)將來值，并且給序列中近期的數(shù)據(jù)以較大的權(quán)重，遠(yuǎn)期數(shù)據(jù)給以較小的權(quán)重.該方法的主要優(yōu)點(diǎn)之一是比較直觀，另外還有一個(gè)重要的優(yōu)點(diǎn)是在時(shí)刻t，只需要知道實(shí)際數(shù)值和本期預(yù)測(cè)值就可以預(yù)測(cè)下一個(gè)時(shí)間的數(shù)值，即t+1=αzt+(1－α)t，其中α為平滑參數(shù).但是，指數(shù)平滑法也存在問題：它適用于隨時(shí)間消逝呈水平發(fā)展的序列.ARIMA模型是一族自回歸滑動(dòng)平均時(shí)間序列模型模型，ARMA模型有分為AR(p)模型、MA(q)模型和ARMA(p,q).一般的建模分四步：1)序列的平穩(wěn)化處理；2)模型識(shí)別,主要通過讀ACF,PACF圖形把握模型的大致方向，為目標(biāo)定階；3)參數(shù)估計(jì)和診斷，主要是討論模型的擬合優(yōu)度統(tǒng)計(jì)量和殘差分析結(jié)果；4)預(yù)測(cè)部分，得到最終的預(yù)測(cè)結(jié)果［20］.

6 實(shí)證分析

目前，大部分相關(guān)研究給出的例子假設(shè)條件太強(qiáng)，沒有貼合實(shí)際的實(shí)例分析，不利于相關(guān)理論的深入展開和應(yīng)用.由于保險(xiǎn)公司的相關(guān)數(shù)據(jù)作為商業(yè)機(jī)密不對(duì)外公開，所以下面盡可能采用相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)行實(shí)證分析.

根據(jù)證券公司的“重點(diǎn)關(guān)注的無風(fēng)險(xiǎn)金融產(chǎn)品”的數(shù)據(jù)，取國債收益率1997~2003年的平均值為無風(fēng)險(xiǎn)收益率，取r0=3.1%.T=1，h=10%，賠款額自留M為200萬元.某保險(xiǎn)公司的保險(xiǎn)產(chǎn)品歷年賠款額和保險(xiǎn)金額的數(shù)據(jù)見表1［21］：

先對(duì)索賠率源數(shù)據(jù)進(jìn)行分析并生成序列圖進(jìn)行觀察.從圖1可以看出：1)有線性趨勢(shì).2)時(shí)間段較短，曲線平穩(wěn)趨勢(shì)還不是很清晰.以上結(jié)果顯然不滿足序列平穩(wěn)的條件，所以要把不平穩(wěn)的時(shí)間序列轉(zhuǎn)換成平穩(wěn)的時(shí)間序列，去除趨勢(shì)，對(duì)其分別進(jìn)行差分處理和加入自然對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換處理，由統(tǒng)計(jì)軟件顯示加入自然對(duì)數(shù)后從波動(dòng)范圍（坐標(biāo)尺度）和平穩(wěn)度上是優(yōu)良的.

年份/年圖1 索賠率源數(shù)據(jù)的序列圖

那么根據(jù)上面分析，先對(duì)索賠率ξ源數(shù)據(jù)列采用指數(shù)平滑模型進(jìn)行時(shí)間序列預(yù)測(cè)，由軟件運(yùn)行結(jié)果顯示最優(yōu)預(yù)測(cè)值為ξ=4.06‰.但顯著性Sig＞0.5數(shù)據(jù)顯示擬合效果不理想，下面采用ARIMA模型.

用統(tǒng)計(jì)軟件生成如下關(guān)于索賠率ξ源數(shù)據(jù)列的自相關(guān)系數(shù)圖，由于前面對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了平穩(wěn)化，所以在求相關(guān)系數(shù)是已加入自然對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換，從圖2可以看出時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)（ACF）圖在延遲數(shù)=2時(shí)呈遞減.圖3中偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）在p=0時(shí)就在上下限之內(nèi)小幅波動(dòng)遞減，這是平穩(wěn)序列的特點(diǎn).由于數(shù)據(jù)序列較短，談?wù)摬煌Ｐ拖碌臄M合優(yōu)度統(tǒng)計(jì)量的普遍偏大，經(jīng)多次反復(fù)嘗試后， ARIMA模型取值P=2，d=0,p=0時(shí)的Akike準(zhǔn)則下和Schwarz下的貝葉斯準(zhǔn)則相對(duì)最小.

圖2 自相關(guān)圖

又由于沒有季節(jié)性，所以該模型的最后參數(shù)確定后為ARIMA(2,0,0)，確定模型后運(yùn)算得出的結(jié)果4.11%，并生成擬合預(yù)測(cè)圖進(jìn)行觀察,在該模型下，ξ最佳預(yù)測(cè)值為4.11‰.

圖3 偏自相關(guān)圖

軟件生成的非線性擬圖顯示用該模型進(jìn)行預(yù)測(cè)擬合效果非常好.進(jìn)一步殘差檢驗(yàn)，從圖4可以看出殘差處于正常波動(dòng)范圍，滿足ARIMA模型要的白噪聲條件，又有前面的相關(guān)系數(shù)分析，說明預(yù)測(cè)估計(jì)取得了較佳的結(jié)果.根據(jù)上述預(yù)測(cè)結(jié)果推斷，第8年該保險(xiǎn)的索賠率呈下降趨勢(shì).

圖4

根據(jù)原保險(xiǎn)定價(jià)公式［22］給出原保險(xiǎn)價(jià)格，計(jì)算得:P=4.98‰.同樣對(duì)第8年的保險(xiǎn)金額按上述預(yù)測(cè)方法進(jìn)行預(yù)測(cè)，使用最優(yōu)模型為ARIMA(2,1,0)，最佳預(yù)測(cè)值為103 756萬元，則m=1.93‰.所以min(m,ξ)=1.93‰，由本文推導(dǎo)的非比例再保險(xiǎn)有：P1=2.94‰

以上價(jià)格數(shù)據(jù)是基于賣方最優(yōu)原則進(jìn)行的再保險(xiǎn)定價(jià)，為保險(xiǎn)公司提供理論上的非比例再保險(xiǎn)價(jià)格，決策者可在此基礎(chǔ)上根據(jù)宏觀經(jīng)濟(jì)形勢(shì)、買方市場(chǎng)需求和相關(guān)市場(chǎng)條件等外在因素進(jìn)行綜合定價(jià).

7 結(jié) 論

從實(shí)證分析得出的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)表明該套算法具有理論支持和較強(qiáng)的操作性，本文給出了新的定價(jià)理論推導(dǎo)，嚴(yán)格驗(yàn)證了通過時(shí)間序列預(yù)測(cè)的不同方法和模型更好地服務(wù)于再保險(xiǎn)定價(jià)當(dāng)中，而不必過于處理索賠率作為隨機(jī)變量的分布密度函數(shù)問題而陷于復(fù)雜設(shè)計(jì)情形，這也體現(xiàn)了效率最優(yōu)原則.

另外我國保險(xiǎn)業(yè)發(fā)展時(shí)間較短，測(cè)算需要的各種基礎(chǔ)數(shù)據(jù)的時(shí)間序列較短，加之保險(xiǎn)數(shù)據(jù)的搜集困難和整理不完整，符合測(cè)算要求的時(shí)間序列的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)容易出現(xiàn)偏差，直接增大了保險(xiǎn)定價(jià)的風(fēng)險(xiǎn)［23］.所以保險(xiǎn)公司應(yīng)加大對(duì)保險(xiǎn)精算的投資，建立專門的人才研發(fā)隊(duì)伍，加強(qiáng)數(shù)據(jù)的搜集和整理的完善，對(duì)不同情況下的保險(xiǎn)定價(jià)問題進(jìn)一步深入研究是當(dāng)務(wù)之急.本文從新的角度出發(fā)，不強(qiáng)制要求索賠率服從某一特殊分布，給出較弱的市場(chǎng)假設(shè)條件盡可能符合實(shí)際情形，給出進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)投資的一般的非比例再保險(xiǎn)定價(jià)公式模型，并提出一種結(jié)合了時(shí)間序列預(yù)測(cè)與倒向隨機(jī)微分方程的新的定價(jià)方法，同時(shí)通過實(shí)證分析論證該定價(jià)方法可行性，僅供行業(yè)內(nèi)參考.參考文獻(xiàn)

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